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专题10 8字型+角分线求角
1．【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图1的图形看成为“8”字形，并得出如下结论：∠A+∠B
＝∠C+∠D，请你说明理由；
（2）【尝试应用】如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度
数；
小明结合（1）中的结论并利用方程思想轻松解答如下：
解：由AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，可设∠1＝∠2＝x，∠3＝∠4＝y，
由（1）的结论得： ，…………请你帮小明把求解过程补充完整．
（3）【拓展延伸】如图3，已知∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝ ∠CAB，∠CDP＝ ∠CDB，请利用上述结
论或方法直接写出∠P的度数．（用含α，β 的代数式表示）
【答案】（1）见解析；（2）26°，过程见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理，对顶角相等，即可求证；
（2）①+②，得2∠P+∠1+∠3＝∠2+∠4+∠B+∠D，再由角平分线的定义，得到∠P＝ （∠B+∠D），即
可求解；
（3）利用（1）的结论及（2）的思路，可得 ，从而
得到 ， ，继而得到
，即可求解．【详解】
解：（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，
在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）①+②，得2∠P+∠1+∠3＝∠2+∠4+∠B+∠D
即 2∠P+x+y＝x+y+∠B+∠D
∴∠P＝ （∠B+∠D）＝26°．
（3）∵ ， ，
∴ ，
∵∠CAP＝ ∠CAB，∠CDP＝ ∠CDB，
∴∠BAP＝ ∠CAB，∠BDP＝ ∠CDB，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵∠C＝α，∠B＝β，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等，利用类比的思想解答是解题的关键．
2．如图， 平分 ，交 于点F， 平分 交 于点E， 与 相交于点G，
．（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠ADP= ，然后利用三角形外角的性质即可得解；
（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得
∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．
【详解】
解：（1）∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF= ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，
∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，
∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，
∴∠A+∠C=2∠P，
∵∠A=42°，∠C=38°，
∴∠P= （38°+42°）=40°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．
3．已知 ，
（1）如图， ， ， 是 的平分线， 是 的平分线，求 的度数；
（2）如果（1）中条件变为 ， ，其它条件不变，则 _____________．（直接写出答
案）
【答案】(1)59°；(2) .
【解析】
【分析】
(1)连接DB，由 得出∠CDA=∠A，∠C=∠CBA，再利用角平分线的性质得出∠PDA和∠PBC的度数，
用三角形外角性质的出∠DGB，根据三角形的内角和等于180°，即可求出∠ADB+∠CBD，从而求出∠P的度
数.
(2)根据题(1)的思路，将 ， ，代入即可求得∠C的度数.
【详解】
解：(1)连接BD
∵ ， ，
∴∠CDA=∠A=40°，∠C=∠CBA=78°
∵ 是 的平分线， 是 的平分线
∴∠CDP=∠PDA=20°，∠ABP=∠PBC=39°
∵∠C+∠CDG=∠DGB
∴∠DGB=40°+78°=118°
∴∠GDB+∠GBD=180°-118°=62°
∴∠PBD+∠PDB=62°+20°+39°=121°
∴∠P=180°-121°=59°(2) ∵ ， ，
∴∠CDA=∠A= ，∠C=∠CBA
∵ 是 的平分线， 是 的平分线
∴∠CDP=∠PDA= ，∠ABP=∠PBC=
∵∠C+∠CDG=∠DGB
∴∠DGB= +
∴∠GDB+∠GBD=
∴∠PBD+∠PDB=
∴∠P=
∵
∴
∴
∴
【点睛】
本题主要考查的是三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和，平行线和角平分线的性质，结合图形找
出各个角之间的关系是解题的关键.
4．已知：如图，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD．
①若∠B＝32°，∠D＝38°，求∠M的度数；
②探索∠M与∠B、∠D的关系并证明你的结论．【答案】①35°；②∠M= （∠B+∠D），证明见解析
【解析】
【分析】
①根据三角形内角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM-∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD-∠MCD，再根
据角平分线的定义可得∠BAM-∠BCM=∠MAD-∠MCD，然后求出∠M与∠B、∠D关系，代入数据进行计算
即可得解；
②根据三角形内角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM-∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD-∠MCD，再根
据角平分线的定义可得∠BAM-∠BCM=∠MAD-∠MCD，然后求出∠M与∠B、∠D关系．
【详解】
解：①根据三角形内角和定理，∠B+∠BAM=∠M+∠BCM，
∴∠BAM-∠BCM=∠M-∠B，
同理，∠MAD-∠MCD=∠D-∠M，
∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAM=∠MAD，∠BCM=∠MCD，
∴∠M-∠B=∠D-∠M，
∴∠M= （∠B+∠D）= （32°+38°）=35°；
②根据三角形内角和定理，∠B+∠BAM=∠M+∠BCM，
∴∠BAM-∠BCM=∠M-∠B，
同理，∠MAD-∠MCD=∠D-∠M，
∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAM=∠MAD，∠BCM=∠MCD，
∴∠M-∠B=∠D-∠M，
∴∠M= （∠B+∠D）．【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解
题的关键，要注意整体思想的利用．
5．如图， 与 的角平分线交于点P．
（1）若 ， ，求 的度数；
（2）猜想 ， ， 的等量关系．
【答案】（1）32°；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）根据对顶角相等可得∠AFC=∠BFP，∠BED =∠AEP，利用三角形的内角和定理可得∠C＋∠CAF=∠P＋
∠PBF①，∠D＋∠DBE=∠P＋∠PAE②，两式相加并利用角平分线的定义和等式的基本性质变形可得∠C＋
∠D=2∠P，从而求出∠P；
（2）根据对顶角相等可得∠AFC=∠BFP，∠BED =∠AEP，利用三角形的内角和定理可得∠C＋∠CAF=∠P＋
∠PBF①，∠D＋∠DBE=∠P＋∠PAE②，两式相加并利用角平分线的定义和等式的基本性质变形可得∠C＋
∠D=2∠P，从而证出结论．
【详解】
解：（1）∵∠AFC=∠BFP，∠BED =∠AEP
∴180°－（∠C＋∠CAF）=180°－（∠P＋∠PBF），180°－（∠D＋∠DBE）=180°－（∠P＋∠PAE）
∴∠C＋∠CAF=∠P＋∠PBF①，∠D＋∠DBE=∠P＋∠PAE②
①＋②，得
∠C＋∠CAF＋∠D＋∠DBE=∠P＋∠PBF＋∠P＋∠PAE
∵ 与 的角平分线交于点P
∴∠CAF=∠PAE，∠DBE=∠PBF
∴∠C＋∠D=2∠P∴∠P= = =32°；
（2） ，理由如下
∵∠AFC=∠BFP，∠BED =∠AEP
∴180°－（∠C＋∠CAF）=180°－（∠P＋∠PBF），180°－（∠D＋∠DBE）=180°－（∠P＋∠PAE）
∴∠C＋∠CAF=∠P＋∠PBF①，∠D＋∠DBE=∠P＋∠PAE②
①＋②，得
∠C＋∠CAF＋∠D＋∠DBE=∠P＋∠PBF＋∠P＋∠PAE
∵ 与 的角平分线交于点P
∴∠CAF=∠PAE，∠DBE=∠PBF
∴∠C＋∠D=2∠P
∴∠P= ．
【点睛】
此题考查的是三角形的内角和定理和角的和与差，掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题关键．
6．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下， 和
的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出 、 、 、 之间的数量关系： ；
（2）在图2中，若 ， ，试求∠P的度数；（写出解答过程）
（3）如果图2中 和 为任意角，其他条件不变，试写出∠P与 、 之间数量关系．（直接写出
结论）
【答案】（1） ；（2）45°；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和等于180°，易得∠A+∠ D=∠B+∠C；（2 ）仔细观察图2，不难看出它有两个图1构成ADMCP， APNCB．由此，得到两个关系式∠2+∠D=∠3+
∠P，∠1+∠P=∠ 4+∠B，再由角平分线的性质得∠1=∠2 ，∠3=∠4，两式相减，即可得结论．
（3）与（2）相同．
【详解】
（1）证明：在 中，
在 中，
∵
∴
故答案为：
（2）解：如图2，
∵AP、CP分别平分 、
∴ ，
由（1）的结论得：
①+②，得：
∴
（3）解：如图2，∵AP、CP分别平分 、
∴ ，
由（1）的结论得：
①+②，得：
∴
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线性质、等量代换；难点在于灵活运用各等量关系．
7．如图1，AB与CD相交于点O，若 ， ， 和 的平分线AP和CP相交于点
P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：
（1） 的度数；
（2）设 ， ， ， ，其他条件不变，如图2，试问
与 、 之间存在着怎样的数量关系（用 、 表示 ），直接写出结论．
【答案】(1)33°；(2) ．
【解析】
【分析】(1)根据角平分线可以得到∠DAP=PAB，∠DCP=∠PCB，利用三角形的外角和公式，得出等式结合题目给出的
已知条件即可求解；
(2)利用三角形的外角和性质找出题目中隐含的等量关系，从而得出∠P和∠D、∠B之间存在的数量关系．
【详解】
解：(1)∵AP是∠DAB的角平分线，CP是∠DCB的角平分线
∴∠DAP=PAB，∠DCP=∠PCB
∵∠P+∠PAB=∠B+∠PCB，∠P+∠PCD=∠D+∠DAP
∴∠P+∠PAB+∠P+∠PCD=∠B+∠PCB+∠D+∠DAP
∴2∠P=∠B+∠D
∵∠B=28°，∠D=38°
∴∠P=33°
(2) ∠P=
∵∠P+∠PCD=∠D+∠DAP
∴∠PCD-∠DAP=∠D-∠P
∵∠D+∠DAO=∠B+∠OCB
∴∠DAB-∠DCB=∠B-∠D
∵ ，
∴∠DAB-∠DCB=3（∠DAP-∠DCP）
∴∠B-∠D=3(∠P-∠D)
∵ ，
∴∠P=
【点睛】
本题主要考查的是三角形的外角和性质，正确的利用三角形的外角和性质，找出题目中隐含的等量关系是
解题的关键．
8．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图
1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列
问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（2）图2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P的度数.（3）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.
【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）∠P=45°；（3）2∠P=∠D+∠B.
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；
（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义可得
∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，将①+②整理可得2∠P=∠D+∠B，进而求得∠P的度数；
（3）同（2）根据“8字形”中的角的规律和角平分线的定义，即可得出2∠P=∠D+∠B.
【详解】
解（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，
∠AOD=∠BOC，
∴∠A+∠D=∠C+∠B；
（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P=∠D+∠B=50°+40°，
∴∠P=45°；
（3）关系：2∠P=∠D+∠B；证明过程同（2）.
9．（1）如图1，求证∠A＋∠B＝∠C＋∠D．
（2）如图2，∠ABC和∠ADC的角平分线交于点P，若∠A＋∠C＝50°，求∠P的度数．
（3）如图3，∠BAD和∠BCD的外角角平分线相交于点Q，请探究∠Q与∠B，∠D之间的数量关系，并
直接写出结论．【答案】（1）证明见解析；（2）25°；（3）
【解析】
【分析】
（1）设AD，BC交于点O，根据∠AOC是△AOB的外角，∠AOC是△OCD的外角即可得证；
（2）设∠PBA＝∠PBC＝x，∠PDA＝∠PDC＝y，根据（1）中结论可得到∠A＋x＝∠P＋y，∠C＋y＝∠P
＋x，联立即可求得∠P；
（3）根据角平分线的性质可得∠QAE＝∠QAD，∠QCB＝∠QCF，设 ，
，再结合（1）的结论可得到 ，在四边形ADCQ中，∠Q＋∠QAD
＋∠D＋∠DCQ＝360°，可得到 ，继而得到 ，从而得
到 ．
【详解】
（1）证明：如图所示，设AD，BC交于点O，
∵∠AOC是△AOB的外角，∠AOC是△OCD的外角，
∴∠A＋∠B＝∠AOC，∠C＋∠D＝∠AOC，
∴∠A＋∠B＝∠C＋∠D；
（2）解：∵∠ABC和∠ADC的平分线交于点P，
∴∠PBA＝∠PBC，∠PDA＝∠PDC，∴设∠PBA＝∠PBC＝x，∠PDA＝∠PDC＝y，
由（1）的结论可得：∠A＋∠PBA＝∠P＋∠PDA，
∴∠A＋x＝∠P＋y①，
同理可得∠C＋y＝∠P＋x②，
由①＋②得：∠A＋x＋∠C＋y＝∠P＋y＋∠P＋x，
∴2∠P＝∠A＋∠C＝50°，
∴∠P＝25°；
（3）∵∠BAD和∠BCD的外角的平分线交于点Q，
∴AQ平分∠DAE，CQ平分∠BCF，
∴∠QAE＝∠QAD，∠QCB＝∠QCF，
∴设 ， ，
则 ，
∴ ， ，
由（1）的结论可得：∠B＋∠BAD＝∠D＋∠BCD，
∴ ，
∴ ，
在四边形ADCQ中，∠Q＋∠QAD＋∠D＋∠DCQ＝360°，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
【点睛】
本题考查三角形的外角性质、角平分线的性质、多边形的内角和与外角和，解题的关键是综合运用相关知
识解题．
10．（1）如图1，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ．
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；
（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，请猜想∠P、∠B、∠D之间的
数量关系．并说明理由．【答案】（1）∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）∠P＝25°；（3）2∠P＝∠B+∠D，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
（2）根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，结合（1）的结论可得2∠P＝∠B+∠D，再
代入计算可求解；
（3）根据角平分线的定义可得∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，结合三角形的内角和定理可得∠P+∠GAD
＝∠B+∠PCB，∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），进而可求解．
【详解】
解：（1）∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，
由（1）可得：∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠DCP+∠D，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
即2∠P＝∠B+∠D，
∵∠B＝36°，∠D＝14°，
∴∠P＝25°；
（3）2∠P＝∠B+∠D．
理由：∵CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，
∴∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，
∵∠PAB＝∠FAG，
∴∠GAD＝∠PAB，
∵∠P+∠PAB＝∠B+∠PCB，∴∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB①，
∵∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
∴∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），
②
∴① ②得：2∠P＝∠B+∠D．
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，二元一次方程组的解法，掌握以上知识是解
题的关键．
11．（类比探究）如图1，线段AD，CB相交于点O，连接AB，DC，我们把形如图1的图形称之为“X型”．
如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AE和CE相交于点E，并且与CB，AD分别相交于F，
G，试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：____________；
（2）在图2中，共有______个“X型”；
（3）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，则∠AEC=_______；
（4）在图2中，若∠D=α，∠B=β，则∠AEC=__________．
【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）6；（3）35°；（4） + ．
【解析】 α β
【分析】
（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）根据“X型”的定义，仔细观察图形即可得出“X型”共有6个；
（3）先根据“X型”中的角的规律，可得∠BAE+∠B=∠E+∠ECB①，∠ECD+∠D=∠EAD+∠E②，再根据角平
分线的定义，得出∠BAE=∠EAD，∠BCE=∠ECD，将①+②，可得2∠E=∠D+∠B，进而求出∠E的度数；
（4）同（3），根据“X型”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠AEC= + ．
【详解】 α β（1）∵∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠DOC=180°，∠AOB=∠DOC，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
故答案为：∠A+∠D=∠C+∠B；
（2）①线段AD、CB相交于点O，形成“X型”；
②线段AG、CF相交于点O，形成“X型”；
③线段AD、CE相交于点G，形成“X型”；
④线段AD、CF相交于点O，形成“X型”；
⑤线段AE、CB相交于点F，形成“X型”；
⑥线段AG、CB相交于点O，形成“X型”；
故“X型”共有6个；
故答案为：6．
（3）∠BAE+∠B=∠E+∠ECB，①
∠ECD+∠D=∠EAD+∠E，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AE和CE相交于点E，
∴∠DAE=∠EAB，∠DCE=∠ECB，
①+②得：
∠BAE+∠B +∠ECD+∠D =∠E+∠ECB +∠EAD+∠E，
即2∠E=∠D+∠B，
又∵∠D=40°，∠B=30°，
∴2∠E=40°+30°=70°，
∴∠AEC=35°；
故答案为：35°；
（4）由（3）知：2∠E=∠D+∠B．
∵∠D=α，∠B=β，
∴2∠E=α+β．
故答案为： + ．
【点睛】 α β
本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力．（1）中根据三角形
内角和定理得出“X型”中的角的规律；（2）是考查学生的观察理解能力，需从复杂的图形中辨认出“X
型”；（3）（4）直接运用“X型”中的角的规律解题．
12．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；
【简单应用】
（2）如图2， AP、CP分别平分∠BAD． ∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度数；
【问题探究】
（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，
请猜想∠P的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
（4） ①在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP= ∠CAB，∠CDP= ∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数
量关系为： （用α、β表示∠P）；
②在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， 猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．
【答案】（1）见解析；（2）36°；（3）26°，理由见解析；（4）①∠P= ②∠P=
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理即可证明；（2）直接利用（1）中的结论两次，两式相加，然后根据角平分线的性质求解即可；
（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出
∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出
2∠P=∠B+∠D，即可解决问题．
（4）①同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．
②同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．
【详解】
（1）在 AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．
在 CED△中，∠C+∠D+∠CED=180°．
∵∠△AEB=∠CED，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，
∴∠1+∠B+∠4+∠D =∠3+∠P+∠2+∠P．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，
∴∠P=36°．
（3）∠P=26°，理由是：如图3：
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3．
∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB =∠B+∠4，
∴∠P+∠1=∠B+∠4．
∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3），
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P= （∠B+∠D）= ×（36°+16°）=26°．（4）①设∠CAP=m，∠CDP=n，则∠CAB=3m，，∠CDB=3n，
∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．
∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，
∵∠C=α，∠B=β，
∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，
∴α－∠P = n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m），
∴2α+β=3∠P
∴∠P= ．
故答案为：∠P= ．
②设∠BAP=x，∠PCE=y，则∠PAO=x，∠PCB=y．
∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，
∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D，
∴∠P= ．
故答案为：∠P= ．
【点睛】
本题考查了三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程的思
想思考几何问题，属于中考常考题型．
13．【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；
【简单应用】
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，
求∠P的度数；
【问题探究】
（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，
∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．【拓展延伸】
（4）在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP= ∠CAB，∠CDP= ∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数
量关系为： ______ （用α、β表示∠P,不必证明）
【答案】（1）证明见解析；（2）26°；（3）26°；（4）∠P= α+ β.
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理即可证明．
（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；
（3）表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；
（4）列出方程组即可解决问题．
【详解】
（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，
在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；
(2) 如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠2+∠B=∠3+∠P，
∠1+∠P=∠4+∠D，
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P= （∠B+∠D）= ×（36°+16°）=26°；
(3)如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，
∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P= （∠B+∠D）= ×（36°+16°）=26°；
(4)∠P= α+ β.
