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必考点 05 角平分线的性质与判定
●题型一 角的平分线的性质的应用
★★★1、解决求线段长问题
【例题1】（2021春•东港市月考）△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线，BC＝64，BD：DC＝9：7，
求D到AB的距离．
【分析】根据题意求出CD的长，根据角平分线的性质得到答案．
【解答】解：∵BD：DC＝9：7，BC＝64，
7
∴CD= ×64=28，
16
∵AD为角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝28．
答：D到AB的距离为28．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【例题2】（2022•湖北模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，作∠CAB的平分线AP交BC于点D．若AB＝
10，S ＝20，则CD的长为 ．
△ABD
【分析】过点D作DH⊥AB于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DH＝CD，然后利用
△ABD的面积列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DH＝CD，
1 1
∴S = AB•DH= ×10•DH＝20，
△ABD 2 2
解得DH＝4，
∴CD＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关
键．
【例题3】（2022春•陈仓区期末）如图，已知BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E，AB＝4，
△ABD的面积是4，则DE的长是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．无法计算
【分析】过D作DF⊥BA交BA的延长线于F，根据三角形的面积公式得到DF＝2，根据角平分线的性质
即可得到结论．
【解答】解：过D作DF⊥BA交BA的延长线于F，
∵AB＝4，△ABD的面积是4，
∴DF＝2，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，
∴DF＝DE＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．★★★2、解决周长问题
【例题4】（2021秋•晋江市期末）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AE交BC于点
E，ED⊥AB于点D，若△ABC的周长为12，AC＝3，则△BDE的周长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【分析】根据角平分线的性质得出DE＝CE，AD＝AC＝3，再根据三角形的周长公式即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AE交BC于点E，ED⊥AB于点D，
∴DE＝CE，AD＝AC＝3，
∵△ABC的周长为12，
即AB+BC+AC＝AD+BD+BE+CE+AC＝12，
∴3+BD+BE+CE+3＝12，
∴BD+BE+CE＝6，
即BD+BE+DE＝6，
∴△BDE的周长为6，
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的周长公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
【例题5】如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB（E在AB之间），DF⊥BC，
已知BD＝5，DE＝3，CF＝4，求△DFC的周长．
【分析】根据角平分线的性质可证∠ABD＝∠CBD，即可求得∠CBD＝∠C，即BD＝CD，再根据角平分
线上的点到角两边距离相等即可求得DE＝DF，即可解题．
【解答】解：∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠C，
∴BD＝CD，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF，∴△DFC的周长＝DF+CD+CF＝DE+BD+CF＝3+5+4＝12．
【点评】本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三
角形周长的计算，本题中求证DE＝DF是解题的关键．
★★★3、解决最值问题
【例题6】（2022秋•东台市校级月考）如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个
动点．若PD＝5，则PQ的最小值为（ ）
A．PQ＜5 B．PQ＝5
C．PQ＞5 D．以上情况都有可能
【分析】根据垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PQ
＝PD．
【解答】解：由垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，
∴PQ＝PD＝5，
即线段PQ的最小值是5．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并判断出角平分线上的点到
角的两边距离相等可得PQ＝PD是解题的关键．
【例题7】（2022秋•盐都区月考）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且
PD＝2，点M是射线OC上一动点，则PM可能的值为（ ）
A．1 B．1.5 C．1.8 D．2.5
【分析】过P点作PH⊥OC于H，如图，根据角平分线的性质得到PH＝PD＝2，然后根据垂线段最短求解．
【解答】解：过P点作PH⊥OC于H，如图，∵点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，PH⊥OC，
∴PH＝PD＝2，
∵点M是射线OC上一动点，
∴PM的最小值为2，
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．
★★★4、解决面积问题
【例题8】（2022秋•通州区校级月考）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点
E，DF⊥AC，交AC于点F，若DE＝2，AC＝4，则△ADC的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】先根据角平分线的性质得到DF＝DE＝2，再利用三角形面积公式即可求解．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，
∵DE＝2，
∴DF＝2，
1 1
∴S = AC×DF= ×4×2＝4，
△ADC 2 2
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【例题9】（2022秋•吴江区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，BD＝3，AC＝8，AD为∠BAC的
角平分线，则三角形ADC的面积为（ ）A．3 B．10 C．12 D．15
【分析】过D作DE⊥AC于E，根据角平分线性质得出BD＝DE＝3，再利用三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：过D作DE⊥AC于E．
∵AD是∠BAC的角平分线，∠B＝90°（DB⊥AB），DE⊥AC，
∴BD＝DE，
∵BD＝3，
∴DE＝3，
1 1
∴S = •AC•DE= ×8×3＝12，
△ADC 2 2
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
【例题10】（2022秋•江阴市校级月考）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交
CD于点E，若BC＝16，DE＝6，则△BCE的面积等于（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
【分析】先作辅助线EF⊥BC交BC于点F，然后根据角平分线的性质，可以得到DE＝EF，再根据三角形
的面积公式，即可求得△BCE的面积．
【解答】解：作EF⊥BC交BC于点F，∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥BA，
∵BE平分∠ABC，
∴DE＝EF，
∵DE＝6，
∴EF＝6，
∵BC＝16，
1 1
∴S = BC•EF= ×16×6＝48，
△BCE 2 2
故选：B．
【点评】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是作辅助线EF⊥BC，求出EF的长．
★★★5、解决证明问题
【例题11】（2020秋•肇州县期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
D是BC的中点，证明：∠B＝∠C．
【分析】先根据角平分线的性质，可得DE＝DF，再证得Rt△BED≌Rt△CFD，即可得出结论．
【解答】证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
{BD=CD
，
DE=DF
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C．
【点评】此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质；熟练掌握角平分线的性质，证明三
角形全等是解题的关键．【例题12】（2022春•秦都区期末）如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．
【分析】根据DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，可知∠CAD＝∠BAD，然后根据SAS证明△ADC≌△ADB即可
证明结论．
【解答】证明：连接AD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中
{
AB=AC
∠BAD=∠CAD，
AD=AD
∴△ABD≌△ACD，（SAS），
∴BD＝CD．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线性质，熟练掌握全等三角形的判定方法
是解决问题的关键．
【例题13】（2022春•海阳市期末）如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与
∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．
（1）求∠PAD的度数；
（2）求证：P是线段CD的中点．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠C＝180°﹣∠D＝90°，∠DAB+∠ABC＝180°，再计算出∠PBC＝
60°，则利用角平分线的定义得到∠ABC＝120°，所以∠DAB＝60°，然后利用角平分线的定义得到∠PAD
的度数；
（2）过P点作PE⊥AB于E点，如图，根据角平分线的性质得到 PE＝PD，PE＝PC，从而得到PD＝
PC．
【解答】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°，
∵∠CPB＝30°，
∴∠PBC＝90°﹣∠B＝60°，
∵PB平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠PBC＝120°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠DAB＝180°﹣120°＝60°，
∵AP平分∠DAB，
1
∴∠PAD= ∠DAB＝30°；
2
（2）证明：过P点作PE⊥AB于E点，如图，
∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，
∴PE＝PD，
∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，
∴PE＝PC，
∴PD＝PC，
∴P是线段CD的中点．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的性
质．
【解题技巧提炼】
1、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
●●注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依
据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直.
角平分线的性质几何语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD＝CE
2、求三角形周长时，若三角形各边长不容易求解，可以考虑找出题中的相等的相等进行等量代换.
3、由“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”可以得到垂线段，结合基本事实“垂线段最短”可以
得到角平分线上的点到角两边距离的最小值.
4、解决三角形面积的问题时往往要向三角形的边作垂线段，然后利用角平分线的性质来解决.
●题型二 角的平分线的判定的应用
【例题14】（2022春•府谷县期末）如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB、OC，若
∠BOC＝120°，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．60° C．45° D．70°
【分析】先根据角平分线的性质定理的逆定理得到 OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，所以∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，然后根据三角形内角和定理解决问题．
【解答】解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2×60°＝120°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上．
【例题15】（2021秋•八公山区期末）已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G
分别是OA、OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG．求证：OC是∠AOB的平分线．
【分析】利用“HL”证明Rt△PFD和Rt△PGE全等，根据全等三角形对应边相等可得PD＝PE，再根据到
角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．
{PF=PG
【解答】证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中， ，
DF=EG
∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），
∴PD＝PE，
∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴OC是∠AOB的平分线．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质
并求出全等三角形是解题的关键．
【解题技巧提炼】
1、角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
2、角平分线的判定几何语言：如图，∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD＝CE，∴C在∠AOB的平分线上.
3、三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点，这一点到三角形的三边的距离相等.
●题型三 角的平分线的性质与判定的综合应用【例题16】（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，点O是△ABC的两外角平分线的交点，下列结论：
①OB＝OC；②点O到AB、AC的距离相等；③点O到△ABC的三边的距离相等；④点O在∠A的平分
线上．其中结论正确的是 （填序号）．
【分析】过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，作OG⊥AC于G，由角平分线的性质和判定进行解答即
可．
【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，作OG⊥AC于G，
∵点O是△ABC的两外角平分线的交点，
∴OE＝OG，OF＝OG，
∴OE＝OF＝OG，
∴点O在∠A的平分线上，故②③④正确，
只有点F是BC的中点时，BO＝CO，故①错误，
综上所述，结论正确的是②③④．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了角平分线的判定与性质，熟记角平分线上的点到角的两边的距离相等，到角的两边
距离相等的点在角的平分线上；正确作出辅助线是解题的关键．
【例题17】（2021秋•东昌府区校级月考）如图，P是∠AOB内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB垂足分别为
E，F．PE＝PF．Q是OP上的任意一点，QM⊥OA，QN⊥OB，垂足分别为点M和N，QM与QN相等
吗？请证明．【分析】根据到角的两边的距离相等的点再叫的平分线上可得OP是∠AOB的角平分线，再根据角的平分
线上的点到角的两边的距离相等可得QM＝QN．
【解答】解：QM＝QN，
理由如下：
∵PE⊥OA，PF⊥OB垂足分别为E，F，PE＝PF，
∴OP是∠AOB的角平分线，
∵QM⊥OA，QN⊥OB，
∴QM＝QN．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质和判定，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【例题18】（2021秋•铜梁区校级期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，
∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S ＝21，求△ABE的面积．
△ACD
【分析】（1）由平角的定义可求解∠ACD的度数，再利用三角形的内角和定理可求解∠ECH＝40°，进
而可求解；
（2）过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质可证得EM＝EN，进而可证明结论；
（3）利用三角形的面积公式可求得EM的长，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝100°，
∴∠ACD＝180°﹣100°＝80°，∵EH⊥BD，
∴∠CHE＝90°，
∵∠CEH＝50°，
∴∠ECH＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ACE＝80°﹣40°＝40°；
（2）证明：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EH，
∵∠ACE＝∠ECH＝40°，
∴CE平分∠ACD，
∴EN＝EH，
∴EM＝EN，
∴AE平分∠CAF；
（3）解：∵AC+CD＝14，S ＝21，EM＝EN＝EH，
△ACD
1 1 1
∴S ＝S +S = AC•EN+ CD•EH= （AC+CD）•EM＝21，
△ACD △ACE △CED 2 2 2
1
即 ×14⋅EM=21，
2
解得EM＝3，
∵AB＝8.5，
1 1 51
∴S = AB•EM= ×8.5×3= ．
△ABE 2 2 4
【点评】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，掌握角平分线的
判定与性质是解题的关键．
【解题技巧提炼】
角平分线的判定与性质的综合应用主要用在证线段相等和角相等，同时考查了三角形的内角和定理，三角形的面积等相关知识，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键，有时往往要向角的一边或两边作垂
线段．
●题型四 角的平分线的性质的实际应用
【例题19】（2022秋•邗江区月考）为促进旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度
假村，如图所示，若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在（ ）
A．△ABC三条高线的交点处
B．△ABC三条中线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处
D．△ABC三边垂直平分线的交点处
【分析】根据角平分线的性质进行判断．
【解答】解：∵度假村到三条公路的距离相等，
∴这个度假村为△ABC的角平分线的交点．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【例题20】（2022春•兰州期末）某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，
要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（ ）
A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处
【分析】根据角平分线的性质得到这个砂石场在三条公路所围成的三角形的内角平分线的交点处．
【解答】解：∵这个砂石场到三条公路的距离相等，砂石场在三条公路围成的三角形平地内，
∴这个砂石场为三条公路所围成的三角形的内角平分线的交点，
∴可供选择的地址仅有一处．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【解题技巧提炼】角平分线的实际应用主要用到了到角平分线的性质和判定，同时要注意到三角形三边距离相等和到三角
形
三边所在直线的距离相等不同，到三角形三边距离相等的点只有1个，而到三角形三边所在直线距离相等
的点有4个.
●题型五 与角的平分线有关的探究题
【例题21】（2021秋•旌阳区校级月考）如图①，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，
PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F．
（1）求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（2）如图②，若点P在AD的延长线上，其他条件不变，试猜想（1）中的结论还成立吗？请证明你的猜
想．
【分析】（1）首先由PE∥AB，PF∥AC，根据两直线平行，同位角相等，可得∠EPD＝∠BAD，∠DPF＝
∠CAD，又由△ABC中，AD是它的角平分线，可得DP平分∠EPF，根据角平分线的性质，即可证得D
到PE的距离与D到PF的距离相等；
（2）若点P在AD的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论还成立，同（1）证明即可．
【解答】（1）证明：∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD＝∠BAD，∠DPF＝∠CAD，
∵△ABC中，AD是它的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠EPD＝∠DPF，
即PD平分∠EPF，
∴D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（2）若点P在AD的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论还成立．理由如下：
∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD＝∠BAD，∠DPF＝∠CAD，
∵△ABC中，AD是它的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠EPD＝∠DPF，
即PD平分∠EPF，
∴D到PE的距离与D到PF的距离相等．
【点评】此题考查了角平分线的性质与平行线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性
质定理的应用，注意数形结合思想的应用．
【解题技巧提炼】
与角的平分线有关的探究题主要是灵活应用角平分线的性质和判定，由特殊到一般的探究，有时图形的
改
变不会导致结论的改变，所用的方法基本上是一样的.
◆◆题型一 角的平分线的性质的应用
1．（2022春•银川校级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，
S ＝15，则CD的长为（ ）
△ABDA．3 B．4 C．5 D．6
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DE＝CD，然后利用
△ABD的面积列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
1 1
∴S = AB•DE= ×10•DE＝15，
△ABD 2 2
解得：DE＝3，
∴CD＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解
此题的关键．
2．（2022春•莱芜区期末）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若
PA＝4，则PQ的长不可能是（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【分析】根据角平分线的性质得到点P到OM的距离等于PA，根据垂线段最短得到PQ≥4，然后对各选项
进行判断．
【解答】解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON，∴点P到OM的距离等于PA，即点P到OM的距离为4，
∴PQ≥4．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．
3．（2022春•岳麓区校级期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于
F，△ABC的面积是30cm2，AB＝13cm，AC＝7cm，则DE的长（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根据角平分线的性质得到DE＝DF，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
1 1 1 1
∴S = ×AB×DE+ ×AC×DF＝30（cm2），即 ×13×DE+ ×7×DF＝30，
△ABC 2 2 2 2
解得DE＝DF＝3cm，
故选：A．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
4．（2022春•城阳区期中）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的角平分线交于点O，AB＝6cm，BC＝
9cm，△ABO的面积为18cm2，则△BOC的面积为（ ）cm2．
27
A．27 B．54 C． D．108
2
【分析】过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥BC于E点，如图，根据角平分线的性质得到OD＝OE，然后根
据三角形面积公式得到S ：S ＝BC：AB．
△BOC △AOB【解答】解：过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥BC于E点，如图，
∵OB平分∠ABC，
∴OD＝OE，
∴S ：S ＝BC：AB，
△BOC △AOB
9
∴S = ×18＝27（cm2）．
△BOC 6
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
5．（2022秋•南宁月考）如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
M，N分别是垂足，求证：PM＝PN．
【分析】利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，
再根据等角的补角相等可得∠ADP＝∠CDP，然后利用角平分线性质定理的逆定理可得结论．
【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
{
AB=BC
∠ABD=∠CBD，
BD=BD
∴△ABD≌△CBD（SAS）．
∴∠ADB＝∠CDB．
∴∠ADP＝∠CDP．
即DP平分∠ADC．
∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，确定出全等三角形是解题的关键．
◆◆题型二 角的平分线的判定的应用
6．（2022秋•东港区校级月考）如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长
BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②∠ABC+2∠APC＝180°；
③∠BAC＝2∠BPC；④S
△PAC
＝S
△MAP
+S
△NCP
．其中正确结论序号是 ．
【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，
根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形
的性质判断④．
【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PC平分∠FCA，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PN＝PD，
∴PM＝PD，
∵PM⊥BE，PD⊥AC，
∴AP平分∠EAC，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
{PM=PD
，
PA=PA
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
1
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM= ∠ABC+∠APB，
2
∴∠ACB＝2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S ＝S ，S ＝S ，
△APD △MAP △CPD △NCP
∴S ＝S +S ，故④正确，
△PAC △MAP △NCP
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边
的距离相等是解题的关键．
7．（2021秋•松桃县期末）如图：已知BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．
【分析】此题容易根据条件证明△BED≌△CFD，然后利用全等三角形的性质和角平分线的性质就可以
证明结论．
【解答】证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BED和△CFD中，
{∠BED=∠CFD
∠BDE=∠CDF，
BD=CD
∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上．
【点评】常用主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．由全等等到 DE＝DF是解答本题
的关键．
◆◆题型三 角的平分线的性质与判定的综合应用
8．（2021秋•鹿邑县月考）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点
P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA，交BA的延长线于点H．
（1）若点P到直线BA的距离为5cm，求点P到直线BC的距离；
（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．
【分析】（1）过点P作PF⊥BE于F，根据角平分线的性质解答即可；
（2）根据角平分线的性质得到PF＝PD，进而得到PD＝PH，根据角平分线的判定定理证明结论．
【解答】（1）解：过点P作PF⊥BE于F，
∵点P在∠ABC的平分线，PH⊥BA，PF⊥BE，
∴PF＝PH＝5cm，即点P到直线BC的距离为5cm；
（2）证明：∵点P在∠ACE的平分线，PH⊥BA，PF⊥BE，
∴PF＝PD，
∵PF＝PH，
∴PD＝PH，
∵PD⊥AC，PH⊥BA，
∴点P在∠HAC的平分线上．
【点评】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关
键．9．（2021秋•大安市期末）如图，已知点D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，且△DCE的
面积与△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．
【分析】过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，利用面积可得DM＝DN，再利用角平分线的判定方法可得
AD平分∠BAC．
【解答】证明：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵△DCE的面积与△DBF的面积相等，
BF⋅DM CE⋅DN
∴ = ，
2 2
∵CE＝BF，
∴DM＝DN，
∴点D在∠BAC的平分线上，
又∵A点也在∠BAC的平分线上，
∴AD平分∠BAC．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线的判定定理．
◆◆题型四 角的平分线的性质的实际应用
10．（2022秋•大连月考）如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN
上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P．
【分析】作∠AOB的角平分线OD，OD与MN的交点到∠AOB的两边OA，OB的距离相等．
【解答】解：如图所示：作∠AOB的平分线交MN于点P，点P即为该超市的位置．【点评】此题主要考查了角平分线的作法，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边
的距离相等．
◆◆题型五 与角的平分线有关的探究题
11．（2021秋•朝阳期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S ：S ＝ ；
△ABD △ACD
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S ：S 的值（用含m，n的代数
△ABD △ACD
式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S ＝
△BDE
6，那么S ＝ ．
△ABC
【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角形面积公式求出即可；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据三角形面积公式求出即可；
（3）根据已知和（1）（2）的结论求出△ABD和△ACD的面积，即可求出答案．
【解答】解：（1）过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
1 1
∴S ：S ＝（ ×BD×AE）：（ ×CD×AE）＝1：1，
ABD △ACD 2 2
故答案为：1：1；（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝m，AC＝n，
1 1
∴S ：S ＝（ ×AB×DE）：（ ×AC×DF）＝m：n；
ABD △ACD 2 2
（3）
∵AD＝DE，
∴由（1）知：S ：S ＝1：1，
△ABD △EBD
∵S ＝6，
△BDE
∴S ＝6，
△ABD
∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S ：S ＝AB：AC＝4：2＝2：1，
△ABD △ACD
∴S ＝3，
△ACD
∴S ＝3+6＝9，
△ABC
故答案为：9．
【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．
1．（2022春•六盘水期末）如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB＝5，DE＝2，则△ABD
的面积是（ ）A．5 B．7 C．7.5 D．10
【分析】过D点作DH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到DH＝DE＝2，然后根据三角形面积公
式计算．
【解答】解：过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC，DH⊥AB，
∴DH＝DE＝2，
1
∴S = ×5×2＝5．
△ABD 2
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2．（2022•雁塔区模拟）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．
若AD＝8，BC＝10，则△BCP的面积为（ ）
A．16 B．20 C．40 D．80
1
【分析】过P作PE⊥BC于E，根据角平分线的性质得出PE＝PA＝PD，求出PE＝PA＝PD= AD＝4，再
2
根据三角形的面积公式求出答案即可．
【解答】解：过P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，
∴∠BAP+∠CDP＝180°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAP＝90°，
∴∠CDP＝90°，
即AD⊥CD，
∵PE⊥BC，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，
∴PA＝PE，PE＝PD，
∴PA＝PD，
∵AD＝8，
∴PE＝PD＝AP＝4，
∵BC＝10，
1 1
∴△BCP的面积为 ×BC×PE= ×10×4=20．
2 2
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解
此题的关键．
3．（2022春•莲湖区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，如果AB＝4，BC＝6，△ABD的面积为
6，则△ABC的面积为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．15
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线的性质可得DE＝DF，根据
△ABD的面积可得DE的长，进一步可得DF的长，求出△BDC的面积，进一步可得△ABC的面积．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，如图所示：∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF，
∵AB＝4，△ABD的面积为6，
1
∴ ×4DE=6，
2
解得DE＝3，
∴DF＝3，
∵BC＝6，
1
∴△BDC的面积为 ×6×3=9，
2
∴△ABC的面积为6+9＝15，
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质，涉及三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
4．（2022秋•袁州区校级月考）如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与
AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝10，则PE的最小值为 ．
【分析】过E作EP⊥BC于P，此时PE的值最小，求出AD⊥CD，根据角平分线的性质求出 AE＝DE＝
PE，求出AE的长即可．
【解答】解：过E作EP⊥BC于P，此时PE的值最小，∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，
∴AE＝PE，ED＝PE，
∴AE＝ED＝PE，
∵AD＝10，
∴PE＝5，
即PE的最小值是5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
5．（2022秋•海安市月考）如图，已知△ABC的周长是13，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC
于D，且△ABC的面积为13，则OD长为 ．
【分析】连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到OD＝OE＝OF，根据三角形
的面积公式计算即可．
【解答】解：连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OD＝OE＝OF，
1 1 1
∴ ×AB×OE+ ×AC×OF+ ×CB×OD＝13，
2 2 2
1
即 ×（AB+AC+BC）×OD＝13，
2
解得，OD＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．6．（2022秋•下城区校级月考）如图，在∠AOB的边OA、OB上取点M、N，连接MN，P是△MON外
角平分线的交点，若MN＝2，△PMN的面积是2，△OMN的面积是7．则△MON的周长是 ．
【分析】过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为G，连
接OP，利用角平分线的性质可得PF＝PG＝PE，然后根据三角形的面积求出PF＝PE＝PG＝2，再利用
△OMP的面积+△ONP的面积﹣△PMN的面积＝7，进行计算即可解答．
【解答】解：过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为
G，连接OP，
∵P是△MON外角平分线的交点，
∴PF＝PG＝PE，
∵MN＝2，△PMN的面积是2，
1
∴ MN•PF＝2，
2
∴PF＝2，
∴PG＝PE＝2，
∵△OMN的面积是7，
∴△OMP的面积+△ONP的面积﹣△PMN的面积＝7，
1 1
∴ OM•PG+ ON•PE﹣2＝7，
2 2
∴OM+ON＝9，
∴△MON的周长＝OM+ON+MN＝11，
故答案为：11．
【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7．（2022•普定县模拟）如图，点M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，ME⊥OA于E，OE=√5，如果P是OB上一动点，则线段MP的取值范围是 ．
【分析】过M点作MF⊥OB于F，如图，先根据角平分线的性质得到ME＝MF，∠AOM＝30°，再利用含
√15 √15
30度角的直角三角形三边的关系得到ME= ，所以MF= ，然后根据垂线段最短可确定线段MP
3 3
的取值范围．
【解答】解：过M点作MF⊥OB于F，如图，
∵OM平分∠AOB，ME⊥OA，MF⊥OB，
1 1
∴ME＝MF，∠AOM= ∠AOB= ×60°＝30°，
2 2
在Rt△OME中，∵∠MOE＝30°，
√3 √3 √15
∴ME= OE= ×√5= ，
3 3 3
√15
∴MF= ，
3
∵P是OB上一动点，
∴MP≥MF，
√15
即线段MP的取值范围为MP≥ ．
3
√15
故答案为：MP≥ ．
3
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．
8．（2022春•金沙县期末）如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三
条角平分线的交点，则S ：S ：S 的值为（ ）
△OAB △OBC △OACA．4：3：2 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
【分析】根据角平分线的性质得到点O到AB、AC、BC的距离相等，设O到AB、AC、BC的距离为h，
1 1 1
利用面积公式得到S ：S ：S ＝（ •h•AB）：（ •h•BC）：（ •h•AC）．
△OAB △OBC △OAC 2 2 2
【解答】解：∵O是△ABC三条角平分线交点，
∴点O到AB、AC、BC的距离相等，
设O到AB、AC、BC的距离为h，
1 1 1
∴S ：S ：S ＝（ •h•AB）：（ •h•BC）：（ •h•AC）
△OAB △OBC △OAC 2 2 2
＝AB：BC：AC
＝16：12：8
＝4：3：2．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了三角形面积
公式．
9．（2022春•铜川期末）如图，在△ABC中，AB＝3BC，BD平分∠ABC交AC于点D，若△ABD的面积
为S ，△BCD的面积为S ，则关于S 与S 之间的数量关系，下列说法正确的是（ ）
1 2 1 2
A．S ＝4S B．S ＝3S C．S ＝2S D．S ＝S
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，由角平分线的性质得出DE＝DF，根据三角形面积可得出
答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，1 1
∵S ＝S = AB•DE，S ＝S = BC•DF，
1 △ABD 2 2 △DBC 2
1
AB⋅DE
S 2 AB
∴ 1= = ，
S 1 BC
2 BC⋅DF
2
∵AB＝3BC，
∴S ＝3S ．
1 2
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，证出DE＝DF是解题的关键．
10．（2021秋•如皋市期中）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射
线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD．
【分析】过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据垂直的定义得到∠PEC＝∠PFD＝90°，由OM是
∠AOB的平分线，根据角平分线的性质得到PE＝PF，利用四边形内角和定理可得到∠PCE+∠PDO＝
360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，则∠PCE＝∠PDF，然后根据“AAS”可判断
△PCE≌△PDF，根据全等的性质即可得到PC＝PD．
【解答】证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，
∴∠PEC＝∠PFD＝90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE＝PF，
∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，
∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
而∠PDO+∠PDF＝180°，
∴∠PCE＝∠PDF，
{∠PCE=∠PDF
在△PCE和△PDF中 ∠PEC=∠PFD，
PE=PF
∴△PCE≌△PDF（AAS），
∴PC＝PD．【点评】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．也考查了三角形全等
的判定与性质．
11.已知，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．
（1）如图1，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝1，AC＝3，求△ADC的面积．
【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠DBC＝30°，∠DCB＝20°，然后根据三角形内角和计算
∠BDC的度数；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，根据角平分线的性质得到DH＝DE＝DF＝1，然后根据三
角形面积公式计算△ADC的面积．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC
1 1
∴∠DBC= ∠ABC= ×60°＝30°，
2 2
∵CD平分∠ACB，
1 1
∴∠DCB= ∠ACB= ×40°＝20°，
2 2
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣30°﹣20°
＝130°；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝1，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，
∴DF＝DH＝1，
1 1 3
∴△ADC的面积= DF•AC= ×1×3= ．
2 2 2
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确作出辅助线是解
题关键．
12．（2021秋•江油市期中）△ABC中，AD平分∠BAC，
（1）求证S△ABD ：S△ADC ＝AB：AC；
（2）在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝6，求DC的长．
【分析】（1）过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DF，然后利
用三角形面积公式可得到结论；
（2）利用三角形面积公式得到S△ABD ：S△ADC ＝AB：AC，S△ABD ：S△ADC ＝BD：CD；则AB：AC＝BD：
5 5
CD，所以BD= CD，则 CD+CD＝6，然后解方程即可．
4 4
【解答】（1）证明：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
1 1
∴S△ABD ：S△ADC =
2
•AB•DE：
2
AC•DF＝AB：AC；
（2）∵S△ABD ：S△ADC ＝AB：AC，S△ABD ：S△ADC ＝BD：CD；
∴AB：AC＝BD：CD，即5：4＝BD：CD，
5
∴BD= CD，
4
∵BD+CD＝BC＝6，
5
∴ CD+CD＝6，
4
8
∴CD= ．
3
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面
积．
13．（2022春•凤翔县期末）如图，在△ABC中，O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB，
OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D，E，F．
（1）OD与OE是否相等．请说明理由；
（2）若△ABC的周长是30，且OF＝3，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据角平分线性质求出OD＝OF，OF＝OE，即可得出结论；
（2）连接OA，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）OD＝OE，
理由：∵O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OD＝OF，OF＝OE，
∴OD＝OE；
（2）连接OA，
1 1 1
∴△ABC的面积＝S
△AOB
+S
△BOC
+S
△AOC
=
2
AB•OD+
2
BC•OF+
2
AC•OE，∵OE＝OD＝OF，
1 1
∴△ABC的面积= （AB+BC+AC）•OF= ×30×3＝45．
2 2
【点评】本题考查了角平分线性质的应用，能正确运用角平分线性质进行推理是解此题的关键，注意：
角平分线上的点到角两边的距离相等．
14．（2021秋•广汉市期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，
连接DE．
（1）求证：点E到DA，DC的距离相等；
（2）求∠DEB的度数．
【分析】（1）过E作EH⊥AB于H，EF⊥BC于F，EG⊥AD于G，求出∠HAE＝∠CAD，根据角平分线性
质求出EH＝EG，EF＝EH，即可得出答案；
（2）根据角平分线性质求出∠ADE＝∠CDE，根据三角形外角性质得出即可．
【解答】（1）证明：过E作EH⊥AB于H，EF⊥BC于F，EG⊥AD于G，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，
∵∠CAH＝180°﹣120°＝60°，
∴AE平分∠HAD，
∴EH＝EG，
∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，
∴EH＝EF，
∴EF＝EG，
∴点E到DA、DC的距离相等；
（2）解：∵由（1）知：DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝∠DEB+∠DBE，
1 1
∴ ∠CDA= ∠DEB+ ∠ABC，
2 21 1
∴∠DEB= （∠CDA﹣∠ABC）= ∠BAD＝30°．
2 2
【点评】本题考查了角平分线性质，能熟记角平分线性质的内容是解此题的关键，注意：在角的内部，
到角的两边距离相等的点在角的平分线上；角平分线上的点到角两边的距离相等．
15．（2021秋•梁平区期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，
DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
【分析】（1）连接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质，即
可得DE＝DF，又由DG⊥BC且平分BC，根据线段垂直平分线的性质，可得 BD＝CD，继而可证得
Rt△BED≌Rt△CFD，则可得BE＝CF；
（2）首先证得△AED≌△AFD，即可得AE＝AF，然后设BE＝x，由AB﹣BE＝AC+CF，即可得方程5﹣x＝
3+x，解方程即可求得答案．
【解答】（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
{BD=CD
，
DE=DF
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，
{∠AED=∠AFD=90°
∠EAD=∠FAD ，
AD=AD
∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．
【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度
适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解．
16．（2022 春•福州期末）在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，BD 平分∠ABC，M 为直线 AC 上一动点，
ME⊥BC，E为垂足，∠AME的平分线交直线AB于点F．
（1）如图1，点M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是 ，并证明；
（2）如图2，点M为边CA延长线上一点，则BD、MF的位置关系是 ，并证明；
（3）如图3，点M为边AC延长线上一点，补全图形，并直接写出BD、MF的位置关系是 .
【分析】（1）根据角平分线的性质及平行线的判定；
（2）根据三角形的内角和定理及垂直的判定；
（3）根据三角形的内角和定理及垂直的判定．【解答】
解：BD∥MF，理由如下：
（1）过点D作DH⊥BC，
∵∠A＝∠BHD＝90°，∠ABD＝∠CBD，AD＝AD，
∴△ABD≌△HBD（AAS），
∴∠ADB＝∠HDB，
又∵∠AMF＝∠CMF，MF⊥DH，
∴∠AMF＝∠ADB，
∵FM∥BD．
（2）BD⊥MF，理由如下：
延长MF交BD于点H，
∵∠BAM＝∠BEM＝90°，∠AOM＝∠BOE，
∴∠ABC＝∠CME，
∴∠AMF＝∠ABD．
∵∠AFM＝∠BFM，
∴∠BHM＝∠MAB＝90°，
∴MF⊥BD．
（3）如下图：MF⊥BD．
证明方法同理（2）.
【点评】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的内角和、平行线的判定及垂直的判定，是一道综合题．
