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专题4.22 单角平分线（专项练习）
一、单选题
1．如果OC是∠AOB的平分线，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠AOC=∠BOCB．2∠AOC=∠AOB C．∠AOB=2∠BOC D．∠AOB=∠AOC
2．如图,OC是∠AOB的平分线,∠BOD= ∠COD,∠BOD=15°．则∠AOB等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线 相交于点 射线 平分 若 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，O为直线 上一点， 平分 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．长方形如图折叠，D点折叠到 的位置，已知∠ FC＝40°，则∠EFC＝（ ）A．120° B．110° C．105° D．115°
6．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，
∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
7．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则
∠MOD的度数是（ ）
A．20°或50° B．20°或60° C．30°或50° D．30°或60°
8．如图， ，OC平分 且 ，则 的度数为（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，直线 相交于点 ， 平分
，射线 将 分成了角度数之比为 的两个角，则 的大小为（ ）A． B． C． 或 D． 或
10．如图，直线 与 相交于点 ，一直角三角尺 的直角顶点与
点 重合， 平分 ，现将三角尺 以每秒 的速度绕点 顺时针旋转，同时直
线 也以每秒 的速度绕点 顺时针旋转，设运动时间为 秒（ ），当 平分
时， 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
二、填空题
11．如图，O是AB上一点，OD平分∠BOC，∠1＝20°，∠2的度数是__________．
12．如图，∠AOC＝90°，OC平分∠DOB，且∠DOC＝22°39′，∠BOA度数是_____．
13．如图，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且OB恰好平分∠COD，则∠AOD的度数是____度．
14．如图，已知直线AB与CD相交于点O，OA平分∠COE，若∠DOE＝70°，则
∠BOD＝_____．
15．如图，直线 AB ，CD 相交于点O ，若∠EOC ：∠EOD=4 ：5 ，OA平分
∠EOC ，则∠BOE=___________．
16．如图， 平分 ， 平分 ， ，则 的度数为
________．
17．已知∠AOB=3∠BOC,射线OD平分∠AOC,若∠BOD=30°,则∠BOC的度数为
________.
18．如图所示， ， ，OC平分 ，则 ________.三、解答题
19．如图，点 是直线 上一点， 平分 ， ，若 ，
求 的度数．
20．如图， ，射线AC平分 ．
(1) 当 时， ______°；
(2) 当 时，求 的度数．
21．如图， 为直线 上一点， ， 平分 ， ．
(1) 求出 的度数；
(2) 试判断 是否平分 ，并说明理由．22．如图所示，直线AB，CD相交于点O， ，OF平分 ．
(1)判断OF与OB的位置关系，并说明理由．
(2) ，求 的度数．
23．阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：如图1，∠AOB＝100°，OC平分∠AOB，若∠BOD
＝20°，请你补全图形，并求∠COD的度数．以下是小明的解答过程：
解：如图2，因为OC平分∠AOB，∠AOB＝100°，
所以∠BOC＝______∠AOB＝______°
因为∠BOD＝20°，
所以∠COD＝______＝______°
小静说：“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是OD在∠AOB外部的情况，事实
上，OD还可能在∠AOB的内部”．完成以下问题：
(1)请你将小明的解答过程补充完整；
(2)根据小静的想法，请你在图3中画出另一种情况对应的图形，并求出此时∠COD的
度数．
24．如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=70°，将一块直角三角板
DOE直角顶点放在点O处．
(1)如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则
∠COE=____________°；
(2)如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分
∠BOE，求∠BOD、∠COE的度数；
(3)如图3，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想
∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．参考答案
1．D
分析：根据题意画出图形，再根据角平分线的定义即可得出结论．
解：如图所示，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC=∠BOC，故A正确；
∴2∠BOC=2∠AOC=∠AOB，故B，C正确；
∴∠AOB=2∠AOC，故D错误．
故选D．
【点拨】本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相
等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．
2．D
【分析】根据已知，先求出∠COD的度数，用角的减法求出∠BOC的度数，再根据
角的平分线的定义即可求解.
解：∵ ．
∴∠COD=45°
∴∠BOC=∠COD-∠BOD=30°
∵OC是∠AOB的平分线
∴∠AOB=2∠BOC=60°
故选：D
【点拨】本题考查的是角的加减，掌握角平分线的定义及能从图形找到角之间的关系是关键.
3．A
【分析】先求出∠AOD=180°-∠AOC，再求出∠BOD=180°-∠AOD，最后根据角平分
线平分角即可求解．
解：由题意可知：∠AOD=180°-∠AOC=180°-42°=138°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=42°，
又∵OM是∠BOD的角平分线，
∴∠DOM= ∠BOD=21°，
∴∠AOM=∠DOM+∠AOD=21°+138°=159°．
故选：A．
【点拨】本题考查了角平分线的性质及平角的定义，熟练掌握角平分线的性质和平角
的定义是解决此类题的关键．
4．A
【分析】根据角平分线的定义得到∠COD，从而得到∠BOD，再根据∠BOD=4∠DOE
即可求出结果．
解：∵OC平分∠AOD，
∴∠AOC=∠COD=50°，
∴∠BOD=180°-2×50°=80°，
∵∠BOD=4∠DOE，
∴∠DOE= ∠BOD=20°，
故选A．
【点拨】本题主要考查角的计算的知识点，运用好角的平分线这一知识点是解答的关
键．
5．B
【分析】根据翻折不变性可知，∠DFE=∠D′FE，又因为∠D′FC=40°，根据平角的定义，
可求出∠EFC的度数．
解：根据翻折不变性得出，∠DFE=∠EFD′，
∵∠D′FC=40°，∠DFE+∠EFD′+∠D′FC=180°，
∴2∠EFD′=180°-40°=140°，
∴∠EFD′=70°，∴∠EFC=∠EFD′+∠D′FC=70°+40°=110°．
故选B．
【点拨】此题考查了角的计算和翻折变化，掌握长方形的性质和翻折不变性是解题的
关键．
6．A
【分析】依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据
∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣
∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．
解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故选：A．
【点拨】本题考查了角平分线的定义和三角形内角和定理，解决问题的关键是三角形
外角性质以及角平分线的定义的运用．
7．C
解：分为两种情况：如图1，当∠AOB在∠AOC内部时，
∵∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，
∴∠AOC=80°，
∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，
∴∠AOD=∠BOD= ∠AOB=10°，∠AOM=∠COM= ∠AOC=40°，
∴∠DOM=∠AOM-∠AOD=40°-10°=30°；
如图2，当∠AOB在∠AOC外部时，
∠DOM═∠AOM+∠AOD=40°+10°=50°；
故选：C．8．B
【分析】根据OC平分 且 可得 ，再结合 即
可求得答案．
解：∵OC平分 且 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键．
9．C
【分析】设∠DOE=x°，∠BOD=2x°或 x°，表示出其他角，根据平角列方程即可．
解：设∠DOE=x°，射线 将 分成了角度数之比为 的两个角，
当∠DOE:∠BOD=2:1时，∠BOD= x°， = x°，
∵ 平分 ，
∴ = x°，
∵ ∠COD=180°，
∴ x+ x+90+ x=180，解得，x=45；
∠COF=2∠AOC=45°；
当∠BOD: ∠DOE =2:1时，∠BOD=2x°， =2x°，
同理， =2x°，
2x+2x+90+ x=180，
解得：x=18，
∠COF=2∠AOC=72°；
故选：C．
【点拨】本题考查了角的运算、角的度量和角平分线，解题关键是根据角度比设未知
数，表示出其他角，然后根据平角列方程，注意：分类讨论．
10．D
【分析】分两种情况进行讨论：当转动较小角度的 平分 时， ；
当转动较大角度的 平分 时， ；分别依据角的和差关系进行计算即可
得到 的值．
解：分两种情况：
①如图 平分 时， ，
即 ，
解得 ；
②如图 平分 时， ，
即 ，
解得 ．综上所述，当 平分 时， 的值为2.5或32.5．
故选： ．
【点拨】本题考查角的动态问题，理解题意并分析每个运动状态是解题的关键．
11．80°
【分析】首先根据邻补角的定义求得∠BOC的度数，再利用角平分线的定义和特征，
求出∠2的度数是多少即可．
解： ∠1=20°，
∠BOC=180°-∠1=180°-20°=160°，
OD平分∠BOC ，
∠2=80°，
故答案为：80°．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义和特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要
明确：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
12．
【分析】根据角平分线的性质，求解即可．
解：∵OC平分∠DOB，
∴∠BOC＝∠DCO＝22°39′
∵∠AOC＝90°，
∴∠BOA＝90°﹣∠BOC＝90°﹣22°39′＝67°21′
故答案为：67°21′．
【点拨】此题考查了角平分线的有关性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
13．135°
【分析】本题是有公共定点的两个直角三角形问题，通过图形可知
∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，同时∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC=180°，可
以通过角平分线性质求解．
解：∵OB平分∠COD，
∴∠COB=∠BOD=45°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC=45°，
∴∠AOD=135°．
故答案为135．【点拨】本题考查的知识点是角的平分线与对顶角的性质，解题关键是熟记角平分线
的性质是将两个角分成相等的两个角．
14．55°
分析：首先根据平角的性质得出∠COE的度数，根据角平分线的性质得出∠AOC的度
数，最后根据对顶角的性质得出答案．
解：∵∠COE+∠DOE=180°，∠DOE=70°， ∴∠COE=110°，
∵OA平分∠COE， ∴∠AOC=110°÷2=55°， ∴∠BOD=∠AOC=55°．
点睛：本题主要考查的是角平分线的性质以及对顶角的性质，属于基础题型．在计算
角度问题的时候，我们一定要找出很多的隐含条件，如：对顶角，邻补角等等．
15．140°
【分析】直接利用平角的定义得出：∠COE=80°，∠EOD=100°，进而结合角平分线的
定义得出∠AOC=∠BOD，进而得出答案．
解：∵∠EOC：∠EOD=4：5，
∴设∠EOC=4x，∠EOD=5x，
故4x+5x=180°，
解得：x=20°，
可得：∠COE=80°，∠EOD=100°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠COA=∠AOE=40°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=140°．
故答案为140°.
【点拨】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角，正确把握相关定义是解题关键.
16．
【分析】根据角平分线的性质计算出 ， ，再根据角
的关系，即可求解．
解：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了角的平分线定义及性质，熟练掌握角平分线的意义是解本题的关
键．17．15°或30°．
【分析】根据题意先画出图形，分两种情况讨论∠BOC在∠AOB内部和∠BOC在
∠AOB外部时，先根据∠AOB=3∠BOC，可设∠BOC=x，则∠AOB=3x，再根据角平分线
的定义，将各个角用含有x的式子表示，最后根据∠BOD=30°，即可求出x的值，从而得
出∠BOC的度数．
解：如图1，当∠BOC在∠AOB内部时，
∵∠AOB=3∠BOC，
∴设∠BOC=x，则∠AOB=3x，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=2x，
∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC= ∠AOC=x，
∴∠BOD=∠DOC+∠BOC=2x，
∵∠BOD=30°，
∴2x=30°，
∴x=15°，
即∠BOC=15°；
如图2，当∠BOC在∠AOB外部时，
∵∠AOB=3∠BOC，
∴设∠BOC=x，则∠AOB=3x，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=4x，∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC= ∠AOC=2x，
∴∠BOD=∠DOC-∠BOC=x，
∵∠BOD=30°，
∴x=30°，
即∠BOC=30°．
∴∠BOC的度数为：15°或30°．
故答案为15°或30°．
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质以及角的计算，根据已知画出相应的图形是
本题的关键，注意有两种情况，不要漏解．
18．40°
【分析】由题意可知∠1+∠2=100°，从而得到∠BOD=80°，由角平分线的定义可得到
结论．
解：∵∠1=28°，∠2=72°，
∴∠1+∠2=100°，
∴∠BOD=80°．
∵OC平分∠BOD，
∴∠COD=∠BOC 40°．
故答案为40°．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，掌握图形间角的和差关系是解题的关键．
19．
【分析】先由邻补角定义求出∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°，再根据角平分线定义得到
∠COD ∠BOC＝70°，那么∠DOE＝∠COE﹣∠COD＝20°．
解： 是直线 上一点， ，
.
平分 ，
.
，.
【点拨】本题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义，以及邻补角的
定义是解题的关键．
20．(1)50(2)22°
【分析】（1）用∠BAD减∠CAD，即可求解．
（2）根据 与 ，可得 ．
再由射线AC平分 ，可得 ，即可求解．
（1）解：∵ ， ，
∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=50°；
故答案为∶50
（2）解：∵ ， ，
∴ ．
∵射线AC平分 ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查有关角平分线的计算，掌握图形间角的和、差、倍、分关系是解题
的关键．
21．(1) (2) 平分 ；理由见分析．
【分析】（1）根据角平分线的性质可得 ，根据邻补角求得
，根据 即可求解；
（2）分别计算 ，可得 ，即可求解．
解：（1）∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2） 平分 ，
理由如下：
∵ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ 平分 ．
【点拨】本题考查了几何图形中角度计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．
22．(1)OF⊥OB，理由见分析(2)60°
【分析】（1）直接利用角平分线的定义以及结合邻补角的定义得出答案；
（2）结合已知得出∠EOF的度数，再利用角平分线的定义得出答案．
解：（1）OF⊥OB
理由如下：
∵∠BOD＝∠BOE
∴OB平分∠DOE
∴∠BOE＝∠BOD＝ ∠DOE
∵OF平分∠COE
∴∠COF＝∠EOF＝ ∠COE
∴∠BOF＝∠BOE＋∠EOF
＝ ∠DOE＋ ∠COE
＝ （∠DOE＋∠COE）
＝ ∠COD
＝ ×180°
＝90°
∴OF⊥OB
（2）设∠AOC＝x°，∠AOD＝5x°∵∠AOC＋∠AOD＝180°
∴x＋5x＝180
x＝30
∴∠AOC＝30°，∠AOD＝150°
∴∠BOE＝∠BOD＝∠AOC＝30°
由（1）得∠BOF＝90°
∴∠EOF＝∠BOF－∠BOE
＝90°－30°
＝60°
【点拨】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的定义，正确得出各角之间关系
是解题关键．
23．(1) ，50°，∠BOC＋∠BOD，70°(2)画图见分析，∠COD＝30°
【分析】（1）根据角的平分线定义即可进行填空；
（2）结合（1）即可画出另一种情况对应的图形，进而求出此时∠COD的度数．
解：（1）因为OC平分∠AOB，∠AOB=100°，
所以∠BOC= ∠AOB=50°．
因为∠BOD=20°，
所以∠COD=∠BOC+∠BOD=70°．
故答案为： ，50，∠BOC+∠BOD，70；
（2）如图3，
因为OC平分∠AOB，∠AOB＝100°，所以
因为∠BOD＝20°，
所以∠COD＝∠BOC－∠BOD＝50°－20°＝30°．
【点拨】本题考查角的计算，解答本题的关键是明确题意，求出相应的角的度数，利
用数形结合的思想解答．
24．(1)20(2)∠BOD=50°；∠COE=70°(3)∠COE﹣∠BOD=20°，理由见分析
【分析】（1）根据图形得出∠COE=∠DOE-∠BOC，代入求出即可；
（2）根据角平分线定义求出∠EOB=2∠BOC=140°，代入∠BOD=∠BOE-∠DOE，求出
∠BOD，代入∠COD=∠BOC-∠BOD即可求解；
（3）根据图形得出∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，相减即
可求出答案．
（1）解：如图①，∠COE=∠DOE-∠BOC=90°-70°=20°，
故答案为：20；
（2）如图②，∵OC平分∠EOB，∠BOC=70°，
∴∠EOB=2∠BOC=140°，
∵∠DOE=90°，
∴∠BOD=∠BOE-∠DOE=50°，
∵∠BOC=70°，
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=20°,
∴∠COE=∠EOD-∠COD=70°；
（3）∠COE-∠BOD=20°理由是：如图③，
∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，
∴（∠COE+∠COD）-（∠BOD+∠COD）
=∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD=∠COE-∠BOD=90°-70°=20°，
即∠COE-∠BOD=20°．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，角的计算的应用，能根据图形求出各个角的度
数是解此题的关键．
