跟踪训练02二项式定理（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）_第九章统计与概率

跟踪训练 02 二项式定理 一．选择题（共15小题） 1．把二项式 的所有展开项重新排列，记有理项都相邻的概率为 ，有理项两两 不相邻的概率为 ，则 A．5 B． C．4 D． 【解答】解：根据二项式的展开式： ， ，1， ， ， 当 ，2，4，6，8时， 故有5项有理项，4项无理项； 故 ， ， 所以 ． 故选： ． 2． 的展开式的常数项为 A．15 B．16 C．120 D．124 【解答】解： ， 展开式中的常数项为 ， 中含 的项为 ， 所以 的常数项为 ， 因此 的展开式的常数项为 ． 故选： ．3．在二项式 的展开式中，含 项的系数是 A．15 B．30 C．40 D．45 【 解 答 】 解 ： 可知含 项的系数是 ． 故选： ． 4．设 ，则 等于 A．45 B．84 C．120 D．165 【解答】解：依题意， ． 故选： ． 5． 的展开式中 的系数为 A．40 B．80 C． D． 【解答】解：根据题意，要找出 的展开式中 的系数， 等价于找到 式中 ， ， 几项的系数， 通项公式为 ， 当 时， ，系数为 ， 当 时， ，系数为 ， 当 时， ，系数为 ， 则 的展开式中 的系数为 ．故选： ． 6．设 ，下列一定不是二项式 展开式中的项的是 A．6 B． C． D． 【解答】解：展开式的通项公式为 ， ．当 时，为常数项，此时 ， 为偶数， 当 时， ，此时 ， ，故 有可能， ．当 时，此时 ， 为偶数， 当 时， ，此时 ， ，故 有可能， ．当 时，此时 ， 当 时， ，此时 ，但此时 ，故 没有可能， ．当 时，此时 ， 为偶数， 当 时， ，此时 ，此时 ，故 有可能， 故选： ． 7． 的展开式中 的系数是 A．9 B． C．10 D． 【解答】解：由于 ， 所以 的展开式中 的系数是 展开式中 的系数和 的系数 和， 的展开式中第 项为 ， 分别令 和 ，得到 的展开式中 的系数 和 的系数 ， 因此 的展开式中 的系数是 ．故选： ． 8．二项式 的展开式中 的系数为 A． B．21 C．36 D． 【解答】解：二项式 的通项公式为： ． 所以令 ，解得 ， 所以展开式中 的系数为 ． 故选： ． 9． 的展开式中， 的系数为 A．200 B．40 C．120 D．80 【解答】解：根据 的展开式 ， ，2， ，5， ； ①当 时，与 配对得到的系数为 ， ②当 时，与 配对得到的系数为 ． 故 的系数为 ． 故选： ． 10．已知 是数列 的前 项和，若 ，数列 的首项 ， ，则 A． B． C．2021 D． 【解答】解：令 ，得 ． 又因为 ，所以 ．由 ，得 ， 所以 ， 所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列， 所以 ， 所以 ，所以 ． 故选： ． 11．已知 的展开式中唯有第5项的系数最大，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【解答】解： 的展开式的通项为 ， 由题可知 ，解得 ． 故选： ． 12．设 ，则 A． B． C． D． 【解答】解：因为 ， 令 ，可得 ， 令 ，可得 ， 所以 ． 故选： ．13．已知随机变量 ，且 ，则 的展开式中 的系数为 A．40 B．120 C．240 D．280 【解答】解： 随机变量 ，且 ， ， 设 的展开式通项公式为， ， ，1，2， ， 的展开式通项公式为 ， ，1，2，3， ， 的展开式中 的指数为2， ，解得 或 ， 的展开式中 的系数为 ． 故选： ． 14． 展开式中 的系数为 A．42 B．48 C．84 D．96 【解答】解： ， 的第 项为 ， ，1， ， ， 的系数为42． 故选： ． 15． 展开式中 的系数为A． B． C．40 D．80 【解答】解：根据 的展开式通项 ， 当 时，系数为 ； 当 时，系数为 ； 故 的系数的和为 ． 故选： ． 二．多选题（共5小题） 16．关于 的展开式，下列结论正确的是 A．所有项的二项式系数和为32 B．所有项的系数和为0 C．常数项为 D．二项式系数最大的项为第3项 【解答】解：因为 ， 故所有项的二项式系数和为 ，故 错误； 令 可得所有项的系数和为 ，故 正确； 由于展开式的通项为 ， 令 ，可得常数项为 ，故 正确； 由于展开式中一共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，故 错误． 故选： ． 17．若 ， ，则 A． B． C． D．【解答】解： ，令 ，得 ， 错误， 正确； 令 ，得 ， 正确， 错误． 故选： ． 18．关于 及其展开式，下列说法正确的是 A．展开式中各项系数和为1 B．展开式中第11项的二项式系数 最大 C．展开式中第16项为 D．当 时， 除以3的余数是1 【解答】解：令 ，可得展开式中各项系数和为 ，故 错误； 因为20是偶数，所以展开式中中间项第11项的二项式系数 最大，故 正确； 展开式中的第16项为 ，故 错误； 当 时， ， 其中 能被3整除， 所以 除以3的余数是1，故 正确． 故选： ． 19．关于 及其展开式，下列说法正确的是 A．该二项展开式中所有项系数和为0 B．该二项展开式中第七项为 C．该二项展开式中不含有理项 D．当 时， 除以10的余数是1【解答】解： 展开式通项为 ， ， ， 令 得所有项系数和为0，故 正确， 第七项为 ，故 错误； 当 为偶数时，该项为有理项，故 错误； 当 时，原式为 ， 由二项式定理知展开式中只有最后一项1无法被10整除， 故原式除以10的余数为1，故 正确． 故选： ． 20．设 ，下列结论正确的是 A． B． C． D．在 ， ， ， 中， 最大 【解答】解： ，令 ，则 ， 令 ，则 ， ， 正确， ， ， 其展开式的通项公式为 ， ， ， ， 正确， ， ， 令 ，则 ， 错误， ， ， ， ， 为负数， 最大项在 ， ， ， 中，， ， ， ， 最大项为 ， 正确， 故选： ． 三．填空题（共5小题） 21． 的二项展开式中 项的系数为 21 0 ． 【解答】解：由题意可知二项式的展开式的通项公式为 ， ， 1， ，10， 令 ，解得 ， 则展开式中含 的项的系数为 ． 故答案为：210． 22．在二项式 的展开式中只有第4项二项式系数最大，则展开式中的常数项为 ． 【解答】解：因为二项式 的展开式中只有第4项二项式系数最大， 故二项式 的展开式有7项，则 ， 故 的通项公式为 ， ，1，2， ，6，令 ． ， 故展开式中的常数项为 ． 故答案为： ． 23． 展开式中 项的系数为 （用数字作答） 【解答】解：展开式的通项公式为 ，令 ，则 ， 所以 的系数为 ， 故答案为： ． 24．若 的二项展开式中，各项系数之和为64，则展开式中的常数项为 1 5 ． 【解答】解：令 ，可得各项系数之和为 ，解得 ， 则 的二项展开式为 ， 令 ，解得 ， 所以展开式中的常数项为 ． 故答案为：15． 25． 展开式中的常数项是 ．（用数字作答） 【解答】解：由 展开式的通项公式 可得： 当 时，即 时，该项为常数项， 即 展开式中的常数项是 ， 故答案为： ． 四．解答题（共3小题） 26．已知 ，二项式 ． （1）若该二项展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中 的系数； （2）若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式中系数最大的项． 【解答】解：（1）二项式 的第4项与第8项的二项式系数相等， 故 ，故 ；所以 的二项式展开式 ， 令 ，解得 ， 故展开式中 的系数为 ． （2）二项式 展开式的前三项的系数为 ， ， ， 故 ，解得 或1（舍去）； 故 ， 设第 项的系数最大，故 ，解得 ， 故系数的最大项为 ， ． 27．已知在 的展开式中，前3项的系数成等差数列，求： （1）展开式中二项式系数最大项的项； （2）展开式中系数最大的项； （3）展开式中所有有理项． 【解答】解：由题知 ， 可得 或 （舍去）． （1）二项式展开式中二项式系数最大的项为： ． （2）记第 项系数为 ，记第 项系数最大，则有 ，且 ． 又 ，于是有 ，解得 ． 所以系数最大项为第3项 和第4项 ． （3）通项 ， 令 ，1，2， ， 所以只有当 ，6时，对应的项才为有理项． 有理项为 ， ． 28．已知 的展开式中的二项式系数之和比各项系数之和大129． 求展开式中有理项的系数． 【 解 答 】 解 ： 展 开 式 的 通 项 公 式 ， ，1，2，3，4，5，6， ， 则当 时， ，此时为有理项 ， 则有理项的系数为560．