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专题27 和三角板有关的角度计算
1．如图，直线 与 相交于点 ， ，将一直角三角尺的直角顶点与 重合，直
角边 与 重合， 在 内部．操作：将三角尺绕点 以每秒 的速度沿顺时针方向旋
转一周，设运动时间为 ．
（1）当 为何值时，直角边 恰好平分 ？此时 是否平分 ？请说明理由；
（2）若在三角尺转动的同时，直线 也绕点 以每秒 的速度顺时针方向旋转一周，当一方先
完成旋转一周时，另一方同时停止转动．
①当 为何值时， 平分 ？
② 能否平分 ？若能请直接写出 的值；若不能，请说明理由．
2．点 为直线 上一点，过点 作射线 ，使 ，将一直角三角板的直角顶点放在
点 处．
（1）如图①，将三角板 的一边 与射线 重合时，则 ；
（2）如图②，将三角板 绕点 逆时针旋转一定角度，此时 是 的角平分线，求旋
转角 和 的度数；
（3）将三角板 绕点 逆时针旋转至图③时， ，求 的度数．3．将一副三角板 和三角板 按不同的位置
摆放．
（1）如图1，若边 、 在同一直线上，则 ；
（2）如图2，若 ，那么 ；
（3）如图3，若 ，求 的度数．
4．已知将一副三角板（直角三角板 和直角板 ， ， ，
，
（1）如图1摆放，点 、 、 在一条直线上， 的度数是 ；
（2）如图2，变化摆放位置将直角三角板 绕点 逆时针方向转动，若要 恰好平分 ，
则 的度数是 ；
（3）如图 3，当三角板 摆放在 内部时，作射线 平分 ．射线 平分
，如果三角板 在 内绕点 任意转动， 的度数是否发生变化？如果不变，
求其值；如果变化，说明理由．
5．如图1，点 为直线 上一点，过 点作射线 ，使 ，将一直角三角板
的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 在直线 的下方．
（1）将图1中的三角板绕点 按逆时针方向旋转至图2的位置，使得 落在射线 上，此时
三角板旋转的角度为 度；
（2）继续将图2中的三角板绕点 按逆时针方向旋转至图3的位置，使得 在 的内部．试探究 与 之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）在上述直角三角板从图1开始绕点 按 每秒的速度逆时针旋转 的过程中，是否存在
所在直线平分 和 中的一个角， 所在直线平分另一个角？若存在，直接写出
旋转时间 ，若不存在，说明理由．
6．将一副三角板按图1摆放在直线 上， 平分 ， 平分 ．
（1） ； ；
（2）如图2，若将三角板 绕 点以 秒的速度顺时针旋转 秒 ，求 的度数；
（3）如图3，三角板 绕 点以 秒的速度顺时针旋转，同时，三角板 绕 点以
秒的速度逆时针旋转，当 与 边首次重合时两三角板都停止运动，若运行 秒时，有
成立，试求此时 与 的关系．
7．如图，将一副三角尺的两个直角顶点 重合在一起，在同一平面内旋转其中一个三角尺．
（1）如图1，若 ，则 ．
（2）如图2，若 ，则 ．
（3）如图1，请猜想 与 的关系，并写出理由．
8．如图，两个形状．大小完全相同的含有 、 的三角板如图放置， 、 与直线 重合，且三角板 ，三角板 均可以绕点 逆时针旋转．
（1）试说明： ；
（2）如图，若三角板 的边 从 处开始绕点 逆时针旋转一定角度， 平分 ，
平分 ，求 ；
（3）如图，若三角板 的边 从 处开始绕点 逆时针旋转，转速为 秒，同时三角板
的边 从 处开始绕点 逆时针旋转，转速为 秒，在两个三角板旋转过程中 转
到与 重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为 秒，则 ，
（用含有 的代数式表示，并化简）；以下两个结论：① 为定值；②
为定值，正确的是
（填写你认为正确结论的对应序号）．
9．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点 按如图方式叠放在一起：
（1）若 ，则 的度数为 ；
（2）若 ，求 的度数；
（3）猜想 与 的大小关系，并说明理由；
（4）三角尺 不动，将三角尺 的 边与 边重合，然后绕点 按顺时针或逆时针．方
向任意转动一个角度，当 等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂
直，直接写出 角度所有可能的值，不用说明理由．
10．将一副三角尺的两个直角顶点 重合在一起，如图那样摆放．（1）如果重叠在一起时， ，则 度；
（2）如果重叠在一起时， ，则 度；
（3）请猜想：不论旋转道何种位置，只要重叠在一起（重叠部分的角度大于 且小于 ，
和 的和始终等于 度，并试说明理由．
11．如图 1，直线 上有一点 ，过点 在直线 上方作射线 ．将一直角三角板
的直角顶点放在点 处，一条直角边 在射线 上，另一边 在直线
上方．将直角三角板绕着点 按每秒 的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为 秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时， 恰好平分 ，此时， 与 之间有
何数量关系？并说明理由．
（2）若射线 的位置保持不变，且 ．
①则当旋转时间 秒时，边 所在的直线与 平行？
②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线 ， 与 中的某一条射线是另两条射线
所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的 的取值．若不存在，请说明理由．
③在旋转的过程中，当边 与射线 相交时（如图 ，求 的值．
12．如图 1，点 为直线 上一点，过 点作射线 ，使 ，将一直角
的直角顶点放在点 处，边 在射线 上，另一边 在直线 的下方，绕点 逆时
针旋转 ，其中旋转的角度为（1）将图1中的直角 旋转至图2的位置，使得 落在射线 上，此时 为 度．
（2）将图1中的直角 旋转至图3的位置，使得 在 的内部，试探究 与
之间满足什么样的等量关系，并说明理由．
（3）若直角 绕点 按每秒 的速度顺时针旋转，当直角 的直角边 所在直线恰
好平分 时，求此时直角 绕点 的运动时间 的值．
13．如图1，点 为直线 上一点，过点 作射线 ，使 ，将直角三角板
的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 在直线 的下方．
（1）在图1中， ， ．
（2）将图1中的三角板按图2的位置放置，使得 在射线 上，则 ；
（3）将上述直角三角板按图3的位置放置，使得 在 的内部，求 的度
数．
14．如图，两个形状，大小完全相同的含有 ， 的三角板如图①放置， ， 与直线
重合，且三角板 与三角板 均可绕点 逆时针旋转．（1）试说明： ；
（2）如图②，若三角板 的边 从 处开始绕点 逆时针旋转一定度数， 平分 ，
平分 ，求 ．
（3）如图③，若三角板 的边 从 处开始绕点 逆时针旋转，转速为 ．同时三角板
的边 从 处开始绕点 逆时针旋转，转速为 ，在两个三角板旋转过程中 转到
与 重合时，三角板都停止转运），问 的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说
明理由．
15．如图1， 为直线 上一点，过点 作射线 ， ，将一直角三角板
的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 与 都在直线 的上方．
（1）将图1中的三角板绕点 以每秒 的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过 秒后，
恰好平分 ．
①此时 的值为 ；（直接填空）
②此时 是否平分 ？请说明理由；
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线 也绕 点以每秒 的速度沿顺时针
方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间 平分 ？请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，经过多长时间 平分 ？请画图并说明理由．
16．如图1，点 为直线 上一点，过点 作射线 ，使 ．将一直角三角板的直
角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 在直线 的下方．（1）将图1中的三角板绕点 逆时针旋转至图2，使一边 在 的内部，且恰好平分
．问：此时直线 是否平分 ？请说明理由．
（2）将图1中的三角板绕点 以每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒
时，直线 恰好平分锐角 ，求 的值．
（3）将图1中的三角板绕点 顺时针旋转至图3，使 在 的内部，试探索：在旋转过程
中， 与 的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范
围．
17．如图 1， 为直线 上一点，过点 作射线 ， ，将一直角三角板
的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 与 都在直线 的上
方．
（1）将图1中的三角板绕点 以每秒 的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过 秒后
恰好平分 ，则 （直接写结果）
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线 也绕 点以每秒 的速度沿顺时针
方向旋转一周，如图3，那么经过多少秒后 平分 ？请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，那么经过多少秒 ？请说明理由．
18．如图，点 为直线 上一点，过点 作射线 ，使 ，将一个含 角的直角
三角尺的一个顶点放在点 处，斜边 与直线 重合，另外两条直角边都在直线 的下方．（1）将图1中的三角尺绕着点 逆时针旋转 ，如图2所示，此时 ；在图2中，
是否平分 ？请说明理由；
（2）紧接着将图2中的三角板绕点 逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得 在 的内
部，请探究： 与 之间的数量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点 按每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒
时，直线 恰好平分锐角 ，则 的值为 （直接写出结果）．
