文档内容
专题1 与垂线有关的计算与证明（解析版）
第一部分 典例精析+变式训练
类型一 运用垂直的定义直接计算
典例1（2020•谷城县校级模拟）如图所示，直线 AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠COE＝55°，则
∠BOD的度数是（ ）
A．40° B．45° C．30° D．35°
思路引领：先根据垂直的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等即可求出∠BOD的度数．
解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠COE＝55°，
∴∠AOC＝90°﹣∠COE＝35°，
∴∠BOD＝∠AOC＝35°．
故选：D．
总结提升：本题考查了对顶角相等的性质，垂直的定义，根据图形找出角的关系代入数据进行计算即可，
比较简单．
变式训练
1．（2021春•江夏区期中）如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝37°，则∠2的度
数是（ ）
A．37° B．53° C．43° D．63°
思路引领：利用垂线的定义得∠BOC＝90°，从而得出∠BOE＝90°﹣37°＝53°，再根据对顶角相等可得答案．
解：∵AB⊥CD，
∴∠BOC＝90°，
∵∠1＝37°，
∴∠BOE＝90°﹣37°＝53°，
∴∠2＝∠BOE＝53°，
故选：B．
总结提升：本题主要考查了垂线的定义，对顶角的性质，角的和差关系等知识，熟练掌握各性质是解题
的关键，属于基础题．
典例2 （2021秋•松阳县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°．
（1）若OE⊥CD，求∠BOE的度数；
（2）若OA平分∠COE，求∠DOE的度数．
思路引领：（1）先根据对顶角相等得出∠BOD的度数，再由OE⊥CD得出∠DOE＝90°，进而可得出
结论；
（2）根据角平分线的定义得出∠AOE的度数，再由对顶角相等得出∠BOD的度数，根据平角的定义即
可得出结论．
解：（1）∵∠AOC＝40°，
∴∠BOD＝40°．
∵OE⊥CD，
∴∠DOE＝90°，
∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE＝40°+90°＝130°；
（2）∵OA平分∠COE，∠AOC＝40°．
∴∠AOE＝∠AOC＝40°，∠BOD＝∠AOC＝40°，
∴∠DOE＝180°﹣∠AOE﹣∠BOD＝180°﹣40°﹣40°＝100°．
总结提升：本题考查了角平分线，邻补角．解题的关键是掌握角平分线的定义．邻补角的性质：邻补角
互补，即和为180°．变式训练2
2．（2021秋•盱眙县期末）如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若
∠BON＝25°，求∠COD的度数．
解：∵∠BON＝25°，
∴∠AOM＝25°，
∵OA平分∠MOD，
∴∠AOD＝∠MOA＝25°，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴∠COD＝90°﹣25°＝65°．
典例3（2022春•阳高县月考）如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON＝
21°，求∠AOM的度数．
思路引领：利用角平分线定义可得∠BON＝2∠EON＝42°，然后根据垂直定义可得∠AOC＝90°，进而
可得∠AOM的度数．
解：∵OE平分∠BON，∠EON＝21°，
∴∠BON＝2∠EON＝42°，
∴∠MOC＝42°，
∵AO⊥BC，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOM＝90°﹣42°＝48°．
总结提升：此题主要考查了垂线，以及角平分线的定义，关键是掌握角平分线把这个角分成相等的两个
角．变式训练
1．（2022春•东莞市月考）如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，∠COE＝53°，求∠DOF
与∠BOF的度数．
思路引领：利用垂直定义可得∠BOD＝90°，然后再利用对顶角相等可得∠DOF＝53°，再利用角的和差
关系计算出∠BOF的度数即可．
解：∵AB⊥CD，
∴∠BOD＝90°，
∵∠COE＝53°，
∴∠DOF＝53°，
∴∠BOF＝90°+53°＝143°．
总结提升：此题主要考查了垂线，关键是掌握对顶角相等，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角
是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．
类型二 运用方程思想进行计算
典例4（2021春•集贤县期中）如图，直线 AB、CD相交于点 O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，
∠AOD：∠BOE＝4：1，求∠DOE和∠AOF的度数．
思路引领：利用角平分线及比例式求出角的关系，利用平角是180°，求出∠BOE＝∠DOE＝30°，OF平
分∠COE得到∠EOF＝75°，求出∠BOF＝45°，根据邻补角的和等于180°求出∠AOF．
解：∵∠AOD：∠BOE＝4：1，
∴∠AOD＝4∠BOE，
∵OE平分∠BOD，
∴∠D0E＝∠EOB，
∵∠AOD+∠DOE+∠BOE＝180°，∴6∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝∠DOE＝30°，
∴∠COE＝180°﹣30°＝150°，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF＝75°，
∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝75°﹣30°＝45°，
∠AOF＝180°﹣45°＝135°．
总结提升：本题考查了邻补角的定义，对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图并熟记性质与概
念是解题的关键．
变式训练
1
1．如图，AO⊥BO，CO⊥DO，∠AOC= ∠BOC，求∠BOD的度数．
3
思路引领：先设∠AOC＝x，根据题意可得∠BOC＝3x，∠AOB＝2x，再由AO⊥BO，运用垂直的定义可
得2x＝90°，进而求解出x的值，再运用周角的定义即可求解．
解：设∠AOC＝x，∠BOC＝3x，
∴∠AOB＝2x，
∵AO⊥BO，
∴2x＝90°，
∴x＝45°，
∴∠BOD＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°．
总结提升：本题主要考查了角的运算，正确理解垂直的定义是本题的解题关键．
典例5 （2021秋•泊头市期末）如图，点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；
1
（2）如图2，若∠COE= ∠DOB，求∠AOC的度数．
3
思路引领：（1）已知∠COD，欲求∠DOE，需求∠COE．由∠AOC＝40°，得∠BOC＝180°﹣∠AOC＝
1 1
140°．由OE平分∠BOC，得∠COE= ∠BOC= ×140°=70°，进而解决此题．
2 2
1
（2）欲求∠AOC，需求∠BOC．由∠COE= ∠DOB，得∠DOB＝3∠COE．由OE平分∠BOC，得
3
∠BOC＝2∠COE．由∠COD＝90°，得∠BOC+∠BOD＝2∠COE+3∠COE＝5∠COE＝90°，故∠COE＝
18°，进而可求得∠AOC．
解：（1）∵∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°．
∵OE平分∠BOC，
1 1
∴∠COE= ∠BOC= ×140°=70°．
2 2
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣70°＝20°．
1
（2）∵∠COE= ∠DOB，
3
∴∠DOB＝3∠COE．
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE．
∵∠COD＝90°，
∴∠BOC+∠BOD＝2∠COE+3∠COE＝5∠COE＝90°．
∴∠COE＝18°．
∴∠BOC＝2∠COE＝36°．
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣36°＝144°．
总结提升：本题主要考查角的和差关系、角平分线的定义以及直角的定义，熟练掌握角的和差关系、角
平分线的定义以及直角的定义是解决本题的关键．
变式训练
1．如图，AB、CD、EF相交于点O，EF⊥AB，OG、OH分别为∠COF、∠DOG的平分线，若∠AOC：
∠COG＝4：7，则∠DOF＝ ，∠DOH＝ ．思路引领：利用垂直定义结合已知设∠AOC＝4x，∠COG＝7x，则∠GOF＝7x，进而求出x的值，再利
用角平分线的性质得出答案．
解：∵EF⊥AB，OG为∠COF的平分线，
∴∠COG＝∠FOG，
∵∠AOC：∠COG＝4：7，
∴设∠AOC＝4x，∠COG＝7x，则∠GOF＝7x，
∴4x+7x+7x＝18x＝90°，
解得：x＝5°，
故∠AOC＝∠DOB＝20°，∠COG＝∠GOF＝35°，
则∠DOF＝90°+20°＝110°，
故∠DOG＝20°+90°+35°＝145°，
故∠GOH＝∠DOH＝72.5°，
故答案为：110°，72.5°．
总结提升：此题主要考查了角平分线的定义以及垂线的定义，熟练应用角平分线的定义是解题关键．
2．（2021秋•城厢区校级期末）如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是
∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°．1
（1）若∠BOD= ∠COD，求∠BON的度数；
2
（2）若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数．
1
思路引领：（1）根据对顶角的定义可得∠COD的度数，再根据∠BOD= ∠COD可得∠BOD的度数，
2
然后根据邻补角互补可得答案；
（2）设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°，利用角的和差运算即可解得x，进而可得∠BON的度数．
解：（1）∵∠MON＝70°，
∴∠COD＝∠MON＝70°，
1 1
∴∠BOD= ∠COD= ×70°=35°，
2 2
∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠BOD＝180°﹣70°﹣35°＝75°；
（2）设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°，
∵∠COD＝∠MON＝70°，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝3x°﹣70°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝x°+70°，
∵∠AOD＝2∠BOD，
∴x+70＝2（3x﹣70），
解得x＝42，
∴∠BOD＝3x°﹣70°＝3×42°﹣70°＝56°，
∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠DOB＝180°﹣70°﹣56°＝54°．
总结提升：此题主要考查了角的计算，关键是掌握邻补角互补．
类型三 用计算的方法证明两直线垂直
典例6（2022春•郾城区校级月考）如图，已知∠1＝142°，∠ACB＝38°，CD平分∠ACB，∠2＝∠3，
FH⊥AB于H．试判断AB与CD有什么位置关系？并说明理由．
思路引领：先证DE∥BC，证明HF∥CD，所以∠BDC＝∠BHF＝90°，即可证明解：AB与CD垂直．
理由如下：
∵∠1＝142°，∠ACB＝38°，
∴∠1+∠ACB＝180°．
∴DE∥BC．
∴∠2＝∠DCB．
又∵∠2＝∠3，
∴∠3＝∠DCB．
∴HF∥CD．
∴∠BHF＝∠BDC，
又∵FH⊥AB，
∴∠BDC＝∠BHF＝90°，
∴CD⊥AB．
总结提升：本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，熟悉以上性质是解题关键．
变式训练
1．（2021春•秦都区月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠BOE，∠DOF＝25°，∠AOC＝
40°，OE与CD垂直吗？为什么？
思路引领：根据对顶角的定义和角平分线的定义即可得到结论．
解：OE⊥CD，
理由如下：
∵∠AOC＝40°，
∴∠DOB＝∠AOC＝40°，
∵∠DOF＝25°，
∴∠BOF＝∠DOB+∠DOF＝65°，
又∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF＝∠BOF＝65°，
∴∠DOE＝∠EOF+∠DOF＝65°+25°＝90°，∴OE⊥CD．
总结提升：本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角的性质，正确识别图形是解题的关键．
典例7 （2019•衢江区校级开学）如图，点O是直线AB上一点，∠AOC＝30°，OD平分∠AOC，∠COE
＝75°．
（1）则DO⊥OE，请说明理由；
（2）OE平分∠BOC吗？请说明理由．
思路引领：（1）利用角平分线的定义求出∠COD＝15°，然后利用∠COE的度数即可解决问题；
（2）利用平角的定义可以求出∠EOB的度数即可判断．
解：（1）∵∠AOC＝30°，OD平分∠AOC，
∴∠COD＝15°，而∠COE＝75°，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝15°+75°＝90°，
∴DO⊥OE；
（2）平分．
∵∠EOB＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠COE＝∠EOB，
即OE平分∠BOC．
总结提升：本题主要考查了垂直的定义、平分线的定义和互补的性质计算，要注意领会由垂直得直角这
一要点．
变式训练
1．（蔡甸区期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝28°，∠BOF＝59°，OF平分∠DOE，OE与
AB垂直吗？为什么？
思路引领：根据对顶角的性质和角平分线的定义即可得到结论．解：OE⊥AB，
理由如下：
∵∠AOC＝28°，
∴∠DOB＝∠AOC＝28°，
∴∠DOF＝∠BOF﹣∠DOB
＝59°﹣28°
＝31°，
又OF平分∠DOE，
∴∠EOD＝2∠DOF＝62°，
∴∠EOB＝∠EOD+∠DOB
＝62°+28°
＝90°，
∴EO⊥AB．
总结提升：本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
第二部分 专题提优训练
1．（2022•桐柏县一模）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝40°，求∠AOD
的度数（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
思路引领：根据垂直的定义和对顶角相等得出答案．
解：∵EO⊥AB，
∴∠EOB＝90°，
又∵∠EOC＝40°，
∴∠AOD＝∠BOC＝∠EOB+∠EOC＝90°+40°＝130°，
故选：C．
总结提升：本题考查垂直的定义，对顶角相等的性质，掌握垂直的定义是解决问题的关键．
2．（2022春•福清市期中）如图，点O在直线CD上，已知∠1＝25°，OB⊥OA，则∠BOD等于（ ）A．25° B．65° C．75° D．90°
思路引领：利用互余的两角的关系计算即可．
解：∵OB⊥OA，∠1＝25°，
∴∠BOD＝90°﹣25°＝65°．
故选：B．
总结提升：本题考查的是余角的定义，解题的关键是从图中找到互余的两个角．
3．（2020秋•南岗区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O，若∠AOD＝132°，
则∠EOC＝ °．
思路引领：根据对顶角相等可得∠COB＝132°，再根据垂直定义可得∠EOB＝90°，再利用角的和差关
系可得答案．
解：∵∠AOD＝132°，
∴∠COB＝132°，
∵EO⊥AB，
∴∠EOB＝90°，
∴∠COE＝132°﹣90°＝42°，
故答案为：42．
总结提升：此题主要考查了垂线，以及对顶角，关键是掌握对顶角相等．
4．（2020春•兴国县期末）如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，OG⊥CD，∠BOD＝24°．
（1）求∠AOG的度数；
（2）若OC是∠AOE的平分线，那么OG是∠AOF的平分线吗？说明你的理由．思路引领：（1）由对顶角的性质可得∠AOC＝∠BOD＝24°，由垂线的性质可得∠COG＝90°，即可求
解；
（2）由垂线的性质和对顶角的性质可求∠AOG＝∠GOF，可得结论．
解：（1）∵AB、CD相交于点O，
∴∠AOC＝∠BOD＝24°，
∵OG⊥CD，
∴∠COG＝90°，
即∠AOC+∠AOG＝90°，
∴∠AOG＝90°﹣∠AOC＝90°﹣24°＝66°；
（2）OG是∠AOF的角平分线，
理由如下：∵OC是∠AOE的角平分线，
∴∠AOC＝∠COE，
又∵∠DOF＝∠COE，
∴∠COA＝∠DOF，
∵OG⊥CD，
∴∠COG＝∠DOG＝90°，
∴∠AOG＝∠GOF，
∴OG平分∠AOF．
总结提升：本题考查了垂线，对顶角的定义，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本
题的关键．
5．（2021春•双辽市期末）如图，直线 AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD，OG平分∠BOE，若
1
∠EOG= ∠AOE，求∠DOF的度数．
3思路引领：首先根据角平分线的性质可得∠EOG＝∠BOG，设∠EOG＝x°，进而得到∠EOG
1
= ∠AOE=x°，再根据平角为180°可得x+x+3x＝180，解出x可得∠EOG，进而可得∠DOF的度数．
3
解：∵OG平分∠BOE，
∴∠EOG＝∠BOG，
设∠EOG＝x°，
1
∵∠EOG= ∠AOE，
3
∴∠AOE＝3x°，
∵x+x+3x＝180，
解得：x＝36，
∴∠AOE＝3×36°＝108°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝180°﹣108°＝72°，
∵AB⊥CD，
∴∠AOD＝90°，
∴∠DOF＝∠AOD﹣∠AOF＝90°﹣72°＝18°．
所以∠DOF的度数18°．
总结提升：此题考查了垂线、角平分线，关键是掌握角平分线可以把角分成相等的两部分．
6．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，请将下面的解题过程补充完整，在括号内填写理由．
解：ON CD．理由如下：
因为OM⊥AB，
所以∠AOM＝ 9 0 °（ ）
所以∠1+∠AOC＝90°．又因为∠1＝∠2，
所以 +∠AOC＝90°（等量代换），
即∠CON＝90°，所以 （ ）
（2）若∠BOC＝4∠1，求∠MOD的度数．
思路引领：（1）根据垂直定义即可得结论；
（2）由OM⊥AB，可得∠BOM＝90°根据∠1+90°＝4∠1，得∠1＝30°，再根据对顶角相等得∠BOD＝
∠AOC＝60°，进而求解．
解：（1）ON⊥CD．理由如下：
因为OM⊥AB，
所以∠AOM＝90°（垂直定义）
所以∠1+∠AOC＝90°．
又因为∠1＝∠2，
所以∠2+∠AOC＝90°（等量代换），
即∠CON＝90°，所以ON⊥CD（垂直定义）
故答案为：⊥、90、垂直定义、∠2、ON⊥CD、垂直定义．
（2）因为OM⊥AB，
所以∠BOM＝90°
因为∠BOC＝∠1+∠BOM
所以∠1+90°＝4∠1，
所以∠1＝30°
所以∠AOC＝90°﹣∠1
＝90°﹣30°
＝60°
所以∠BOD＝∠AOC＝60°
所以∠MOD＝∠MOB+∠BOD＝90°+60°＝150°
答：∠MOD的度数为150°．
总结提升：本题考查了垂线、对顶角、邻补角，解决本题的关键是掌握垂线定义．7．（2020秋•和平区期末）平面内两条直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，OB平分∠COF．
（1）如图1：
①若∠AOE＝20°，则∠DOF＝ °；
②请写出∠DOF和∠AOE的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，∠DOF与∠AOE的数量关系是 ．
思路引领：（1）①先利用平角求出∠BOF，再利用角平分线的定义求出∠FOC即可，
②设∠AOE＝x，然后按照①的思路表示∠DOF即可；
（2）设∠AOE＝y，然后按照上题的思路表示∠DOF即可．
解：（1）①∵∠EOF＝90°，∠AOE＝20°，
∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝70°，
∵OB平分∠COF，
∴∠COF＝2∠BOF＝140°，
∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝40°，
故答案为：40°，
②∠DOF＝2∠AOE，
理由是：设∠AOE＝x，
∵∠EOF＝90°，
∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝90°﹣x，
∵OB平分∠COF，
∴∠COF＝2∠BOF＝180°﹣2x，
∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝2x，
∴∠DOF＝2∠AOE；
（2）∠DOF＝2∠AOE，
理由是：设∠AOE＝y，∵∠EOF＝90°，
∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝90°﹣y，
∵OB平分∠COF，
∴∠COF＝2∠BOF＝180°﹣2y，
∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝2y，
∴∠DOF＝2∠AOE．
总结提升：本题考查了邻补角，对顶角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题
的关键．
8．如图，已知钝角∠ABC．
（1）在钝角∠ABC外，过点B作射线BE，射线BD，使BE⊥AB，BD⊥BC．
5
（2）在（1）的情况下，若∠EBD= ∠ABC，试求∠EBD和∠ABC的度数．
7
思路引领：（1）直接画出垂线即可；
（2）根据比例关系，利用周角是360°求解即可．
解：（1）作出的图形如图所示；
5
（2）∵∠EBD= ∠ABC，
7
∴∠EBD：∠ABC＝5：7．
设∠EBD＝5k，则∠ABC＝7k．
∵∠ABE＝∠CBD＝90°．
∴∠ABC+∠EBD＝180°，即 7k+5k＝180°，
解得 k＝15°．∴∠EBD＝5k＝5×15°＝75°，∠ABC＝7k＝7×15°＝105°．
总结提升：本题考查的是垂线的作法、角度的求法，解题的关键就是看准作谁的垂线、周角是360°．
9．（2019秋•未央区期末）如图，∠BOC＝2∠AOC，OD是∠AOB的平分线，且∠COD＝18°，求∠AOC
的度数．
思路引领：设∠AOC＝x，用x表示出∠BOC、∠AOB及∠AOD，利用角的和差关系及∠COD＝18°得到
关于x的方程，求解即可．
解：设∠AOC＝x，
∵∠BOC＝2∠AOC，
∴∠BOC＝2x．
∴∠AOB＝3x．
又∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝1.5x．
∵∠COD＝∠AOD﹣∠AOC，
∴1.5x﹣x＝18°，
解得x＝36°．
∴∠AOC＝36°．
总结提升：本题考查了角平分线的性质及角的计算，掌握角的和差关系列出方程是解决本题的关键．
10．（2022春•大荔县期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠COE＝90°．若∠BOD：∠BOC＝
1：5，求∠AOE的度数．思路引领：根据对顶角、邻补角的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可．
解：∵∠BOD：∠BOC＝1：5，∠BOD+∠BOC＝180°，
1 5
∴∠BOD＝180°× =30°，∠BOC＝180°× =150°，
1+5 1+5
∴∠AOC＝∠BOD＝30°，
∵∠COE＝90°．
∴∠AOE＝90°+30°
＝120°．
总结提升：本题考查对顶角、邻补角，理解对顶角相等以及邻补角的定义是正确简单的前提．
11．（2019春•工业园区期末）如图，已知∠ADB＝∠BCE，∠CAD+∠E＝180°．
（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AF于点F，∠ADB＝80°，求∠BAD的度数．
思路引领：（1）根据平行线的判定得出 AD∥CE，根据平行线的性质得出∠CAD＝∠ACE，求出
∠E+∠ACE＝180°，根据平行线的判定得出即可；
1
（2）根据∠ADB＝∠BCE求出∠BCE＝80°，根据角平分线的定义求出∠ACE= ∠BCE＝40°，根据平
2
行线的性质得出∠CAD＝∠ACE＝40°，∠BAC＝∠EFA＝90°，即可得出答案．
解：（1）AC∥EF，
理由是：∵∠ADB＝∠BCE，
∴AD∥CE，∴∠CAD＝∠ACE，
∵∠CAD+∠E＝180°，
∴∠E+∠ACE＝180°，
∴AC∥EF；
（2）∵∠ADB＝∠BCE，∠ADB＝80°，
∴∠BCE＝80°，
∵AC平分∠BCE，
1
∴∠ACE= ∠BCE＝40°，
2
∵AD∥CE，
∴∠CAD＝∠ACE＝40°，
∵FE⊥AB，
∴∠EFA＝90°，
∵AC∥EF，
∴∠BAC＝∠EFA＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝90°﹣40°＝50°．
总结提升：本题考查了平行线的性质和判定和角平分线的定义，能灵活运用平行线的性质和判定定理进
行推理是解此题的关键．
12．（2022秋•江阴市期末）如图，直线 AB与CD相交于O，OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．∠AOD
＝74°
（1）求∠BOE的度数；
（2）试说明OF平分∠AOC．
思路引领：（1）根据角平分线的性质解答；
（2）根据邻补角的性质、角平分线的定义解答．
解：（1）∵直线 AB与CD相交于O，
∴∠BOC＝∠AOD＝74°，
∵OE是∠COB的平分线，1
∴∠BOE＝∠COE= ∠BOC＝37°；
2
（2）∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣74°＝106°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠COF＝90°﹣∠COE＝90°﹣37°＝53°．
又∵∠AOF＝∠AOC﹣∠COF＝106°﹣53°＝53°，
∴∠COF＝∠AOF，
∴OF平分∠AOC．
总结提升：本题考查的是角平分线的定义、对顶角的性质、邻补角的性质，掌握对顶角相等、垂直的定
义是解题的关键．
13．（2022 秋•滑县期末）如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，OP 是∠BOC 的平分线，OE⊥AB，
OF⊥CD．如果∠AOD＝40°，求∠POF的度数．
思路引领：根据对顶角相等，可得∠BOC的度数，根据角平分线的定义，可得∠COP，根据余角的定
义，可得答案．
解：由对顶角相等，得∠BOC＝∠AOD＝40°，
由OP是∠BOC的平分线，得
1
∠COP= ∠BOC＝20°．
2
由余角的定义，得
∠POD＝∠COD﹣∠COP＝90°﹣20°＝70°．
总结提升：本题考查了对顶角、邻补角，利用对顶角相等得出∠BOC＝∠AOD，又利用余角的定义得
∠POD是解题关键．
14．（2020春•石城县期中）平面内两条直线EF、CD相交于点O，OA⊥OB，OC恰好平分∠AOF．
（1）如图1，若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；（2）在图1中，若∠AOE＝x°，请求出∠BOD的度数（用含有x的式子表示），并写出∠AOE和
∠BOD的数量关系；
（3）如图2，当OA，OB在直线EF的同侧时，∠AOE和∠BOD的数量关系是否会发生改变？若不变，
请直接写出它们之间的数量关系；若发生变化，请说明理由．
思路引领：（1）根据邻补角的定义和角平分线的定义解答即可；
（2）根据垂线的定义、邻补角的定义和角平分线的定义解答即可；
（3）根据（1）（2）解答即可．
解：（1）∵∠AOE＝40°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝140°，
∵OC平分∠AOF，
1
∴∠AOC= ∠AOF=70°，
2
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠AOC＝20°；
（2）∵∠AOE＝x°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝（180﹣x）°，
∵OC平分∠AOF，
1 1
∴∠AOC= ∠AOF=(90− x)°，
2 2
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
1 1
∴∠BOD=180°−∠AOB−∠AOC=180°−90°−(90°− x)°= x°；
2 2
∴∠AOE＝2∠BOD；（3）不变，∠AOE＝2∠BOD．
总结提升：本题考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
