文档内容
第 03 讲 多边形（1 个知识点+5 种题型+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．多边形
（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何
一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所
说的多边形指凸多边形．
（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳
状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心．
常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边
中线的交点（4）任意多边形．
题型强化
题型一．多边形
1．（2022秋•柳州期末）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个四边
形，则原多边形纸片的边数不可能是
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由多边形的概念，通过实际操作，即可解决问题．
【解答】解：把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个四边形，则原多
边形纸片的边数不可能是6边形．故选： ．
【点评】本题考查多边形，关键是动手实践得到答案．
2．（2022秋•万荣县期末）砌砖墙是墙体建筑的一种方式，盖房子过程中，黏土多孔砖墙
在砌合时，应满足砂浆饱满、横平竖直、上下错缝、内外搭砌等最基本的砌墙要求，以此
来保证墙体的强度和稳定性及固定性．如图是由截面相同的长方形墙砖粘贴的部分墙面，
则每块墙砖的截面面积是 52 5 ．
【分析】设长方形地砖的长为 ，宽为 ，根据拼图可得方程组，进而求出 、
的值，再由长方形的面积公式可求出答案．
【解答】解：设长方形地砖的长为 ，宽为 ，由题意得，
，
解得 ，
即长方形地砖的长为 ，宽为 ，
因此面积为 ．
故答案为：525．
【点评】本题考查多边形，求出长方形的长和宽是正确解答的关键．
3．（2023 秋•襄都区月考）如图，在五边形 中， ，
，连接 ， ， ．
（1）已知 ，则 ；
（2）求五边形 的周长．
【注：五边形的周长指组成五边形的所有边的和】【分析】（1）根据角的和差、倍数关系计算即可；
（2）将 绕点 逆时针旋转，使点 与点 重合，点 落在点 处，先证明 、 、
在同一条直线上，再证明 ，接着证明 ，即有 ，
根据 ，可得 ，问题随之得解．
【解答】解：（1） ， ，
，
，
．
故答案为： ．
将 绕点 逆时针旋转，使点 与点 重台，点 落在点 处，如图，
， ， ， ，
，
，
、 、 在同一条直线上，
，
，
，
，
， ，，
，
，
，
五边形 的周长 ．
【点评】本题考查多边形及角的计算，作出合理的辅助线，证明 是解题的
关键．
题型二、多边形的概念与分类
4．如图，伸缩晾衣架利用的几何原理是四边形的 ．
【答案】灵活性．
【分析】根据四边形的灵活性，可得答案．
【详解】我们常见的晾衣服的伸缩晾衣架，是利用了四边形的灵活性，
故答案为灵活性．
【点睛】此题考查多边形，解题关键在于掌握四边形的灵活性.
5．对于正多边形，下列说法正确的是（ ）
A．正多边形的边都相等，内角都相等；
B．各边相等的多边形是正多边形；
C．各角相等的多边形是正多边形；
D．由正多边形构成的多边形是正多边形；
【答案】A
【分析】A. 由正多边形的性质可得
B. 举反例判断即可
C. 举反例判断即可
D. 举反例判断即可
【详解】A. 由正多边形的性质：各边相等，各角相等，正确
B. 菱形不是正方形，错误
C. 矩形不是正方形，错误
D. 正方形与边长相等的等边三角形拼成的五边形不是正多边形，错误故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形的定义：平面内各边相等，各角相等的多边形是正多边形，
准确理解定义及性质是解题关键．
6．如图1，在五边形 中， ．
(1)猜想 与 之问的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，连接 ，若 平分 ，求 的度数．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据 可得 ，结合已知条件可得 ，
进而可得结论；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得 ，再根据平行线的性质可得关
于 的方程，求出 即可解决问题．
【详解】（1）猜想： ，
理由： ，
，
，
，
；
（2） 平分 ，
，
，
，
，
，，
，
解得 ，
．
【点睛】本题以多边形为载体，考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义以及一元一
次方程的应用等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
题型三、多边形截角后的边数问题
7．若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6
【答案】C
【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不
变，也可能增加1条边；据此求解即可．
【详解】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形；
当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形；
当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形；
所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原
多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边．
8．一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ．
【答案】3或4或5
【分析】一个四边形剪去一个角后，分三种情况求解即可，①边数可能减少1，②边数可
能增加1，③边数可能不变．
【详解】解：一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形．
故答案为：3或4或5．
【点睛】本题考查的知识点是多边形的定义，解题关键是列举出所有可能的情况．
9．用平面截正方体，其截面可能是某些多边形，如果截去的几何体是三棱锥，剩下的几何
体还有多少个顶点？试在图8中画出形状不相同的几种．（至少画三种）
【答案】剩下的几何体可能有7个、8个、9个、10个顶点 见解析
【分析】截去正方体的一个顶点，根据截面是否过与该顶点最近的三个顶点可知需要分四
种情况.
【详解】剩下的几何体可能有7个、8个、9个、10个顶点，如图所示．（答案不唯一）
【点睛】本题考查平面截几何体,解题的关键是知道平面截正方体时,穿过了几个面或与几条
棱相交.
题型四、多边形的周长
10．已知正六边形的周长是 ，则这个多边形的边长等于 ．
【答案】5
【分析】本题考查了正多边形的性质．由正六边形的周长和性质即可得出结果．
【详解】解：∵一个正六边形的周长是 ，∴正六边形的边长 ；
故答案为：5．
11．如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示（单位：mm），
则该主板的周长是（ ）
A．88mm B．96mm C．80mm D．84mm
【答案】B
【分析】根据题意，电脑主板是一个多边形，由周长的定义可知，周长是求围成图形一周
的长度之和，计算周长只需要把横着的和竖着的所有线段加起来即可．
【详解】由图形可得出：
该主板的周长是：24+24+16+16+4×4＝96（mm），
故该主板的周长是96mm，
故选：B．
【点睛】本题考查了不规则多边形周长的求解方法，理解周长的定义是求解的关键．
12．已知正n边形的周长为60，边长为a
（1）当n=3时，请直接写出a的值；
（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为
n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断
言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，
请求出不符合这一说法的n的值．
【答案】（1）20（2）不正确
【详解】试题分析：分析：（1）根据正多边形的每条边相等，可知边长=周长÷边数；
（2）分别表示出a和b的代数式，让其相等，看是否有相应的值.
试题解析：（1）a=60÷3=20；
（2）此说法不正确．
理由如下：尽管当n=3、20、120时，a＞b或a＜b，但可令a=b，得 ，
∴60n+420=67n，
解得n=60，
经检验n=60是方程的根．
∴当n=60时，a=b，即不符合这一说法的n的值为60．
点睛：本题考查分式方程的应用，关键是以边长作为等量关系列方程求解，也考查了正多
边形的知识点.
题型五、多边形对角线的条数问题
13．若 边形的每一个外角都是 ，则此 边形的对角线总共有（ ）
A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
【答案】C
【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，首先利用多边形的每一个外角的度数求得
多边形的边数 ，再求出此多边形的对角线的条数即可，解题的关键是熟悉 边形对角线
的条数的规律．
【详解】解：由题意得： ，
∴对角线总条数为 （条），
故选： ．
14．过正八边形的一个顶点有 条对角线．
【答案】5
【分析】本题考查多边形的对角线问题，根据从 边形的一个顶点出发，可以引出
条对角线，进行求解即可．
【详解】解：过正八边形的一个顶点有 条对角线；
故答案为：5．
15．画出下列多边形的对角线．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查多边形对角线．理解多边形的对角线是解答关键． 连接多边形两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线．
根据图形找出不相邻的顶点，连接这些顶点，即可求解．
【详解】每个图形中，连接任意不相邻的两个顶点，即得，如图所示：
分层练习
一、单选题
1．从五边形的一个顶点出发，可以作（ ）条对角线．
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【分析】本题主要考查了多边形的对角线的定义，根据多边形的对角线的方法，不相邻的
两个定点之间的连线就是对角线，在n边形中与一个定点不相邻的顶点有 个．
【详解】解：五边形（ ）从一个顶点出发可以作 条对角线．
故选：B．
2．一个四边形切掉一个角后变成（ ）
A．四边形 B．五边形
C．四边形或五边形 D．三角形或四边形或五边形
【答案】D
【分析】一个四边形截去一个角是指可以截去两条边，而新增一条边，得到三角形；也可
以截去一条边，而新增一条边，得到四边形；也可以直接新增一条边，变为五边形．可动
手画一画，具体操作一下．
【详解】如图可知，一个四边形截去一个角后变成三角形或四边形或五边形．
故选D．
【点睛】此类问题，动手画一画准确性高，注意不要漏掉情况．
3．一个四边形截去一个角后内角个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．3、4、5
【答案】D【详解】如图可知，一个四边形截去一个角后变成三角形或四边形或五边形，
故内角个数是为3、4或5.
故选D.
4．九边形从一个顶点出发最多可以引（ ）条对角线
A．6 B．7 C．9 D．
【答案】A
【分析】本题考查多边形的对角线，根据n边形一个顶点可以引 条对角线直接求解即
可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
∴九边形从一个顶点出发最多可以引 条对角线，
故选：A．
5．下列长度的三条线段与长度为4的线段首尾依次相连能组成四边形的是（ ）．
A．1，1，2， B．1，1，1 C．1，2，2 D．1，1，6
【答案】C
【分析】将每个选项中的四条线段进行比较，任意三条线段的和都需大于另一条线段的长
度，由此可组成四边形，据此解答．
【详解】解：A、因为1+1+2=4，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；
B、因为1+1+1<4，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；
C、因为1+2+2>4，所以能构成四边形，故该项符合题意；
D、因为1+1+4=6，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了多边形的构成特点：任意几条边的和大于另一条边长，正确理解多边
形的构成特点是解题的关键．
6．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2021个三角形，
那么这个多边形的边数是（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2023
【答案】D【分析】本题考查了多边形的对角线分多边形成三角形的问题，根据经过n边形的一个顶
点的所有对角线把多边形分成 个三角形，根据此关系式求边数．
【详解】设多边形的边数为n，
根据题意，得 ，
解得 ，
故选D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角
C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形
D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
【答案】C
【分析】根据多边形的概念，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、在平面内，由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫
做多边形，故本选项错误，不符合题意；
B、多边形的一边与另一边组成的角叫做多边形的内角，多边形的一边与另一边的延长线所
组成的角叫做多边形的外角，故本选项错误，不符合题意；
C、各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形，故本选项正确，符合题意；
D、连接多边形两个顶点的线段，分为两种类型是连接相邻两个顶点的线段是多边形的边，
连接不相邻的顶点的线段叫做多边形的对角线，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了多边形的概念；多边形内角、外角的概念；对角线的概念，熟练
掌握由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形是解题的关键．
8． 边形所有对角线的条数有（ ）
A． 条 B． 条
C． 条 D． 条
【答案】C【分析】本题考查了多边形对角线条数的计算公式，根据即可求解过 边形的一个顶点可
以作 条对角线，得到过 个顶点可以作 条对角线，但每条对角线重复一次，
由此可得为 的一半，即可求解，掌握多边形的对角线计算方法是解题的关键．
【详解】解：∵过 边形的一个顶点可以作 条对角线，
∴过 个顶点可以作 条对角线，
但每条对角线重复一次，
∴ 边形所有对角线的条数有 条，
故选： ．
9．如图，在正八边形中，连接 ，设 ，四边形 的周长分别为
，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．无法比较 的大小
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形两边之和大于第
三边的应用，先证明 ，得到 ，计算 ，结合两边之
和大于第三边，计算判断即可．
【详解】∵该图是正八边形，
∴ ，
，∵ ，
∴ ，
同理可证 ，
∴ ，
∴
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
10．如图，在边长为 的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边
形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为 下列说法
正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意判断格点多边形的面积，依次将 计算出来，再找到等量关
系．
【详解】观察图形可得
∴ ，
故选： ．
【点睛】本题考查了新概念的理解，通过表格获取需要的信息，找到关于面积的等量关系．
二、填空题
11．n边形（ ）同一顶点处可引 条对角线．
【答案】 /
【分析】本题考查多边形的对角线，根据从n边形（ ）同一个顶点处可引 条对
角线作答即可．
【详解】解：n边形（ ）同一个顶点处可引 条对角线；
故答案为： ．
12．已知正六边形的周长是 ，则这个多边形的边长等于 ．
【答案】5
【分析】由正六边形的周长和性质即可得出结果．
【详解】解：∵一个正六边形的周长是30cm，
∴正六边形的边长=30÷6=5（cm）；
故答案为：5．
【点睛】本题考查了正六边形的性质、正六边形的周长；熟练掌握正六边形的边长相等是
解题的关键．
13．在平面内，由一些线段 相接组成的图形叫做多边形．
【答案】首尾顺次
【详解】在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．故答案为首尾顺次.
14．若n边形共有9条对角线，则n为 .
【答案】6
【分析】本题主要考查了多边形的对角线的公式，熟记公式 是解题的关键．
根据多边形的对角线公式 列出方程求解即可．
【详解】解：设这个多边形是n边形，
则 ，
解得 ，
故答案为：6．
15．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为
．
【答案】14或15或16
【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可．
【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边，
∴此时原多边形的边数为 ；
如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同，
∴此时原多边形的边数为15；
如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边，∴此时原多边形的边数为 ；
综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16．
故答案为：14或15或16．
【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
16．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形 的面积为 ．
【答案】
【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可．
【详解】解：四边形ABCD的面积为：
= ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键．
17．下图中的正多边形分别是：
.
【答案】正三角形，正方形，正五边形，正六边形，正八边形
【分析】根据正多边形的定义求解即可.
【详解】根据正多边形的特征可知这些多边形分别为：正三角形，正方形，正五边形，正
六边形，正八边形.
故答案为正三角形，正方形，正五边形，正六边形，正八边形.
【点睛】理解多边形的定义，根据定义进行正确解答.
18．（1）若将 边形内部任意取一点 ，将 与各顶点连接起来，则可将多边形分割成
个三角形．（2）若点 取在多边形的一条边上（不是顶点），在将 与 边形各顶点连接起来，则可
将多边形分割成 个三角形．
【答案】 /
【分析】（ ）多边形内一点，可与多边形顶点连接 条线段，构造出 个三角形；
（ ）若 点取在一边上，则可以与其他顶点连接出 条线段，可以分 边形为
个三角形；
本题考查了多边形的对角线，正确找出规律是解题的关键．
【详解】解：（ ）若将 边形内部任意取一点 ，将 与各顶点连接起来，则可将多边形
分割成 个三角形；
（ ）若点 取在多边形的一条边上（不是顶点），在将 与 边形各顶点连接起来，则可
将多边形分割成 个三角形．
故答案为： ， ．
三、解答题
19．图中的各个图形，是否是多边形？如果是，说出是几边形．
【答案】图①②④是多边形，图③不是多边形．其中图①是四边形，图②是五边形，图④
是五边形．
【分析】根据多边形的概念进行判断．
【详解】①是多边形，是四边形；
②是多边形，是五边形；
③不是多边形；
④是多边形，是五边形．
【点睛】本题考查的是多边形的概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的封闭图
形叫做多边形．
20．三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？
……n边形呢？【答案】见解析
【分析】根据图形的特征作答即可．
【详解】解：如图所示，三角形有3个顶点，3条边，3个内角；
四边形有4个顶点，4条边，4个内角；
五边形有5个顶点，5条边，5个内角；
……
可发现，多边形的顶点个数和内角个数与边数相同；
n边形有n个顶点，n条边，n个内角．
【点睛】本题考查了多边形的有关概念，解题关键是准确识别多边形，明确多边形的顶点
和内角概念．
21．画出下面各图中多边形的所有对角线．
【答案】见解析
【分析】将与每个顶点不相邻的顶点连起来即可.
【详解】解：分别将三个图形中的与每个顶点不相邻的顶点连接起来，
如图所示，即为所求：
【点睛】本题主要考查了多边形对角线的概念，熟记概念和娴熟的作图能力是解答本题的
关键.
22．学科某校八年级六个班举行篮球比赛，比赛采用单循环（即每两个班举行一场比赛）
积分制，那么一共需要进行多少场比赛？
【答案】15场【分析】由题意可知，比赛的总场数即为六边形的对角线条数加边数．
【详解】解：如图所示，由题意可知，比赛的总场数即为六边形的对角线条数加边数，即
共需比赛 （场）．
【点睛】体育比赛中的单循环赛、打电话、握手等问题，都是多边形对角线公式在实际问
题中的应用．需要注意的是一班与二班比赛一场和二班与一班比赛一场，只能算一场，不
能重复计算．
23．如图， 在五边形 的边 上，连接 ，可以得到几个三角形？它与
边数有何关系？
【答案】可以得到4个三角形，三角形的个数等于边数减1
【分析】根据图形找出三角形的个数，再分析出三角形个数与边数的关系即可．
【详解】解：根据图形可知，
图中共有4个三角形，三角形的个数等于边数减1．
【点睛】本题主要考查了多边形的知识，正确找出三角形的个数是解题关键．
24．要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边
形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条
固定，…，那么要使一个n边形木架不变形，至少需要几根木条固定？
【答案】 根
【分析】本题考查三角形的稳定性以及多边形对角线分三角形的个数问题：由于多边形（三边以上的）不具有稳定性，将其转化为三角形后木架的形状就不变了．根据具体多边
形转化为三角形的经验及题中所加木条可找到一般规律，进行作答即可．
【详解】解：过n边形的一个顶点可以作 条对角线，把多边形分成 个三角形，
所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要 根木条固定．
25．探究归纳题：
(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形；
(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形；
(3)探索归纳：对于 边形 ，过一个顶点可以作 条对角线，它把 边形分成 个三角
形；（用含 的式子表示）
(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ．
【答案】(1)1；2
(2)2；3
(3) ；
(4)103
【分析】本题考查多边形的对角线、边及三角形分割等规律探究．
（1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；
（2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；
（3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论；
（4）将100代入（3）的结论中即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，经过1个顶点可以作1条对角线，它把四边形分为2个三角
形，
故答案为：1，2；（2）解：如图所示，经过五边形一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角
形；
故答案为：2，3．
（3）解：∵经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个
三角形；
经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形；
经过六边形的一个顶点可以作 条对角线，它把六边形分成 个三角形；
经过七边形的一个顶点可以作 条对角线，它把七边形分成 个三角形；
……
∴经过n边形的一个顶点可以作 条对角线，它把n边形分成 个三角形；
故答案为： ， ．
（4）∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线，
∴根据（3）中结论可得， ，
∴ ，
故答案为：103．
26．如图，网格中每个小正方形的边长为1．
（1）求阴影部分的面积；
（2）把图中阴影部分通过剪拼形成一个正方形，设正方形的边长为a．已知a的整数部分
和小数部分分别是x和y，求xy的值．【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据题图可知，网格中每个小正方形的边长为1，阴影部分可以拼成一个底
边是4，高是3的等腰三角形，据此求解即可；
（2）根据题意得 ，可求得 ，可得 ，根据a的整数部分和小数部分分
别是x和y，可得 ， ，代入 计算即可．
【详解】解：（1）根据题图可知，网格中每个小正方形的边长为1，阴影部分可以拼成一
个底边是4，高是3的等腰三角形，
则 ；
（2）由题意得， ，
，
，
的整数部分和小数部分分别是 和 ，
， ，
．
【点睛】本题是格点问题，考查了算术平方根和阴影部分面积的求法；并能估算无理数的
大小，估算无理数大小要用逼近法，即用有理数逼近无理数，从而求出无理数的近似值．
