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专题 11.7 多边形及其内角和（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】多边形及其相关概念
1.多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.如果一
个多边形由n（n是大于或等于3的自然数）条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.
2.多边形的相关概念
（1）多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
（2）多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.
（3）多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称
多边形的角.
（4）多边形的外角：多边形的一边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
（5）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
特别提醒：①多边形的边数、顶点数及角的个数相等；②把多边形问题转化成三角形问题求
解的常用方法是连接对角线.
【知识点二】正多边形
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.正多边形必须满同时满足以下两
个条件：①各边都相等；②各角都相等.
【知识点三】凸多边形与凹多边形
如图①所示，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的
同一侧，这样的多边形成为凸多边形；
而图②就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画出CD所在的直线，整个多边形不
都在这条直线的同一侧，所以我们称它为凹多边形.
我们在学习中提到的多边形大都是凸多边形.【知识点四】多边形内角和定理
n边形的内角和等于（n-2） .特别地，正n边形每个内角的度数是
（n−2）×180°
.
×180°
n
【知识点五】多边形外角和定理
1.多边形的外角和：在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的
外角和.
2.多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】由多边形内角和公式求度数
【例1】（23-24八年级上·河南许昌·阶段练习）求图中的x的值
(1)
(2)
【答案】(1)80； (2)110
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理：
（1）根据四边形内角和为360度列出方程求解即可；
（2）根据五边形内角和为 列出方程求解即可．
（1）解：由题意得， ，
解得 ；
（2）解：由题意得， ，
解得 ．
【变式1】（23-24七年级下·全国·假期作业）若多边形的边数增加1，则其内角和的度数（ ）
A．增加 B．为 C．不变 D．减少【答案】A
【分析】本题主要考查了多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式 （n为多边形的边数）
成为解题的关键.
根据多边形的内角和公式 （n为多边形的边数），然后进行判断解答.
解：设多边形的边数为n，则原多边形的内角和为 ，
边数增加1后的多边形的内角和为 ，
∴ ，
∴其内角和的度数增加 ．
故选A．
【变式2】（2024·四川自贡·中考真题）凸七边形的内角和是 度．
【答案】900
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理．应用多边形的内角和公式计算即可．
解：七边形的内角和 ，
故答案为：900．
【题型2】由多边形内角和公式求边数
【例2】（23-24八年级上·江西赣州·期末）下面是正多边形M和N的对话：
求M和N的边数．
【答案】M和N的边数分别是4和6
【分析】本题主要考查多边形的内角和，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是正确解答的
关键．
根据对话和多边形的内角和公式列方程求解即可；
解：设M的边数为 ，N的边数为 ，
由题意得：解得： ，
， ，
M和N的边数分别是4和6．
【变式1】（22-23八年级上·山东威海·期末）如果一个正多边形每个内角都为 ，那么该正多边形的
边数是（ ）
A．六 B．七 C．八 D．九
【答案】D
【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角．首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
解：∵正多边形的一个内角是 ，
∴它的外角是： ，
．
即这个正多边形是九边形．
故选：D．
【变式2】一个正多边形的内角和是 ，则这个多边形的边数 ．
【答案】10
【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．根据多边形的内角和公式列式求解
即可．
解：设这个多边形的边数是 ，
则 ，
解得 ．
故答案为：10．
【题型3】由多边形内角和与外角和度数求边数
【例3】（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和的差刚好等于一个十边形
的内角和，求这个多边形的边数．
【答案】这个多边形的边数为12．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意得出方程 ，求出方程的解
即可．
解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：
，
解得： ．答：这个多边形的边数为12．
【变式】（23-24八年级下·浙江温州·期中）若 边形的内角和等于外角和的3倍，则边数 是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】C
【分析】本题主要考查了多边形的内角和以及多边形的外角和；利用多边形的外角和是 度，一个 边
形的内角和等于它外角和的 倍，则内角和是 ，而 边形的内角和是 ，则可得到方程，
解方程即可．
解：根据题意列方程，得：
，
解得： ，
故选：C．
【题型4】由多边形内、外角和公式求角度
【例4】（23-24八年级下·湖南永州·期中）一个正多边形的内角和是外角和的 倍，求这个正多边形一
个内角的度数．
【答案】
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，设此多边形的边数为 ，根据题意得出
，求出 的值即可．
解：∵该正多边形的内角和等于外角和的 倍，
设此多边形的边数为 ，则有： ，
解得： ，
内角的度数为 ．
【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形 中， ， 是四边形
的外角，且 ， ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质和多边形内角和定理，掌握边形内角和定理是解题的关键．根据
，得出 ，再求出 ，根据四边形的内角和定理解答即可．
解： ， ，
，
，
是四边形 的外角，
，
，
，
．
故选：C
【变式2】（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在五边形 中， 分别
是 的外角，则 的度数为 ．
【答案】 / 度
【分析】
此题主要考查了多边形的内角和，平行线的性质，熟练掌握多边形的内角和，平行线的性质是解决问题
的关键．先根据多边形的内角和定理求出 ，再根据 得
，进而得 ，然后根据邻补角的定义的 ，
， ，由此可得 的度数．解：∵五边形的内角和为： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【题型5】由多边形对角线数量求角度或对角线条数
【例5】（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）【观察思考】
【规律发现】
（1）七边形的对角线条数为______．
（2）三边形的对角线条数可表示为 ，四边形对角线条数可表示为 ，五边形的对角线条数可表示
为 ，…，n边形的对角线条数可表示为______．
(3)【规律应用】若一个多边形的内角和为 ，求这个多边形的边数和对角线的条数．
【答案】(1)14 ；(2)
(3)这个多边形的边数为11，对角线的条数为44．
【分析】此题考查多边形对角线计算公式，多边形内角和公式，图形类规律探究，
（1）根据各图形分别求出对角线条数，由规律即可得到答案；
（2）利用（1）的计算结果即可得到规律；
（3）设多边形的边数为n，则列方程为 ，解得 ，再根据（2）求出对角线．
（1）三边形的对角线条数可表示为 ，四边形对角线条数可表示为 ，
五边形对角线条数可表示为 ，
六边形对角线条数可表示为 ，
七边形对角线条数可表示为 ，
故答案为：14；
（2）三边形的对角线条数可表示为 ，
四边形对角线条数可表示为 ，
五边形对角线条数可表示为 ，
…
n边形的对角线条数可表示为 ，
故答案为： ；
（3）设多边形的边数为n，则
，解得 ，
对角线为 （条），
∴这个多边形的边数为11，对角线的条数为44．
【变式1】（23-24八年级上·河北唐山·期中）若从一个正多边形的一个顶点出发，最多可以引6条对角
线，则它的一个内角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了多边形的对角线，多边形内角和公式及正多边形的内角，根据 边形从一个顶点
出发可引出 条对角线，求得多边形的边数，结合多边形内角和公式及正多边形的内角求解是解决
问题的关键．
解：设正多边形边数为 ，由题意得： ，可得 ，
则内角和： ，
∴它的一个内角度数为： ，
故选：C．
【变式2】（2024·陕西咸阳·三模）已知某正多边形的每个外角均为 ，则该正多边形的对角线共有
条．
【答案】5
【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数 ，进而求得多边形的对角线条数．
本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．
解：这个正多边形的边数： ，
则对角线的条数是： ．
故答案为：5．
【题型6】由多边形截角问题
【例6】（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下题及解题过程．
如图（ ），我们知道四边形的内角和为 ，现在将一张四边形的纸剪掉一个角后，剩余
纸所有内角的和是多少？
如图（ ），剩余纸为五边形，所以剩余纸所有内角的和为 ．
上面的解答过程是否正确？若正确，说出你的判断根据；若不正确，请说明原因，并写出你认为正确的
结论．
【答案】不正确，见解析，正确结论是将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是 或
或 ．
【分析】一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，由
此即可解决问题，考虑到不过顶点，只有一种情形，据此分析即可得出答案．
上面的解答不正确，出错的原因是思考问题不全面．除了题目中的解法外，还要补充正确的解答如下：
如图（ ）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是 ；如图（ ）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是 ．
所以将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是 或 或 ．
【点拨】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是记住一个多边形截去一个角后它的边数可能增
加1，可能减少1，或不变，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
【变式1】（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则
得到的多边形的内角和是（ ）
A． B． C． 或 D． 或 或
【答案】D
【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据 边形内角和公式
得出多边形的内角和，即可解题．
解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是 或 或 ，
其中四边形内角和为 ，五边形内角和为 ，六边形内角和为 ，
得到的多边形的内角和是 或 或 ，
故选：D．【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一
个内角，结果得到的结果是 ，则少算的这个内角的度数为 ．
【答案】 / 度
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，解不等式，设多边形的边数是n（ ，且n为整数），根
据多边形内角和定理列出不等式 ，进而求出 ，再计算出该多边形内角和即可得
到答案．
解：设多边形的边数是n（ ，且n为整数），
依题意得 ，
解得 ．
∵少算一个内角，且该内角小于 ，
∴ ．
∴多边形的内角和是 ，
∴少算的这个内角的度数为 ，
故答案为： ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2022·四川攀枝花·中考真题）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角
和”．请你在不直接运用结论“n边形的内角和为 ”计算的条件下，利用“一个三角形的内角
和等于180°”，结合图形说明：五边形 的内角和为540°．
【分析】如下图，连接 ， ，将五边形分成三个三角形，然后利用三角形的内角和定理求解即可．
解：连接 ， ，
五边形 的内角和等于 ， ， 的内角和的和，五边形 的内角和 ．
【点拨】此题考查了三角形的内角和定理，熟练运用三角形内角和定理，并将五边形转化为三个三角形
是解答此题的关键．
【例2】（2024·四川遂宁·中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为
的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形的外角，设这个正多边形的边数为 ，先根据内角和求出正多边形的边数，
再用外角和 除以边数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键．
解：设这个正多边形的边数为 ，
则 ，
∴ ，
∴这个正多边形的每个外角为 ，
故选： ．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·江苏·期中）在平面内有 个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，我们把
具有这样性质的 个点构成的点集称为爱尔特希点集，如图，四边形 的四个顶点构成爱尔特希点集，
若平面内存在一个点 与 ， ， ， 也构成爱尔特希点集，则 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正多边形的内角，三角形内角和定理；由题意知 为某
正五边形的任意四个顶点时，即满足题意，分点 为正五边形的中心和顶点两种情况讨论．
解：依题意，当 为正五边形的中心点时即满足题意，．
当 为正五边形的顶点时即满足题意，
∴
故答案为： 或 ．
【例2】一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿
一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分：又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶
点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了45个48边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数
是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】C
【分析】根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，则各部分的内角和增加 ．
于是，剪过k次后，可得 个多边形，这些多边形的内角和为 ．因为这 个多边形
中有45个48边形，可求它们的内角和，其余多边形有 （个），而这些多边形的内角
和不少于 ．可得不等式 ，解不等式即可求得答案．
解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，则各部分的内角和增加 ．
于是，设剪过k次后，可得 个多边形，这些多边形的内角和为 ．因为这 个多边形中有45个48边形，它们的内角和 ，
其余多边形有 （个），而这些多边形的内角和不少 ．
所以 ，
解得： ．
故至少要剪的刀数是 刀．
故选C．
【点拨】此题考查了多边形的内角和的应用，关键是理解用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪
开一次，使得各部分的内角和增加．
