文档内容
专题03 多边形及其内角和重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优）
题型一 多边形的相关概念
题型二 多边形截角后的边数问题
题型三 网格中多边形面积比较
题型四 多边形对角线条数计算
题型五 对角线分成的三角形个数问题
题型六 多边形内角和问题
题型七 正多边形的内角问题
题型八 多（少）算一个角问题
题型九 多边形截角后的内角和问题
题型十 复杂图形的内角和
题型十一 正多边形的外角问题
题型十二 多边形外角和的实际应用
题型十三 多边形内角和与外角和的综合
题型十四 平面镶嵌
知识点 1 多边形
（1）多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。
（2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形
知识点2：多边形的对角线
n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数：
知识点3：多边形的内角和
（1）n 边形的内角和公式： （n-2）×180°；
（2）正多边形的每个内角
知识点4：多边形的外角和
（1）n 边形的外角和： 360°
（2）正多边形每个外角的度数：知识点4：截角问题
n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形
知识点 5： 多边形的内角和和外角和的综合应用
平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平
面。
【经典例题一 多边形的相关概念】
【例1】（23-24七年级上·四川成都·期末）下列说法正确的有（ ）个
①如果 ，那么点 是线段 的中点；②两点之间直线最短；③各条边都相等的多边形叫做正多边
形；④三棱柱有六个顶点，九条棱．
A．1 B．2 C．3 D．4
1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列命题：①各边都相等的多边形是正多边形；②三角形相邻
两边组成的角叫三角形的内角；③三角形的角平分线是射线；④三角形的高所在的直线交于一点，这一点
不在三角形内就在三角形外；⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑥到角两边距离
相等的点在这个角的平分线上．正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角
形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成
的四边形的周长为 ．
3．（22-23七年级下·广东深圳·期末）随着科技的发展，在公共区域内安装“ 智能全景摄像头”成为
保护人民生命财产安全的有效手段．如图1所示，这是某仓库的平面图，点 是图形内任意一点，点 是图形内的点，连接 ，若线段 总是在图形内或图形上，则称 是“完美观测点”，此处便可安装摄
像头，而 不是“完美观测点”．
(1)如图2，以下各点是完美观测点的是_______（只有一个选项是正确的）
A． B． C． D．
(2)如图3，在图形内作出两个完美观测点，并分别用字母 、 表示；
(3)图4是某景观大楼的平面图，请作出该图形中由所有“完美观测点”组成的图形，并用阴影表示．【经典例题二 多边形截角后的边数问题】
【例2】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片
的角的个数为（ ）
A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5
1．（23-24八年级上·河北唐山·期中）若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数
可能为（ ）
A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6
2．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个
十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ．
3．（23-24七年级·全国·单元测试）用平面截正方体，其截面可能是某些多边形，如果截去的几何体是三
棱锥，剩下的几何体还有多少个顶点？试在图8中画出形状不相同的几种．（至少画三种）
【经典例题三 网格中多边形面积比较】
【例3】（22-23七年级下·广西河池·期中）如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以 为半径的扇
形 经过平移到达扇形 的位置，那么图中阴影部分的面积是（ ）．
A．8 B．6 C．6.5 D．7.51．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网
格线的交点上，若每一小正方形的边长均为1，则灰色三角形的面积为（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
2．（23-24七年级下·湖北襄阳·阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来
的阴影部分拼成个正方形，那么新正方形的边长是
3．（23-24七年级下·广东中山·期末）【阅读理解】在平面直角坐标系中，将横、纵坐标均为整数的点称
为格点．若一个多边形的顶点都在格点上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内
部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．如图， 是格点三角形， 其对应的 ， ， ．
(1)【学以致用】图中格点四边形 对应的 ______， ______， ______ ；
(2)【拓展研究】已知格点多边形的S，N，L存在 的数量关系，其中a，b为常数．
①试求出a，b的值；
②若某格点多边形对应的面积S为79，内部的格点数N为71，请求出该格点多边形边界上的格点数 L 的
值．【经典例题四 多边形对角线条数计算】
【例4】（23-24七年级上·广东深圳·期末）过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角
形，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
1．（23-24八年级上·江西南昌·期中）多边形每一个内角都等于135°，则从该多边形一个顶点出发，可引
出对角线的条数为（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．8条
2．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有
k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等，则代数式 ．
3．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角
线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律．
(1)在图5中画出从 点出发的所有对角线；
(2)根据探究，整理得到下面表格：
多边形的边数 4 5 6 7 8 ……
从一个顶点出发的对角线的条
1 2 3 4 5 ……
数
多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 ……
①表格中 ______， ______；（用含n的代数式表示）
②拓展应用：
若该校要举办足球比赛，总共有 个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共
要比赛多少场．【经典例题五 对角线分成的三角形个数问题】
【例5】（23-24八年级上·陕西渭南·阶段练习）从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各
顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
1．（23-24八年级·全国·假期作业）从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003
个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A．2001 B．2005 C．2004 D．2006
2．（23-24八年级上·云南普洱·期中）过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角
形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；......猜想：过n边形的一个顶点
可以画 条对角线，且把n边形分成 个三角形．
3．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）探究归纳题：
(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形；
(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形；
(3)探索归纳：对于 边形 ，过一个顶点可以作 条对角线，它把 边形分成 个三
角形；（用含 的式子表示）
(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ．
【经典例题六 多边形内角和问题】【例6】（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，在六边形 中， ，
， 分别平分 和 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
1、（23-24七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，把 纸片沿 折叠，当点A落在四边形 的外
部时，则 与 之间保持一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是
（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）爱好绘画的小明在学习英文时看到这句话：“Heavy is the head
who wears the crown．”意思是：“欲戴王冠， 必承其重．”，于是他在画本上绘制出如图的王冠， 已
知 ， ，王冠两边 、 的延长线相交于点O，
且 ， 则 （用含有x的式子表示）．3．（23-24七年级下·河南开封·期末）阅读理解：如果两个三角形各有一个角互为对顶角，那么这两个三
角形叫做对顶三角形．如图①， 与 互为对顶三角形．
(1)问题发现：
如图①，试证明： ；
(2)拓展研究：
如图②，若 是 的平分线， 是 的平分线， ， ，求 的度数；（用
含 、 的代数式表示）
(3)解决问题
在（2）的条件下，若 与 分别平分 与 ， ，请直接写出 的取值范
围．
【经典例题七 正多边形的内角问题】【例7】（23-24七年级下·重庆·期末）如图，长方形的两个顶点在正五边形的边上，若 ，则 的
大小为（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后
轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 ，则 的度数为（ ）．
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，正八边形 的对角线 ， 交于点 ，则
的度数是 °．
3．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）大到市民广场，小到家居装修，常常用形状各异的瓷砖来铺设．正多边形是指各边相等、各角相等的多边形．
用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密
铺．共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°．
共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺．
如右图可知，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面的方法说明．
解：设有x 个正五边形．
因为正五边形的每一个内角为 ，
若想用x 个 围成 ，则 ，
解得 （不符合题意）．
所以正五边形不可以共顶点单一密铺．
(1)问题1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺?请用上述方法说明．
(2)问题2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，并说明理由．
共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺．
(3)问题3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面.已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形状
不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺.请设计两种不同的共顶点组
合密铺方案，并说明理由．
(4)问题4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出设计方案．
【经典例题八 多（少）算一个角问题】
【例8】（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多
输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（ ）A．11 B．12 C．13 D．14
1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）若六边形的最大内角为 度，则必有（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖南常德·中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪
成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共
有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4
张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形
纸片，则还有一张多边形纸片的边数为 ．
3．（23-24七年级下·河南开封·期末）请根据对话回答问题：
(1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________．
(2)求这个多边形的内角和及其对角线条数．
【经典例题九 多边形截角后的内角和问题】
【例9】（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，将五边形 沿虚线裁去一个角，得到六边形
，则下列说法正确的是（ ）
①周长变大；
②周长变小；
③外角和增加 ；
④六边形 的内角和为 ．A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
1．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）将图中的四边形剪掉一个角后得到n边形，设n边形的内角
和为 ，外角和为 ．嘉嘉认为： ， ．淇淇说：“嘉嘉只说对了 的值， 还有其他的
值．”下列说法正确的是（ ）
A．嘉嘉说的完全对
B．淇淇说的对， 其他的值一定是360°
C．淇淇说的对， 其他的值为360°或180°
D．淇淇说的不对
2．（23-24八年级上·山东济宁·阶段练习）一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的
内角和为900°，那么原多边形的边数为 ．
3．（2024七年级下·江苏·专题练习）现实生活中，各种各样的图形随处可见．我们知道，由不在同一直线
上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．由三角形定义可知，在平面内，由若干条不在同一
条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形．
如图1，若有三条边的叫做三角形，有四条边的叫做四边形，有五条边的叫做五边形通过学习，我们知道三角形三个内角的和为 ，现在我们类比三角形内角和来研究其他多边形图形的内
角和问题．
探究：猜想并验证四边形的内角和．
猜想：四边形内角和为
验证：在四边形 中，连接 ，则四边形 被分为两个三角形（图 ．
所以，四边形 的内角和
的内角和 的内角和
请类比上述方法探究下列问题．
(1)探究：猜想并探究五边形 的内角和．（图
猜想：
验证：
(2)根据上述探究过程，可归纳出 边线内角和为 ．
(3)证明：①已知一个多边形的内角和为 ，那么这是个 边形．
②一天小明爸爸给小明出了一道智力题考考他．将一个多边形截去一个角后（没有过顶点），得到的多边
形内角和将会（ ）
A．不变 B．增加 C．减少 D．无法确定．
【经典例题十 复杂图形的内角和】【例10】（22-23八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图， 等于（ ）
A． B． C． D．
1．（2020·辽宁葫芦岛·三模）如图，多边形ABCDEFG中， ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ．
（2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ．
3．（23-24八年级上·山西大同·期中）阅读材料：解决问题：
（1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的
等量关系．
小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整．
证明：连接AD并延长AD到点E．
联系拓广：
（2）下面图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用
笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的)．
请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题：
①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 °；
②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 °．
【经典例题十一 正多边形的外角问题】
【例11】（23-24八年级下·广东茂名·期末）将一个正五边形与一个正六边形按如题图所示方式放置，顶点
， ， ， 在同一条直线上， 为公共顶点，则 等于（ ）A． B． C． D．
1．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图所示），其轮廓
是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，右图是八角形窗户的示意图，它的一
个外角 的大小为（ ）
A．22.5° B．45° C．60° D．30°
2．（23-24九年级下·吉林长春·期中）如图，用 个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，
使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为 ，图中所示的是前 个正五边形的拼接情况，拼接一
圈后，中间会形成一个正多边形，则 的值为 ．
3．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成
的那个角叫做多边形的外角．如图，将 中 的边CB反向延长，与另一边AC形成的 即
为 的一个外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和．
【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和．
如图， 的外角和．
．
【自主探究】根据以上提示，完成下列问题：
(1)将下列表格补充完整．
名称 图形 内角和 外角和
三角形 180° 360°
四边形
五边形
… … … …
n边形 …
(2)如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数．
【经典例题十二 多边形外角和的实际应用】【例12】（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）如图的七边形 中， ， 的延长线相交于
点，若图中 ， ， ， 的外角的角度和为 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
1．（22-23八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图是科技馆为某机器人编制的程序，如果机器人在平地上按
照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D．不能确定
2．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以 为半径画圆，当
时，则图中阴影部分的面积之和为 ．（注：结果用含 的式子表示）
3．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．
(1)该五边形广场 的内角和是 度；
(2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度；
(3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若
，且 ，求行程中小红身体转过的角度的和（图 的值）．
【经典例题十三 多边形内角和与外角和的综合】
【例13】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，正 边形纸片被撕掉一块，若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，甲、乙两位同学用n个完全相同的正六边形按如图所示的方
式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为 ，内圈的夹角为
，中间会围成一个正n边形，关于n的值，甲的结果是 或4，乙的结果是 或6，则（ ）A．甲的结果正确 B．乙的结果正确
C．甲、乙两人的结果合在一起才正确 D．甲、乙两人的结果合在一起也不正确
2．（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，五边形 中， ， ， ， 分别是
， ， 的外角， ，则 ．
3．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）（1）如图①， 都是四边形 的外角，试探究，
与 之间的数量关系；
（2）如图②， 都是四边形 的外角，试探究 与 之间的数量关系；
（3）用你发现的结论解决下列问题∶如图③， 分别是四边形 的外角 、 的平分
线， ，求 的度数．
【经典例题十四 平面镶嵌】
【例14】（23-24七年级下·四川乐山·期末）在乡村振兴建设中，某村欲利用两种边长相等的正多边形地砖来铺设地面，美化公园．现已购买了一部分正方形地砖，还需购买另一种正多边形地砖搭配使用才能铺满
地面，则购买的正多边形是（ ）
A．正五边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
1．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，某休闲广场是用边长相等的正四边形和正八边形的地砖组合，
在每个顶点处无缝隙、无重叠的铺设，而且地砖完整．除此之外，还可以选择无缝隙、无重叠铺设的正多
边形组合是（ ）
A．正三边形、正四边形 B．正四边形、正五边形
C．正五边形、正六边形 D．正六边形、正八边形
2．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图所示，是工人师傅用边长均为 的两块正方形和一块正三角形
地砖绕着点 进行的铺设，若将一块边长为 的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在 处，则
这块正多边形地砖的边数是 ．
3．（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考：请阅读下面小论文，并完成相应学习任务．
关于同一种正多边形的平面密铺
平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地把
平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，
例如我们铺地板时经常使用正方形地砖．
对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成 个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是 ，若一个内角度数能整除 ，那么这样的正n
边形就可以进行平面密铺．图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按
照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．
对于一些不规则的多边形，全等三角形或全等四边形也可以进行平面密铺．图4就是利用全等的四边形设
计出的平面密铺图案．
对于不规则的凸五边形，迄今为止发现了15种能用于平面密铺的五边形．德国数学家莱因哈特（1895—
1941）凭借其出色的平面几何功底与直觉，从1918年开始，陆续发现了前5种五边形密铺方式．2015年，
美国华盛顿大学数学教授卡西·曼夫妇发现了第15种能用于平面密铺的五边形．图5就是利用不规则的凸
五边形得到的一种密铺图案．
学习任务：
(1)填空：上面小论文中提到“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成 个三角
形，得到其内角和是 ”，其中体现的数学思想主要是______．（填出字母代号即可）
A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想
(2)图3中角1的度数是______．
(3)除“正三角形”“正四边形”外，请再写出一种可以进行密铺的正多边形：______．
(4)图6是图5中的一个基本图形，其中 ， ，并且 ．求证
．
1．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，在六边形 中， ，分别平分 和 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七年级下·全国·专题练习）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面，
并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．下图所示的三个“半正
密铺”图案可以依次用记号 ， ， 表示．下列记号中，不能表示“半正密铺”图
案的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·广东茂名·期末）将一个正五边形与一个正六边形按如题图所示方式放置，顶点 ，
， ， 在同一条直线上， 为公共顶点，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，将五边形 沿虚线裁去一个角，得到六边形 ，
则下列说法正确的是（ ）
①周长变大；
②周长变小；③外角和增加 ；
④六边形 的内角和为 ．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
5．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）五边形 的边所在直线形成如图所示的形状，则
（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图所示，求 度．
7．（2024·陕西西安·模拟预测）将一个正五边形与一个正八边形按如图所示的位置摆放，E为公共顶点，
且顶点A，B，C，D在同一条直线上，则 的度数是 ．
8．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）爱好绘画的小明在学习英文时看到这句话：“Heavy is the headwho wears the crown．”意思是：“欲戴王冠， 必承其重．”，于是他在画本上绘制出如图的王冠， 已
知 ， ，王冠两边 、 的延长线相交于点O，
且 ， 则 （用含有x的式子表示）．
9．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四边形 中， 的角平分线交于点
Q， 的角平分线交于点P，若 ，则 ．
10．（2024·浙江温州·三模）如图①是某创意图书馆设计的一款壁灯图案的设计图，象征着欣欣向荣，代
表一种生机盎然的自然和谐美．图②是从图①图案中提取的图形，已知正八边形 被分割成两
个正方形和四个菱形，则 °．
11．（2024七年级下·全国·专题练习）阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：(1)“多边形内角和为 ”，为什么不可能？
(2)明明求的是几边形的内角和？
(3)多加的那个外角为多少度？
12．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图①，在 中， ；点 在边 上．将点 绕点
按逆时针方向旋转一定角度 得到点 ，连接 ， ，作 ， 的角平分
线交于点 ．
(1)如图②，若 ，则 ______°；
(2)如图③，当点 恰好落在边 上时，探索 之间的关系，并说明理由；
(3)随着点 的旋转，当点 不在边 上时，探索 之间的关系，直接写出结论．
13．（23-24七年级下·重庆巴南·期末）已知点 ， 分别在 和 上，且 ．(1)如图1，若 ， ，则 的度数为_____；若 ， ，则
的度数为______；
(2)如图2，若 平分 ， 平分 ， 的反向延长线交 于点M，探究 与 的
数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若转动 与 使其交于点G， ，且 平分 ， 平分 ， 的
反向延长线与 交于点 M， 请直接写出 与 的数量关系．
14．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）大到市民广场，小到家居装修，常常用形状各异的瓷砖来铺设．
正多边形是指各边相等、各角相等的多边形．
用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密
铺．共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°．
共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺．
如右图可知，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面的方法说明．
解：设有x 个正五边形．
因为正五边形的每一个内角为 ，若想用x 个 围成 ，则 ，
解得 （不符合题意）．
所以正五边形不可以共顶点单一密铺．
(1)问题1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺?请用上述方法说明．
(2)问题2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，并说明理由．
共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺．
(3)问题3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面.已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形状
不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺.请设计两种不同的共顶点组
合密铺方案，并说明理由．
(4)问题4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出设计方案．
15．（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在四边形 中， ， ．
(1)如图1，若 ，则 ________度；
(2)如图2，若 的平分线 交 于点 ，且 ，试求出 的度数；
(3)①如图3．若 和 的平分线交于点 ，试求出 的度数；
②如图4， 为五边形 内一点： ， 分别平分 ， ，请直接写出 与
的数量关系．
