文档内容
专题 03 多边形及其内角和（3 个知识点 8 种题
型 1 个易错点 2 种中考考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1：多边形及其相关概念
知识点2：多边形的内角和（重难点）
知识点3：多边形的外角和定理（重点）
【方法二】 实例探索法
题型1：确定多边形的边数
题型2：确定多边形内角与外角的度数
题型3：正多边形
题型4：多边形对角线公式的综合应用
题型5：巧用外角解决问题
题型6：求不规则图形多个角的度数和
题型7：多边形的内角和与外角和的综合应用
题型8：多边形内角和、外角和与平行线、角分平分线综合
【方法三】 差异对比法
易错点1：多边形“截角问题”因漏解而致错
【方法四】 仿真实战法
考法1：多边形内角和公式的应用
考法2：多边形外角和的应用
【方法五】 成果评定法
【学习目标】1.了解多边形的有关概念，认识多边形的边、内角、外角、顶点、对角线。
2.认识正多边形，知道正多边形的每条边都相等，每个内角都相等。
3.探索并掌握多边形内角和公式与外角和定理，会用边形内角和公式与外角和定理进行简单的计算和说理。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1：多边形及其相关概念
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个
角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：
凹多边形
凸多边形
要点诠释：
(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
n(n3)
2
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为 ；
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形
【例1】（2023·全国·八年级假期作业）对于正多边形，下列说法正确的是（ ）
A．正多边形的边都相等，内角都相等；
B．各边相等的多边形是正多边形；
C．各角相等的多边形是正多边形；
D．由正多边形构成的多边形是正多边形；
【例2】从多边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则该多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
知识点2：多边形的内角和（重难点）
n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
要点诠释：
(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边
(n2) 180°
形的每个内角都相等，都等于 n ；
【例3】（2023春·山东泰安·八年级校考期末）正多边形的内角和为 ，则这个多边形的一个内角为（
）
A． B． C． D．
知识点3：多边形的外角和定理（重点）
多边形的外角和为360°．
要点诠释：
(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；
360°
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于 n ；
(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相
等外角的度数．
【例4】．（2022春·八年级单元测试）已知一个多边形的每个外角都是 ，那么这个多边形的边数是
__________．
【方法二】实例探索法
题型1：确定多边形的边数
1．（2023秋·八年级单元测试）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成
2023个三角形，那么这个多边形的边数为___________．
2．（2023春·八年级单元测试）若从一个 边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则 _____．
3．（2022·全国·八年级专题练习）一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为______．
4.一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少
算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？
5.（2023春·全国·八年级专题练习）看图回答问题：
(1)内角和为2014°，小明为什么说不可能？
(2)小华求的是几边形的内角和？6．（2023春·广东茂名·八年级校考阶段练习）已知一个正多边形其一个内角与其相邻的一个外角的度数之
比是 ，求这个多边形是几边形？
7.（2023春·全国·八年级专题练习）解决多边形问题：
(1)一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？
(2)小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是 ，这个多边形是几边形？
题型2：确定多边形内角与外角的度数
8．（2023秋·广西钦州·八年级统考期末）小红：我计算出一个多边形的内角和为 ；老师：不对呀，
你可能少加了一个角 则小红少加的这个角的度数是（ ）
A．1 B．1 C．1 D．1
9．（2023春·全国·八年级专题练习）若一个多边形的每个外角均为 ，则这个多边形的内角和为_______
度．
10.（2022春·八年级单元测试）已知四边形 的四个外角的度数之比为 ，那么这个四边形各
内角的度数分别是多少？
11.（2023春·全国·八年级专题练习）阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：(1)“多边形内角和为 ”，为什么不可能？
(2)明明求的是几边形的内角和？
(3)多加的那个外角为多少度？
题型3：正多边形
12.（2021·广西八年级期中）己知一个n边形的每一个外角都等于30°．
（1）求n的值．
（2）求这个n边形的内角和．
13.已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多 ，求这个多边形是几边形？并求出这个多
边形的内角和．
题型4：多边形对角线公式的综合应用
14．（2023春·全国·八年级专题练习）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可画2014条对角线，则它是（ ）边形．
A．2017 B．2016 C．2015 D．2014
15.（2023春·浙江·八年级专题练习）过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则
这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
16.（2023春·浙江·八年级专题练习）我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四
边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十
边形对角线的总条数（ ）
A．54 B．44 C．35 D．27
17，（2023秋·辽宁阜新·八年级统考期末）我们知道，三角形有0条对角线，四边形有2条对角线，五边
形有5条对角线，那么n边形有______条对角线．
18.（2023秋·八年级课时练习）连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，
求多边形的边数．
19．（2022秋·云南楚雄·八年级校考阶段练习）若一个多边形的外角和比这个多边形的内角和小 ．
(1)求这个多边形的边数；
(2)求这个多边形的所有对角线条数．
题型5：巧用外角解决问题
20．（2023春·全国·八年级期末）如图是由射线 ， ， ， ， ， 组成的平面图形，则
的值为（ ）A． B． C． D．
21.（2021·全国八年级单元测试）如图，在五边形ABCDE中，∠D＝120°，与∠EAB相邻的外角是80°，
与∠DEA，∠ABC相邻的外角都是60°，则∠C为________度．
22.（2020·南京市宁海中学八年级开学考试）如图，五边形ABCDE的两个内角平分线相交于点O，∠1，
∠2，∠3是五边形的3个外角，若∠1+∠2+∠3=220°，则∠AOB=___________．
题型6：求不规则图形多个角的度数和
23.如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝( )
A．450° B．540° C．630° D．720°
24．（2023春·全国·八年级专题练习）如图， 等于（ ）A． B． C． D．
25．（2023春·上海·八年级专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为__．
26．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，求 的大小．
27.（2022春•武冈市期中）如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数．
题型7：多边形的内角和与外角和的综合应用28.一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是( )
A．五边形 B．四边形 C．三角形 D．不能确定
29.（2021·陕西）一个多边形的内角和与外角和的度数之和为 ，求这个多边形的边数．
30.（2021·广西来宾市·八年级期中）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多 ，求
这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和．
31.己知一个n边形的每一个外角都等于30°．
（1）求n的值．
（2）求这个n边形的内角和．
32.（2021秋•泰州期末）【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做
多边形的外角．如图，将△ABC中∠ACB的边CB反向延长，与另一边AC形成的∠ACD即为△ACB的一
个外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和．
【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和．如图，△ABC 的外角和＝（180°﹣∠ACB）+（180°﹣∠CAB）+（180°﹣∠ABC）＝540°﹣
（∠ACB+∠ABC+∠CAB）＝540°﹣180°＝360°．
【自主探究】根据以上提示，完成下列问题：
（1）将下列表格补充完整．
名称 图形 内角和 外角和
三角形 180° 360°
四边形 360 ° 360 °
五边形 540 ° 360 °
… … … …
n边形 … 180 ° （ n 360 °
﹣ 2 ）
（2）如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数．题型8：多边形内角和、外角和与平行线、角分平分线综合
33．（2021秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）四边形ABCD中， 的平分线与边BC交于点E；
的平分线交直线AE于点O．
（1）若点O在四边形ABCD的内部．
①如图1，若 ， ， ，则 ______．
②如图2，试探索 、 、 之间的数量关系，并将你的探索过程写下来．
（2）如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请探究 、 、 之间的数量关系，并说明理由．
34．（2022秋·八年级课时练习）已知 // ，点B、C在 上（B在C左侧），A在 上，连接 、
， ， ， 平分 ， 平分 ， 、 交于点E．
(1)求 的度数；
(2)若将图1中的线段 沿 向右平移到 如图2所示位置， 平分 ， 平分 ， 、交于点E， ， ，请你直接写出 的度数：
(3)若将图1中的线段 沿 向左平移到 如图3所示位置，其它条件与（2）相同，猜想此时
的度数又是多少．（不需要证明）
35．（2023秋·八年级课时练习）已知在四边形 中， ， （ ，
）．
(1) _______（用含 、 的代数式表示）．
(2)如图①，若 ， 平分 ， 平分与 相邻的外角，请写出 与 的位置关系，
并说明理由．
(3)如图②， 为与 、 相邻的外角平分线所在直线构成的锐角．
①当 时，若 ， 试求 、 ；
②小明在作图时，发现 不一定存在，请指出 、 满足什么条件时， 不存在．
【方法三】差异对比法
易错点1：多边形“截角问题”因漏解而致错
36.（2023春·全国·八年级专题练习）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能
是（ ）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
37．（2022春·八年级单元测试）将一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为 ，则原多边形的
边数为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 或 D． 或 或38.（2022·全国·八年级专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是
_____．
39.（2022·全国·八年级专题练习）把一张长方形纸片剪去一个角后，还剩_____个角．
【方法四】 仿真实战法
考法1：多边形内角和公式的应用
1．（2023•益阳）如图，正六边形ABCDEF中，∠FAB＝ °．
2．（2023•宿迁）七边形的内角和是 度．
3．（2023•重庆）若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为 ．
4．（2023•云南）五边形的内角和等于 度．
5．（2023•重庆）如图，正五边形ABCDE中，连接AC，那么∠BAC的度数为 ．
6．（2023•济宁）一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 边形．
考法2：多边形外角和的应用
7．（2023•湖北）若正n边形的一个外角为72°，则n＝ ．
8．（2023•兰州）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶
嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝（ ）A．45° B．60° C．110° D．135°
9．（2023•徐州）正五边形的一个外角等于 °．
10．（2023•扬州）如果一个多边形每一个外角都是60°，那么这个多边形的边数为 ．
【方法五】成功评定法
一、单选题
1．（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校联考期末）在学习多边形的内角和外角知识以后，2班
的小朋友们在操场做了一个实验，如图，张梓佑从 点出发沿直线前进8米到达 点后向左旋转 度，再
沿直线前进8米，到达点 后，又向左旋转 度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，她共走了72米，
请计算出张梓佑每次旋转的角度 为（ ）
A． B． C． D．
2．（2019秋·广东潮州·八年级统考期中）从一个多边形的任何一个顶点出发都只有2条对角线，则它的边
数是（ ）条.
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2023春·云南昭通·八年级统考期末）如图，八角帽又称“红军帽”，其帽顶近似正八边形．那么正八
边形的一个外角的大小为（ ）
A． B． C． D．4．（2023春·安徽池州·八年级统考期末）一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为 ，则原
多边形边数为（ ）
A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6
5．（2023春·全国·八年级专题练习）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能
是（ ）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
6．（2023·全国·八年级假期作业）下列说法错误的是（ ）
A．五边形有5条边，5个内角，5个顶点；
B．四边形有2条对角线；
C．连接对角线，可以把多边形分成三角形；
D．六边形的六个角都相等；
7．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）一个边长为 的正多边形的每个外角的度数是 ，则这个正
多边形的周长是( )
A． B． C． D．
8．（2022秋·河北廊坊·八年级校考期中）如图，将三角形纸片 沿 折叠，当点A落在四边形
的外部时，测量得 ， ，则 为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·全国·八年级专题练习）过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则
这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
10．（2020秋·八年级单元测试）一个正十边形的某一边长为8cm，其中一个内角的度数为144º，则这个
正十边形的周长和内角和分别为（ ）
A．64cm，1440º B．80cm，1620º C．80cm，1440º D．88cm，1620º
二、填空题11．（2023春·广东惠州·八年级校考开学考试）一个多边形的内角和是 ，这个多边形的边数是 ．
12．（2023春·浙江金华·八年级校联考期中）一个多边形的每一个外角都为 ，则这个多边形的边数是
．
13．（2023春·广西贵港·八年级统考期末）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为
．
14．（2023春·全国·八年级专题练习）一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这
个多边形的边数为 ．
15．（2023·全国·八年级假期作业）从十六边形的一个顶点出发的所有对角线，把这个十六边形分成
个三角形．
16．（2022·全国·八年级专题练习）把一张长方形纸片剪去一个角后，还剩 个角．
17．（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，
如果 ，那么 的度数等于 ．
18．（2023春·上海·八年级专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ．
（2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ．
三、解答题
19．（2023春·全国·八年级专题练习）看图回答问题：(1)内角和为2014°，小明为什么说不可能？
(2)小华求的是几边形的内角和？
20．（2023春·湖南怀化·八年级溆浦县第一中学校考期中）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少
，这个多边形的边数是多少？
21．（2023秋·八年级课时练习）连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，
求多边形的边数．
22．（2023春·广西百色·八年级统考期末）观察探究及应用；
(1)观察下列图形并完成填空．
如图①一个四边形有2条对角线；如图②一个五边形有5条对角线；
如图③一个六边形有______条对角线；
如图④一个七边形有______条对角线；
(2)分析探究：由凸n边形的一个顶点出发，可做______条对角线，一个凸n边形有______条对角线；
(3)应用：一个凸十二边形有______条对角线．
23．（2023春·湖南怀化·八年级统考期中）若一个 边形的内角和与外角和的差是 ，求 ．24．（2022·全国·八年级专题练习）问题1：如图，我们将图（1）所示的凹四边形称为“镖形”．在“镖
形”图中，∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为∠AOC=∠A+∠C+∠P．
问题2：如图（2），已知AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大小；
小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题：
由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，
所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，
即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；
由“ ”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．
所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．
所以2∠APC= ．
所以∠APC= ．
请帮助小明完善上述说理过程，并尝试解决下列问题（问题1、问题2中得到的结论可以直接使用，不需
说明理由）；
解决问题1：如图（3）已知直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与
∠B、∠D的关系为
解决问题2：如图（4），已知直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的
关系为
