文档内容
微专题：由 a 与 S 的关系求通项公式
n n
【考点梳理】
任何一个数列，它的前n项和S 与通项a 都存在关系：a＝若a 适合S－S ，则应把它们统一起来，否则就
n n n 1 n n－1
用分段函数表示. 另外一种快速判断技巧是利用S 是否为0来判断：若S ＝0，则a 适合S －S ，否则不符合，
0 0 1 n n－1
这在解小题时比较有用.
【典例剖析】
典例1．已知数列 的前n项和 ，则该数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
典例2．若数列{ }的前n项和为 ＝ ， =（ ）
A． B． C． D．
典例3．若数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
典例4．记数列 的前n项和为 ，已知向量 ， ，若 ，且 ，则对于任意的
，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
5．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，若对于任意的 ， ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
6．已知数列 的前n项和为 ，则数列 前10项和是（ ）
A． B． C． D．
7．已知 为数列 的前n项积，若 ，则数列 的通项公式 （ ）
A．3-2n B．3+2n C．1+2n D．1-2n
8．已知数列{an}的前n项和Sn满足 ，记数列 的前n项和为Tn，n∈N*.则使得T 的值为（ ）
20
A． B． C． D．
9．已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． 2 D．
10．已知等差数列 的前 项和 满足： ，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
12．已知数列 的前 项的和为 ，且 ，则（ ）
A． 为等比数列 B． 为摆动数列
C． D．
13．已知数列 的前n项和为 ，满足 ，则 （ ）
A．4043 B．4042 C．4041 D．4040
14．已知数列 的前 项和 ，则 的通项公式为（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2an－Sn＝2，记数列 的前n项和为Tn，若对于任意
n∈N*，不等式k＞Tn恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
16．数列{an}的前 项和为 ，则其通项公式 =（ ）
A． B． C． D．
17．已知数列 的前 项和为 ， ， 且 ，满足 ，数列 的前 项和为 ，
则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C．数列 的最大项为 D．
18．已知等比数列 的前 项和 ，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
19．定义 为 个正数 的“快乐数”.若已知正项数列 的前 项的“快乐数”为 ，则数列
的前 项和为
A． B． C． D．
20．已知数列 的前 项和 ，且 ， ，则数列 的最小项为（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司21．已知数列 的前n项和 ，若 ，则数列 的前n项和是（ ）
A． B． C． D．
22．已知数列 的前 项和 满足 ，记数列 的前 项和为 ， ．则使得 成立的 的
最大值为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
23．设数列 的前n项和为 ， ， ，（ ），若 ，
则n的值为（ ）．
A．1007 B．1006 C．2012 D．2014
24．设数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
25．设数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝ ，令Tm＝|am+am +…am |（m∈N*），则Tm的最小
+1 +4
值为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．3
27．已知数列 的前 项和 ，则 的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
28．已知正项数列 满足， 是 的前 项和，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司29．已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则 （ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
二、多选题
30．已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，若 ，则正整数 的值可以为
（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
31．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（ ）
A．若数列 的前n项和 （a，b，c为常数），则数列 为等差数列
B．若数列 的前n项和 ，则数列 为等比数列
C．数列 是等差数列， 为前n项和，则 ， ， ，…仍为等差数列
D．数列 是等比数列， 为前n项和，则 ， ， ，…仍为等比数列
32．已知数列 满足 ，数列 的前n项和为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的值为2
B．数列 的通项公式为
C．数列 为递减数列
D．
33．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2（an﹣a）（其中a为常数），则下列说法正确的是（ ）
A．数列{an}一定是等比数列 B．数列{an}可能是等差数列
C．数列{Sn}可能是等比数列 D．数列{Sn}可能是等差数列
三、填空题
34．已知数列 的前n项和 ，则数列 的通项公式为______．
35．已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 ___________.
36．已知数列 的前n项和为 ，且满足 ， ，则 的通项公式为_________．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司37．如果数列 的前 项和为 ，那么数列 的通项公式是__________．
38．数列 的前 项和为 ，则 ______.
39．已知数列 的首项 ，前n项和为 ，且满足 ，则 ___________.
四、解答题
40．已知数列 的前n项和 满足 ，设 .
（1）求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）按以下规律构造数列 ，具体方法如下： ， ， ，…，
，求数列 的通项公式.
41．已知数列 的首项为1，当 时，其前 项和 满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ， 为数列 的前 项和，求满足 的最小的 值.
42．已知数列 的前n项和为 ， ，______．指出 ， ，…， 中哪一项最大，并说明理
由．从① ， ，② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答．
43．设数列 的前 项和为 且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前n项和为 ，求证： .
44．已知 为数列 的前n项的积，且 ， 为数列 的前n项的和，若 （ ，
）.
（1）求证：数列 是等差数列；
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）求 的通项公式.
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【解析】
【分析】
当 时， ，当 时， ，得到答案.
【详解】
当 时， .
当 时， ，不符合上式；
所以数列的通项公式为 .
故选：D.
2．B
【解析】
【分析】
根据已知条件，利用 与 的关系求得数列 的通项公式，利用等比数列前 项和公式求解即可.
【详解】
解：当 时， ，解得 ，
当 时， ，即 ，
∴ 是首项为1，公比为-2的等比数列，∴ ，
所以 .
故选：B.
3．D
【解析】
【分析】
令 可求得 的值，当 时， 由 可得 ，两式作差推导出数列 为等比数列，确
定该数列的首项和公比，求出 的值，即可得解.
【详解】
当 时， ，可得 ，
当 时， 由 可得 ，
上述两个等式作差可得 ，可得 ，
所以，数列 是首项为 ，公比也为 的等比数列，则 ，
第 8 页因此， .
故选：D.
4．D
【解析】
【分析】
根据向量共线的坐标表示得到 ，再根据 计算可得.
【详解】
解：因为 ， 且 ，
所以 ，当 时 ，又 ，所以 ，
当 时 ，所以 ，即 ，
所以 ， ，又 ，故A、B错误；
又 ，所以 ，即 ，故C错误，D正确；
故选：D
5．A
【解析】
【分析】
首先由 ，得到 ，两式作差即可得到 ，再根据等
比数列求和公式求出 ，再根据二次函数的性质得到不等式，解得即可；
【详解】
解：∵ ，∴当 时，有 ，两式相减得： ，
即 ，又当 时，有 ，解得 ；
∴ ， ．
∵对于任意的 ， ，不等式 恒成立，
∴ ，即 ，∴ ．
故选：A．
6．C
【解析】
【分析】
先求通项，再裂项求和即可.
第 9 页【详解】
， ，
，
又 ，所以 ，
，
前10项的和 .
故选：C.
7．D
【解析】
【分析】
先将等式化为 的关系式并化简，然后根据等差数列的定义求出 .
【详解】
当n=1时， ；当 时， ，于是 是以-1为首项，-2
为公差的等差数列，所以 .
故选：D.
8．C
【解析】
【分析】
先求出 ，再用裂项相消法求出T
20.
【详解】
对于 ，
当n=1时， ；
当 时， ；
经检验， 对n=1也成立，所以 .
所以 ，
所以 .
故选：C
9．B
【解析】
【分析】
第 10 页由 可求得 的值，令 ，由 可得出 ，两式作差可推导出数列 为等
比数列，确定该数列的首项和公比，可求得 ，进而可求得 的值.
【详解】
当 时， ，则 ．
当 时， ，所以 ，
即 ，所以 ，且 ，
则 是以 为首项， 为公比的等比数列，从而 ，即 ，
故 ．
因为 ，所以 ，则 ．
故选：B.
10．C
【解析】
首先根据数列的通项 与 的关系，得到 ， ， ，再根据选项，代入前 项和公式，
计算结果.
【详解】
由 得， ， ， .
又 ，
，
.
故选:C.
【点睛】
关键点睛：本题的第一个关键是根据公式 ，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列
的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负.
11．C
【解析】
【分析】
讨论n=1和n≥2两种情况，当n≥2时，通过 及等比数列的定义得到答案.
【详解】
时， ,
时， ，所以 ，
而 ，
第 11 页所以数列 从第二项起是以3为首项，4为公比的等比数列，
所以 .
故选：C.
12．D
【解析】
利用已知条件求出数列 的通项公式，再求出 的前 项的和为 ，即可判断四个选项的正误.
【详解】
因为 ①，
当 时， ，解得： ，
当 时， ②，
①-②得： ，即 ，
所以 ，所以 是以 为首项， 为首项的等比数列，
所以 ，所以 ，
所以 不是等比数列， 为递增数列，故 不正确，
，故选项 不正确，选项 正确.
故选：
【点睛】
本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式，考查了构造法，考查了分组求和，属于中档题.
13．A
【解析】
【分析】
由等差中项的性质及等差数列的定义写出 通项公式，再由 关系求 的通项公式，进而求 .
【详解】
由 知： 为等差数列，
又 ， ，则公差 ，
所以 ，故 ，
则 ，可得 ，而 也满足，
所以 ，则 .
故选：A
14．B
【解析】
利用 求出 时 的表达式，然后验证 的值是否适合，最后写出 的式子即可.
第 12 页【详解】
， 当 时， ，
当 时， ，上式也成立，
，
故选：B.
【点睛】
易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即 ，算出
之后一定要判断 时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题.
15．A
【解析】
【分析】
先求得 ，然后利用裂项求和法求得 ，进而求得 的取值范围.
【详解】
依题意 ，
当 时， ，
，两式相减并化简得 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， .
，
所以
，
所以 的取值范围是 .
故选：A
16．B
【解析】
【分析】
利用 的关系求数列通项 即可，注意讨论 、 求 及 的关系.
【详解】
由题设， 时， ，则 ，
时， ，则 ，
第 13 页∴ .
故选：B
17．D
【解析】
当 且 时，由 代入 可推导出数列 为等差数列，确定该数列的首项和公
差，可求得数列 的通项公式，由 可判断A选项的正误；利用 的表达式可判断BC选项的正误；
求出 ，可判断D选项的正误.
【详解】
当 且 时，由 ，
由 可得 ，
整理得 （ 且 ）.
则 为以2为首项，以2为公差的等差数列 ， .
A中，当 时， ，A选项正确；
B中， 为等差数列，显然有 ，B选项正确；
C中，记 ，
，
，故 为递减数列，
，C选项正确；
D中， ， ， .
，D
选项错误.
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：利用 与 的关系求通项，一般利用 来求解，在变形过程中要注意 是否适用，
第 14 页当利用作差法求解不方便时，应利用 将递推关系转化为有关 的递推数列来求解.
18．B
【解析】
根据已知 ，先求 ， ， ，再根据 ，求 .
【详解】
根据题意，等比数列 的前 项和 ，
则 ，
，
，
则有 ，解可得 ；
故选:B．
19．B
【解析】
【分析】
根据“快乐数”定义可得数列 的前 项和 ；利用 与 关系可求得数列 的通项公式，从而得
到 ，采用裂项相消法可求得结果.
【详解】
设 为数列 的前 项和
由“快乐数”定义可知： ，即
当 时，
当 且 时，
经验证可知 满足
数列 的前 项和为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查根据 求解数列的通项公式、裂项相消法求解数列的前 项和；关键是能够准确理解“快乐数”的定义，
得到 ；从而利用 与 的关系求解出数列的通项公式.
20．A
【解析】
【分析】
由 与 的关系 化简即可求出 及 ，可得 ，分析单调性即可求解.
第 15 页【详解】
∵ ,
∴ ,则 ,即 ,
∴ .
易知 ,
∵ ,
当 时, ,
∴当 时, ,
当 时, ,
又 ,
∴当 时, 有最小值.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了数列 与 的关系，数列的单调性，属于中档题.
21．C
【解析】
【分析】
先利用 ，求出 ，从而可求出 ，进而可求出数列 的前n项和
【详解】
当 时， ，
当 时， ， 满足上式，
所以 ，
所以 ，
所以数列 的前n项和是
故选：C
22．C
【解析】
【分析】
根据 求 通项公式，注意讨论 、 并判断是否可合并，再应用裂项法求 ，最后根据不等
第 16 页式求 的最大值即可.
【详解】
当 时， ；当 时， ；而 也符合 ，
∴ ， .又 ，
∴ ，要使 ，
即 ，得 且 ，则 的最大值为19.
故选：C.
23．A
【解析】
【分析】
根据数列 与 的关系证得数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列，
利用等差数列的前n项和公式求出题中的式子，化简计算即可.
【详解】
，
，
整理可得， ，
两边同时除以 可得 ，又
数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列，
，
由题意可得， ，
解得 ．
故选：A．
24．C
【解析】
【分析】
根据通项与 的关系可得递推公式 ，再构造等比数列求 的通项公式，进而代入 求
第 17 页得 得到 即可
【详解】
当 时， ，解得 .
当 时， ，
所 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以数列 是首项为3，公比为2的等比数列，则 ，
从而 ，故 .
故选：C
25．C
【解析】
【分析】
根据题目所给递推关系，利用 ，求得 为等比数列，首项为3公比为2，即可得解.
【详解】
由 ①，
当 时，可得 ，
当 时， ②，
作差可得： ，
所以 ，
所以 为等比数列，首项为3公比为2，
所以 .
故选：C
26．C
【解析】
【分析】
先求出等差数列的通项公式，再根据等差数列的性质，即可分析到 的最小值．
【详解】
解：由等差数列 的前n项和 ，当 时 ，当 时，
所以
当 ， 也成立，所以 ．
根据等差数列的性质可得 ，当且仅当 时取等号．
第 18 页故选：C．
27．C
【解析】
利用 计算．
【详解】
由已知 ．
故选：C．
28．A
【解析】
【分析】
由题得 ， ，两式作差化简得数列 是一个以 为首项，以 为公差
的等差数列，求出 即得解.
【详解】
由题得 ， ，
两式相减得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为数列是正项数列，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以数列 是一个以 为首项，以 为公差的等差数列.
令 得 ，解之得 ，
所以 .
故选：A
【点睛】
方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）归纳法；（2）公式法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法.
要根据已知条件灵活选择方法求解.
29．D
【解析】
第 19 页先利用 结合已知条件得 ，即数列 是每项均为 的常数列，即可求出
，代入已知条件结合等差数列求和公式即可求得.
【详解】
， ，
，变形得
所以数列 是每项均为 的常数列， ，即
又
解得：
故选：D
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用数列递推关系求数列通项公式，及等差数列求和，题目涉及 ，利用
将已知条件转化为 ，从而得到数列 是每项均为 的常数列是解题的关键，
考查学生的逻辑推理与计算能力，属于中档题.
30．CD
【解析】
【分析】
由题意，项和转换可得 ，裂项相消可得
，令 ，解不等式即可
【详解】
由已知可得，
当 时， ，即 ，
∴ ，
，
令 ，得 ，
即
第 20 页解得 （舍去）或 ，
∴结合选项，知正整数 的值可以为8或9．
故选：CD
31．BC
【解析】
【分析】
由 得 ，进而可判断A和B；由等差数列的性质判断C；举反例判断D.
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于选项A：因为 ， ，
当 时， ，
所以 ，所以只有当 时，数列 成等差数列，故A错误；
对于选项B：因为 ， ，
当 时， ，当 时， ，符合上式，
所以 ，则数列 成等比数列，故B正确；
对于选项C：数列 是等差数列， 为前 项和，则 ， ， ， 是公差为 （ 为 的公
差）的等差数列，故C正确；
对于选项D：令 ，则 ， ， ， 是常数列 ，显然不是等比数列，故D错误.
故选：BC.
32．ACD
【解析】
【分析】
对于A，令 直接求解 ，对于B，当 时， ，然后与已知的式
子相减可求出 ，对于C，利用 进行判断，对于D，利用错位相减法求解即可
【详解】
当 时， ，∴ ，∴A正确；
当 时， ，
∴ ，
∴ ，∵上式对 也成立，∴ （ ），∴B错误；
第 21 页∵ ，
∴数列 为递减数列，∴C正确；
∵ ，∴ ，两式相减得，
∴ ，
∴ ．∴D正确．
故选：ACD．
33．BD
【解析】
结合已知可得an＝2an ，n＞1，然后结合a是否为0可进行判定是否满足等差或等比．
﹣1
【详解】
Sn＝2（an﹣a），
当n＞1时可得，Sn ＝2（an ﹣a），
﹣1 ﹣1
两式相减可得，an＝2an ，n＞1，
﹣1
又n＝1时，S＝2（a﹣a）可得，a＝2a，
1 1 1
若a＝0时，数列{an}不是等比数列，而是等差数列，其各项都为0，和也为等差数列
当a≠0时，数列{an}是等比数列，不是等差数列，而非常数的等比数列的前n项和不是等比，
故选：BD
【点睛】
本题考查了项和转换、等差等比数列的判定，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
34．
【解析】
【分析】
利用通项和前n项和的关系可求 的通项公式.
【详解】
，整理得到 ，
故答案为： .
35．51
【解析】
【分析】
根据题意，可知当 时， ，当 时，根据 求出
，再检验 ，从而得出通项公式 ，即可求出 的结果.
第 22 页【详解】
解：由题可知，当 时， ，
当 时， ，
可知 时上式成立，所以 ，
则 ， ， ，
所以 .
故答案为：51.
36．
【解析】
【分析】
由 ，可得 ，即可得到 是以4为首项，4为公差的等差数列，即可求
出 ，再根据 计算可得；
【详解】
解：数列 的前n项和为 ，且满足 ，
整理得： ，
故 （常数），
所以数列 是以4为首项，4为公差的等差数列；
所以 ，
整理得 ，
当 时，故 ，
显然 不符合 ，
所以 ．
第 23 页故答案为： ．
37．
【解析】
【分析】
利用 的关系，讨论 、 求 的关系式，结合等比数列的定义写出 的通项公式.
【详解】
当 时， ，
当 时， ，即 ，
故数列 为等比数列，则 ．
故答案为：
38．12
【解析】
【分析】
根据数列的前 项和 与数列的通项 的关系求解.
【详解】
由数列的前 项和 与数列的通项 的关系可得 ，
又 ，所以 ， ，
所以 ，
故答案为：12.
39．
【解析】
【分析】
直接利用递推公式求出 .
【详解】
∵ ，
∴当n=1时， ，∴ ，
当n=2时， ，∴ ，
当n=3时， ，∴ .
第 24 页故答案为：
40．（1）证明见解析， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由题意 ，① ，当 时， ，② ，① -② 得 ，数
列 是等差数列即得证，即得数列 的通项公式；
（2）由题得 ，再利用等差数列求和得解.
【详解】
（1）由题意 ，①
令 ，得 ，所以 .
当 时， ，②
① -② 得 ，
所以 ，即 .
因为 ，所以 ，
所以数列 是公差为1的等差数列.
又 ，所以 .
又 ，所以 .
（2）由题意，得
.
又 ， ， ，…， 是首项为 ，公差为1的等差数列，
且共有 项，
所以 .
41．（1） ；（2）20.
【解析】
第 25 页（1）利用 之间的关系，将递推公式转化为 之间的关系，构造数列 ，求得 ，进而求得 ；
（2）由（1）中所求，解得 ，利用裂项求和法求得 ，解不等式即可求得结果.
【详解】
（1）在数列 中， ，
当 时， ，即 ，
所以 ，化简得 .
所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
所以 ，解得 .
当 时， .
当 时不满足，
所以 .
（2）由（1）知 ，
所以 .
.
若 ，即 ，解得 .
所以满足 的最小的 值为20.
【点睛】
本题考查利用 求数列的通项公式，裂项求和法求数列的前 项和，属综合中档题.
42．选择见解析； 最大；理由见解析．
【解析】
【分析】
当 时，由已知条件可得 ，化简可得 ，则 是以 为首项， 为公
差的等差数列，从而可得 ，再由 ，可求出 ，则 为公差为2的等差数列，
第 26 页若选①，由 ， ，可得 ，从而可求得 最大，若选②，由 ，可得 ，从而可
求得答案
【详解】
因为 ，
所以当 时， ，
即 ，即 ，即 ．
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，所以 ，
当 时， 成立，
当 时， ，
满足 ，所以， ，
故 ，所以 为等差数列．
若选①，因为 ， ，则 ，可得 ，
，可得 ，所以 ，
所以 ， ，故 最大．
若选②，因为 ，
所以 ，解得 ，
故 ，故 ， ，故 最大．
43．（1） ， （2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用公式 得到 ，得到答案.
（2） ，利用裂项相消法得到 ， 得到证明.
【详解】
（1）由 可得 ，
则 ，可得 ，
而 ，故 ， 时满足，故 ， .
(2) ，
第 27 页=
= ，
而 ，故 .
.
【点睛】
本题考查了数列的通项公式，证明数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
44．（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由 及 可得 ，由等差数列的定义即可证得数列 是等差数列；
（2）由（1）可得 ，从而有 ，从而由已知可得 时， ，进而可得
时， ，检验 即可得答案.
【详解】
解：（1）证明： ， .
，
是等差数列.
（2）由（1）可得 ， .
时， ；
时， .
而 ， ， ， 均不满足上式.
第 28 页（ ）.
第 29 页第 30 页
