文档内容
专题11.13 多边形及其内角和（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】多边形的概念
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，
各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么
这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．
特别说明
(1) 正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
(2) 过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为 ；
(3) 过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
【知识点2】多边形的内角和
n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
特别说明
(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正
(n2) 180°
多边形的每个内角都相等，都等于 n ；
【知识点3】多边形的外角和
多边形的外角和为360°．
特别说明
(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒
等于360°，它与边数的多少无关；
360°
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于 n ；
(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各
相等外角的度数．【考点一】多边形➼➻多边形及相关概念
【例1】下列说法错误的是（ ）
A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形
B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形
C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形
D．多边形是三角形，但三角形不一定是多边形
【答案】D
【分析】根据四边形的定义以及多边形的定义对各小题分析判断即可得解．
解：A．由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组成的封闭平面图形叫多边形，所以多边形是
平面图形，平面图形不一定是多边形，故本选项正确，不符合题意；
B．在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形，四边形由四条线段组成，
但四条线段组成的图形不一定是四边形，故本选项正确，不符合题意；
C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形，例如圆，故本选项正确，不符合题意；
D．多边形构成要素：组成多边形的线段至少有3条，三角形是最简单的多边形，本选项错误，
符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了四边形的定义以及多边形的定义，属于基础题，注意基础概念的熟练掌握．
【举一反三】
【变式】下列说法正确的是( )
A．一个多边形外角的个数与边数相同 B．一个多边形外角的个数是边数的二倍
C．每个角都相等的多边形是正多边形D．每条边都相等的多边形是正多边形
【答案】B
【分析】根据多边形外角的定义及正多边形的定义作答．
解：A．由于任何一个多边形在每一个顶点处都有两个外角，所以一个多边形外角的个数是顶点个数
的2倍，也是边数的2倍，故A错误；
B．正确；
C．如矩形，每个角都相等，但矩形不是正多边形，故C错误；
D．如菱形，每条边都相等，但菱形不是多边形，故D错误．
故选：B．【点拨】本题考查了多边形外角的定义及正多边形的定义．
多边形的边与它相邻的边的延长线组成的角叫做多边形的外角．一个n边形在每一个顶点处都有两个
外角，因此，n边形有2n个外角．
每个角都相等，每条边也都相等的多边形是正多边形．
【例2】探究归纳题：
（1）试验分析：如图1，经过A点可以作1条对角线；同样，经过B点可以作______条对角线；经过
C点可以作______条对角线；经过D点可以作______条对角线．通过以上分析和总结，图1共有______条
对角线．
（2）拓展延伸：运用1的分析方法，可得：图2共有______条对角线；图3共有______条对角线；
（3）探索归纳：对于n边形 ，共有______条对角线．（用含n的式子表示）
（4）特例验证：十边形有______对角线．
【答案】（1）1、1、1、2；（2）5、9；（3） ；（4）35
【分析】（1）根据对角线的定义，可得答案；
（2）根据对角线的定义，可得答案；
（3）根据探索，可发现规律；
（4）根据对角线的公式，可得答案．
解：（1）经过 点可以做 1条对角线；同样，经过 点可以做 1条；经过 点可以做 1条；经过
点可以做 1条对角线．
通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线．
故答案为：1、1、1、2；
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 5条对角线；
图3共有 9条对角线，
故答案为：5、9；（3）探索归纳：
对于 边形 ，共有 条对角线．
故答案为： ；
（4）特例验证：
十边形有 对角线．
故答案为：35.
【点拨】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式 是解题关键．
【举一反三】
【变式】五边形 中，过顶点 最多能引几条对角线?它们将五边形分为几个三角形?这几个三角
形所有内角之和与五边形内角之和有什么关系?
【答案】2条，3个，这几个三角形所有内角之和与五边形内角之和相等
【分析】根据过 边形每一顶点有 条对角线，可以将 边形分为 个三角形，再根据角的和
差关系即可求解．
解：五边形 中，过顶点 最多能引2条对角线，它们将五边形分为3个三角形，这几个三角形
所有内角之和与五边形内角之和相等．
【点拨】此题考查了多边形内角，三角形内角和定理，多边形的对角线的知识，属于基础题，关键是
熟练掌握一些基本知识．
【考点二】多边形➼➻多边形的内角和
【例3】已知一个多边形的边数恰好是从它的一个顶点出发引出的对角线条数的2倍，求这个多边形
的边数及内角和度数．
【答案】6，【分析】设此多边形有n条边，则从一个顶点引出的对角线有 条，根据“一个多边形的边数恰
好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍”列出方程，解方程即可．
解：设此多边形有n条边，由题意，得
，
解得 ，即边数为6，
，即内角和为 ．
【点拨】本题考查了多边形的对角线与多边形的内角和，如果多边形有n条边，则经过多边形的一个
顶点的所有对角线有 条，内角和为 ．
【举一反三】
【变式1】若一个 边形的内角和的 比外角和多90°，求 的值．
【答案】12
【分析】根据多边形的内角和公式与多边形的外角和列式计算即可．
解： 边形的内角和为 ，外角和为 ，根据题意得：
解得：
即 的值为12．
【点拨】本题主要考查了多边形的内角与外角，牢记多边形的内角和公式与外角和等于 是解题的
关键．
【变式2】若一个多边形的外角和比这个多边形的内角和小 ．
(1)求这个多边形的边数；
(2)求这个多边形的所有对角线条数．
【答案】(1)这个多边形的边数是7；(2)14条
【分析】（1）设这个多边形的边数为n，则内角和为 ，外角和为 ，列一元一次方程，
即可求解；
（2）n边形的对角线条数为 ．（1）解：设这个多边形的边数为n，
，
解得 ．
即这个多边形的边数是7．
（2）解： ，
即这个多边形有14条对角线．
【点拨】本题考查多边形的内角和、外角和、对角线条数，解题的关键是掌握n边形的内角和为
，外角和为 ，对角线条数为 ．
【考点三】多边形➼➻多边形的外角和
【例4】（1）若n边形的内角和是 ，求n的值；
（2）若n边形的外角都相等，且内角与相邻外角的度数之比为 ，求n的值
【答案】（1）11（2）8
【分析】（1）直接利用多边形内角和公式求解即可．
（2）先求出每个外角的度数，再利用外角和求出边数即可．
解：（1）∵ ，
∴ ，
∴n的值为11．
（2）∵n边形的外角都相等，
∴n边形的内角都相等，
设n边形的内角和外角的度数分别为 和 ，
∴ ，
∴ ，
∵多边形外角和为 ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了多边形的内角和与外角和，解题关键是牢记多边形的内角和公式，即n边形的内
角和为 ．【举一反三】
【变式1】已知一个正多边形的边数为n．
(1)若这个正多边形的内角和的 比外角和多 ，求n的值．
(2)若这个正多边形的一个内角为 ，求n的值．
【答案】(1)n的值为12；(2)n的值为5．
【分析】（1）根据多边形内角和公式列式计算即可解答；
（2）先求得这个正多边形的每个外角为 ，根据多边形外角和定理解答即可．
（1）解：依题意，得 ，
解得 ，即n的值为12；
（2）解：∵正多边形的一个内角为 ，
∴这个正多边形的外角为 ．
∵多边形的外角和为 ，
∴ ，即n的值为5．
【点拨】本题考查了正多边形的内角与外角，解题的关键是牢记正多边形的内角和公式与外角和等于
360°．
【变式2】已知四边形 的四个外角的度数之比为 ，那么这个四边形各内角的度数分别
是多少？
【答案】
【分析】设四边形的四个外角的度数分别为 ，再根据多边形外角和为 建立方程求出四
个外角的度数，进而求出四个内角的度数．
解：设四边形的四个外角的度数分别为 ．
由题意得， ，
解得 ．
∴四个外角分别为 ．
∴这个四边形各内角的度数分别为 ．
【点拨】本题主要考查了四边形外角和，熟知四边形外角和为是解题的关键．
