文档内容
第 17 讲 分式的运算 （7 个知识点+7 种题型+分层
练习）
知识导图
知识清单
知识点1．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数
字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值
|x|≥10 a×10n 1≤|a| 整数的位数﹣1
|x|＜1 a×10﹣n
＜10
第一位非零数字前所有0的个数（含小数点
前的0）
知识点2．分式的乘除法
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，
即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约
分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，
切不可打乱这个运算顺序．
知识点3．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异
分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把
分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；
通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形
式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
知识点4．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，
有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活
运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分
式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法
的运算律运算，会简化运算过程．
知识点5．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果
要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，
代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．
当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
知识点6．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝ （a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的
错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
知识点7．列代数式（分式）
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．
⑤正确进行代换．
注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替．
题型强化
题型一．科学记数法—表示较小的数
1．（2024•玉泉区二模）小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度是约0.000326毫米，用科学记数法表
示为
A． 毫米 B． 毫米C． 毫米 D． 毫米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 ，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000326毫米 毫米．
故选： ．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中 ， 为由原数左边起
第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．（2024•松原二模）某品种的牡丹花粉的直径约为0.0000354米，数据0.0000354用科学记数法表示为
．
【分析】将一个数表示成 的形式，其中 ， 为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此
即可求得答案．
【解答】解： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．已知 的氢气重约为 ，请用科学记数法表示下列计算结果．
（1）求一个容积为 的氢气球所充氢气的质量；
（2）一块橡皮重 ，这块橡皮的质量是 的氢气质量的多少倍？
【分析】（1）由题知 的氢气重约为 ，那么容积为 的氢气球质量应该用总容积乘
以单位容积的质量，将结果用科学记数法表示即可；
（2）谁是谁的多少倍，应该用总质量除以单位容积的质量，最后用科学记数法表示即可．
【解答】解：（1） ，．
答：容积为 的氢气球所充氢气的质量为 ．
（2） ．
答：这块橡皮的质量是 的氢气质量的 ．
【点评】本题是考查的是科学记数法的问题，掌握科学记数法的表示形式是解题关键．
题型二．分式的乘除法
4．（2023秋•巴东县期末）若 计算的结果为整式，则“□”中的式子可能是
A． B． C． D．
【分析】设“□”中的式子为 ，把除法运算化乘法运算，约分得到原式 ，然后把各选项的式
子分别代入即可得到答案．
【解答】解：设“□”中的式子为 ，
原式
，
所以当 时，
原式 ，结果为整式，
故选： ．
【点评】本题考查了分式的乘除法：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；分式除
以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
5．（2024秋•故城县月考）若 的运算结果是整式，写出一个“ ”内可能的式子：（答案不唯一） ．
【分析】根据题意，要使运算结果结果为整式，需在分式的运算中约去分母，因此得到分母中含有因式
，即可得到结果．
【解答】解：
，
是整式，
内可能的式子是 ．
故答案为： （答案不唯一）．
【点评】本题考查了分式的乘除运算，涉及到整式的概念的应用，熟练对分式进行化简运算是解题的关键．
6．（2024秋•丰城市校级月考）计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可；
（2）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可；
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式．
【点评】此题了考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
题型三．分式的加减法
7．（2024秋•故城县月考）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是
A． B． C． D．1
【分析】由题意得，被盖住的部分是 ，进而可得答案．
【解答】解：由题意得，被盖住的部分是 ．
故选： ．
【点评】本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
8．（2023秋•淮南期末）计算： ．
【分析】先把两个分式写成同分母的分式相减，然后把所得分式的分子分解因式，并与分母约分即可．
【解答】解：
，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分和约分．9．（2023秋•长葛市期末）对于实数 ，规定： ．例如： ， ，
．
（1）求值： 1 ； ．
（2）猜想： ，并证明你的结论．
（3）求： 的值．
【分析】（1）分别算出 （3）， ， （5）， 的值，再求和即可；
（2）首先求出 ，然后计算 即可得出结论；
（3）按照定义式 发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间的 ，最后再求和即可．
【解答】解：（1） ， ，
，
， ，
．
故答案为：1；1；
（2）猜想： ，
证明： ；．
故答案为：1；
（3）
．
【点评】本题考查了代数式求值，实数的运算，分式的加减法，掌握相应的运算法则是解题的关键．
题型四．分式的混合运算
10．（2024•祁县模拟）化简 的结果是
A． B． C． D．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到
结果．
【解答】解：原式 ，
故选： ．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（2024春•普陀区期末）关于 的方程 的解是 ．
【分析】方程合并后，将 系数化为1，即可求出解．
【解答】解：方程合并得： ，
解得： ，
故答案为：【点评】此题考查了分式的混合运算，以及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（2024秋•襄都区月考）如果一个式子由两个或两个以上的分式用“ ”连接而成，且任意两个分式
的分母位置互换后对式子的值没有影响，则称这类式子为“均衡分式串”，例 中交换 ，
的位置可得 ，两个式子值相同，则 是“均衡分式串”．
概念理解：（1）下列3个式子中是“均衡分式串”的是 ① ．（填序号）
① ；② ；③ ．
深入探究：（2）“均衡分式串” 是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，
请说明理由．
拓展应用：（3）若 ，求“均衡分式串” 的值．
【分析】（1）根据“均衡分式串”的定义，进行判断即可；
（2）根据分式的加法法则，进行计算即可；
（3）根据 ，得到 ，代入分式，进行计算即可．
【解答】解：（1） ，故①是“均衡分式串”，
，故②不是“均衡分式串”，
，故③不是“均衡分式串”，
故答案为：①；
（2）是，理由： ；
（3） ，
，．
【点评】本题考查分式的运算，理解“均衡分式串”的定义，分式的运算法则是解题的关键．
题型五．分式的化简求值
13．（2024秋•新华区校级月考）若 ，则代数式 的值为
A． B． C．2 D．
【分析】先运用分式的混合运算法则化简，然后将 代入计算即可．
【解答】解：
．
故选： ．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式混合运算的法则是解题的关键．
14．（2024•龙岩模拟）已知 ，化简求值： 202 4 ．
【分析】先化简，把 变成 ，整体代入即可．
【解答】解：原式 ，，
，
原式 ，
故答案为：2024．
【点评】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，掌握相关知识是解题的关键．
15．（2024•邵东市三模）先化简代数式 ，再从2， ，1， 四个数中选择一个你
喜欢的数代入求值．
【分析】先算括号内的减法，再把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可．
【解答】解：原式
，
， ， ，
只能取 ，
当 时，原式 ．
【点评】本题考查了分式的混合运算和求值和分式有意义的条件，能正确根据分式的运算法则进行化简是
解此题的关键．
题型六．负整数指数幂
16．（2024春•莱阳市期末）若 ，则它们的大小关系是
A． B． C． D．
【分析】先将各选项进行化简再进行比较即可．
【解答】解： ， ， ， ，
它们的大小关系是： ，
故选： ．【点评】本题考查负整数指数幂的性质、零指数幂的性质及有理数大小比较，正确化简各数是解题的关键．
17．（2024春•南阳期末）计算： 3 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式
．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．（2023秋•隆阳区期末） ．
【分析】先根据有理数的乘方，绝对值，零指数幂和负整数指数幂进行计算，再算加减即可．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂等知识点，能正确根据有理数的运算法
则进行计算是解此题的关键．
题型七．列代数式（分式）
19．（2024秋•邢台月考）春节游河南，探寻千年古韵，品味地道年味！有游客 人，到龙门石窟游玩，
需要住宿，如每 个人住一间房，结果还有一个人无房住，则客房的间数是
A． B． C． D．
【分析】根据有一个人无房住可得住进房间的人数为 人，再除以 即可求出客房的间数．
【解答】解：由题意可得，客房的间数为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了列代数式，读懂题意是解题的关键．
20．（2023秋•德惠市校级期末）在一块 公顷的稻田上插秧．如果10个人插秧．要用 天完成；如果一
台插秧机工作．要比10个人插秧提前3天完成．一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的倍．
【分析】此题可利用工作总量作为相等关系，借助方程解题．
【解答】解：设一台插秧机的工作效率为 ，一个人工作效率为 ．则 ．所以 ．
【点评】列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，找到其中的数量关系，工程问题要有“工作效
率”，“工作时间”，“工作总量”三个要素，数量关系为：工作效率 工作时间 工作总量．
21．（2023秋•淄川区期末）某人沿一条河流顺流游泳 米，然后逆流回到出发点，设此人在静水中的游
速为 ，水流速度为 ．
（1）求他来回一趟所需的时间为 ；
（2）用 ， ， 的代数式表示 ．
【分析】（1）利用时间 路程 速度可得出时间 ；
（2）从（1）中得出的式子中解出 即可．
【解答】解：（1）顺流时速度为 ，逆流时速度为 ，
所以 ；
（2）由（1）知 ，
去分母可得： ，
两边同时除以 可得： ．
【点评】本题主要考查列分式方程及解字母系数的方程，把要解的 看成未知数解出 是解题的关键．
分层练习
一、单选题
1．﹣2﹣3＝（ ）
A． B． C．8 D．﹣8
【答案】A
【知识点】负整数指数幂
【分析】直接运用负整数指数幂的运算法则计算即可;
【详解】解：﹣2﹣3＝ ．故选：A．
【点睛】本题主要考查负整数指数幂的运算，正确应用 是解题的关键．
2．目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有 ，将 用科学记数法表示为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原数
变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解： ．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法，关键是掌握 的值的确定方法．
3．下列运算正确的是（ ）．
A． B．2a•3b=5ab C．3a2÷a2=3 D．
【答案】C
【知识点】负整数指数幂
【详解】试题分析：逐项分析，A、 ，本选项错误；B、2a•3b=6ab，本选项错误；C、
3a2÷a2=3，本选项正确；D、 ，本选项错误．
故选C．
考点：整式的除法；算术平方根；单项式乘单项式；负整数指数幂．
4．计算 的结果是( )
A． B． C．y D．x
【答案】A
【知识点】分式乘法【详解】原式 ，故选A.
5．滴水的质量约0.000 051 2kg，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．0.512× B．5.12× C．512× D．5.12×
【答案】D
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，指数的绝对值等于
原数第一个不为零的数字前面的0的个数．
【详解】解：0.0000521＝5.21×10−5；
故选D．
【点睛】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法定义，绝对值小于1的数的表示方法，是解决此类
问题的关键．
6．成人每天维生素 的摄入量约为 克，数据“ ”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.0000046=4.6×10-6．
故选：B．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起
第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7．下列各式：① ；② ；③ ；④ ．其中计算结果相等的是
（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】B
【知识点】含乘方的分式乘除混合运算、分式乘方、分式除法
【分析】先根据分式的运算法则计算各式，然后可得答案．【详解】解：① ，
② ，
③ ，
④ ；
所以，计算结果相等的是①③；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则、正确计算是解题的关键．
8．自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科
学记数法表示为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表
示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】0.000073用科学记数法表示为 ，
故选D．
【点睛】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；
当原数的绝对值＜1时，n是负数．
9．计算 的结果是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】负整数指数幂【分析】根据负整数指数幂和幂的乘方和积的乘方解答．
【详解】原式=（-1）-2a-2b4
= •b4
= ．
故选B．
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，同时要熟悉幂的乘方和积的乘方．
10．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m米 的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池
后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为 米的正方形，两块试验田的小麦都收获了n千
克．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为P千克/米 和Q千克/米 ．下列说法：
① ；② ；③ ；④P是Q的 倍．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】分式加减的实际应用、分式除法
【分析】分别表示出 ， ，再计算出 和 ，即可判断．
【详解】解：由题意可得： ， ，
∵，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵
故③④正确，共2个，
故选B．
【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
二、填空题
11．计算： ．
【答案】
【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂
【分析】根据实数的计算法则和负整数指数幂的计算法则求解即可．
【详解】解：原式
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了实数的计算，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
12．近似数－1.25× 有效数字的个数有 个．【答案】3
【知识点】指出一个近似数精确到哪一位
【分析】根据有效数字的定义，从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个
数的有效数字，科学记数法中a×10n中a的所有数都是有效数字，10n确定数位即用于定位．
【详解】－1.25× ＝－0.00125，有效数字为1，2，5．
故答案为：3．
【点睛】本题考查科学记数法中有效数字问题，掌握科学记数法的结构，a中的数都是有效数字是解题关．
13．在第二届柔性电子国际学术大会（ICFE2019）上，中国柔性电子与智能技术全球研究中心研发团发布
了两款厚度小于25微米（即0.000025米）的柔性芯片，极大促进了人—机—物三元融合，是融合实体、
数字和生物世界的变革性力量．将0.000025用科学记数法表示应为 ．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成 的形式，其中
， 为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定 的值时，要看把原数变成
时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
14． ．
【答案】
【知识点】负整数指数幂、零指数幂
【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，根据零指数幂，负整数指数幂即可求解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
15．化简：
【答案】【分析】根据分式的运算法则即可求解．
【详解】
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则．
16． 的结果为 ．
【答案】
【知识点】负整数指数幂、零指数幂
【分析】首先根据零指数幂、负指数幂计算，然后进行加减计算即可．
【详解】解：
=1+（-1）×9
=1−9
=-8．
【点睛】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂的运算，熟练掌握零指数幂和负指数幂的运算是解题的
关键．
17．已知是 ，则 的值等于 ．
【答案】
【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理得到a-b与ab的关系，代入原式计算
即可求出值．
【详解】解：∵ ，
∴则 ，
故对答案为： ．
【点睛】此题考查了分式的加减法，以及分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．据悉，世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质
量只有 克，此数据用科学记数法表示为 克．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】本题考查了科学记数法表示较小的数，注意：对于绝对值小于1的数，用科学记数法表示为
形式，其中 是一个负整数，除符号外，数字和原数左边第一个不为0的数前面0的个数
相等．对于绝对值小于1的数，用科学记数法表示为 形式，其中 是一个负整数，除符号
外，数字和原数左边第一个不为0的数前面0的个数相等，根据以上内容写出即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
三、解答题
19．已知： ， ，求证： ．
【答案】见解析
【知识点】异分母分式加减法、通过对完全平方公式变形求值
【分析】先给 左右平方根可得 即 ；再
结合 可得a、b、c均不为零，然后给 左右两边同除以 并结合
即可解答．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，即 ．
∴ ．∵ ，
∴a、b、c均不为零．则 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了异分母分式的加减、完全平方公式等知识点，灵活对代数式的形式进行变形是解
答本题的关键．
20．先化简，再求值： ，其中x从不等式组 的解集中选取一个合适的
数．
【答案】 ； 时，0
【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值、求不等式组的解集
【分析】先根据化简分式，再解一元一次不等式组求得x的取值范围，由分式有意义的条件可得 和
，再取值代入求解即可．
【详解】解：原式＝
，
，
由①得， ，
由②得， ，
∴不等式的解集为 ，
又∵ ，
∴ 和 ，
∴把 代入得， ．
【点睛】本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组、分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则
和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．21．小王去市场采购同一种商品．第一次采购用了2400元，第二饮采购用了3000元，第一次采购时该商
品的价格是 元/件，第二次采购时该商品的价格是3x元/件．
(1)求小王两次共采购了多少件该商品；
(2)小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？
【答案】(1)两次共采购的件数为 件
(2)第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍
【知识点】分式加减的实际应用、分式除法
【分析】本题考查分式运算的实际应用：
（1）根据数量等于总价除以单价，求出每次采购的数量，再相加即可；
（2）用第一次的数量除以第二次的数量进行求解即可．
【详解】（1）解：第一次采购该商品的件数为 ，
第二次采购该商品的件数为 ，
所以，两次共采购的件数为 （件）．
（2） ，
第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍．
22．（1）先化简，再求值： ，其中 是不等式组 的整数解．
（2）甲车队有15辆汽车，乙车队有28辆汽车，现调来10辆汽车分给两个车队，使甲车队车数比乙车队
车数的一半多2辆，应分配到甲、乙两车队各多少辆车？
【答案】（1） ，2；（2）应分配到甲车队4辆车，乙车队6辆车
【知识点】分式化简求值、比例分配(一元一次方程的应用)、求一元一次不等式组的整数解
【分析】（1）先化简分式，再计算不等式组 的整数解，最后求值即可．
（2）设应分到甲队 辆车，则分到乙队 辆车，依题意得， ，解方程即可．
本题考查了分式的化简求值，求一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的应用，熟练掌握分式化简，解方程是解题的关键．
【详解】（1）.解：原式
，
解不等式组
得： ．
其整数解为： ．
当 时，原式 ．
（2）解：设应分到甲队 辆车，则分到乙队 辆车，依题意得，
，
解得 ，
则分到乙队 （辆），
答：应分配到甲车队4辆车，乙车队6辆车．
23．（1）先化简，再求值： ，其中 ．
（2）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，团结社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾
桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需
要860元．
①求两种型号垃圾桶的单价；
②若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
【答案】（1） ，1；（2）①A型垃圾桶、B型垃圾桶的单价分别为60元，100元；②至少需要购买A
型垃圾桶125个
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、和差倍分问题(二元一次方程组的应用)、分式化简求值【分析】
本题主要考查了分式的化简求值，二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可；
（2）①设A型垃圾桶、B型垃圾桶的单价分别为x元，y元，根据购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶
共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元列出方程组求解即可；②设购买A型
垃圾桶m个，则购买B型垃圾桶 个，根据购买费用不超过15000元列出不等式求解即可．
【详解】解：（1）
，
当 时，原式 ；
（2）①设A型垃圾桶、B型垃圾桶的单价分别为x元，y元，
由题意得， ，
解得 ，
∴A型垃圾桶、B型垃圾桶的单价分别为60元，100元，
②设购买A型垃圾桶m个，则购买B型垃圾桶 个，
由题意得， ，解得 ，
∴m的最小值为125，
∴至少需要购买A型垃圾桶125个．
24．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1）1；（2） ；（3）
【知识点】负整数指数幂、零指数幂、整式的混合运算、实数的混合运算
【分析】（1）根据零指数幂、负指数幂和幂的运算公式计算即可；
（2）根据整式乘除的运算性质计算即可；
（3）先根据多项式乘以多项式展开，在合并同类项即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算、幂的运算性质、整式乘除运算，准确计算是解题的关键．25．如图，“丰收1号”小麦试验田是一块边长为a米 的正方形上修建两条宽为2米的甬道后剩余
的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为a米 的正方形去掉一个边长为2米的正方形蓄水池后余
下的部分，两块试验田的小麦都收获了n千克．
(1)“丰收1号”试验田的面积为______平方米；“丰收2号”试验田的面积为______平方米；
(2)高的单位面积产量比低的单位面积产量多多少？
【答案】(1) ；
(2)高的单位面积产量比低的单位面积产量多 千克/平方米
【知识点】分式加减的实际应用、用代数式表示式
【分析】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
（1）根据题意可以求得两块试验田的面积；
（2）根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”进行计算求解即可．
【详解】（1）由题意得，“丰收1号”试验田的面积为： 平方米，
“丰收2号”试验田的面积为 平方米；
（2）∴高的单位面积产量比低的单位面积产量多 千克/平方米
26．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水
进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，
请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用
一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称
重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，
拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ，在多次实验后，通过对收集的数据进
行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后
的衣服上都存留约1斤的污水．
数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较．
方案一：采用一次漂洗的方式.将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______；
方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同.如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣
服中存有的污物是原来的______；
方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的
______．
实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案______的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）．
推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留 斤污水，现用
斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤），证明上面实验中得到的结论．
【答案】数据计算： ， ， ；实验结论：三；推广证明：见解析
【知识点】分式加减的实际应用
【分析】本题考查分式的实际应用：
数据计算：把一件存留1斤污水的衣服用x斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存
有的污物是原来的 ，由此可解；
实验结论：根据前一问结论，比较大小即可；
推广证明：用含x，a，m的式子表示出进行漂洗后衣服中存有污物与原有污物的比，利用分式的性质将分子化为相同，比较分母的大小即可．
【详解】解：数据计算：
方案一，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ，
方案二，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ，
方案三，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ，
故答案为： ， ， ；
实验结论：
，
方案三的漂洗效果最好，
故答案为：三；
推广证明：
依题意可得，
选择方案一进行一次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的 ，可化为 ；
选择方案二进行两次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的 ，整理得 ；
选择方案三进行两次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的 ，整理得 ；
因为三个分式的分子，分母都是正数，且分子相同，
所以要判断三个分式值的大小，只需比较分母的大小，
因为 ，且 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即方案二比方案一的漂洗效果好，
因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即方案三比方案二的漂洗效果好，
综上，在这三种方案中，方案三的漂洗效果最好.
