文档内容
第 02 讲 与三角形有关的角 （3 个知识点+5 种题型+分层练
习）
知识导图
知识清单
知识点1．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且
每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．
在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的
关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐
角．
知识点2．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
知识点3．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的
性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜
边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质 5：在直角三角
形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于
30°．
题型强化
题型一．三角形内角和定理
1．（2023秋•林芝市期末）如图， 中， 为 的角平分线， 为 的高，
， ，那么 是
A． B． C． D．
【分析】根据高线的定义可得 ，然后根据 ， 求出 ，
再根据角平分线的定义求出 ，然后利用三角形的内角和等于 列式计算即可得解．
【解答】解： 为 的高，
， ，，
是角平分线，
，
在 中， ．
，
故选： ．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定
理并准确识图是解题的关键．
2．（2023秋•金东区期末）如图，在 中， ， 、 分别是 的高
线和角平分线，若 与 构成的角为 ， ，则 8 0 度．
【分析】由 ，可得出 ，在 中，利用三角形内角和定理，可求
出 的度数，结合 ，可求出 的度数，由 平分 ，
利用角平分线的定义，可求出 的度数，再在 中，利用三角形内角和定理，即
可求出 的度数．
【解答】解： ，
．
在 中， ， ，
，
．
平分 ，
．
在 中， ， ，
．
故答案为：80．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是
”是解题的关键．3．（2024春•太康县期末）在 中， 平分 交 于点 ， 是 边
上的高，且 ， ，求：
（1） 的度数．
（2） 的度数．
【分析】（1）根据角平分线的性质可得 ，再根据三角形的内角和是 即可
求解；
（2）由直角三角形的两锐角互余即可求解 ，根据 ，即可得
解．
【解答】解：（1） 平分 ， ，
，
，
；
（2）由（1）知， ，
，
，
，
．
【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高的性质等知识，解题
的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
题型二．三角形的外角性质
4．（2023秋•湛江期末）如图所示， 的外角等于 ， 等于 ，则 的度
数是 ．【分析】根据三角形外角的性质可得答案．
【解答】解： 的外角 ，且 的外角等于 ， 等于 ，
，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻
的两个内角的和是解题的关键．
5．（2024•驿城区模拟）如图，把一个含 角的直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边
上，如果 ，那么 的度数为
A． B． C． D．
【分析】根据三角形的外角性质得出 ，代入求出即可．
【解答】解：
，
故选： ．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，能根据三角形的外角性质得出 是解
此题的关键．
6．（2023秋•甘州区校级期末）如图， 是 的外角， 平分 ， 平
分 ，且 、 交于点 ， ．
（1）求证： ；
（2）猜想：若 ，求 的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到 ，得到 ，根据平行
线的判定定理证明结论；（2）根据三角形的外角性质、角平分线的定义计算，得到答案．
【解答】（1）证明： 平分 ，
，
，
；
（2）解： 是 的一个外角，
，
平分 ，
，
．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个
内角的和是解题的关键．
题型三．直角三角形的性质
7．（2024春•港北区期中） 中， ， ，则
A． B． C． D．
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得 ，再代入 的度数可得 的度
数．
【解答】解： ，
，
，
，
故选： ．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，两个锐角互余．
8．（2023 秋•陵城区期末）如图，把一张 纸片沿 折叠，若 ，
，则 的度数为 ．【分析】根据折叠的性质和直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解： 把一张 纸片沿 折叠，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
9．（2024 春•沭阳县期中）如图， 中， ， ， ，
，求 ．
【分析】根据平角的定义，求得 ，由于， ， ， ，
根据直角三角形的性质求得 ，即可求得 ．
【解答】解： ，
，
， ， ，
，
．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余是本题的关键．
题型四、三角形内角和定理的证明
10．（22-23八年级上·广西百色·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．任何命题都有逆命题 B．“三角形的内角和等于 ”是真命题
C．命题的逆命题不一定是正确的 D．每个定理都有逆定理
【答案】D
【分析】本题考查命题与定理、三角形内角和定理，根据逆命题的定义、三角形内角和定理、真假命题的定义、互为逆命题的两个命题的真假没有关系进行判断即可．
【详解】解：A、任何命题都有逆命题，故不符合题意；
B、“三角形的内角和等于 ”是真命题，故不符合题意；
C、命题的逆命题不一定是正确的，故不符合题意；
D、定理的逆命题不一定是真命题，因此每个定理不一定都有逆定理，故符合题意；
故选：D．
11．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在
一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．
【答案】三角形内角和定理
【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角
形内角和定理．
【详解】解：根据折叠的性质， ，
∵ ，
∴ ，
∴定理为：三角形内角和定理．
故答案为：三角形内角和定理．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的
关键．
12．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知 ，求证：
．（过点 作 ，请按照此思路继续完成证明过程）【答案】详见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质，作出平行线，根据平行线的性质进行证明是解题
关键．
【详解】证明：如图，过点 作 ．
．
，
．
题型五、三角形的外角的定义及性质
13．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，CE平分 ， ， ，
那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义 ，根据角三角形外角的性质即可解答．
【详解】解：∵CE平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵在△ABC中， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选 ．
14．（23-24八年级上·山西运城·期末）如图，在 中，已知 是角平分线，
， ，则 ， ．
【答案】 /83度 /97度
【分析】本题考查的是三角形的外角性质、角平分线的定义、邻补角的概念，掌握三角形
的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
根据三角形内角和定理求出 ，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到
答案．
【详解】解： ， ，
，
是 的角平分线，
，
，
，
故答案为： ； ．
15．（23-24八年级上·全国·单元测试） 的三条角平分线相交于点 ，延
长 交 于点 ．作 ，交 延长线于点 ．
(1)若 ，则 ；(2)判断 与 的数量关系，并说明理由；
(3)求证 ．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟
练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由角平分线的定义得出 ， ，再由三角形内角和
定理得出 ，最后再结合三角形内角和定理计算即可得出答案；
（2）由角平分线的性质结合三角形内角和定理得出 ，由三角形外角
的定义及性质得出 ，计算即可得出答案；
（3）由三角形内角和定理结合（2）得出 ，由 ，
推出 ，结合 ，得出 ，即可得证．
【详解】（1）解：如图，
，
∵ 的三条角平分线相交于点 ，
∴ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
∵ 的三条角平分线相交于点 ，∴ 平分 ， 平分 ， 平分 ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
（3）证明：∵ 的三条角平分线相交于点 ，
∴ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
分层练习
一、单选题
1．（22-23八年级上·陕西渭南·期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于 ，则另一
个锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了直角三角形的两锐角互余．根据直角三角形的两锐角互余，即可
求解．
【详解】解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于 ，
∴另一个锐角的度数是 ．故选：C
2．（22-23八年级上·四川泸州·期中）如图，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形外角等于不相邻的两个内角和是解题关
键．
根据三角形外角等于不相邻的两个内角和列式计算即可．
【详解】解：∵ 是 的一个外角，
∴ ．
故选：C．
3．（22-23八年级上·贵州黔西·期末）如图，在 中， ， ，
则 是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，找出 是解题
的关键．
在 中，利用三角形内角和定理，可得出 ，结合 ，可得
出 ，再利用三角形内角和定理，可得出 ，进而可得出
是直角三角形．
【详解】解：在 中， ，
∴ ，
又∵ ，
，∴ ，
是直角三角形．
故选：C．
4．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ，
则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求出
的度数，再根据平行线的性质求出 的度数即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵
∴ ；
故选B．
5．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）如图， ， ， 则 、 的关
系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键．延长 交 于点G，延长 交 于点H，求出 ， ，再根据
平行线的性质得出 ，进而可得答案．
【详解】解：延长 交 于点G，延长 交 于点H，如图，
，
，
在 中， ，
，
，
，即 ，
，
，即 ．
故选：D．
6．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ，点D在 上，
将 沿 折叠，使A点落在 边上的E点，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查与折叠有关的三角形的内角问题，先求出 的度数，根据折叠的性质，
结合三角形的内角和定理进行求解即可．【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
∴ ；
故选B．
7．（22-23八年级上·河南安阳·期中）如图，将纸片 沿 折叠，使点 落在四边形
的外部点 的位置，如果 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了折叠，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质可求出
，结合折叠的性质可得出 ，即可求解．
【详解】解∶如图，
∵ ， ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．8．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，铅笔放置在 的边AB上，笔尖方向为点
A到点B，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转 ， ， 的度数后，笔
尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（ ）
A．三角形两边的和大于第三边 B．三角形两边的差小于第三边的
C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角
的
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形内角和定理，利用旋转角度之和及铅笔的朝向证明三角形内
角和为 ．
【详解】解：∵铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转 ， ， 的度数后，
∴三次旋转的角度为 ，
∵笔尖方向由点A到点B变为点B到点A，
∴旋转角度之和为 ，
即 ．
故选：C．
9．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）具备下列条件的 中，不是直角三角形的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别进行变形结合 ，进行逐一求解，即可判断．
【详解】解：A. ， ， ，
，解得： ， ， ，
不是直角三角形，故符合题意；B. ， ， ， ，解得：
， 是直角三角形，故不符合题意；
C. ， 设 ， ， ， ，
，解得： ， ， 是直角三角形，
故不符合题意；
D. ， ， ， ，
，解得： ， ， ， 是直角三角形，
故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，掌握定理是解题的关键．
10．（22-23八年级上·甘肃平凉·期中）如图，在 中， ， 和
的平分线交于一点O， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线定义，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握并运用相关知
识．根据 ，可求得 的值，再根据角平分线定义，可求得
，最后根据三角形内角和即可求得 的度数．
【详解】解： ，
，
和 的平分线交于一点O，
，，
故选：C．
二、填空题
11．（20-21八年级上·浙江台州·期中）有两个角 的三角形是直角三角形．
【答案】互余
【分析】由三角形中有两个角互余，结合三角形的内角和定理可得第三个角为 ，从而
可得答案．
【详解】解：有两个角互余的三角形是直角三角形，
故答案：互余．
【点睛】本题考查的是两个角互余的含义，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的
关键．
12．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在 中， ， ，
，则 的度数为 ．
【答案】83
【分析】根据三角形的内角和及平行线的性质即可求解．
【详解】解： ， ，
，
又 ，
，
故答案为：83．
【点睛】本题考查了三角形的内角和及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关
键．
13．（22-23八年级上·湖北十堰·期中）如图， ， ， ，则
．【答案】
【分析】根据三角形的内角和等于 ，得出 的度数，再根据两直线平行，内错角相
等，即可得出 的度数．
【详解】解：∵ ，
又∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关
的性质定理．
14．（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，AD， 分别是 的角平分线和高
线，且 ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，是基础题，
准确识图找出各角度之间的关系是解题的关键．根据三角形的内角和等于 求出 ，
再根据角平分线的定义求出 ，根据直角三角形两锐角互余求出 ，然后根据
代入数据进行计算即可得解．
【详解】解： ， ，
，是 的角平分线，
，
是 的高线，
，
．
故答案为： ．
15．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图， ， 分别是 的边
， 上的两点， ，把 沿 折叠，当点 落在四边形 内部时，
则 ．
【答案】 /110度
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，平角的定义、折叠的性质．根据平角定义
和折叠的性质，得 ，再利用三角形的内角和定理进行转
换，得 ．
【详解】解：根据平角的定义和折叠的性质，得
，
又 ，
．
故答案为： ．
16．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）如图， 的外角平分线 ， 相交于点 ，
若 ，则 ．【答案】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，根据直角
三角形的性质得到 ，进而得到 ，再根据角平分
线的定义，三角形内角和定理计算即可，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 分别为 ， 的平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
17．（22-23八年级上·河南安阳·期中）如图， 中， ， ， 分别平分
， ，则 ．
【答案】35
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，利用角平分线的定义得出
， ，利用三角形外角的性质得出
， ，进而得出 ，即可求解．【详解】解∶∵ ， 分别平分 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
故答案为∶35．
18．（22-23八年级上·广西柳州·期中）如图，将 纸片沿 折叠，使点 落在点
处，且 平分 ， 平分 ，若 ，则 的度数为
．
【答案】 /112度
【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，
灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线是解答本题的关键，属于中考常考题型．连接
，根据折叠的性质及三角形外角的性质求出 ，再由角平分线及三角形内角
和定理即可解决问题．
【详解】解：如图，连接 ，
沿 折叠，
， ，
， ，
，
，
，平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
故答案为： ．
三、解答题
19．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交 于点C，
垂足为E， 求 的大小．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角、垂直定义、三角形内角和定理等知识点，根
据平行线的性质得出 ，求出 ，即可求出 ，根据垂直求出 ，即
可求出答案．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．20．（22-23八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，点C为 的边 延长线上的一
点，点D为边 上一点， 交 于点F，已知 ， ，求 的度数．
【答案】 的度数为 ．
【分析】此题考查的是三角形的内角和定理的应用．根据三角形的内角和定理可求出 ，
然后再根据三角形的内角和定理即可求出结论．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
答： 的度数为 ．
21．（23-24八年级上·山西运城·期末）如图，在 中， 平分 ，P为线段
上的一点，过点P作 交 的延长线于点E．若 ， ，求
的度数．
【答案】94°
【分析】由 得 ，从而求得 ，根据三角形外角
的性质可求得 ，再根据角平分线的定义可求得 ，从而根
据三角形的内角和定理求得 的度数．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查垂直的定义，角平分线，直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，
三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质．
22．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，在 中， 是 边上的高，E是 边
上一点， 交 于点M，且 ．求证： 是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由 是 边上的高，得
；再由 ，即可得结论成立．
【详解】解：∵ 是 边上的高，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
23．（23-24八年级上·河北唐山·期中）夕夕同学要证明“任意一个三角形的内角和一定等
于 ”是正确的，她的想法是利用平行线的性质与平角的定义来证明．下面夕夕已经写
出了已知和求证，请你按夕夕的想法完成证明．
如图，已知： ．
求证： ．
【答案】见解析【分析】本题考查了平行线的性质以及平角的定义：先由平行线的性质得到内错角相等，
再结合平角是 ，即可作答，作出 的辅助线是解题的关键
【详解】证明：如图1，过点 作 ．
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
24．（22-23八年级上·广西桂林·期中）如图， 中， ， ， 平分
， 于D， ，交 于F，求：
(1) 的度数；
(2)当 平分 时， ，若 ， ， ，请用含m，n，a的代
数式表示 的长．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了三角形的内角和 以及角平分线的定义，一元一次方程的应用．
（1）首先根据三角形的内角和定理求得 的度数，根据角平分线的定义求得
的度数，则 可以求解，然后在 中，利用内角和定理即可求得 的度数；
（2）设 ，则 ，代入计算即可求解．
【详解】（1）解： ， ，
，平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设 ，则 ，
∵ ，且 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
25．（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图，在 中， ，点 ， 在边
上，将边 沿 翻折，使点 落在 上的点 处，再将边 沿 翻折，使点
落在 的延长线上的点 处，
(1)求 的度数；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)10
【分析】本题主要考查了折叠变换的性质、三角形面积等知识：（1）由折叠可得， ， ，再根据
，即可得出 ；
（2）在 中，得出 ，再计算出 ，由三角形面积公式可得结论．
【详解】（1）由折叠可得， ， ，
又 ，
，
即 ；
（2）由折叠，得 ， ．
．
．
．
．
26．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在 中， ，点 为 上一
点，过点 作 于点 ．
(1)当BD平分 ，且 时，求 的度数；
(2)当点 是 中点， ，且 的面积为 ，求 的长．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）根据角平分线的定义及直角三角形的性质求解即可；
（ ）由点 是 中点得 ，又 ，从而求解；
此题考查了角平分线的定义，三角形中线的性质，直角三角形的性质，等面积法，熟练掌
握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵点 是 中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴．
