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第 05 讲 多边形及其内角和
课程标准 学习目标
1. 掌握多边形及其相关概念，能够熟练的进行判断且能够运用相关公
①多边形及其相关概念
式进行计算。
②多边形的内角和
2. 掌握多边形的内角和计算公式并能够熟练的应用。
③多边形的外角和
3. 掌握多边形的外角和并能够熟练的运用其进行相关的计算。
④正多边形
4. 掌握正多边形及其相关的计算公式，并能够熟练的进行应用。
知识点01 多边形及其相关概念
1. 多边形的概念：
在平面内，由多条线段首位顺次连接所组成的图形是多边形。组成多边形的线段有多少条，则图形就
是一个几边形。
2. 多边形的相关概念：如图：组成多边形的线段叫做多边形的 边 ；相邻两条边的交点叫多边形的 顶点 ；相邻两条
边构成的角是多边形的 内角 ；任意两个不相邻的顶点间的连线段叫做多边形的 对角线 ；多
边形的边与邻边的延长线构成的角叫做多边形的 外角 。
3. 凹多边形与凸多边形：
以多边形的任意一边画直线，若多边形整个图形都在直线的同一侧，则这个多边形为凸多边形，反之
则为凹多边形。
【即学即练1】
1．如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据多边形的定义：平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形．
显然只有第一个、第二个、第五个．
【解答】解：所示的图形中，属于多边形的有第一个、第二个、第五个．
故选：A．
【即学即练2】
2．如图，下列图形不是凸多边形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据凸多边形的定义进行判断．
【解答】解：选项A、B、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线
的同一侧，所以都是凸多边形，只有C不符合凸多边形的定义，不是凸多边形．
故选：C．
知识点02 多边形的内角和
1. 多边形的对角线计算：
...
总结规律：若多边形的边数为n，则多边形一个顶点的对角线条数为 n−3 条，多边形所有的对角
n(n−3)
2
线条数为 条。
2. 多边形一个顶点的对角线把多边形分成的三角形数量计算：(n−2)
由上图总结：一个顶点的对角线分多边形成三角形的个数为： 个。
3. 多边形的内角和计算公式：
(n−2)⋅180°
由上图可知，多边形的内角和等于图中所有三角形的内角和之和。即： 。
【即学即练1】
3．如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；
图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出 （ n ﹣ 1 ） 个三角形．
【分析】（1）三角形分割成了两个三角形；
（2）四边形分割成了三个三角形；
（3）以此类推，n边形分割成了（n﹣1）个三角形．
【解答】解：n边形可以分割出（n﹣1）个三角形．
【即学即练2】
4．六边形的内角和是 72 0 °．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式计算即可得解．
【解答】解：（6﹣2）•180°＝720°．
故答案为：720．
【即学即练3】
5．一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据多边形的内角和公式列式求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180°＝1260°，
解得n＝9．
故选：C．
【即学即练4】
6．一个多边形的内角和为540°，则其对角线的条数是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．12
【分析】设多边形的边数为n，根据题意得出（n﹣2）×180°＝540°，求出边数，再求出对角线条数即可．
【解答】解：设多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝540°，
解得：n＝5，
所以这个多边形的对角线的条数是 ＝5，
故选：B．知识点03 多边形的外角和
1．多边形的外角和：
任意多边形的外角和都等于 360 ° 。一个外角与它相邻的内角 互补 。
【即学即练1】
7．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是 7 ．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，求
解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
解得n＝7．
故答案为：7．
知识点04 正多边形
1. 正多边形的概念：
每条边都 相等 ，每个内角都 相等 的多边形是正多边形。
2. 正多边形的每个内角计算：
(n−2)⋅180°
因为正多边形的内角和为 ，每个内角都相等且有n个内角，所以正多边形的每个内角度数
(n−2)⋅180°
n
为： 。
3. 正多边形的每个外角计算：
360°
n
正多边形的外角和是360°，每个外角也相等，所以正多边形的每个外角度数为 。
4. 正多边形的内角与外交关系：
(n−2)⋅180° 360°
+ =
n n
180 ° ；
【即学即练1】
8．如果一个正多边形的内角和为1260°，则这个多边形的任一内角度数为 140 ° ．
【分析】根据多边形的内角和定理可计算求解．
【解答】解：设这个正多边形边数为n，
由题意得（n﹣2）×180°＝1260°，
解得n＝9，
∴这个多边形的任一内角度数为1260°÷9＝140°．
故答案为140°．
【即学即练2】9．已知正多边形的一个内角是140°，则这个正多边形是（ ）
A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形
【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
【解答】解：∵正多边形的一个内角是140°，
∴它的外角是：180°﹣140°＝40°，
360°÷40°＝9．
即这个正多边形是九边形．
故选：A．
【即学即练3】
10．若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】多边形的外角和等于360°，因为正多边形的每个外角均相等，故多边形的外角和又可表示成
60°n，列方程可求解．
【解答】解：设所求正n边形边数为n，
则60°•n＝360°，
解得n＝6．
故正多边形的边数是6．
故选：C．
题型01 多边形的对角线分多边形成三角形的数量
【典例1】如图所示，每一个多边形都可以按如图所示的方法分割成若干个三角形，按照这种方法，十二
边形可以分割成 1 0 个三角形，由此可以判断十二边形的内角和是 1800 ° ．
【分析】根据图中三种情况，可得出一般规律，继而求出答案．
【解答】解：过四边形的一个顶点，最多有1条对角线，将四边形分为2个三角形；
过五边形的一个顶点，最多有2条对角线，将四边形分为3个三角形；
过六边形的一个顶点，最多有3条对角线，将四边形分为4个三角形；
…
过n边形的一个顶点，最多有（n﹣3）条对角线，将四边形分为（n﹣2）个三角形；
故十二边形能分割成10个三角形．
十二边形的内角和是1800°故答案为：10；1800°．
【变式1】在八边形内任取一点，把这个点与八边形各顶点分别连接可得到几个三角形（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】根据八边形的顶点，连接点与顶点，可得答案．
【解答】解：如图 ，
故选：D．
【变式2】从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形
的边数为（ ）
A．2001 B．2005 C．2004 D．2006
【分析】可根据多边形的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数与多边形的边数的关
系求解．
【解答】解：多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，
则这个多边形的边数为2003+1＝2004．
故选：C．
【变式3】（1）若将n边形内部任意取一点P，将P与各顶点连接起来，则可将多边形分割成 n 个三
角形．
（2）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点），在将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分
割成 （ n ﹣ 1 ） 个三角形．
【分析】根据题中条件，画出简单图形，找出规律．
（1）多边形内一点，可与多边形顶点连接n条线段，构造出n个三角形；
（2）若P点取在一边上，则可以与其他顶点连接出n﹣2条线段，可以分n边形为（n﹣1）个三角形．
【解答】解：（1）若将n边形内部任意取一点P，将P与各顶点连接起来，则可将多边形分割成n个三
角形；
（2）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点），在将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分
割成（n﹣1）个三角形．
故答案为：n，（n﹣1）．
题型02 与多边形的内角和与外角和有关的计算
【典例1】五边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．900°
【分析】根据多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°即可．
【解答】解：∵任意多边形的外角和都等于360°，∴五边形的外角和为360°．
故选：B．
【变式1】若一正多边形的一个外角为40°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】根据正多边形每个外角都相等且外角和为360°列式解答即可．
【解答】解：∵正多边形每个外角都相等且外角和为360°，
∴正多边形的边数是360°÷40°＝9．
故选：A．
【变式2】一个多边形的每个内角都等于140°，则这个多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据多边形的内角和定理：180°•（n﹣2）进行求解即可．
【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝140°•n，
解得n＝9，
故多边形是九边形．
故选：C．
【变式3】一个多边形的内角和与外角和相等，则它是（ ）
A．五边形 B．四边形 C．三角形 D．不确定
【分析】根据多边形的外角和为360°，可得这个多边形的内角和也为360°，即可进行解答．
【解答】解：∵多边形的外角和为360°，
∴这个多边形的内角和也为360°，
设这个多边形为n边形，
180°×（n﹣2）＝360°，
解得：n＝4，
∴它是四边形，
故选：B．
【变式4】某个正多边形的一个内角是它的外角的2倍，则该正多边形是（ ）
A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形
【分析】设这个正多边的外角为x°，则内角为2x°，根据内角和外角互补可得x+2x＝180，解可得x的值，
再利用外角和360°÷外角度数可得边数．
【解答】解：设这个正多边形的外角为x°，由题意得：
x+2x＝180，
解得：x＝60，
360°÷60°＝6．
故选：C．
【变式5】已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（ ）
A．60° B．72° C．30° D．45°【分析】根据题意列出方程求得边数，即可求得中心角的度数．
【解答】解：根据题意，得（n﹣2）×180°＝3×360°，
解得n＝8，
∴这个正n边形的中心角为 ，
故选：D．
【变式6】如图，五边形ABCDE是正五边形，AF∥DG，若∠2＝26°，则∠1的度数为（ ）
A．86° B．64° C．62° D．52°
【分析】连接AD，根据多边形的内角和及平行线的性质求解即可．
【解答】解：如图，连接AD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴ ，EA＝ED，
∴∠3＝∠4＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∴∠5＝108°﹣∠4＝72°，
∵∠2＝26°，
∴∠DAF＝∠2+∠5＝98°，
∵AF∥DG，
∴∠ADG＝98°，
∴∠1＝∠ADG﹣∠3＝62°．
故选：C．
题型03 多边形的截角问题
【典例1】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个四边形，则原多边形纸片的边数不
可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由多边形的概念，通过实际操作，即可解决问题．【解答】解：把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个四边形，则原多边形纸片的边
数不可能是6边形．
故选：D．
【变式1】已知一个多边形剪去一个角后得到七边形，则这个多边形的边数不可能是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
【分析】根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1，即可确定原多边形的边数．
【解答】解：∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1，
∴原多边形的边数为6或7或8，不可能为九边形，故D符合题意，
故选：D．
【变式2】若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6
【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增
加1条边；据此求解即可．
【解答】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形；
当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形；
当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形；
所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5．
故选：C．
【变式3】若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．
【解答】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．
故选：C．
【变式4】如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF，则该六边形的周长一定比原
五边形的周长 小 （填：大或小），理由为 两点之间，线段最短 ．【分析】利用“两点之间，线段最短”可以得出结论．
【解答】解：将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF，则该六边形的周长一定比原五
边形的周长小，理由是两点之间，线段最短．
故答案为：小；两点之间，线段最短．
题型04 实际生活与正多边形
【典例1】2022年卡塔尔世界杯是第22届国际足联世界杯，该届赛事于2022年11月20日至12月18日
在卡塔尔境内8座球场举行，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世
界杯足球赛，本次比赛给全世界足球爱好者带来了一场足球盛宴．足球一般是有黑白两种颜色的皮块缝
制而成，如图所示，黑色皮块是五边形，白色皮块是六边形，若一个球上共有黑皮块 12块，则白色皮
块的块数为（ ）
A．20块 B．24块 C．12块 D．18块
【分析】得到黑皮与白皮的数量的比，根据这个比列出关系式求解即可．
【解答】解：每块黑皮连接5块白皮，每块白皮连接3块黑皮，故黑皮数量：白皮数量＝3：5，
设白皮数量为x，则5÷3＝x÷12，
得x＝20，
故选：A．
【变式1】如图1是颐和园小长廊五角加膛窗，其轮廓是一个正五边形，如图2是它的示意图，它的一个
外角 的度数为（ ）
α
A．70° B．72° C．60° D．108°【分析】根据多边形的外角和为360°即可作答．
【解答】解：360÷5＝72°．
故选：B．
【变式2】如图，大建从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转的角度为 ，再沿直线前进8米，
到达点C后，又向左旋转 角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了72米，则每次旋
α
转的角度 为（ ）
α
α
A．30° B．40° C．45° D．60°
【分析】根据多边形的外角的定义解决此题．
【解答】解：∵72÷8＝9，
∴360°÷9＝40°．
∴每次旋转的角度 ＝40°．
故选：B．
α
【变式3】参加创客兴趣小组的同学，给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点 O出发，沿直线前进
1米后左转18°，再沿直线前进1米，又向左转18°……照这样走下去，机器人第一次回到出发地O点时，
一共走的路程是（ ）
A．10米 B．18米 C．20米 D．36米
【分析】由题意可知小华所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．
【解答】解：∵解：由题意，得
每一个外角是18°，
360°÷18°＝20，
二十边形20×1＝20米，
故选：C．
题型05 正多边形的组合图形的计算
【典例1】将一把直尺和正六边形ABCDEF按如图所示的位置放置，若∠1＝50°，那么∠2的大小为（
）A．50° B．60° C．70° D．68°
【分析】根据平行线的性质，正六边形的性质进行计算即可．
【解答】解：如图，过点C作CG∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴PQ∥CG∥MN，
∴∠2＝∠BCG，∠1＝∠DCG，
∴∠1+∠2＝∠BCG+∠DCG＝∠BCD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BCD＝ ＝120°＝∠1+∠2，
∵∠1＝50°，
∴∠2＝120°﹣50°＝70°，
故选：C．
【变式1】如图，以正五边形ABCDE的边DE为边作正方形EDFG，延长AE交FG于点H，则∠EHF的
度数为（ ）
A．104° B．106° C．108° D．110°
【分析】根据正五边形的外角和为360°且每个外角都相等即可求出∠DEH的度数，根据正方形对边平
行得出∠DEH+∠EHF＝180°，从而求出∠EHF的度数．【解答】解：正五边形ABCDE的外角∠DEH＝360°÷5＝72°，
∵四边形EDFG为正方形，
∴DE∥FG，
∴∠DEH+∠EHF＝180°，
∴∠EHF＝180°﹣72°＝108°，
故选：C．
【变式2】如图，正五边形ABCDE和正方形CDFG的边CD重合，连接EF，则∠AEF的度数为（ ）
A．27° B．28° C．29° D．30°
【分析】利用多边形的内角和及正多边形的性质可求得∠AED，∠CDE，∠CDF的度数，DE＝DF＝
CD，然后求得∠EDF的度数，再利用等腰三角形的性质及三角形的内角和求得∠DEF的度数，最后利
用角的和差列式计算即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，四边形CDFG是正方形，
∴∠AED＝∠CDE＝ ＝108°，∠CDF＝ ＝90°，DE＝DF＝CD，
∴∠EDF＝108°﹣90°＝18°，
∴∠DEF＝ ＝81°，
∴∠AEF＝108°﹣81°＝27°，
故选：A．
【变式3】将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠1＝50°，∠2＝40°，那么∠3
的度数等于（ ）
A．10° B．12° C．15° D．20°
【分析】在图中标上点A，B，C，利用平角等于180°及∠1，∠2的度数，可求出∠BAC及∠ABC的度
数，在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠ACB的度数，再结合∴∠3＝180°﹣∠ACB﹣，即可求出∠3的度数．
【解答】解：在图中标上点A，B，C，如图所示．
根据题意得：∠BAC＝180°﹣∠2﹣90°＝180°﹣40°﹣90°＝50°；
∠ABC＝180°﹣∠1﹣60°＝180°﹣50°﹣60°＝70°；
∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣70°＝60°．
∴∠3＝180°﹣∠ACB﹣ ＝180°﹣60°﹣108°＝12°．
故选：B．
【变式 4】如图，在正六边形 ABCDEF 和正方形 ABGH 中，连接 FH 并延长交 CD 边于 P，则
∠CPH+∠GHP＝（ ）
A．116° B．118° C．120° D．122°
【分析】根据多边形的内角和及正多边形的性质求得∠BAF，∠ABC，∠C的度数，再根据正方形的性
质可得∠BAH，∠AHG的度数，然后利用等边三角形的性质及三角形的内角和求得∠AFH，∠AHF的
度数，结合多边形的内角和求得∠CPH的度数，再利用角的和差求得∠GHP的度数后即可求得答案．
【解答】解：正六边形ABCDEF中，∠BAF＝∠ABC＝∠C＝ ＝120°，AH＝AF，
正方形ABGH中，∠BAH＝∠AHG＝90°，
则∠FAH＝120°﹣90°＝30°，
那么∠AFH＝∠AHF＝ ＝75°，
∵五边形ABCPF的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠CPH＝540°﹣120°×3﹣75°＝105°，
∵∠GHP＝180°﹣75°﹣90°＝15°，
∴∠CPH+∠GHP＝105°+15°＝120°，
故选：C．1．下列多边形中，内角和最小的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据多边形内角和定理，结合各个选项的图形，分别求出三角形、四边形、五边形和六边形的
内角和，然后进行判断即可．
【解答】解：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为：（4﹣2）×180°＝360°，五边形的内角和为：
（5﹣2）×180°＝540°，六边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°，
∵180＜360＜540＜720，
∴在三角形、四边形、五边形和六边形中，内角和最小的是三角形，
故选：A．
2．如果一个多边形的每一个外角都是45°，那么这个多边形的内角和是（ ）
A．540° B．720° C．1080° D．1260°
【分析】先利用360°÷45°求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°计算即可求解．
【解答】解：多边形的边数为：360°÷45°＝8，
多边形的内角和是：（8﹣2）•180°＝1080°．
故选：C．
3．农安是祖国东北历史上的重镇，南宋名将岳飞曾对部下说：“直捣黄龙府，与诸君共饮耳．”即指此
地．2013年5月，农安辽塔被中华大民共和国国务院公布为第七批全国重点文物保护单位．其造型优美
端庄，八角十三层，塔高约44米，为密檐实心塔，如图①．如图②所示的正八边形是辽塔其中一层的
平面示意图，其每个内角的度数为（ ）A．80° B．100° C．120° D．135°
【分析】根据任意多边形的外角和是360°以及平角定义进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：正八边形的每一个外角＝ ＝45°，
∴每个内角的度数＝180°﹣45°＝135°，
故选：D．
4．直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则 + ＝（ ）
α β
A．115° B．120° C．135° D．144°
【分析】先求出正六边形的每个内角为 120°，再根据六边形 MBCDEN 的内角和为 720°即可求解
∠ENM+∠NMB的度数，最后根据邻补角的意义即可求解．
【解答】解：正六边形每个内角为： ，
而六边形MBCDEN的内角和也为（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠ENM+∠NMB＝720°，
∴∠ENM+∠NMB＝720°﹣4×120°＝240°，
∵ +∠ENM+ +∠NMB＝180°×2＝360°，
∴ + ＝360°﹣240°＝120°，
β α
故选：B．
α β
5．如图，将三角形纸片ABC沿虚线剪掉两角得五边形CDEFG，若DE∥CG，FG∥CD，根据所标数据，
则∠A的度数为（ ）
A．54° B．64° C．66° D．72°【分析】根据邻补角的性质可得∠AED＝54°，∠BGF＝62°，再由平行线的性质可得∠B＝∠AED＝
54°，∠C＝∠BGF＝62°，然后三角形内角和定理，即可求解．
【解答】解：如图，
根据题意得：∠DEF＝126°，∠FGC＝118°，
∴∠AED＝180°﹣126°＝54°，∠BGF＝180°﹣118°＝62°，
∵DE∥CG，FG∥CD，
∴∠B＝∠AED＝54°，∠C＝∠BGF＝62°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝64°．
故选：B．
6．如图，Rt△ABC的两条直角边AC，BC分别经过正五边形的两个顶点，则∠1+∠2等于（ ）
A．126° B．130° C．136° D．140°
【分析】根据正五边形的特征，由多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）先求出正
五边形的内角和，进一步得到2个内角的和，根据三角形内角和为180°，可求∠3+∠4的度数，根据角
的和差关系即可得到图中∠1+∠2的结果．
【解答】解：如图：
∵（5﹣2）×180°÷5×2＝3×180°÷5×2
＝216°，
∠3+∠4＝180°﹣90°＝90°，
∴∠1+∠2＝216°﹣90°＝126°．
故选：A．
7．如图，已知∠1+∠2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【分析】根据多边形外角和为360度进行求解即可．
【解答】解：∵∠1+∠2+∠3+∠4＝280°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠5＝360°﹣∠1﹣∠2﹣∠3﹣∠4＝80°．
故选：B．
8．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内点A′的位置，∠A＝35°，则∠1+∠2的
度数是（ ）
A．80° B．70° C．45° D．35°
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠ADE+∠AED 的度数，根据折叠的性质，得到∠ADA′
+∠AEA′＝2（∠ADE+∠AED），进而得到∠1+∠2＝360°﹣2（∠ADE+∠AED），即可得解．
【解答】解：∵∠A＝35°，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝145°，
∵折叠，
∴∠ADA′+∠AEA′＝2（∠ADE+∠AED）＝290°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠ADA′+180°﹣∠AEA′＝360°﹣290°＝70°．
故选：B．
9．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，
则∠P＝（ ）A．10° B．15° C．30° D．40°
【分析】利用四边形内角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC＝150°．然后由角平分线的性质，邻补角的
定义求得∠PAB+∠ABP的度数，所以根据△ABP的内角和定理求得∠P的度数即可．
【解答】解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝150°．
又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，
∴∠PAB+∠ABP＝ ∠DAB+∠ABC+ （180°﹣∠ABC）＝90°+ （∠DAB+∠ABC）＝165°，
∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．
故选：B．
10．剪掉多边形的一个角，则所成的新多边形的内角和（ ）
A．减少180°
B．增加180°
C．减少所剪掉的角的度数
D．增加180°或减少180°或不变
【分析】剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变．根据多边形
的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案．
【解答】解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，
所以所成的新多边形的内角和增加180°或减少180°或不变．
故选：D．
11．若一个正多边形内角和为1440°，则这个正多边形的每个外角为 3 6 °．
【分析】先根据内角和求出边，再根据外角和是360°及每个外角都相等即可得到答案．
【解答】解：正多边形内角和为1440°，
∴（n﹣2）180°＝1440°，
解得：n＝10，
∴这个正多边形的每个外角为： ，故答案为：36．
12．如果正多边形的中心角是60°，那么该正多边形的内角和为 720 ° ．
【分析】先利用多边形的中心角为60°，计算出这个正多边形的边数，然后根据内角和公式求解．
【解答】解：这个正多边形的边数为 ＝6，
所以这个正多边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°．
故答案为：720°．
13．如图，在正五边形ABCDE中，连接BD，∠BDC的度数为 36 ° .
【分析】利用多边形内角和公式及正多边形性质易得∠ABC和∠C的度数，CB＝CD，再根据等边对等
角，利用三角形内角和定理可求出∠CBD的度数，从而可求出∠CDB的度数．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴CB＝CD，∠C＝∠ABC＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠CBD＝ ＝ ＝36°，
∴∠CDB＝∠CBD＝36°，
故答案为：36°．
14．将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则
∠BOC的度数是 30 ° ．
【分析】根据多边形内角和及正多边形性质求得∠ABO的度数，从而求得∠OBC的度数，再结合正方
形性质及三角形内角和定理即可求得答案．
【解答】解：∵图中六边形为正六边形，
∴∠ABO＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，
∴∠OBC＝180°﹣120°＝60°，
∵正方形中，OC⊥CD，
∴∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
故答案为：30°．
15．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 360 ° ．【分析】由三角形的外角性质得出∠AIC＝∠A+∠B，∠EPC＝∠C+∠D，∠AOE＝∠E+∠F，
【解答】解：∵∠AIC＝∠A+∠B，∠EPC＝∠C+∠D，∠AOE＝∠E+∠F，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠AIC+∠EPC+∠AOE＝360°．
故答案为：360°．
16．（1）一个多边形的每一个内角是144°，求它的边数；
（2）若一个多边形的内角和的 比一个四边形的外角和多90°，求它的边数．
【分析】（1）设该多边形的边数为n，内角和为（n﹣2）•180°，根据题意列方程，即可求解；
（2）四边形的外角和为360度，设该多边形的边数为n，则内角和为（n﹣2）•180°，根据题意列方程，
即可求解．
【解答】解：（1）设该多边形的边数为n，
由题意知： ，
解得n＝10，
即该多边形的边数为10；
（2）设该多边形的边数为n，
由题意知： ，
解得n＝12，
即该多边形的边数为12．
17．已知n边形的内角和 ＝（n﹣2）×180°．
（1）甲同学说， 能取360°；而乙同学说， 也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若
θ
不对，说明理由；
θ θ
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了540°，用列方程的方法确定x．
【分析】（1）根据多边形内角和公式可得n边形的内角和是180°的倍数，依此即可判断，再根据多边
形内角和公式即可求出边数n；
（2）根据等量关系：若n边形变为（n+x）边形，内角和增加了360°，依此列出方程，解方程即可确定
x．
【解答】解：（1）∵360°÷180°＝2，
630°÷180°＝3……90°，
∴甲的说法对，乙的说法不对，360°÷180°+2
＝2+2
＝4．
答：甲同学说的边数n是4；
（2）依题意有（n+x﹣2）×180°﹣（n﹣2）×180°＝540°，
解得x＝3．
故x的值是3．
18．如图所示，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，CE平分∠BCD交AB于点E，连接DE．
（1）若∠A＝50°，∠B＝85°，求∠BEC的度数；
（2）若∠CDE＝∠DCE，试说明∠A＝∠1．
【分析】（1）求出∠A+∠BCD＝180°，求出∠BCD，求出∠BCE，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据三角形内角和定理和∠A+∠BCD＝180°，根据∠CDE＝∠BCE，∠A+∠BCE+∠DCE＝180°，
∠CDE+∠DCE+∠1＝180°，即可得出答案．
【解答】（1）解：∵∠B+∠ADC＝180°，∠A+∠B+∠BCD+∠ADC＝360°，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠A＝50°，
∴∠BCD＝130°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝ ∠BCD＝65°，
∵∠B＝85°，
∴∠BEC＝180°﹣∠BCE﹣∠B＝180°﹣65°﹣85°＝30°；
（2）证明：∵由（1）知：∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A+∠BCE+∠DCE＝180°，
∵∠CDE+∠DCE+∠1＝180°，
∴∠BCE＝∠CDE，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴∠A＝∠1．
19．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）利用（1）中的结论，试求图2中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．【分析】（1）根据三角形内角和定理求解即可；
（2）连接BE，首先利用（1）的结论可得∠C+∠D＝∠CBE+∠DEB，然后求五边形的内角和即可．
【解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
（2）如图所示，连接BE，
∴∠C+∠D＝∠CBE+∠DEB，
∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G，
＝∠A+∠ABC+∠CBE+∠DEB+∠DEF+∠F+∠G
＝∠A+∠ABE+∠BEF+∠F+∠G
＝（5﹣2）×180°
＝540°．
20．如图1，凹四边形ABDC形似圆规，这样的四边形称为“规形”．
模型探究
（1）如图1，在规形ABDC中，请探究∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系，并说明理由．
实践应用
（2）应用（1）中探究的结论解决下列问题：
①如图2，在规形ABDC中，∠ABD与∠ACD的角平分线BE、CE交于点E，若∠BDC＝145°，∠A＝
85°，则∠BEC的度数是 11 5 °；
②如图3，在规形ABDC中，若∠BAC、∠BDC的角平分线AE、DE交于点E，且∠B＞∠C，试探究
∠E、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）连接 AD，并延长到点 E，知∠3＝∠1+∠B、∠4＝∠2+∠C，相加可得∠BDC＝
∠BAC+∠B+∠C，据此可得答案；
（2）由（1）得∠ABD+∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝60°，根据 BE 平分∠ABD、CE 平分∠ACD 得
∠ABE+∠ACE＝30°，由∠BEC＝∠A+∠ABE+∠ACE可得答案；
（3）由（1）知∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，根据角平分线知∠3＝ ∠BDC＝ （∠BAC+∠B+∠C），
结合∠E＝∠5﹣∠3、∠5＝∠1+∠B，根据∠E＝∠1+∠B﹣∠3可得答案．
【解答】解：（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，
理由：如图1，连接AD，并延长到点E，
则∠3＝∠1+∠B、∠4＝∠2+∠C，
∴∠3+∠4＝∠1+∠2+∠B+∠C，
即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；
（2）由（1）知∠ABD+∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝60°，
∵BE平分∠ABD、CE平分∠ACD，
∴∠ABD＝2∠ABE、∠ACD＝2∠ACE，
∴2（∠ABE+∠ACE）＝60°，
∴∠ABE+∠ACE＝30°，
则∠BEC＝∠A+∠ABE+∠ACE＝145°﹣30°＝115°；
故答案为：115；
（3）∠E＝ ∠B﹣ ∠C，
理由：如图3，由（1）知∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，
∵DE平分∠BDC，
∴∠3＝ ∠BDC＝ （∠BAC+∠B+∠C），
∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝ ∠BAC，
∵∠E＝∠5﹣∠3，∠5＝∠1+∠B，
∴∠E＝∠1+∠B﹣∠3
＝ ∠BAC+∠B﹣ BDC
＝ ∠BAC+∠B﹣ （∠BAC+∠B+∠C）
＝ ∠B﹣ ∠C，
即∠E＝∠B﹣∠C．
