文档内容
第 13 讲 整式的乘法（6 个知识点+6 种题型+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什
么．
知识点2．单项式乘单项式
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，
则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢
掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
知识点3．单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把
所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能
漏乘；③注意确定积的符号．知识点4．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类
项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
知识点5．整式的除法
整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，
则连同他的指数一起作为商的一个因式．
关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式
里含有的字母直接作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
知识点6．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
题型强化
题型一．同底数幂的除法
1．（2024•新吴区二模）在下列的计算中，正确的是
A． B． C． D．
【分析】 ．根据同类项的定义判断即可；
．根据同底数幂的乘法运算法则计算即可；
．根据积的乘方与幂的乘方运算法则计算即可；
．根据同底数幂的除法运算法则计算即可．【解答】解： 与 不是同类项，无法合并，
不正确，不符合题意；
，
不正确，不符合题意；
，
不正确，不符合题意；
，
正确，符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方等，掌握同类项的定义和同底数幂的乘除法、
积的乘方与幂的乘方运算法则是本题的关键．
2．（2024春•福田区校级期中）已知： ．
【分析】利用同底数幂除法法则进行计算即可．
【解答】解： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了同底数幂除法，熟悉此运算法则是关键．
3．（2022•蔡甸区校级模拟）（1）解方程： ．
（2）计算： ．
【分析】（1）根据解一元一次方程的方法进行求解即可；
（2）先算同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，再合并同类项即可．
【解答】解：（1） ，
，
，，
．
（2）
．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，解一元一次方程，解答的关键是对
相应的运算法则的掌握与运用．
题型二．单项式乘单项式
4．（2024春•金凤区校级期中）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，单项式乘以单项式法则逐项计算判断即可．
【解答】解： 、 与 不是同类项，不能合并，本选项错误，不符合题意；
、 ，本选项错误，不符合题意；
、 ，本选项错误，不符合题意；
、 ，本选项正确，符合题意，
故选： ．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，单项式乘以单项式等知识，熟练掌握运
算法则是解答本题的关键．
5．（2024•河东区模拟）计算： ．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式
，故答案为：
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
6．（2022•雁塔区校级三模）化简： ．
【分析】直接根据单项式乘单项式、积的乘方与幂的乘方的运算法则计算即可．
【解答】解：原式 ．
【点评】此题考查的是单项式乘单项式、积的乘方与幂的乘方的运算，单项式与单项式相乘，把他们的系
数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
题型三．单项式乘多项式
7．（2024•滨州模拟）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【分析】 ．根据积的乘法法则进行计算，然后判断即可；
．根据合并同类项法则进行计算，然后判断即可；
．根据单项式乘多项式法则进行计算，然后判断即可；
．根据幂的乘方法则和同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可．
【解答】解： ． ， 此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
． ， 此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
． ， 此选项的计算正确，故此选项符合题意；
． ， 此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
故选： ．
【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握合并同类项法则、积的乘方法则、单项式
乘多项式法则、幂的乘方法则和同底数幂相除法则．
8．（2024•南开区三模）计算 的结果为 ．【分析】根据单项式乘多项式，去括号法则将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
【解答】解：
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了单项式乘多项式，去括号，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
9．（2023•驿城区三模）设 是一个两位数，其中 是十位上的数字 ．例如：当 时， 表
示的两位数是45．
（1）尝试：
①当 时， ；
②当 时， ；
③当 时， ；
④当 时， ．
（2）归纳： 与 有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若 与 的和为6325，求 的值．
【分析】（1）根据规律直接得出结论即可；
（2）根据 即可得出结论；
（3）根据题意列出方程求解即可．
【解答】解：（1）①当 时， ；
②当 时， ；
③当 时， ；
③当 时， ，故答案为： ；
（2） ，理由如下：
；
（3）由题知， ，
即 ，
解得 或 （舍去），
的值为7．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据数字的变化规律得出 的结论是解题的关
键．
题型四．多项式乘多项式
10．（2024秋•德惠市校级月考）已知 与 的乘积中不含 项，则 的值是
A．0 B．5 C． D．
【分析】根据多项式的乘法，可得整式，根据整式不含 项，可得关于 的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：由 得 的系数为 ．
若不含 项，得 ，
解得 ，
故选： ．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，利用整式不含 项得出关于 的方程是解题关键．
11．（2024•杭锦后旗校级开学）已知 ，则 的值等于 ．
【分析】设 ，则原方程转化为关于 的一元一次方程，通过解该方程求得 即 的值．
【解答】解：设 ，则由原方程得到： ，或 ，
解得： 或 ，
或 ．
故答案为：1或2．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，掌握整体代入思想是关键．
12．（2024•南皮县三模）现有甲、乙、丙三种规格的卡片各若干张，已知甲卡片是边长为 的正方形，乙
卡片是宽为1，长为 的矩形，丙卡片是边长为1的正方形，如图1所示 ．嘉嘉分别用6张卡片拼出
了两个矩形（不重叠，无缝隙），如图2和图3，其面积分别为 ， ．
（1）请用含 的式子分别表示 ， ；
（2）比较 与 的大小，并说明理由；
（3）当 时，求 的值．
【分析】（1）根据矩形的面积公式求解；
（2）根据作差法比较大小；
（3）根据题意列方程求解．
【解答】解：（1） ， ；
故答案为： ， ；
（2） ；
理由： ，
，，
，
；
（3） ，
解得： 或 （不合题意，舍去），
的值为2．
【点评】本题考查了单项式乘单项式，掌握矩形的面积公式和一元二次方程的解法是解题的关键．
题型五．整式的除法
13．（2024•瑞安市校级模拟）计算 的结果是
A． B． C． D．
【分析】根据单项式除以单项式法则进行计算，然后判断即可．
【解答】解：原式
，
故选： ．
【点评】本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练掌握单项式除以单项式法则．
14．（2024•胶州市校级二模）计算： ．
【分析】根据积的乘方，单项式除以单项式计算即可．
【解答】解： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查整式的除法，幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确计算．
15．（2024•文水县一模）（1）解不等式 ；
（2）化简： ．【分析】（1）按照解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，最后根据不等
式的基本性质把未知数的系数化成1即可；
（2）按照单项式乘多项式法则去掉小括号，然后合并同类项，最后根据单项式除以单项式法则进行计算
即可．
【解答】解：（1） ，
，
，
，
，
；
（2）原式
．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式和整式的混合运算，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的
一般步骤和单项式乘多项式法则、单项式除以单项式法则．
题型六．零指数幂
16．（2024•雅安）计算 的结果是
A． B．0 C．1 D．4
【分析】根据零指数幂的运算性质进行计算即可．
【解答】解：原式 ．
故选： ．
【点评】本题考查零指数幂，掌握“任何不为零的零次幂等于1”是正确解答的关键．
17．（2024•大庆一模）已知： ，则 或 或 ．
【分析】根据： ，1的任何次方为1， 的偶次方为1，解答本题．
【解答】解：根据0指数的意义，得当 时， ，解得 ．
当 时， ，
当 时， ， ，指数为偶数，符合题意．
故填： 或 或 ．
【点评】本题的难点在于将幂为1的情况都考虑到．
18．（2024•江南区校级三模）计算： ．
【分析】根据零指数幂法则、有理数的混合运算法则进行解题即可．
【解答】解：原式 ．
【点评】本题考查零指数幂、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分层练习
一、单选题
1．下列运算正确的是( )
A．3a－a＝2 B．a·a2＝a3 C．a6÷a3＝a2 D．(a3)2＝a5
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘
【分析】根据合并同类项可判断A，根据同底数幂的乘法可判断B，根据同底数幂的除法可判断C，根据幂
的乘方可判断D．
【详解】A．3a-a=2a，故A错误；
B．a·a2=a3，故B正确；
C． ，故C错误；
D．(a3)2=a6，故D错误．
故选B．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方运算，熟练掌握各知识点
是解答本题的关键．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘
【分析】分别利用合并同类项、同底数幂的乘除法运算法则以及幂的乘方分别分析得出即可．【详解】解：A、 ，故选项错误；
B、 ，故选项错误；
C、 不能合并，故选项错误；
D、 ，故选项正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘除法运算法则以及幂的乘方运算，正确掌握运算法则
是解题关键．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2+b3=2a5 B．a4÷a=a4 C．a2•a3=a6 D．（﹣a2）3=﹣a6
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘
【详解】解：A.不能合并，故错误.
B. 故错误.
C. 故错误.
D.正确.
故选：D.
4．墨迹覆盖了等式 中的运算符号，则覆盖的是（ ）
A．+ B．− C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法运算
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
【详解】∵
∴ ．
∴覆盖的是： ．
故选：D．【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】计算单项式乘单项式、同底数幂的除法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算
【详解】A. ，故原说法错误，不符合题意；
B. ，故原说法错误，不符合题意；
C. ，故原说法错误，不符合题意；
D. ，故原说法正确，符合题意；
故选D.
6．下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、同底数幂相乘、合并同类项
【分析】根据同底数幂乘法法则、同底数幂除法法则、合并同类项以及积的乘方运算法则分析判断即可．
【详解】解：A. ，故运算错误，不符合题意；
B. ，故运算错误，不符合题意；
C. ，故运算错误，不符合题意；
D. ，运算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法、同底数幂除法、合并同类项以及积的乘方运算等知识，熟练掌握
相关运算法则是解题关键．7．已知： ， 则 的值是 ( )
A．4 B．45 C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用
【分析】根据同底数幂除法的逆运算和幂的乘方的逆运算，将 转化为 ，然后将
代入求解即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴原式 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用，熟练掌握幂的运算法则是解题关键．
8．若一个长方体的长、宽、高分别是 ， 和 ，则它的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】计算多项式乘多项式
【分析】根据长方体的体积等于长×宽×高，计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：
x（3x-4）（2x-1）
=x（6x2-11x+4）
=6x3-11x2+4x．
故选：B．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为15，则第1次输出的结果为18，第2次输出的结果为
9，…，第2025次输出的结果为（ ）A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】A
【知识点】数字类规律探索、程序流程图与代数式求值
【分析】本题考查代数式求值及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．根据题意总结规
律即可求得答案．
【详解】解：开始输入的 值为15，
第1次输出结果为 ，
第2次输出结果为 ，
第3次输出结果为 ，
第4次输出结果为 ，
第5次输出结果为 ，
第6次输出结果为 ，
第7次输出结果为 ，
第2025次输出的结果为3，
故选：A．
10．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为 、宽为 的长方形，需要
B类卡片（ ）张
A．3 B．6 C．8 D．11
【答案】D【知识点】多项式乘多项式与图形面积
【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
计算出拼成的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张，即
可得出结论；
【详解】解：长为 、宽为 的长方形面积为：
，
由题意知：A类卡片面积为 ，B类卡片面积为 ，C类卡片面积为 ，
中含有6张A类卡片，11张B类卡片，3张C类卡片，
需要B类卡片11张，
故选：D．
二、填空题
11．计算：－2a（a－2）＝ ．
【答案】
【知识点】计算单项式乘多项式及求值
【分析】单项式与多项式相乘，就是用单项式分别去乘多项式的每一项并把所得的结果相加．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握单项式与多项式乘法性质．
12．如果一个长方体的长为3a－4，宽为2a，高为a，那么它的体积是 ．
【答案】6a3－8a2
【知识点】单项式乘多项式
【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则以及长方体体积公式得出即可．
【详解】由题意可得：
它的体积是： .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了长方体体积公式及单项式乘以多项式运算法解题关键是熟练掌握长方体体积公式及单项式与多项式的乘法法则.
13．计算 ； ．
【答案】 ；
【知识点】同底数幂的除法运算、合并同类项
【分析】根据整式的减法和同底数幂的除法计算法则进行求解即可．
【详解】解： ；
．
故答案为： ； ．
【点睛】本题主要考查了整式的减法和同底数幂的除法，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
14．计算： ．
【答案】
【知识点】计算单项式乘单项式
【分析】本题考查了单项式乘单项式，科学记数法，解决本题的关键是准确进行单项式乘单项式运算．根
据单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同
它的指数作为积的一个因式．
【详解】
解：
故答案为： ．
15．已知 ， ，则 的值为 ．
【答案】4.5/ /
【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用
【分析】此题主要考查了同底数幂的除法逆用法则，以及幂的乘方逆用法则，同底数幂相除，底数不变，
指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数 ，因为0不能做除数；②单独的一个字母，
其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数 可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．首先根据幂的乘方的运算方法，求出 的值；然后根据同底数幂的除法的运
算方法，求出 的值为多少即可．
【详解】解： ，
，
．
故答案为：4.5
16．若合并关于x的多项式 中的同类项后，得到的多项式中不含x的一次项，则m
的值为 ．
【答案】3
【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】先对原式进行合并同类项，得到的结果不含x的一次项，说明x的一次项系数为0，由此可以得到
一个关于m的方程，解方程即可.
【详解】
∵不含x的一次项
故答案为3
【点睛】本题主要考查合并同类项，不含某一项，说明该项的系数为0.
17．若(x+2y)(2x﹣ky﹣1)的结果中不含xy项，则k的值为 ．
【答案】4
【知识点】多项式乘多项式
【分析】根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，即可得出﹣k+4＝0，求出即可．
【详解】解：（x+2y）（2x﹣ky﹣1）
＝2x2﹣kxy﹣x+4xy﹣2ky2﹣2y
＝2x2+（﹣k+4）xy﹣2ky2﹣2y﹣x，
∵（x+2y）（2x﹣ky﹣1）的结果中不含xy项，
∴﹣k+4＝0，
解得：k＝4，
故答案为4．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式法则，能根据多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键．
18．在 的展开式中，x的一次项系数是3，则m的值是 ．
【答案】4
【知识点】计算多项式乘多项式、多项式的项、项数或次数
【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则，多项式的定义，先根据多项式乘以多项式的法则去掉括号，
合并同类项后，根据x的一次项系数是3即可解答．
【详解】解：∵ ，
又∵x的一次项系数是3，
∴ ，
∴ ．
故答案为：4．
三、解答题
19．图（1）的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图（2）的杯子中，请回答以下问题（单
位： ）
(1)求杯子的容积；（用含 的代数式表示）
(2)当 ， 时，一共需要多少个这样的杯子．
【答案】(1)
(2)一共需要 个这样的杯子
【知识点】多项式除以单项式、积的乘方运算
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，多项式除以单项式的应用：
（1）根据圆柱体积计算公式求解即可；
（2）先求出瓶子的容积为 ，再用瓶子的容积除以杯子的容积即可得到答案．【详解】（1）解： ，
杯子的容积是 ．
（2）解：瓶子的容积为 ，
当 ， 时，
，
一共需要 个这样的杯子．
20．如图，某市有一块长为 ，宽为 的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中
间将修建一座雕像．
(1)长方形地块的面积是多少？（用代数式表示）
(2)绿化的面积是多少？（用代数式表示）
(3)求出当 ， 时的绿化面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】多项式乘多项式与图形面积、整式乘法混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查整式的混合运算的应用，代入求值，掌握整式的乘法运算法则是解题的关键．（1）利用长 宽表示长方行的面积即可；
（2）运用长方形的面积 正方形的面积解题即可；
（3）代入 ， 的值计算解题．
【详解】（1）解：长方形地块的面积 ；
（2）绿化的面积是：
；
（3）当 ， 时，
．
21．为贯彻落实《“健康中国”2030规划纲要》，河南省制定了《河南省“十四五”体育发展规划》《规
划》中提到为使全民健身公共服务体系更加健全，到2025年，人均体育场地面积要达到 平方米，竞技
体育综合实力要有明显提高．如图是一块长 米，宽 米的长方形地块，郑州市发改委计划
在阴影部分铺设塑胶跑道，中间修建一个边长为 米的正方形足球场地．
(1)塑胶跑道的面积是多少平方米？（用含a，b的代数式表示）
(2)当 ， 时，求塑胶跑道的面积．
【答案】(1)塑胶跑道的面积是 平方米
(2)塑胶跑道的面积为 平方米
【知识点】多项式乘多项式与图形面积、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】此题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）阴影部分即塑胶跑道面积等于大长方形面积减去小正方形面积，化简得到最简结果；（2）把 ，
的值代入计算即可．【详解】（1）解：塑胶跑道的面积：
∴
；
∴塑胶跑道的面积是 平方米；
（2）当 ， 时，
∴原式
（平方米），
∴当 ， 时，求塑胶跑道的面积为 平方米．
22．观察下列两个数的积（这两个数的十位上的数相同，个位上的数的和等于10）；
；
；
；
；
……
（1）计算 ________， ___________；
（2）根据观察与计算能得出什么结论，请将它用文字或字母表示出来；
（3）证明得出的结论．
【答案】（1）7221；3025；（2）十位上数字乘以十位上数字加一作为结果的千和百位数字，两个个位相
乘作为结果的个位和十位；（3）证明见解析．
【知识点】多项式乘法中的规律性问题
【分析】（1）根据前四个算式的规律，算出二个算式的结果；
（2）得出规律：十位上数字乘以十位上数字加一作为结果的千和百位数字，两个个位相乘作为结果的个
位和十位；
（3）设十位数字为x，个位数字为y，一个数为10x+y，则另一个数为10x+10-y=10（x+1）-y，将两数相乘
即可验证（2）的规律．
【详解】解：（1）∵83×87=7221，552=3025，
故答案为： 7221；3025．
（2）可得规律为：十位上数字乘以十位上数字加一作为结果的千和百位数字，两个个位相乘作为结果的个位和十位．
（3）设十位数字为x，个位数字为y，一个数为10x+y，则另一个数为10x+10-y=10（x+1）-y，
（10x+y）[10（x+1）-y]=100x（x+1）+y（10-y），
前一项就是十位上数字乘以十位上数字加一，后一项就是两个个位数字相乘．
【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，整式的乘法运算．根据两数乘积的变化找出变化规律是解题
的关键．
23．阅读材料并解答问题：
我们已经知道，公式 可以用平面图形面积来表示．为了进一步探究平面图形面积与
一些代数恒等式的关系，小明设计了一种由边长分别为a、b的正方形和长为a、宽为b的长方形组合如图
3所示的网格．他发现图1中阴影部分的面积可以用来表示代数恒等式 ．
(1)请写出图2中阴影部分所表示的代数恒等式：________；
(2)仿照图2，请在图3中用2B铅笔画出阴影图形，用它的面积表示 ；
(3)图4的矩形面积能表示： ，（p，q为正整数）直接写出m的值______．
【答案】(1)
(2)图见解析
(3)25，14，11，10
【知识点】多项式乘多项式与图形面积
【分析】（1）用两种方式表示出阴影部分的面积即可解答；
（2）根据给出的恒等式，画出的几何图形的长为 ，宽为 即可；
（3）先将 的左边展开可得由 、 ，再根据p、q为正整数确定p、q，然后确定 的值即可．
【详解】（1）解：由矩形的面积公式可得：
通过数正方形和长方形的面积可得矩形的面积为：
则 ．
故答案为 ．
（2）解：如图：画出长为 ，宽为 的矩形即为所求．
（3）解：∵
∴
∴ 、
∵p，q为正整数
∴ 或 或 或
∴10，11，14， 25．
【点睛】本题主要考查了多项式与多项式相乘的运算法则与几何图形的关系，掌握数形结合思想是解题的
关键．
24．在数轴上，点A表示数a，点B表示数b，在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义：数轴上
A、B之间的距离记作 ，定义： ，如：点A表示数1，点B表示数3，则 ；
表示数 和1在数轴上对应的两点之间的距离； 表示数 和 在数轴上对应的两点之间的距离．
（1）在数轴上，若点A表示数−2，点B表示数6，① ；
②动点P表示数 ，请求出满足 的 的值．
（2）小林同学对（1）中正整数 进行如下图操作：若 为奇数，则先把 乘以3，再把所得数在数轴上对
应的点向右平移1个单位得到另一个数若 为偶数，则把 乘以 ，如此循环重复操作图中①处应填写 (用
含 的代数式表示)经过操作，小林发现有循环出现的数，请画出数轴并在数轴上标出这些循环出现的数．
【答案】（1）①8；②x的值为-3或7；（2）3x＋1；循环出现的数为4、2、1，数轴见解析
【知识点】用一元一次不等式解决几何问题、程序流程图与代数式求值、绝对值方程、数轴上两点之间的
距离
【分析】（1）①根据数轴上两点之间的距离公式即可求解；
②根据x的取值范围分类讨论，然后根据绝对值的性质化简并解方程即可；
（2）根据题意，即可写出操作图中①处所填代数式；然后代入x的值按照操作图进行计算即可．
【详解】解：（1）①∵点A表示数 ，点B表示数6，
∴
故答案为：8；
②当x＜-2时，
∴
解得：x=-3；
当-2≤x≤6时，
∴
此方程无解，故不符合题意；当x＞6时，
∴
解得：x=7；
综上：x的值为-3或7；
（2）由题意可得：操作图中①处应填写3x＋1
故答案为：3x＋1；
由（1）可知：正整数x=7
第一次操作，输出结果为7×3＋1=22
第二次操作，输出结果为22× =11
第三次操作，输出结果为11×3＋1=34
第四次操作，输出结果为34× =17
第五次操作，输出结果为17×3＋1=52
第六次操作，输出结果为52× =26
第七次操作，输出结果为26× =13
第八次操作，输出结果为13×3＋1=40
第九次操作，输出结果为40× =20
第十次操作，输出结果为20× =10
第十一次操作，输出结果为10× =5
第十二次操作，输出结果为5×3＋1=16
第十三次操作，输出结果为16× =8
第十四次操作，输出结果为8× =4
第十五次操作，输出结果为4× =2第十六次操作，输出结果为2× =1
第十七次操作，输出结果为1×3＋1=4
第十八次操作，输出结果为4× =2
第十九次操作，输出结果为2× =1
∴循环出现的数为4、2、1，数轴如下所示：
【点睛】此题考查的是求数轴上两点之间的距离、解绝对值方程和求代数式的值，掌握数轴上两点之间的
距离公式、绝对值的性质和利用程序图解求代数式的值是解题关键．
25．在数学《合并同类项》的课堂上，数学老师在讲解“ ”时，采用了如图1的两个长方形面积求
和的转化方法，即得“ ”．
(1)请利用合并同类项的方法，表示出图2所示某校园的总面积：______（结果用含a，b的代数式表示）．
(2)爱思考的莉莉联想到在卓越课堂上老师留下的问题：“如何速算 ”．她画出长方形ABCD，割下图形①放至图形②位置，如图3所示，则长方形ABCD的面积为“
”；请用莉莉的方法通过画图说明“ ”的计
算技巧，标出必要数据，并书写出此方法的计算过程（直接计算不得分）．
(3)设有两个十位数字相同均为m，且个位数字和为10的两位数，其中一个数的个位数字为n，请学习
（2）中莉莉的方法，用含m，n的代数式表示这两数之积的计算方法并化简．
【答案】(1)
(2)图见解析，
(3)
【知识点】多项式乘多项式与图形面积
【分析】本题考查作图——应用与设计作图、列代数式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决
问题．
（1）分别求出图书馆、操场、教学楼、活动中心的面积，再相加即可.
（2）参照莉莉的方法作图即可，可得 ，即可得出答案.
（3）由题意可得这两个数分别为 ， ， 进而计算化简即可.
【详解】（1）总面积为
故答案为: .
（2）作图如下:
；
（3）由题意得，这两个数分别为 ，
∴26．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以
用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次
数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数．
例：计算 ，可依照 的计算方法用竖式进行计算．因此
．
请根据材料完成下列问题：
(1) ______；
(2) 的商是______，余式是______．
(3)已知一个长为 ，宽为 的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此
时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）．另有长方形C的一边长为 ，若长方形B的面积比C
的面积大76，求长方形C的另边长．
【答案】(1)
(2) ，(3)
【知识点】多项式乘多项式与图形面积、单项式乘多项式的应用
【分析】（1）根据题意，结合法则找规律计算即可．
（2）结合题意，根据多项式除以多项式的法则列竖式计算即可．
（3）利用面积关系求长方形的边长即可．
【详解】（1）解： ，用竖式计算如下
故答案为： ；
（2）解： ．用竖式计算如下，
的商是 ，余式是 ．
故答案为： ， ．
（3）长方形A的周长为： ．
长方形B的周长为： ．
∵长方形B的周长是A周长的2倍．
∴ ．
∴ ．
∴长方形B的面积为： ．∴长方形C的面积为： ．
∴长方形C的另一边长为： ．
∴长方形C的另一边长为： ．
【点睛】本题主要考查实数的运算；根据题意找出规律是解决此题的关键．
