文档内容
第 13 讲 整式的乘法（6 个知识点+6 种题型+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什
么．
知识点2．单项式乘单项式
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，
则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢
掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
知识点3．单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把
所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能
漏乘；③注意确定积的符号．知识点4．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类
项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
知识点5．整式的除法
整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，
则连同他的指数一起作为商的一个因式．
关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式
里含有的字母直接作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
知识点6．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
题型强化
题型一．同底数幂的除法
1．（2024•新吴区二模）在下列的计算中，正确的是
A． B． C． D．
2．（2024春•福田区校级期中）已知： ．
3．（2022•蔡甸区校级模拟）（1）解方程： ．（2）计算： ．
题型二．单项式乘单项式
4．（2024春•金凤区校级期中）下列计算正确的是
A． B． C． D．
5．（2024•河东区模拟）计算： ．
6．（2022•雁塔区校级三模）化简： ．
题型三．单项式乘多项式
7．（2024•滨州模拟）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
8．（2024•南开区三模）计算 的结果为 ．
9．（2023•驿城区三模）设 是一个两位数，其中 是十位上的数字 ．例如：当 时， 表示的两位数是45．
（1）尝试：
①当 时， ；
②当 时， ；
③当 时， ；
④当 时， ．
（2）归纳： 与 有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若 与 的和为6325，求 的值．
题型四．多项式乘多项式
10．（2024秋•德惠市校级月考）已知 与 的乘积中不含 项，则 的值是
A．0 B．5 C． D．
11．（2024•杭锦后旗校级开学）已知 ，则 的值等于 ．
12．（2024•南皮县三模）现有甲、乙、丙三种规格的卡片各若干张，已知甲卡片是边长为 的正方形，乙
卡片是宽为1，长为 的矩形，丙卡片是边长为1的正方形，如图1所示 ．嘉嘉分别用6张卡片拼出
了两个矩形（不重叠，无缝隙），如图2和图3，其面积分别为 ， ．
（1）请用含 的式子分别表示 ， ；
（2）比较 与 的大小，并说明理由；
（3）当 时，求 的值．题型五．整式的除法
13．（2024•瑞安市校级模拟）计算 的结果是
A． B． C． D．
14．（2024•胶州市校级二模）计算： ．
15．（2024•文水县一模）（1）解不等式 ；
（2）化简： ．
题型六．零指数幂
16．（2024•雅安）计算 的结果是
A． B．0 C．1 D．4
17．（2024•大庆一模）已知： ，则 ．
18．（2024•江南区校级三模）计算： ．分层练习
一、单选题
1．下列运算正确的是( )
A．3a－a＝2 B．a·a2＝a3 C．a6÷a3＝a2 D．(a3)2＝a5
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2+b3=2a5 B．a4÷a=a4 C．a2•a3=a6 D．（﹣a2）3=﹣a6
4．墨迹覆盖了等式 中的运算符号，则覆盖的是（ ）
A．+ B．− C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知： ， 则 的值是 ( )
A．4 B．45 C． D．
8．若一个长方体的长、宽、高分别是 ， 和 ，则它的体积是（ ）A． B． C． D．
9．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为15，则第1次输出的结果为18，第2次输出的结果为
9，…，第2025次输出的结果为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
10．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为 、宽为 的长方形，需要
B类卡片（ ）张
A．3 B．6 C．8 D．11
二、填空题
11．计算：－2a（a－2）＝ ．
12．如果一个长方体的长为3a－4，宽为2a，高为a，那么它的体积是 ．
13．计算 ； ．
14．计算： ．
15．已知 ， ，则 的值为 ．
16．若合并关于x的多项式 中的同类项后，得到的多项式中不含x的一次项，则m
的值为 ．
17．若(x+2y)(2x﹣ky﹣1)的结果中不含xy项，则k的值为 ．
18．在 的展开式中，x的一次项系数是3，则m的值是 ．
三、解答题
19．图（1）的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图（2）的杯子中，请回答以下问题（单位： ）
(1)求杯子的容积；（用含 的代数式表示）
(2)当 ， 时，一共需要多少个这样的杯子．
20．如图，某市有一块长为 ，宽为 的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中
间将修建一座雕像．
(1)长方形地块的面积是多少？（用代数式表示）
(2)绿化的面积是多少？（用代数式表示）
(3)求出当 ， 时的绿化面积．
21．为贯彻落实《“健康中国”2030规划纲要》，河南省制定了《河南省“十四五”体育发展规划》《规
划》中提到为使全民健身公共服务体系更加健全，到2025年，人均体育场地面积要达到 平方米，竞技体育综合实力要有明显提高．如图是一块长 米，宽 米的长方形地块，郑州市发改委计划
在阴影部分铺设塑胶跑道，中间修建一个边长为 米的正方形足球场地．
(1)塑胶跑道的面积是多少平方米？（用含a，b的代数式表示）
(2)当 ， 时，求塑胶跑道的面积．
22．观察下列两个数的积（这两个数的十位上的数相同，个位上的数的和等于10）；
；
；
；
；
……
（1）计算 ________， ___________；
（2）根据观察与计算能得出什么结论，请将它用文字或字母表示出来；
（3）证明得出的结论．
23．阅读材料并解答问题：我们已经知道，公式 可以用平面图形面积来表示．为了进一步探究平面图形面积与
一些代数恒等式的关系，小明设计了一种由边长分别为a、b的正方形和长为a、宽为b的长方形组合如图
3所示的网格．他发现图1中阴影部分的面积可以用来表示代数恒等式 ．
(1)请写出图2中阴影部分所表示的代数恒等式：________；
(2)仿照图2，请在图3中用2B铅笔画出阴影图形，用它的面积表示 ；
(3)图4的矩形面积能表示： ，（p，q为正整数）直接写出m的值______．
24．在数轴上，点A表示数a，点B表示数b，在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义：数轴上A、B之间的距离记作 ，定义： ，如：点A表示数1，点B表示数3，则 ；
表示数 和1在数轴上对应的两点之间的距离； 表示数 和 在数轴上对应的两点之间的距离．
（1）在数轴上，若点A表示数−2，点B表示数6，
① ；
②动点P表示数 ，请求出满足 的 的值．
（2）小林同学对（1）中正整数 进行如下图操作：若 为奇数，则先把 乘以3，再把所得数在数轴上对
应的点向右平移1个单位得到另一个数若 为偶数，则把 乘以 ，如此循环重复操作图中①处应填写 (用
含 的代数式表示)经过操作，小林发现有循环出现的数，请画出数轴并在数轴上标出这些循环出现的数．
25．在数学《合并同类项》的课堂上，数学老师在讲解“ ”时，采用了如图1的两个长方形面积求和的转化方法，即得“ ”．
(1)请利用合并同类项的方法，表示出图2所示某校园的总面积：______（结果用含a，b的代数式表示）．
(2)爱思考的莉莉联想到在卓越课堂上老师留下的问题：“如何速算 ”．她画出长方形ABCD，割下
图形①放至图形②位置，如图3所示，则长方形ABCD的面积为“
”；请用莉莉的方法通过画图说明“ ”的计
算技巧，标出必要数据，并书写出此方法的计算过程（直接计算不得分）．
(3)设有两个十位数字相同均为m，且个位数字和为10的两位数，其中一个数的个位数字为n，请学习
（2）中莉莉的方法，用含m，n的代数式表示这两数之积的计算方法并化简．
26．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次
数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数．
例：计算 ，可依照 的计算方法用竖式进行计算．因此
．
请根据材料完成下列问题：
(1) ______；
(2) 的商是______，余式是______．
(3)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的
周长是A周长的2倍（如图）．另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形
C的另边长．
