文档内容
第 10 讲 等腰三角形（3 个知识点+3 种题型
+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，
从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
知识点2．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角
对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作
未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
知识点3．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、
底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可
以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖
全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解
决．
题型强化
题型一．等腰三角形的性质
1．（2024春•景德镇期中）如图，已知△ 是等腰三角形， ， ，
点 是边 上的一个动点（不与点 、 重合）， 与 的平分线交于点 ，
则 的大小不可能是
A． B． C． D．
2．（2023秋•青羊区校级期末）如图，在 中， ， ，以点
为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ，连接 ，则 的度数是 ．
3．（2024春•东平县期末）如图， 中， ， 垂直平分 ，交 于点
，交 于点 ，且 ，连接 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 的周长为 ， ，求 长．题型二．等腰三角形的判定
4．（2023秋•潮安区期末）在平面直角坐标系中，已知点 ， ，点 在坐标
轴上，若 是等腰三角形，则满足条件的点 的个数是
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
5．（2024春•新郑市期末）如图， ， 平分 ，如果射线 上的点
满足 是等腰三角形，那么 的度数为 ．
6．（2023秋•临潼区期末）已知：如图， 是 外角的平分线，且 ．求证：
是等腰三角形．题型三．等腰三角形的判定与性质
7．（2023秋•藁城区期末）如图，在 中， ， ，若 、 三
等分 ，则图中等腰三角形有
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8．（2023秋•江陵县期末）如图，在 中， 和 分别是 和 的平分
线， 过点 ，且 ，若 ， ，则 的长为 ．
9．（2023秋•东阳市期末）在 中， 是高， ， 是角平分线， 交 于
点 ， ， ．
（1）求 的大小；
（2）求证： ．分层练习
一、单选题
1．至少有两边相等的三角形是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
2．已知等腰三角形的一个内角等于100°，则它的顶角是（ ）
A．80° B．100° C．80°或100° D．不能确定
3．若等腰三角形的一个角等于80°，则它的其余两个角的度数为（ ）
A．80°，20° B．50°，50°
C．80°，20°或50°，50° D．30°，70°或10°，90°
4．如图，两个全等的等腰直角三角形按如图所示叠放在一起，点A，D分别在EF，BC边
上，AB∥DE，BC∥EF．若AB＝4，重叠（阴影）部分面积为4，则AE等于（ ）
A．2 B． C． D．
5．下列语句中，正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与知直线平行
B．有一条斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等
C．三角形的外角大于它的任何一个内角
D．等腰三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
6．在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线 外一点 作直线 的垂线”，图①是
老师画出的第一步，图②，图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不正确
7．如图， 与 中， ，增加下列条件不能使 的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，甲、乙两船同时从港口O出发，并以相同的速度航行，其中甲沿北偏东 方向
行走，乙沿南偏东 方向行走，行驶中乙始终在甲的（ ）
A．北偏东 方向上 B．南偏西 方向上
C．北偏东 方向上 D．南偏西 方向上
9．将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用 角的三角板的直角边和含 角的
三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图， 和 的边 交于点 ，添加一个条件，不能证明和 全等的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中 ，立柱 ，且 ，
则 的度数为 ．
12．若等腰三角形的顶角为150°，则它一腰上的高与另一腰的夹角的度数为 ．
13．已知等腰三角形的周长为15，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边是 ．
14．如图，已知 ，以 为直角边作等腰直角三角形 ，再以 为直角边作等
腰直角三角形 ，如此下去，则线段 的长度为 ．
15．如图，在 中， ， 平分 ，交 于D， ，
则 是 三角形．
16．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 ，则底角的度数为 ．17．已知等腰三角形的两边长为 ，且满足 ，则三角形的周长为
．
18．如图， 是等腰三角形，腰 的垂直平分线交腰 于点 ，垂足为点 ，若
， ，则 的周长是 ．
三、解答题
19．已知等腰三角形 周长为 25，腰是底的2倍，求 三边的长．
20．某中学八年级学生到野外开展数学综合实践活动，在营地看到一个不规则的建筑物，
为测量该建筑物两端A，B间的距离，但同学们给出了以下建议：
(1)甲同学的方案如下：先在平地上取一个可直接到达A，B的点O，连接 ， ，并分
别延长 至点C，延长 至点D，使 ， ，最后测出 的长即为A，
B间的距离，请你说说该方案可行的理由；
(2)由于在 处有一堵墙阻挡了路线，使得无法按照甲同学的方案直接测量出A，B间的距
离，但同学们测得 ， ， ， ， ，请
求出该建筑物两端A，B之间的距离．21．如图，已知 是 延长线上的点．
(1)过点 在射线 右侧作 ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若 ，求证： 平分 ．
22．已知等腰三角形的周长为 ，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为 的两
个三角形，求等腰三角形的腰长．
23．（1）如图①， 为等腰直角三角形， ， ，
D是 上一点．若 于点E，连接 ， ，交 点F，求证：，
（2）如图②， 为等腰直角三角形， ， ，D是 上一点，若
，求证： ．
（3）如图③，将上一题中的“ ”改为“ ”，第（2）题中的结论
还成立吗？并说明理由．
24．如图，平面直角坐标系中， ，点 在第一象限内，点 在 轴正半轴上，
点 在 轴负半轴上，且 ，点 坐标为 ，且 满足 ，请解
答下列问题：
(1)求点B和点C的坐标；
(2)若连接 交y轴于点D，且 ， ，求点A的坐标；
(3)在（2）的条件下， ，在坐标轴上是否存在点E，使 是以 为腰的等腰
三角形？若存在，请写出点E的个数，并直接写出其中3个点E的坐标；若不存在，请说明理由．
25．综合与实践：
初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在笔形 中，
．
(1)【操作应用】如图1，将“筝形功能器”上的点 与 的顶点 重合， 分别
放置在角的两边 上，并过点 画射线 ，求证： 是 的平分线；
(2)【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图2，在仪
器上的点 处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点 紧贴门框上方，观察
发现线绳恰好经过点 ，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由．
26．如图1，在 中， ，在边 上取点D，连接 ，在边 延长线上取
点E，使得 ．
(1)若 ，则 ；
(2)如图2，当 ， 时，求四边形 的面积（用含a的代数式表示）；(3)设 ，
① （用含α，β的代数式表示）；
②求证：．
