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第 03 讲 多边形及其内角和
课程标准 学习目标
1. 掌握多边形及其与多边形有关的概念。
①多边形的认识 2. 掌握多边形的内角和计算公式，内角和公式的推导
②多边形的内角和与外角和 过程及其相关计算，掌握多边形的外角和度数。
③正多边形 3. 掌握正多边形的概念，且根据正多边形的性质解决
相应的题目。
知识点01 多边形的认识
1. 多边形的概念：
在平面内，由多条线段首位顺次连接所组成的图形是多边形。组成的线段有多少条，则图形就是一个
几边形。
2. 多边形的相关概念：如图：组成多边形的线段叫做多边形的 边 ；相邻两条边的交点叫多边形的 顶点 ；相邻两条
边构成的角是多边形的 角 ；任意两个不相邻的顶点间的连线段叫做多边形的 对角线 ；多边
形的边与邻边的延长线构成的角叫做多边形的 外角 。
题型考点：判断图形。
【即学即练1】
1. 如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：所示的图形中，属于多边形的有第一个、第二个、第五个．
故选：A．
知识点02 多边形的内角和外角和
1. 多边形的对角线计算：
总结规律：若多边形的边数为 ，则多边形一个顶点的对角线条数为 条，多边形所有的对角
线条数为 条。
2. 多边形一个顶点的对角线把多边形分成的三角形数量计算：
由上图总结：一个顶点的对角线分多边形成三角形的个数为： 个。
3. 多边形的内角和计算公式：
由上图可知，多边形的内角和等于图中所有三角形的内角和之和。即： 。
4. 多边形的外角和：
任意多边形的外角和都等于 360 ° 。
题型考点：①利用内角和公式求内角和或求多边形的边数。
②利用多边形的内外角关系计算。
【即学即练1】
2. 十二边形的内角和是（ ）
A．1440° B．1620° C．1800° D．1980°
【解答】解：十二边形的内角和等于：（12﹣2）•180°＝1800°；故选：C．
3. 若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【解答】解：根据n边形的内角和公式，得
（n﹣2）•180＝1080，
解得n＝8．
∴这个多边形的边数是8．
故选：C．
【即学即练2】
4. 多边形的边数由3增加到2021时，其外角和的度数（ ）
A．增加 B．减少 C．不变 D．不能确定
【解答】解：∵任何多边形的外角和都是360°，
∴多边形的边数由3增加到2021时，其外角和的度数不变，
故选：C．
【即学即练3】
5. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是 ．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
解得n＝7．
故答案为：7．
6. 若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为 ．
【解答】解：设多边形的边数是n，
根据题意得，（n﹣2）•180°﹣360°＝360°，
解得n＝6．
故答案为：6．
知识点03 正多边形
1. 正多边形的概念：
每条边都 相等 ，每个内角都 相等 的多边形是正多边形。
2. 正多边形的每个内角计算：
因为正多边形的内角和为 ，每个内角都相等且有 个内角，所以正多边形的每个内角度数
为： 。
3. 正多边形的每个外角计算：正多边形的外角和是360°，每个外角也相等，所以正多边形的每个外角度数为 。
4. 正多边形的内角与外交关系：
180 ° ；
题型考点：利用正多边形的相关计算公式计算。
【即学即练1】
7. 若一个多边形的每个内角都为135°，则它的边数为（ ）
A．6 B．8 C．5 D．10
【解答】解：∵一个正多边形的每个内角都为135°，
∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣135°＝45°，
∴这个多边形的边数为：360°÷45°＝8．
故选：B．
8. 一个多边形的每一个外角都等于36°，那么这个多边形的内角和是 °．
【解答】解：360°÷36°＝10，
（10﹣2）×180°＝1440°．
即这个多边形的内角和是1440°，
故答案为1440．
9. 如果一个正多边形的一个内角与一个外角的度数之比是7：2，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
由题意得： （n﹣2）×180＝360，
解得：n＝9，
故选：C．
题型01 多边形的截角问题
【典例1】
如图，在△ABC中，∠C＝70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（ ）A．140° B．180° C．250° D．360°
【解答】解：∵∠C＝70°，
∴∠3+∠4＝180°﹣70°＝110°，
∴∠1+∠2＝（180°﹣∠3）+（180°﹣∠4）＝360°﹣（∠3+∠4）＝250°．
故选：C．
变式1：
一个多边形截去一个角（截线不过顶点）之后，所形成的多边形的内角和是2520°，那么原多边形的边数
是（ ）
A．19 B．17 C．15 D．13
【解答】解：设内角和是2520°的多边形的边数是n．
根据题意得：（n﹣2）•180＝2520，
解得：n＝16．
则原来的多边形的边数是16﹣1＝15．
故选：C．
变式2：
一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．10或11或12
【解答】解：设多边形截去一个角的边数为n，
则（n﹣2）•180°＝1620°，
解得n＝11，
∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，
∴原来多边形的边数是10或11或12．
故选：D．
变式3：
一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为1440°，则原多边形的边数是 ．【解答】解：设多边形截去一个角的边数为n，
则（n﹣2）•180°＝1440°，
解得n＝10，
∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，
∴原多边形的边数是9或10或11．
故答案为：9或10或11．
题型02 实际生活与正多边形
【典例1】
小华从A点出发向前直走50m，向左转18°，继续向前走50m，再向左转18°，他以同样的走法回到A点时，
共走了 m．
【解答】解：∵多边形的边数为360°÷18°＝20，
∴小华要走20次才能回到原地，
∴小华走的距离为20×50＝1000（m）．
故答案为：1000．
变式1：
如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转
45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ ）
A．100米 B．80米 C．60米 D．40米
【解答】解：∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，
∴他走过的图形是正多边形，
∴边数n＝360°÷45°＝8，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10＝80（m）．
故选：B．
【典例2】
一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m，然后，原地逆时针方向旋转角a（0°＜ ＜180°）被称为一次
操作．若五次操作后，发现赛车回到出发点，按照向量考虑，则角 为（ ）
α
αA．72° B．108°或144° C．144° D．72°或144°
【解答】解：360÷5＝72°，
720÷5＝144°．
故选：D．
变式1：
活动课上，小华从点O出发，每前进1米，就向右转体a°（0＜a＜180），照这样走下去，如果他恰好能
回到O点，且所走过的路程最短，则a的值等于 ．
【解答】解：根据题意，小华所走过的路线是正多边形，
∴边数n＝360°÷a°，
走过的路程最短，则n最小，a最大，
n最小是3，a°最大是120°．
故答案为：120．
题型03 正多边形的图形组合
【典例1】
如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则 的度数为（ ）
α
A．36° B．92° C．144° D．150°
【解答】解：如图，
∵正五边形的每个内角是108°，正方形的每个内角90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝108°﹣90°＝18°，
∴∠ ＝180°﹣18°﹣18°＝144°．
故选：C．
α
变式1：
如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠ABC的度数应是（ ）A．72° B．84° C．82° D．94°
【解答】解：如图，
由题意得：∠3＝360°÷6＝60°，∠4＝360°÷5＝72°，
则∠2＝180°﹣60°﹣72°＝48°，
所以∠1＝360°﹣48°﹣120°﹣108°＝84°．
故选：B．
变式2：
如图，正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的边CD重合，DH的延长线与AB交于点P，则∠BPD的度
数是（ ）
A．83° B．84° C．85° D．86°
【解答】解：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠BCD＝∠B＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，
∵五边形GHCDL为正五边形，
∴CD＝CH，∠DCH＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠CDH＝∠CHD＝ ＝36°，
∵四边形BCDP的内角和为360°，
∴∠BPD＝360°﹣120°﹣120°﹣36°＝84°，故选：B．
变式3：
把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDM的CD边重合，按照如图的方式叠合在一起，延长
MG交AF于点N，则∠ANG等于（ ）
A．140° B．144° C．148° D．150°
【解答】解：（6﹣2）×180°÷6＝120°，
（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∠ANG＝（6﹣2）×180°﹣120°×3﹣108°×2
＝720°﹣360°﹣216°
＝144°．
故选：B．
1．八边形的内角和是外角和的（ ）倍．
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°，其外角和为360°，
∴1080°÷360°＝3（倍），
故选：B．
2．下列角度不可能是多边形内角和的为（ ）
A．180° B．270° C．540° D．1440°
【解答】解：设多边形的边数为n（n≥3且n为整数），
则（n﹣2）•180°＝180°，
解得：n＝3，
则A不符合题意；
（n﹣2）•180°＝270°，
解得：n＝3.5，
则B符合题意；
（n﹣2）•180°＝540°，解得：n＝5，
则C不符合题意；
（n﹣2）•180°＝1440°，
解得：n＝10，
则D不符合题意；
故选：B．
3．如图，∠C+∠D+∠E﹣∠A﹣∠B的度数是（ ）
A．180° B．240° C．300° D．360°
【解答】解：∵∠A+∠B+∠AFB＝180°，∠CFE＝∠AFB，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠CFE
∴∠C+∠D+∠E﹣∠A﹣∠B
＝∠C+∠D+∠E﹣（∠A+∠B）
＝∠C+∠D+∠E﹣（180°﹣∠CFE）
＝∠C+∠D+∠E+∠CFE﹣180°
＝360°﹣180°
＝180°，
故选：A．
4．清明节当天八年级某班组织学生去烈士林园为革命先烈扫墓，以此表达对先烈的追思和崇敬之情，细
心灯小明发现革命烈士纪念塔的塔底平面为八边形，这个八边形的内角和（ ）
A．720° B．900° C．1080° D．1440°
【解答】解：八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°，
故选：C．
5．如图，四边形ABCD为一矩形纸带，点E、F分别在边AB、CD上，将纸带沿EF折叠，点A、D的对
应点分别为A'、D'，若∠2＝35°，则∠1的度数为（ ）
A．62.5° B．72.5° C．55° D．45°
【解答】解：∵∠2＝35°，∴∠AEA′＝180°﹣35°＝145°，
∴由折叠性质可得：∠AEF＝∠A′EF＝ ∠AEA′＝72.5°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠AEF＝72.5°，
故选：B．
6．如图，奇奇先从点A出发前进4m，向右转15°，再前进4m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他
第一次回到出发点A时，一共走了（ ）
A．24m B．48m C．64m D．96m
【解答】解：∵奇奇从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，
∴根据外角和定理可知正多边形的边数为n＝360°÷15°＝24，
则一共走了24×4＝96（米）．
故选：D．
7．若一个正多边形每一个外角都相等，且一个内角的度数是140°，则这个多边形是（ ）
A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形
【解答】解：180°﹣140°＝40°，
360°÷40°＝9，
∴这个多边形是正九边形．
故选：C．
8．如图，在五边形ABCDE中，AE∥CD，∠1＝50°，∠2＝70°，则∠3的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【解答】解：∵四边形ABCDE为五边形，
∴其内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∵AE∥CD，
∴∠D+∠E＝180°，
∴∠BAE+∠ABC+∠BCD＝540°﹣180°＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°×3﹣360°＝180°，
∵∠1＝50°，∠2＝70°，∴∠3＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
故选：C．
9．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ °．
【解答】解：如图，连接AD，
∵∠E+∠F+∠EMF＝∠MAD+∠MDA+∠AMD＝180°，∠EMF＝∠AMD，
∴∠E+∠F＝∠MAD+∠MDA，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F
＝∠BAM+∠B+∠C+∠CDM+∠MAD+∠MDA
＝∠DAB+∠B+∠C+∠ADC
＝360°，
故答案为：360．
10．如图，正五边形ABCDE的对角线BD、CE相交于点F，则∠CFD的度数为 ．
【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠BCD＝∠CDE＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，BC＝CD＝DE，
∴∠BDC＝∠CBD＝∠DCE＝∠CED＝ ＝36°，
∴∠CFD＝180°﹣∠BDC﹣∠DCE＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
故答案为：108°．
11．如图，四边形ABOC中，∠BAC与∠BOC的角平分线相交于点P，若∠B＝16°，∠C＝42°，则∠P＝
°．【解答】解：延长CO交AB于点D，OC与AP交于点E，
根据三角形的外角的性质，
∠BDC＝∠C+∠BAC＝42°+2∠BAP，
∠BOC＝∠B+∠BDC＝58°+2∠BAP则∠COP＝29°+∠BAP，
根据三角形的内角和定理，
∠COP+∠P＝∠C+∠BAP，
所以∠P＝∠C+∠BAP﹣∠COP＝13°，
故答案为：13．
12．将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则
∠BOC的度数是 ．
【解答】解：∵图中六边形为正六边形，
∴∠ABO＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，
∴∠OBC＝180°﹣120°＝60°，
∵正方形中，OC⊥CD，
∴∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
故答案为：30°．
13．（1）正八边形的每个内角是每个外角的m倍，求m的值；
（2）一个多边形的外角和是内角和的 ，求这个多边形的边数．
【解答】解：（1）∵正八边形的每个内角为：（8﹣2）×180°÷8＝135°，
∴它的每个外角为：180°﹣135°＝45°，
则m＝135÷45＝3；
（2）设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2）•180°× ＝360°，解得：n＝14，
即这个多边形的边数为14．
14．已知，如图，AD与BC交于点O．
（1）如图1，判断∠A+∠B与∠C+∠D的数量关系： ，并证明你的结论．
（2）如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠M的度数为 ．
（3）如图3，若CF平分∠BCD，DE平分∠ADC，CF与DE交于点M，∠E+∠F＝50°，请直接写出
∠A+∠B＝ ．
【解答】解：（1）∵∠AOB+∠A+∠B＝180°＝∠COD+∠C+∠D，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图2，连接AB，
由（1）得，∠OBA+∠OAB＝∠C+∠D，
∴∠DAM+∠CBE+∠C+∠D+∠E+∠F+∠M的度数为五边形ABEFM的内角和，
即（5﹣2）×180°＝540°，
故答案为：540°；
（3）∵CF平分∠BCD，DE平分∠ADC，
∴∠MCD＝ ∠OCD，∠MDC＝ ∠ODC，
由（1）可得，∠E+∠F＝∠MCD+∠MDC，
∴ ∠OCD+ ∠ODC＝50°，
∴∠OCD+∠ODC＝100°，
∴∠A+∠B＝∠OCD+∠ODC＝100°，
故答案为：100°．
15．如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，BE、CD交于G点．（1）如图1，若∠A＝90°，
①求证：∠EDG＝∠ABC；
②作DF平分∠ADC，如图2，求证：DF∥BG．
（2）如图3，作DF平分∠ADC，在锐角∠BAD内部作射线AN，交DF于N，若∠AND﹣∠GBC的大
小为45°，试说明：AN平分∠BAD．
【解答】证明：（1）①∵∠C＝90°，∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵∠EDG+∠ADC＝180°，
∴∠EDG＝∠ABC；
②∵BE平分∠ABC，
∴ ，
∵DF平分∠ADC，
∴ ，
∴ ，
∵∠C＝90°，
∴∠DFC+∠4＝90°，
∴∠2＝∠DFC，
∴DF∥BG；
（2）延长AB、DF交于点M，如图所示：∵∠AND﹣∠GBC＝45°，
∴∠AND＝∠2+45°，
∴∠DAN＝180°﹣∠AND﹣∠3
＝180°﹣∠2﹣45°﹣∠3
＝135°﹣∠2﹣∠3，
∵BE平分∠ABC，
∴ ，
∵DF平分∠ADC，
∴ ，
∵∠BFM＝∠CFD＝90°﹣∠4＝90°﹣∠3，
∴∠AMN＝∠ABC﹣∠BFM＝2∠2﹣90°+∠3，
∴∠BAN＝∠AND﹣∠AMN
＝45°+∠2﹣2∠2+90°﹣∠3
＝135°﹣∠2﹣∠3，
∴∠DAN＝∠BAN，
∴AN平分∠BAD．
