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第 11 讲 等边三角形（4 个知识点+4 种题型+分层
练习）
知识导图
知识清单
知识点1．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶
角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线
是对称轴．
知识点2．等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三
个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
知识点3．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性
质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性
质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有 30°角的直
角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一
般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个
60°的角判定．
知识点4．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常
用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三
角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
题型强化
题型一．等边三角形的性质
1．（2023秋•齐齐哈尔期末）如图，已知 是等边三角形，点 、 ， 、 在同一直线上，且
， ，则
A． B． C． D．
【分析】由于 是等边三角形，那么 ，而 ，那么 ，而 是
的外角，可得 ，同理有 ，等量代换有 ，解即可求 ．
【解答】解：如图所示，
是等边三角形，
，
，，
，
同理有 ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，解题的关键是利用外角
性质得出 ， ．
2．（2023秋•樊城区期末）如图，在等边三角形 中 ， 是 边上的高，延长 至点 ，
使 ，则 的长为 3 ．
【分析】由等边三角形的性质可得 ，根据 是 的高线，可得 ，再由
题中条件 ，即可求得 ．
【解答】解： 是等边三角形，
，
是 的高线，
为 的中点，
，
，
，
．
故答案为：3．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到是正确解答本题的关键．
3．（2024春•兰州期末）已知：如图， 是边长 的等边三角形，动点 、 同时从 、 两点
出发，分别沿 、 方向匀速移动，它们的速度都是 ，当点 到达点 时， 、 两点停止
运动，设点 的运动时间为 ．
（1）当动点 、 同时运动 时，则 1 ， ．
（2）当动点 、 同时运动 时，分别用含有 的式子表示； ， ．
（3）当 为何值时， 是直角三角形？
【分析】（1）根据路程 速度 时间即可求得；
（2）根据路程 速度 时间即可求得；
（3）根据等边三角形的性质可以知道这个直角三角形 ，所以就可以表示出 与 的关系，要
分情况进行讨论：① ；② ．然后在直角三角形 中根据 ， 的表达式
和 的度数进行求解即可．
【解答】解：（1） ， ，
故答案为1，2；
（2） ， ，
故答案为 ， ；
（3）根据题意，得 ， ．在 中， ， ，
．
在 中， ．， ，
若 是直角三角形，
则只有 或
①当 时， ，
即 ，解得 ；
②当 时， ，
即 ．解得 ．
答：当 或 时， 是直角三角形．
【点评】本题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理等知识点．考查学生数形结合的数学思想方法．题型二．等边三角形的判定
4．（2024春•金水区校级期末）若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为 ，则这个三角形一定是
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．上述三种情形都有可能
【分析】三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是 的等腰三角形是等边三
角形，即可作出判断．
【解答】解：因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，
根据有一个内角是 的等腰三角形是等边三角形．
故选： ．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握判定方法，此题比较简单，易于
掌握．
5．（2023秋•永吉县期末）如图， ， ，动点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速
度沿射线 运动，设点 运动的时间为 秒，则当 3 秒时， 是等边三角形．
【分析】有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，由此即可求解．
【解答】解： ，
当 时， 是等边三角形，
动点 以每秒1个单位长度的速度沿射线 运动，
（秒 ，
当 秒时， 是等边三角形．
故答案为：3．
【点评】本题考查等边三角形的判定，关键是掌握等边三角形的判定方法．
6．（2024春•莲湖区期中）如图， ， ， ，求证： 是等边三角形．【分析】利用“两直线平行，同位角相等”得 ，于是 ，再根据等边三角形的判定
定理2：有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，即可得证．
【解答】证明： ，
，
又 ，
，
，
，
是等边三角形．
【点评】本题主要考查平行线的性质、等边三角形的判定，熟记等边三角形的判定定义是解题关键．
题型三．等边三角形的判定与性质
7．（2024•望城区一模）已知：如图所示，边长为6的等边 ，以 边所在直线为 轴，过 点且
垂直于 的直线为 轴，建立平面直角坐标系，则 点坐标为 ， ．
【分析】根据等边三角形的性质解答即可．
【解答】解：过 作 ，
，等边三角形 ，
，点 的坐标为 ， ，
故答案为： ，
【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质解答．
8．（2024•松原模拟）如图，在 中，以点 为圆心， 的长为半径作弧，与 交于点 ，分别
以点 和点 为圆心、大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ，作射线 交 于点 ．若
， ，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】由题意可知， 是 的垂直平分线，证明 ，进而证明 是等边三
角形，求出 ，利用三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：由题意可知， 是 的垂直平分线，
， ，
，
， ，
，
，
，
是等边三角形，
，
在 中， ， ，
，．
故选： ．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟练掌
握等边三角形的性质与判定是解题的关键．
9．（2023秋•洛南县校级期末）如图， 是等边三角形， ， ，垂足分别为 、 ，
、 相交于点 ，连接 ．
（1）判断 的形状，并说明理由．
（2）若 ，求 的长．
【分析】（1）证明 ， ，即可解决问题．
（2）证明 ，即可解决问题．
【解答】解：（1） 是等边三角形，且 ， ，
， ， ；而 ，
， 是等边三角形．
（2）由（1）知： 、 分别是 的中线，
， ，
，
，
，
，而 ，
．【点评】该题主要考查了等边三角形的判定及其性质的应用问题；应牢固掌握正方形的判定及其性质．
题型四．含30度角的直角三角形
10．（2023秋•江门期末）如图，在 中，已知， ， ， 边的垂直平分线交
于 ，交 于 ，且 ，则 的长是
A． B． C． D．
【分析】利用线段垂直平分线的性质得 ，利用等腰三角形的性质得 且
，再利用外角的性质得 ，解直角三角形即可得 的值．
【解答】解； 边的垂直平分线交 于 ，交 于 （已知）
（线段垂直平分线的性质）
且 （等腰三角形的性质）
（外角性质）
．
故选： ．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和含 角的直角三角形的性质等知识；得到
是正确解答本题的关键．
11．（2023秋•绥阳县期末）如图，在 △ 中， ， ， ，点 ， ， 分
别在边 ， ， 上，连接 ， ， ，若 ，且△ 是等边三角形，则
．【分析】作 于 ，由等边三角形的性质，推出△ △ ， ，
，由直角三角形的性质求出 ， ， ，即可得到
，从而求出 的长．
【解答】解：作 于 ，
△ 是等边三角形，
， ，
， ，
，
，
，
， ，
△ △ ，
， ，
，
，
， ，
，
，．
故答案为： ．
【点评】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是作
于 ，证明△ △ ，得到 ，由直角三角形的性质求出 ， 的长，即可解决
问题．
12．（2023秋•文峰区期末）如图，在 中， ， ， ，点 从点 出发以
的速度向点 运动，同时点 从点 出发以 的速度向点 运动，运动的时间为 秒，解决以
下问题：
（1）当 为何值时， 为等边三角形；
（2）当 为何值时， 为直角三角形．
【分析】（1）根据等边三角形的性质列出方程求出 的值；
（2）分两种情况讨论：①当 为直角时，②当 为直角时，分别利用30度角所对的直角边等于
斜边的一半列方程求出 的值．
【解答】解：（1）根据题意可得 ， ，
， ，
，
， 为等边三角形，
，，
，
当 为2时， 为等边三角形；
（2）①当 为直角时， ，
，
，
；
②当 为直角时， ，
，
，
．
当 为 或3时， 为直角三角形．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握30度角的直角三角形的边角关系是解题的
关键．
分层练习
一、单选题
1．如图，已知 中， ，斜边长 ，那么 （ ）
A．2 B． C．4+2 D．
【答案】A
【分析】先根据直角三角形的性质求出 的度数，进而可得出结论．
【详解】解： 中， ，
∴ ，∵ ，
∴ ．
故选：A
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟知在直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半是解
题的关键．
2．如图，将等边三角形 剪去一个角后，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
【详解】∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°,∴∠1+∠2=360°-(∠B+∠C)=360°-120°=240°.
故选D
3．如图，在 中， ， ， 是斜边 上的高，若 ，则边 的长
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出 ，根据含30度角的直角三角形的性质得到 ，同理可得
，则 ．
【详解】解：∵ 是斜边 上的高，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知含30度角的直角三角
形中30度角所对的直角边的长是斜边长的一半是解题的关键．
4．如图， ，等边 的顶点B在直线b上， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，过C作 直线l，根据等边三角形性质求出
，根据平行线的性质求出 ， ，即可求出答案．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
过C作 直线l，
∵直线 直线m，
∴直线 直线 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．5．如图，在平面直角坐标系 中，已知点 的坐标是(0,2)，以 为边在右侧作等边三角形 ，过
点 作 轴的垂线，垂足为点 ，以 为边在右侧作等边三角形 ，再过点 作 轴的垂线，垂足
为点 ，以 为边在右侧作等边三角形 ，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形
，则点 的纵坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，根据 角所对的直角边等于斜边的一半得
出 ， ， ，即点 的纵坐标为1；点 的纵坐标为
，点 的纵坐标为 ，以此类推，从中得出规律，即可求出答案．解答此题的关键是通过认真分
析，根据 角所对的直角边等于斜边的一半，从中发现规律．【详解】解： 三角形 是等边三角形，
， ，
．
在直角△ 中， ， ，
，即点 的纵坐标为1，
同理， ， ，
即点 的纵坐标为 ，
点 的纵坐标为 ，
点 的纵坐标为 ．
故选：B．
6．如图，ΔABC的三个内角比为1：1：2，且 ，则∠CBD是（ ）
A．5° B．10° C．15° D．45°【答案】C
【分析】先依据三角形的内角和是180°，可计算出∠A=90°，∠ABC=45°，再利用含30度角的直角三角形的
性质求得∠ABD=30°，即可求解．
【详解】∵ΔABC的三个内角比为1：1：2，
∴∠A=180° =90°，
∴∠ABC=45°，
在Rt△ABD中， ，
∴∠ABD=30°，
∴∠CBD=∠ABC -∠ABD =15°．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，利用按比例分配的方法
确定出三角形的类别是解题的关键．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠A=60º，CD是斜边AB上的高，若AD=3cm，则斜边AB的长为（
）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【答案】D
【分析】先求出∠ACD=∠B=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再求出
AB即可．
【详解】解：∵在Rt ABC中，∠ACB=90º，∠A=60º，
∴∠B=180°-60°-90°=30△°（三角形内角和定理），
∴AC= （直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半），
又∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC=90º，
∴∠ACD=180°-60°-90°=30°（三角形内角和定理），
∴AD= （直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半），∴AC=6，
又∴AC= ，
∴ ．
故选D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和有30°角的直角三角形的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角
边等于斜边的一半是解题的关键．
8．如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东30°的方向行驶30公里到达B地游玩，之后打算去距离A
地正东30公里处的C地，则他们行驶的方向是（ ）
A．南偏东60° B．南偏东30° C．南偏西60° D．南偏西30°
【答案】B
【分析】先根据题意画出图形，得到△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠ABC=60°，过B
作BD⊥AC于D，再根据平行线的性质及方向角的描述方法解答即可．
【详解】如图所示，由题意可知，∠BAC=90°-30°=60°．
∵AB=AC=30，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°．
过B作BD⊥AC于D，∴∠ABD=30°，∴∠DBC=60°－30°=30°，∴他们行驶的方向是南偏东30°．
故选B．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和方向角，解答此类题需要根据运动的角度，正确画出方位角，再
结合平行线的性质求解．
9．如图，在菱形ABCD中， ，点E、F分别为边AB、BC上的点，且 ，连接CE、AF交
于点H，连接DH交AC于点O．下列结论：① ；② ；③ ；④
．其中结论正确的是（ ）
A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】由菱形ABCD中， ，证明 是等边三角形，可得 ，由SAS证明
可判断①；由全等三角形的性质可得 ，再利用三角形外角性质得到
可判断②；在HD上截取HP=AH，连接AP,证明点A、H、C、D四点共圆，继而证明 是
等边三角形，再由AAS证明 ，最后由 判断③；过点D作
于点 ，作 交 的延长线于点 ，角平分线的性质求出 ，继而
证明 ，从而证明 平分 ，得到 ，再证明 ，
最后根据相似三角形对应边成比例判断④．
【详解】解：① 四边形ABCD是菱形，
是等边三角形，
与故①正确；
②
故②正确；
③在HD上截取HP=AH，连接AP,如图，
点A、H、C、D四点共圆
是等边三角形
故③正确；
④过点D作 于点 ，作 交 的延长线于点 ，如图平分
故④正确，
即正确的有①②③④
故选：D
【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定
与性质等知识，作出正确的辅助线是解题关键．
10．如图，在边长为6cm的等边 ABC中，点D从A出发沿A→B的方向以1cm/s的速度运动，点E从B出
发沿B→C的方向以2cm/s的速度△运动，D，E两点同时出发，当点E到达点C时，D，E两点停止运动，以
DE为边作等边 DEF（D，E，F按逆时针顺序排列），点N为线段AB上一动点，点M为线段BC的中点，
连MF，NF，当△MF+NF取得最小值时，线段BN的长度为（ ）A．5cm B．4.5cm C．4cm D．3cm
【答案】B
【分析】先确定点F的运动路径，后确定点M关于直线的对称点，过对称点向AB作垂线，这条垂线段就
是线段和的最小值，后计算即可．
【详解】如图，过点E作EH⊥AB于H，连接FC．
由题可得：∠BEH＝30°，AD＝1×t＝t（cm），BE=2t，CE＝(6-2t)（cm），
∴BH＝ BE＝t（cm），
∴DH＝AB-AD-BH=6-t-t=(6-2t)（cm），
∴DH＝EC．
∵△DEF， ABC是等边三角形，
∴DE＝EF，△∠DEF＝∠DBE =60°．
∴∠HDE+∠DEB＝120°，∠DEB+∠FEC＝120°，
∴∠HDE＝∠CEF．
在 DHE和 ECF中，
△ △
，
∴△DHE≌△ECF（SAS），
∴∠DHE＝∠ECF＝90°，
∴F点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段CF，作点M关于CF的对称点K，连接FK，过点K作KJ⊥AB于J，
∵FM+FN＝FK+FN≥KJ，
∴当点N与J重合，且点F在KJ上时，FM+FN的值最小，
∵M是BC的中点，
∴MC=CK=3，
∴BK＝BC+CK＝6+3＝9（cm），
∵∠KJB＝90°，∠B＝60°，
∴BJ＝BN= BK＝9× ＝4.5（cm），
当MF+NF取得最小值时，线段BN的长度为4.5cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形30°角的性质，垂线段最短原理，三角形的全等，熟
练确定动点的路径，把问题转化为线段和的最小值转化为垂线段最短原理是解题的关键．
二、填空题
11．如图，正六边形DEFGHI的顶点都在边长为6cm的正三角形ABC的边上，则这个正六边形的边长是
cm．
【答案】2
【详解】试题分析：∵正六边形DEFGHI，∴DI∥BC，∵正三角形ABC，∴∠B=∠C=∠A=60°，∴△ADI是等边
三角形， ∴AD=DI=AI．同理，BE=EF=BF，∵DE=EF，∴AD=DE=BE，∴DE=6÷3=2cm．故填2．
考点：等边三角形的性质．
12．为了打造城市“绿洲”，某市计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境，已知
这种草皮每平方米售价为 元，则购买这种草皮需 元．
【答案】
【分析】作 边的高 ，设与 的延长线交于点 ，则 ，由 ，即可求出
，然后根据三角形的面积公式即可推出 的面积为 ，最后根据每平方米的售价即可推出结果．
【详解】解：如图，作 边的高 ，设与 的延长线交于点 ，
，
，
， ，
，
，
，
每平方米售价 元，
购买这种草皮的价格为 元．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于做出 边上
的高，根据相关的性质推出高 的长度，正确的计算出 的面积．
13．如图，在Rt△ABC中， ， ，△ACD为等边三角形，连接BD，则△BCD的面
积为 ．
【答案】1
【分析】过点 作 交于 ，根据题意，易得到 ， ，在 中， 所对的
边是斜边的一半，可得 的长，即可求出 的面积．
【详解】解：如图，过点 作 交于 ，
是等边三角形，
， ，
，
，，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形含有 角的各边关系，正确的作出辅助线是解题的
关键．
14．如图，在 中， ， ， 和 都是直角且点 ， ， 三点共线，
，则阴影部分的面积是 ．
【答案】2．
【分析】根据 和 都是直角且点 ， ， 三点共线， ， ，可以得出
，则可以求出阴影部分的面积．
【详解】解：∵
∴
∵ 和 都是直角且点 ， ， 三点共线， ，
∴
∴
∴ ， ，
∵
∴
阴影部分的面积 ，故答案为：2．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
15．如图，在 中， ， ， 的垂直平分线与 交于点 ，与 交于点 ，
连结 若 ，则 的长为 ．
【答案】8
【分析】根据垂直平分线性质结合等腰三角形性质得到 且 ，再利用外角
性质求出 ，最后根据含 角的直角三角形特征求出结果即可．
【详解】解； 边的垂直平分线交 于 ，交 于 ，
．
且 ，
，
，
．
故答案为：8 ．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形生物判定与性质，三角形外角性质，含 角的直角
三角形特征，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
16．如图，在 中， ， ， ，P是边 上的动点，连接 ．
（1） 的最小值为 ；
（2）当 度时， 是等腰三角形．
【答案】 或105或
【分析】本题考查垂线段最短和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）根据垂线段最短得到当 于点P时， 最小，利用30°的直角边等于斜边的一半解题即可；
（2）分 ， 和 三种情况讨论，根据等腰三角形的性质进行运算解题即可．
【详解】解：（1）当 于点P时， 最小，∵ ， ，
∴ ，
故答案为：6；
（2）当 时， ，
则 ；
当 时， ，
则 ；
当 时， ，则 ；
故答案为： 或105或 ．
17．如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上一点，OC=10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，
动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=
s时， POQ是等腰三角形．
△
【答案】 或10
【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：①当点P在线段OC上时，且OP=OQ，②当点P在CO的延
长线上时，且OQ=PO，分别列式计算即可．
【详解】解：由题意可分以下情况讨论：
①当点P在线段OC上时，
设ts后△POQ是等腰三角形，则有OP=OC-CP=OQ，
∵OC=10cm， cm，
∴ ，
∵ ，∴ ，解得： ；
②当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用5s，则有 ，
∵∠AOB=60°，
∴△POQ是等边三角形，
∴ ，解得： ，
综上所述：当t为 s或10s时，△POQ是等腰三角形；
故答案为 或10．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，解决问题的关键是把几何问题转化为方程求解，注意分类讨论
思想．
18．如图①，是一块光学直角棱镜，其截面为图②所示的 ，AB所在的面为不透光的磨砂面，
， .现有一束单色光从CB边的点E处垂直射入，到达AB边的点D，恰有 ，
经过反射后（即 ）从AC边的点F处射出.若光线在棱镜内部经过的路径 ，
则这块棱镜的高度AC为 cm.
【答案】
【分析】本题考查含 角的直角三角形三边的关系，等边三角形判定与性质，由 ， ，
得 ，又 ，得 ，而 ，得 ，证明 是等边三角形，
得 ，然后求得 ，由 即可求解．
【详解】解： ， ，
，
，
， ，， ，
，
， ， ，
∴ 是等边三角形；
∴ ，
，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为16.
三、解答题
19．（1）图①是折叠凳撑开时的侧面示意图，其中凳腿 和 的长度相等，O是 和 的中点，为
了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开时的凳面宽度 设计为 ，求撑开时的凳腿间距 ；
（2）在（1）题条件下，为了节省空间，凳子不用时可折叠起来摆放，图②是折叠后的侧面示意图，若折
叠前凳面与凳腿的夹角 为60度，求折叠后凳腿的高度 ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，以及等边三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判
定方法和性质定理．
（1）利用 定理判定 ，再利用全等三角形的性质可得答案；
（2）根据全等三角形的性质可和等边三角形的判定证明 是等边三角形，根据等边三角形的性质即
可求解．
【详解】（1）∵O是 和 的中点，
， ，
在 和 中，
，，
；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∵ 和 的长相等，
∴ ，
∵ 为 ，
∴ 是等边三角形， ．
∴ ．
20．周末，小丽和小红相约到C地参加青春励志报告会，C地在小丽家A的北偏东 的方向，也在小红
家的北偏西 的方向上． 千米，二人骑车同时从各自家出发，小丽的速度为每分钟 千米，小
红的速度为每分钟 千米，那么二人能否同时到达C地？
【答案】二人能同时到达．
【分析】本题考查了含 角的直角三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和含 角的直
角三角形的性质是解题的关键．
求出 ，由含 角的直角三角形的性质得 千米，再由勾股定理得 千米，然后求
出小丽和小红到达 地的时间，即可得出结论．
【详解】解：二人能同时到达 地，理由如下：
由题意可知， ， ，
，
（千米），（千米），
小丽的速度为每分钟 千米，小红的速度为每分钟 千米，
小丽到达 地的时间为 （分钟），小红到达 地的时间为 （分钟），
小丽到达 地的时间 小红到达 地的时间，
二人能同时到达 地．
21．已知点C在线段BE上，且△ABC和△DCE都是等边三角形，连接BD、AE交AC、DC于点M、N点，
求证：
（1）△AEC≌△BDC；
（2）△CMN是等边三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由等边三角形的性质可得 ， ， ，通过 即可判定；
（2）通过证 ，得到 ，再由 ，即可判定．
【详解】证明：（1）∵ 与 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
即 ，
在 和 中，
∴ ；（2）∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ 是等边三角形
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基
本性质和判定方法．
22．如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西 方向上，轮
船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西 方向上．当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，
又航了多少海里？
【答案】当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航行了20海里．
【分析】本题考查的是含 角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，先证明 ，
可得 ， ，从而可得答案．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ (海里)，
∴ 海里，
答：当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航行了20海里．23．数学与生活．
如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东 的方向上．
半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东 的方向上．
(1)求轮船在B处时与灯塔M的距离；
(2)轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处，则此时轮船与灯塔M的距离是 ，灯塔M在
轮船的 方向上．
【答案】(1)14海里
(2)14海里，南偏东
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定以及性质，方向角等知识．
（1）由三角形外角定义求出 ，再由等角对等边得出 ．
（2）证明 是等边三角形，即可求出 以及 ．
【详解】（1）解：据题意得， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，答：轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里；
（2）∵ ， 且 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
答：轮船在C点时与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南偏东 方向上，
故答案为：14海里，南偏东 ．
24．在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，且α+β=120°，连
接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）
（1）小聪先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴
对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问
题．
请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是 三角形；∠ADB的度数
为 ．
（2）在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；
（3）在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC=7，AD=2．请直接写出线段
BE的长为 ．
【答案】（1）①△D′BC是等边三角形，②∠ADB=30°（2）∠ADB=30°；（3）7+❑√3或7﹣❑√3
【分析】（1）①如图2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，由 ABD≌△ABD′，推出 D′BC是
等边三角形； △ △
②借助①的结论，再判断出 AD′B≌△AD′C，得∠AD′B＝∠AD′C，由此即可解决问题．
（2）当60°＜α≤120°时，如图△ 3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1）．
（3）第①种情况：当60°＜α≤120°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方
法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形求出DE，即可得出结论；第②种情况：当0°＜α＜60°时，
如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角
三角形的性质即可得出结论．【详解】（1）①如图2中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∵∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=15°，
在 ABD和 ABD′中，
△ △
∴△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B，
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=6 0°，
∵BD=BD′，BD=BC，
∴BD′=BC，
∴△D′BC是等边三角形，
②∵△D′BC是等边三角形，
∴D′B=D′C，∠BD′C=60°，
在 AD′B和 AD′C中，
△ △
∴△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，
∴∠AD′B= ∠BD′C=30°，
∴∠ADB=30°．
（2）∵∠DBC＜∠ABC，∴60°＜α≤120°，
如图3中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=α，
∴∠ABC= （180°﹣α）=90°﹣ α，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=90°﹣ α﹣β，
同（1）①可证 ABD≌△ABD′，
△
∴∠ABD=∠ABD′=90°﹣ α﹣β，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°﹣ α﹣β+90°﹣ α=180°﹣（ α+β），
∵α+β=120°，
∴∠D′BC=60°，
由（1）②可知， AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，△
∴∠AD′B= ∠BD′C=30°，
∴∠ADB=30°．
（3）第①情况：当60°＜α＜120°时，如图3﹣1，由（2）知，∠ADB=30°，
作AE⊥BD，
在Rt ADE中，∠ADB=30°，AD=2，
△
∴DE= ，
∵△BCD'是等边三角形，
∴BD'=BC=7，
∴BD=BD'=7，
∴BE=BD﹣DE=7﹣ ；
第②情况：当0°＜α＜60°时，
如图4中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′．
同理可得：∠ABC= （180°﹣α）=90°﹣ α，
∴∠ABD=∠DBC﹣∠ABC=β﹣（90°﹣ α），
同（1）①可证 ABD≌△ABD′，
△
∴∠ABD=∠ABD′=β﹣（90°﹣ α），BD=BD′，∠ADB=∠AD′B，
∴∠D′BC=∠ABC﹣∠ABD′=90°﹣ α﹣[β﹣（90°﹣ α）]=180°﹣（α+β），
∴D′B=D′C，∠BD′C=60°．
同（1）②可证 AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C△，
∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°，
∴∠ADB=∠AD′B=150°，在Rt ADE中，∠ADE=30°，AD=2，
△
∴DE= ，
∴BE=BD+DE=7+ ，
故答案为7+ 或7﹣ ．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质．等边三角形的性质、等腰三角形的性
质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．已知等边 ，点 为 上一点，连接 ．
（1）若点 是 上一点，且 ，连接 ， 与 的交点为点 ，在图（1）中根据题意补全
图形，求出 的大小；
（2）将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 交 于点 ，在图（2）中根据题意补全图形，
用等式表示线段 和 的数量关系，并证明．（记得充分利用（1）的解题思路和结论）
【答案】（1）图见解析，60°；（2）图见解析， ，理由见解析
【分析】（1）根据题意补充图形，通过证明 得到 ，利用三角形外角的性质可得 即可求解；
（2）根据题意补全图形，通过证明 得到 ，即可得证．
【详解】解：（1）补全图形
证明：在 和 中，
．
是 的一个外角，
；
（2）补全图形图2，
，
证明：根据（1） 可知 ，
即 ．
再证明 ．得到 ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，掌握上述性质定理是解题的关键．
26．专注基本图形：
某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形如图1，在 中， ，
，直线 经过点 ，作 直线 ， 直线 ，垂足分别为点 ， ．并进一步证明
方法如下：
∵ ，
∴ ，
∵ 直线 ， 直线 ，
∴ ，
∴
在 和 中，
∴
∴ ， ，
∴
探究问题解决：
(1)组员小明想，如果三个相等的角不是直角，那么上述结论是否会成立呢？如图，将上述条件改为：在
中， ， ， ， 三点都在直线 上，且 ．请判断 是
否成立，并说明理由．
(2)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决新问题．如图 ， ， 是直线l上
的两动点（ ， ， 三点均在直线 上且互不重合），点 为 的角平分线上的一点，且 和
均为等边三角形，连接 ， ， ， ．若 ，请说明 ．【答案】(1) 成立，理由见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和
性质，等边三角形的性质，即可．
（1）根据 ， ， ，则
，根据全等三角形的判定和性质，则 ，得到 ， ，
即可；
（2）根据等边三角形的性质，则 ， ，根据三角形角的数量关系，
则 ，根据全等三角形的判定和性质，推出 ， ；根据全等三
角形的判定和性质， ，即可．
【详解】（1）解： 成立，理由如下：
∵ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
（2）解：∵ 和 均为等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
