文档内容
第 18 讲 分式方程（7 个知识点+7 种题型+分层练
习）
知识导图
知识清单
知识点1．分式方程的定义
分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．
知识点2．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生
增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
知识点3．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
知识点4．换元法解分式方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对
象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而
简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．
知识点5．分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或
是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许
未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整
式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好
是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为 0，如果
为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
知识点6．由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和
追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
知识点7．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位
等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作
时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
题型强化
题型一．分式方程的定义1．（2023秋•高唐县校级月考）下列关于 的方程中（1） ；（2） ；（3）
；（4） ；（5） ，其中是分式方程的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据分式方程的定义逐个分析判断即可．
【解答】解：（1）关于 的方程 分母中含有未知数，（1）是分式方程；
（2）关于 的方程 分母中不含有未知数，（2）不是分式方程；
（3）关于 的方程 分母 是常数，分母中不含有未知数，（3）不是分式方程；
（4）关于 的方程 分母 是常数，分母中不含有未知数，（4）不是分式方程；
（5）关于 的方程 分母中 是常数，不含有未知数，（5）不是分式方程．
综上所述：是分式方程的有1个．
故选： ．
【点评】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．
2．（2022秋•同心县校级期末）分母中含有未知数的方程叫做 ．
【分析】依据分式方程的定义进行判断即可，分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
【解答】解：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
故答案为：分式方程．
【点评】本题主要考查了分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否
含有未知数．
3．（2021秋•岱岳区校级月考）判一判：下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；（5） ；
（6） ；
（7） ．
【分析】利用分式方程的定义解答即可．
【解答】解： 分母中含有未知数的方程是分式方程，
（1）（3）（4）（5）（7）是分式方程，（2）（6）是整式方程．
【点评】本题主要考查了分式方程的定义和方程的定义，准确利用分式方程的定义进行判断是解题的关键．
题型二．分式方程的解
4．（2023秋•蒙阴县期末）若关于 的分式方程 解为非负数，则 的取值范围是
A． B． 且 C． 且 D．
【分析】先解关于 的分式方程，求得 的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求 的取值范围．
【解答】解： ，
解得： ，
的分式方程 解为非负数，且 ，
，
解得： 且 ．
故选： ．
【点评】本题考查了分式方程的解及分式有意义的条件，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
5．（2024秋•渝中区校级月考）如果关于 的不等式组 的解集为 ，且关于 的分式方
程 有负整数解，那么符合条件的所有整数 的和是 ．【分析】根据一元一次不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”可
得 ，再根据解分式方程可得 ，且 ， 是整数，分式方程的解是负整数，由此可确定整
数 的值为 或 ，由此即可求解．
【解答】解： ，
由①得 ，
关于 的不等式组的解集为 ，
，
解得 ，
分式方程 ，
整理得 ，
解得 ，
关于 的分式方程有负整数解，
，即 ，且 ，
，
，
解得 ，
且 ， 是整数，
当 ， ， ， 时， 的值不是负整数，不符合题意，舍去；
当 时， ；当 时， ；符合题意；
符合条件的所有整数 的值为 或 ，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了一元一次不等式组，分式方程的综合，熟练掌握解分式方程是关键．6．（2023秋•环翠区期末）已知关于 的分式方程 ．
（1）若这个方程无解，求 的值；
（2）若这个方程的解是非负数，求 的值．
【分析】（1）根据方程无解，可分两种情况：原分式方程有增根和整式方程无解，即可求解．
（2）先化分式方程为整式方程，求得解，根据解为负数，计算字母的范围即可．
【解答】解：（1） ，
两边都乘以 ，得
，
，
当 时，分式方程无解，此时 ．
当 时，分式方程无解，此时 即 ．
综上可知，若这个方程无解， 的值为3或 ；
（2） ，
，
由题意，得
且 ，
解得 且 ．
【点评】此题考查了根据分式方程解的情况求参数，解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法是解题
的关键．
题型三．解分式方程
7．（2024•广东）方程 的解是
A． B． C． D．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解： ，
，解得： ，
检验：当 时， ，
是原方程的根，
故选： ．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
8．（2023秋•乳山市期末）定义新运算： ．则方程 的解为 ．
【分析】根据题意得出 ，解方程即可求解，最后要检验．
【解答】解：
解得： ，
经检验 是原方程的解，
故答案为： ．
【点评】本题考查了解分式方程，解题关键是理解题意，将新定义转化为分式方程求解．
9．（2024秋•永兴县校级月考）阅读下列材料
学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于 的分式方程 的解为正数，求
的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于 的方程，
得到方程的解为 ，由题目可得 ，所以 ，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还
必须 才行．
（1）请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ．
完成下列问题：
（2）已知关于 的方程 的解为非负数，求 的取值范围；
（3）若关于 的方程 无解，求 的值．
【分析】（1）分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0；（2）先解分式方程得 ，再由题意可得 ， ，求出 的范围即可；
（3）将分式方程化为整式方程得 ，根据题意可得 或 ，再分别求出 的值即可．
【解答】解：（1） 分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0，
小聪说得对，分式的分母不能为0；
（2） ，
，
，
，
解为非负数，
，即 ，
又 ，
，即 ，
且 ；
（3） ，
，
，
原方程无解，
或 ，
①当 时，解得 ；
②当 时，解得 ；
综上所述：当 或 时原方程无解．
【点评】本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，理解方程无解时满足的条件是解题的关键．
题型四．换元法解分式方程10．（2023•上海）在分式方程 中，设 ，可得到关于 的整式方程为
A． B． C． D．
【分析】设 ，则 ，原方程可变为： ，再去分母得 ，即可得出结论．
【解答】解：设 ，则 ，
分式方程 可变为： ，
去分母得： ，
整理得： ，
故选： ．
【点评】本题考查换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键．
11．（2023秋•淅川县校级月考）用换元法解方程 时，可设 ，则原方程化为关
于 的整式方程为 ．
【分析】根据 ，则可把原方程变形．
【解答】解： ，
方程 变形为 ，
即 ，
故答案为 ．
【点评】本题考查了用换元法解分式方程，找出整体是解题的关键．
12．（2022春•泰和县期末）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程： ．解：设 ，则原方程化为： ，方程两边同时乘 得： ，
解得： ，
经检验： 都是方程 的解， 当 时， ，解得： ，
当 时， ，解得： ，经检验： 或 都是原分式方程的解，
原分式方程的解为 或 ．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程 中，设 ，则原方程可化为： ；
（2）若在方程 中，设 ，则原方程可化为： ；
（3）模仿上述换元法解方程： ．
【分析】（1）和（2）将所设的 代入原方程即可；
（3）利用换元法解分式方程，设 ，将原方程化为 ，求出 的值并检验是否为原方程的
解，然后求解 的值即可．
【解答】解：（1）将 代入原方程，则原方程化为 ；
（2）将 代入方程，则原方程可化为 ；
（3）原方程化为： ，
设 ，则原方程化为： ，
方程两边同时乘 得：解得： ，
经检验： 都是方程 的解．
当 时， ，该方程无解；
当 时， ，解得： ；
经检验： 是原分式方程的解，
原分式方程的解为 ．
【点评】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度．
题型五．分式方程的增根
13．（2023秋•乳山市期末）关于 的分式方程 有增根，则 的值是
A．1 B． C．3 D．
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到 ，据此求出 的
值，代入整式方程求出 的值即可．
【解答】解：去分母，得： ，
由分式方程有增根，得到 ，即 ，
把 代入整式方程，可得： ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；
（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14．（2024春•丰泽区期末）若关于 的分式方程 有增根，则 的值为 ．
【分析】先解出方程的根为 ，由题意可知 ，即可得 ，解出 即可．
【解答】解：方程两边同时乘以 ，得
，
解得： ，
分式方程有增根，，
，
，
故答案为1．
【点评】本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，理解增根的意义是解题的关键．
15．（2024春•新华区期末）已知关于 的方程 ．
（1）当 取何值时，此方程的解为 ；
（2）当 取何值时，此方程会产生增根；
（3）当此方程的解是正数时，求 的取值范围．
【分析】（1）把分式方程化为整式方程，解之得到 ，把 代入方程即可得出 的值；
（2）根据增根的定义，得出增根，从而得出 的值；
（3）根据解为正数，建立不等式求解，即可得出 的取值范围．
【解答】解：（1） ，
，
，
，
，
，
，
，
方程的解为 ，
，解得 ，
当 时，此方程的解为 ；
（2） 方程会产生增根，
，，解得 ，
当 时，此方程会产生增根；
（3） 方程的解是正数，
且 ，
解得 且 ．
当此方程的解是正数时， 的取值范围是 且 ．
【点评】本题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，熟练掌握方程和不等式的解法是解题的关键．
题型六．由实际问题抽象出分式方程
16．（2024•秀屿区校级一模）已知一艘轮船顺水航行50千米和逆水航行30千米共用的时间，正好等于船
在静水中航行80千米所用的时间，并且水流的速度是3千米 小时，设轮船在静水中的速度为 千米 小
时，则下列方程正确的是
A． B．
C． D．
【分析】设轮船在静水中的速度为 千米 小时，根据“轮船顺水航行50千米和逆水航行30千米共用的时
间，正好等于船在静水中航行80千米所用的时间”，列出方程，即可求解．
【解答】解：设轮船在静水中的速度为 千米 小时，列方程为： ，
故选： ．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，找到等量关系是关键．
17．（2024春•英德市期末）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知
第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均
捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为 人，那么 满足的方程是 ．
【分析】如果设第一次有 人捐款，那么第二次有 人捐款，根据两次人均捐款额相等，可得等量关
系为：第一次人均捐款额 第二次人均捐款额，据此列出方程即可．
【解答】解：设第一次有 人捐款，那么第二次有 人捐款，由题意，有．
故答案为： ．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决
问题的关键．
18．（2023秋•上饶期末）某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙
型机器人每小时多搬运 产品，甲型机器人搬运 产品所用时间与乙型机器人搬运 产品所用
时间相等．
根据以上信息，解答下列问题．
（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运 产品，可列方程为 ．小惠同学设甲型机器人搬运
产品所用时间为 小时，可列方程为 ．
（2）求乙型机器人每小时搬运多少千克产品．
【分析】（1）设乙型机器人每小时搬运 产品，则甲型机器人每小时搬运 产品，根据甲型机
器人搬运 所用时间与乙型机器人搬运 所用时间相等，即可得出关于 的分式方程；设甲型机
器人搬运 所用时间为 小时，根据甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运 ，即可得出关于 的
分式方程；
（2）任选一位同学的思路，解分式方程即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙型机器人每小时搬运 产品，则甲型机器人每小时搬运 产品，
依题意得： ；
设甲型机器人搬运 所用时间为 小时，
依题意得： ．故答案为： ； ．
（2）选择小华同学的思路： ，
化简得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
选择小惠同学的思路： ，
变形得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
．
所以乙型机器人每小时搬运 产品．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
题型七．分式方程的应用
19．（2023秋•新华区期中）一批货物要运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可用，已知甲、乙、丙每次运
货量不变，且甲、乙两车单独运完这批货物所用次数之比为 ．若甲、丙两车各运相同次数运完这批
货时，甲共运了180吨；若乙、丙两车各运相同次数运完这批货时，乙车共运了270吨．则这批货共有
A．360吨 B．450吨 C．540吨 D．630吨
【分析】根据“若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨；若乙、丙两车合运相同
次数运完这批货物时，乙车共运了270吨．”这两个等量关系来列方程．
【解答】解：设这批货物共有 吨，甲车每次运 吨，乙车每次运 吨，由题意列方程： ，
由甲、乙两车单独运完这批货物所用次数之比为 知 ，
，
解得 ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了列分式方程解应用，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．
20．（2024春•永寿县期末）某人骑自行车比步行每小时多走 8千米，如果他步行12千米所用时间与骑车
行36千米所用时间相等，那么他的
步行速度为 千米 小时．
【分析】设他的步行速度为 千米 小时，则他骑自行车的速度为 千米 小时，根据题意得出方程
，求出方程的解即可．
【解答】解：设他的步行速度为 千米 小时，则他骑自行车的速度为 千米 小时，
方程为 ，
方程两边都乘以 得： ，
解得： ，
经检验 是所列方程的解，
即他的步行速度为4千米 小时，
故答案为：4．
【点评】本题考查了分式方程的应用，能根据题意列出方程是解此题的关键．
21．（2024春•盐湖区期末）洋葱是百合科，葱属多年生草本植物，味辛、甘，性温，归肺经，富含钾、
维生素 、叶酸、锌、硒等纤维质等营养素，具有保护心脑血管、美容养颜的功效．由于临近初二中考，
考生物实验，生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上周生物老师用18元购
买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了 ，生物老师花了30
元，但只比上周多买了2斤洋葱．（1）求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？
（2）经调查发现，一个洋葱可供12名同学使用，两个洋葱正好1斤，本校参加生物实验的同学共1392人
如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给本校参加生物实验的同学所用？
【分析】（1）设上周生物老师购买洋葱的单价为 元 斤，则本周所买洋葱的单价为 元 斤，根据
“生物老师花了30元，但只比上周多买了2斤洋葱”列出分式方程，求解即可得出答案；
（2）设生物老师还需再购买洋葱 斤，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案．
【解答】解：（1）设上周生物老师购买洋葱的单价为 元 斤，则本周所买洋葱的单价为 元 斤，
根据题意可列方程： ，
解得 ，
经检验： 是原方程的根且符合题意．
答：上周生物老师购买洋葱的单价为1元 斤；
（2）设生物老师还需再购买洋葱 斤，
则有 ，
解得 ，
答：生物老师至少要再购买20斤洋葱．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程与一元一次
不等式是解此题的关键．
分层练习
一、单选题
1．分式方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求
解，解分式方程一定注意要验根．
先去分母，然后转化为一元一次方程求解即可．【详解】解：
去分母得： ，
去括号得： ，
解得： ，
检验： 为原分式方程的根，
故选：B．
2．下列四个方程中，有一个根是 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解分式方程、无理方程
【分析】将 代入四个方程进行检验即可．
【详解】A、由分式方程的分母不能为0可得 ，则 不是原分式方程的根，此项不符题意
B、将 代入得： ，经检验， 是原方程的根，此项符合题意
C、当 时， 无意义，则 不是原方程的根，此项不符题意
D、当 时， 无意义，则 不是原方程的根，此项不符题意
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程与无理方程的根的定义，掌握方程的根的定义是解题关键．
3．已知关于 的方程 的解是正数，那么 的取值范围是（ ）
A． 且 B． C． 且 D．
【答案】A
【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程的定义
【分析】先求解分式方程，根据“方程无增根”和“解是正数”即可求出 的取值范围．
【详解】解：去分母：
解得：
∵
∴∵方程的解是正数
∴x>0
∴
综上： 且
故选：A
【点睛】本题考查根据分式方程的解求解参数．正确解出分式方程是求解此题的前提．
4．若分式 与1互为相反数,则x的值为
A．-2 B．1
C．-1 D．2
【答案】C
【分析】根据互为相反数相加得零列式求解即可.
【详解】由题意得
+1=0，
解之得
x=-1.
经检验x=-1是原方程的根.
故选C.
【点睛】本题考查了相反数的应用及分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公
分母，化为整式方程求解，求出x的值后不要忘记检验.
5．若方程 有增根，则它的增根是（ ）
A．0 B．1 C． D．1和
【答案】B
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题主要考查了分式方程的增根问题，解题的关键是求出使方程产生的增根可能为 或 ，
然后再进行验证即可．
【详解】解： ，
方程两边都乘 ，得：，
由最简公分母 ，可知增根可能是 或 ，
当 时， ，
当 时，得到 ，这是不可能的，
所以增根只能是 ．
故选：B．
6．若分式方程 有增根，则增根可能是（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
【答案】A
【知识点】分式方程无解问题
【分析】根据分式方程有增根，得分式方程 的最简公分母 ，解出 ，
当 时， ，方程无解，即可得 的值．
【详解】∵分式方程 有增根
∴最简公分母
∴
当 时， ，方程无解
∴
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程无解和增根的条件．
7．若分式方程 （其中k为常数）产生增根，则增根是 （ ）
A．x=6 B．x=5 C．x=k D．无法确定
【答案】B
【详解】试题分析：根据分式方程的增根的定义即可判断.
由题意得增根是x=5，故选B.
考点：本题考查的是分式方程的增根
点评：解答本题的关键是熟练掌握分式方程的增根是使原方程的分母等于0的根.8．若实数 为非负数，且关于 的分式方程 有正数解，则符合条件的整数 的和是
（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】根据实数 为非负数得出 ，然后根据分式方程 有正数解，得出a的取值
范围，即可得出答案．
【详解】解：∵实数 为非负数，
∴ ，
∴ ，
解分式方程 ，得 ，
∵分式方程有正数解，
∴ 且 ，
∴ 且 ，
∴ 且 ，
∴符合题意的整数有： ， ， ，
∴符合条件的整数 的和为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，求得a的取值范围是解题的关键．
9．下列方程中，有实数解的方程是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解分式方程、公式法解一元二次方程、二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式的非负性，可判断A、D无实数根，C有实数根，B解得x=2是分式方程的增根．
【详解】A中，要使二次根式有意义，则x－2≥0，2－x≥0，即x=2，等式不成立，错误；
B中，解分式方程得：x=2，是方程的增根，错误；D中， ≥0，则 ≥3，等式不成立，错误；
C中，∵ ，其中 ≥0，故-1≤x≤0
解得：x= (舍)，x= (成立)
故选：C
【点睛】本题考查二次根式的非负性和解分式方程，注意在求解分式方程时，一定要验根．
10．某厂准备生产8000个口罩，在生产了1000个口罩后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2
倍，结果共用10天完成了任务，设该厂原来每天生产x个口罩，则由题意可列出方程（ ）
A． ＝10 B． ＝10
C． ＝10 D． ＝10
【答案】D
【知识点】列分式方程
【分析】根据“引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用10天完成了任务”，可以列出
相应的分式方程，从而可以解答本题．
【详解】解：设该厂原来每天生产x个口罩，由题意可得，
，
故选：D．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系是解
决问题的关键．
二、填空题
11．要使 的值和 的值互为相反数，则 的值是 ．
【答案】3
【知识点】解分式方程、相反数的应用
【分析】根据相反数的定义列出分式方程，然后解分式方程并验根即可．
【详解】解：由题意可得
两边同时乘 ，得解得：x=3
经检验：x=3是原方程的解
故答案为：3．
【点睛】此题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键．
12．3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，
植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有 人．
【答案】3
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】审题确定等量关系：第一组平均每人植树棵数＝第二组平均每人植树棵数，列方程求解，注意检
验．
【详解】设第一组有x人，则第二组有 人，根据题意，得
去分母，得
解得，
经检验， 是原方程的根．
故答案为：3
【点睛】本题考查分式方程的应用，审题明确等量关系是解题的关键，注意分式方程的验根．
13．方程 的解是 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【分析】根据分式方程的计算，首先是去分母，注意分式方程的分母不能为0,其次合并同类项解方程即可.
【详解】解：去分母，得 ，
移项、合并，得 ，
解得 ，
检验：当 时， ，
所以，原方程的解为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法，关键在于分式方程的分母不能为0.14．为提高学生身体素质，增强班级凝聚力，某学校计划举办足球和篮球比赛．该校现用1600元购进一
批足球，又用5400元购进一批篮球，已知篮球的数量是足球的3倍，且单价比足球贵10元，设足球的单
价为 元，根据题意可列方程为 ．
【答案】
【知识点】列分式方程
【分析】设足球的单价为 元，根据“篮球的数量是足球的3倍”列出方程即可．
【详解】解：设足球的单价为 元，
根据题意，得 ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
15．某道路需要铺设一条长1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，施工时，工作效率比
原计划提高了 ，结果提前了6天完成任务，设原计划每天铺设管道x米，根据题意列出方程为
．
【答案】 ＝6．
【分析】设原计划每天铺设管道x米，根据工作效率比原计划提高25%，结果提前了6天完成任务，列方
程即可．
【详解】设原计划每天铺设管道x米，
由题意得， ＝6．
故答案为： ＝6．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程组．
16．A，B两地相距120km．甲、乙两辆汽车同时从A地出发去B地，已知甲车的速度是乙车速度的1.2倍，
结果甲车比乙车提前20分钟到达，则甲车的速度是 km/h．
【答案】72
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题，注意分式方程要检验．
【详解】设乙车的速度为xkm/h，，
解得，x＝60，
经检验x＝60是原分式方程的根，
∴1.2x＝1.2×60＝72，
故答案为72．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
17．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样
紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：
12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、
12、10这三个数的倒数发现： ．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调
和数：x，5，3（x＞5），则x的值是 ．
【答案】15
【知识点】分式方程的实际应用
【详解】解：依据调和数的意义，
有 － ＝ － ，
解得x＝15，
经检验：x=15为原方程的解，
故答案为15.
18．2019年重庆旅游近几年来非常火热，重庆作为国内最引人注目的“网红城市”，在国庆节期间接待游
客数量高达3859万人数，远远抛离了第二名武汉，超越其1000多万游客，国庆期间某外地旅行团来重庆
的网红景点打卡游览结束后旅行社对该旅行团做了一次“我最喜爱的巴渝景点”问卷调查（每名游客都填
了调查表，且只选了一个景点），统计后发现洪崖洞、长江索道、李子坝轻轨站、磁器口榜上有名．其中
选李子坝轻轨站的人数比进磁器口的少8人；选洪崖洞的人数不仅比磁器口的多，且为整数倍；选磁器口
与洪崖洞的人数之和是选李子坝轻轨站与长江索道的人数之和的5倍；选长江索道与洪崖洞的人数之和比
选李子坝轻轨站与磁器口的人数之和多24人．则该旅行团共有 人．
【答案】48
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】设选李子坝轻轨站的有x人，选长江索道的有y人，则选磁器口的有 人，选洪崖洞的有人，根据题意列出方程，再由x，y，a都为正整数，解出方程即可.
【详解】解：设选李子坝轻轨站的有x人，选长江索道的有y人，
则选磁器口的有 人，选洪崖洞的有 人，
根据题意得： ,
②可变形为： ③，
②+③得 ，
即 ，
①-③，得 ，
∵x、y都是正整数， 或 或 或 或 或 ，
当 、 、 、 、 时，
都不是整数，不合题意，
当 时， ，
∴选李子坝轻轨站的有2人，选长江索道的有6人，选磁器口的有10人，选洪崖洞的有30人，
由于每名游客都填了调查表，且只选了一个景点，
所以该旅行团共有 （人）
故答案为：48．
【点睛】本题是对运用题综合考查，准确根据题意列出方程并解答是解决本题的关键，难度适中.
三、解答题
19．若关于x的方程
(1)若 ，解这个分式方程；
(2)若原分式方程无解，求m的值．
【答案】(1)(2)4或0
【知识点】分式方程无解问题、解分式方程
【分析】（1）先将分式方程化为整式方程，求出解后进行检验即可；
（2）将分式方程化为 ，根据方程无解，可得 或当 时， ，由此
可解．
【详解】（1）解：当 时， ，
两边同乘 ，得 ，
整理，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
解得 ，
当 时， ，
因此这个分式方程的解为 ；
（2）解：方程 ，
两边同乘 ，得 ，
整理，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
方程无解，
或当 时， ，
即 或 或 ，
上述方程的解依次为 ， ，无解．
m的值为4或0．
【点睛】本题考查解分式方程，分式方程无解问题，根据分式方程无解，得出关于m的方程是解题的关键．
20．某街道因路面经常严重积水，需改建排水系统，市政公司准备安排甲乙两个工程队承接这项工程，据
评估，如果甲乙两队合作施工，那么12天可完成；如果甲队先做10天，剩下的工程由乙队单独承担，还
需15天完工．求甲乙两队单独完成此项工程各需要多少天？【答案】甲乙两队单独完成此项工程分别需要20天和30天．
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】此题考查了分式方程的应用，正确理解题意找准等量关系列出方程是解答此题的关键．
设甲乙两队单独完成此项工程分别需要 天和 天．根据“甲乙两个工程队合作施工12天可以完成”工程，
可得等量关系：甲队12天的工作量 乙队12天的工作量 该项工程总量．根据“甲队先做10天后，剩下
的工程由乙队单独承担，还需15天才能完工”，可得等量关系：甲队10天的工作量 乙队15天的工作量
该项工程总量．据此列方程组求解即可．
【详解】解：设甲乙两队单独完成此项工程分别需要 天和 天．根据题意，可列出方程组：
，
解得： ，
经检验 是原方程组的解，且符合题意，
答：甲乙两队单独完成此项工程分别需要20天和30天．
21．习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极
响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的
倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进
价是多少万元？
【答案】 型汽车的进价为每辆10万元
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】设 型汽车的进价为每辆 万元，则 型汽车的进价为每辆 万元，列出分式方程，解方程即
可；
【详解】解：设 型汽车的进价为每辆 万元，则 型汽车的进价为每辆 万元，
依题意得： ，
解得： ，
经检验， 是方程的解且符合实际意义，
答： 型汽车的进价为每辆10万元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确列出方程是解决本题的关键．
22．（1）化简 ．
（2）化简 ．
（3）解方程 ．
（4）解方程 ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）x=4；（4）x=1．
【知识点】解分式方程、分式加减乘除混合运算
【分析】（1）先通分、再运算，最后化简即可；
（2）先对 因式分解，再化除为乘，最后按照分式的乘法运算法则计算即可；
（3）先将分式方程化成整式方程求解，最后检验即可；
（4）先将分式方程化成整式方程求解，最后检验即可．
【详解】解：（1）
=
=
= ；
（2）
=
=
= ；（3）
2（x+2）=3x
2x+4=3x
x=4，
经检验x=4是分式方程的解，
所以该分式方程的解为x=4；
（4）
x-3+x-2=-3
x+x=-3+3+2
2x=2
x=1，
经检验x=1是分式方程的解
所以该分式方程的解为x=1．
【点睛】本题主要考查了分式的四则混合运算和解分式方程，掌握分式四则混合运算法则和解分式方程的
步骤成为解答本题的关键．
23．为顺利通过“河北省文明城市”验收，我县政府拟对城区部分排水管道公用设施全面更新改造，根据
市政建设的需要，需在一个月内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工
程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需 天
完成．
(1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
(2)若甲工程队每天的工程费用是 万元，乙工程队每天的工程费用是 万元，请你设计一种方案，既能
按时完工，又能使工程费用最少．
【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需 天，乙工程队单独完成此项工程需 天；
(2)甲单独完成既能按时完工，又能使工程费用最少；
【知识点】分式方程的实际应用、用代数式表示式
【分析】（1）设甲需要x天，则乙需要 天，根据合作需要 天完成列方程求解即可得到答案；
（2）由（1）得，甲乙两队单独完成也能在规定时间内完成工程量，分别计算合作完成与单独完成的费用
比较即可得到答案．【详解】（1）解：设甲需要x天，则乙需要 天，由题意可得，
，
解得： ，
，
答：甲工程队单独完成此项工程需 天，乙工程队单独完成此项工程需 天；
（2）解：由（1）得，甲乙两队单独完成也能在规定时间内完成工程量，
甲单独完成需要费用： ；
乙单独完成需要费用： ，
甲乙合作需要费用： ，
∵ ，
∴甲单独完成既能按时完工，又能使工程费用最少．
【点睛】本题考查分式方程解决应用题，解题的关键是找到等量关系式，列出方程．
24．水果超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于试销状况良好，超市又调拨11000元资金购
进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了0.2元，购进苹果数量是试销的2倍．
（1）试销时该品种苹果的进价是每千克多少元？
（2）如果超市将该品种苹果按每千克5元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的七
折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？
【答案】（1）试销时该品种苹果的进价是每千克2元；（2）超市在这两次苹果销售中共盈利20900元
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】（1）设试销时该品种苹果的进价是每千克x元，根据“这次的进货价比试销时每千克多了0.2元，
购进苹果数量是试销的2倍”，列出分式方程，即可求解；
（2）根据总销售额-总成本=销售盈利，列出算式，即可求解．
【详解】（1）设试销时该品种苹果的进价是每千克x元，则第二次购进该品种苹果的进价是每千克
（x+0.2）元，
根据题意得： 2 ，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的根，且符合题意．
答：试销时该品种苹果的进价是每千克2元；
（2）5000÷2+11000÷（2+0.2）＝2500+5000＝7500（千克），
5×（7500﹣400）+5×0.7×400﹣5000﹣11000＝36900﹣16000＝20900（元）．答：超市在这两次苹果销售中共盈利20900元．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．
25．对于实数x，规定： ．
例如： ， ， ．
(1)求值： ___________； ___________．
(2)猜想： ___________，并证明你的结论；
(3)求： 的值；
(4)解方程： ．
【答案】(1)1；1
(2)1；理由见详解
(3)
(4)
【知识点】解分式方程、分式加减乘除混合运算、新定义下的实数运算
【分析】（1）分别算出 ， 的值，再求和即可；
（2）将 代入所给式子，求和即可得出结论；
（3）按照定义式 发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间的 ，最后再求和即可．
（4）先去分母，化成整式方程，解出方程即可．
【详解】（1）∵ ； ；∴ 1；
∵ ； ；
∴ 1；
故答案为：1；1；
（2）∵ ；
∴ 1；
故答案为：1；
（3）
＝
＝
＝ ．
（4）
去分母得：
合并同类项得：
系数化为1得：
经检验： 是方程的解
【点睛】本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，读懂定义，发现规律，是解题的关键．26．列方程解应用题：
老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活经验去判断，北平之秋便是天堂．”（摘自
《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少．
小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树．他先让爸爸开车驶过这段公
路，发现速度为 千米／小时，走了约3分钟，由此估算这段路长约_______千米．
然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达 米．小宇计划从路的起点开始，
每a米种一棵树，绘制示意图如下：
考虑到投入资金的限制，他设计了另一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少 棵树，
请你求出a的值．
【答案】 ，
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】用速度乘以时间可求出估算这段路的长度；根据路的两侧共计减少 棵树列出分式方程进行解
答即可．
【详解】解：这段路长约 千米；
由题意可得：
解方程得： ．
经检验： 是原方程的解且符合题意．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
