文档内容
3.6 圆和圆的位置关系
教学目标
(一)教学知识点
1．了解圆与圆之间的几种位置关系．
2．了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．
(二)能力训练要求
1．经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力．
2．通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力．
(三)情感与价值观要求
1．通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以
及数学结论的确定性．
2．经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维．
教学重点
探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数
量关系的联系．
教学难点
探索两个圆之间的位置关系，以及外切、内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的
过程．
教学方法
教师讲解与学生合作交流探索法
教具准备
投影片三张
第一张：(记作§3．6A)
第二张：(记作§3．6B)
第三张：(记作§3．6C)
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]我们已经研究过点和圆的位置关系，分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种；
还探究了直线和圆的位置关系，分别为相离、相切、相交．它们的位置关系都有三种．今天我
们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那么结果是不是也是三种呢？没有调查就没有发言
权．下面我们就来进行有关探讨．
1Ⅱ．新课讲解
一、想一想
[师]大家思考一下，在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢？
[生]如自行车的两个车轮间的位置关系；车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系；用一只
手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等．
[师]很好，现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多．下面我们就来讨论这些位置
关系分别是什么．
二、探索圆和圆的位置关系
在一张透明纸上作一个⊙O．再在另一张透明纸上作一个与⊙O半径不等的⊙O．把两
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张透明纸叠在一起，固定⊙O，平移⊙O，⊙O与⊙O有几种位置关系？
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[师]请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流．
[生]我总结出共有五种位置关系，如下图：
[师]大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点吗？从公共点
的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑．
[生]如图：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；
(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；
(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆
的内部；
(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O上的点在⊙O的内部；
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(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O上的点都在⊙O的内部．
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[师]总结得很出色，如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中有相同类型
吗？
[生]外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点；相交有两个公共点．
2[师]因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种．
经过大家的讨论我们可知：
投影片(§3．6A)
(1)如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆
的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．
外离
(2)如果只从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离 ，相切
内含
外切
内切．
三、例题讲解
投影片(§3．6B)
两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示(点O，O＇是圆心)，分隔两个肥皂泡
的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．
分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP＝O＇P＝OO＇，又TP、NP分别为两圆的切线，
所以PT⊥OP，PN⊥O＇P，即∠OPT＝∠O＇PN＝90°，所以∠TPN等于360°减去∠OPT＋∠O＇
PN＋∠OPO＇即可．
解：∵OP＝OO＇＝PO＇，
∴△PO＇O是一个等边三角形．
∴∠OPO＇＝60°．
又∵TP与NP分别为两圆的切线，
∴∠TPO＝∠NPO＇＝90°．
∴∠TPN＝360°－2×90°－60°＝120°．
四、想一想
3如图(1)，⊙O与⊙O外切，这个图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？切点
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与对称轴有什么位置关系？如果⊙O与⊙O内切呢？〔如图(2)〕
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[师]我们知道圆是轴对称图形，对称轴是任一直径所在的直线，两个圆是否也组成一个
轴对称图形呢？这就要看切点T是否在连接两个圆心的直线上，下面我们用反证法来证明．
反证法的步骤有三步：第一步是假设结论不成立；第二步是根据假设推出和已知条件或定理
相矛盾的结论；第三步是证明假设错误，则原来的结论成立．
证明：假设切点T不在OO上．
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因为圆是轴对称图形，所以T关于OO的对称点T＇也是两圆的公共点，这与已知条件
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⊙O和⊙O相切矛盾，因此假设不成立．
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则T在OO上．
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由此可知图(1)是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线，切点与对称轴的位置关系是切
点在对称轴上．
在图(2)中应有同样的结论．
通过上面的讨论，我们可以得出结论：两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切
点，图(1)和图(2)都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线．
五、议一议
投影片(§3．6C)
设两圆的半径分别为R和r．
(1)当两圆外切时，两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d与R和r具有怎样的关系？反
之当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定外切吗？
(2)当两圆内切时(R＞r)，圆心距d与R和r具有怎样的关系？反之，当d与R和r满足
这一关系时，这两个圆一定内切吗？
[师]如图，请大家互相交流．
4[生]在图(1)中，两圆相外切，切点是A．因为切点A在连心线OO上，所以OO＝OA＋
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OA＝R＋r，即d＝R＋r；反之，当d＝R＋r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O、A、O在一条
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直线上，所以⊙O与⊙O只有一个交点A，即⊙O与⊙O外切．
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在图(2)中，⊙O与⊙O相内切，切点是B．因为切点B在连心线OO上，所以OO＝OB－
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OB，即d＝R－r；反之，当d＝R－r时，圆心距等于两半径之差，即OO＝OB－OB，说明O、
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O、B在一条直线上，B既在⊙O上，又在⊙O上，所以⊙O与⊙O内切．
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[师]由此可知，当两圆相外切时，有d＝R＋r，反过来，当d＝R＋r时，两圆相外切，即两
圆相外切d＝R＋r．
当两圆相内切时，有d＝R－r，反过来，当d＝R－r时，两圆相内切，即两圆相内切d
＝R－r．
Ⅲ．课堂练习
随堂练习
Ⅳ．课时小结
本节课学习了如下内容：
1．探索圆和圆的五种位置关系；
2．讨论在两圆外切或内切情况下，图形的轴对称性及对称轴，以及切点和对称轴的位置
关系；
3．探讨在两圆外切或内切时，圆心距d与R和r之间的关系．
Ⅴ．课后作业
习题3．9
Ⅵ．活动与探究
已知图中各圆两两相切，⊙O的半径为2R，⊙O、⊙O的半径为R，求⊙O的半径．
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5分析：根据两圆相外切连心线的长为两半径之和，如果设⊙O的半径为r，则OO＝OO
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＝R＋r，连接OO就有OO⊥OO，所以OOO构成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙O的
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半径r．
解：连接OO、OO，
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∴∠OOO＝90°，OO＝2R－r，
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OO＝R＋r，OO＝R．
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∴(R＋r)2＝(2R－r)2＋R2．
2
∴r＝ R．
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板书设计
§3．6 圆和圆的位置关系
一、1．想一想 2．探索圆和圆的位置关系
3．例题讲解 4．想一想 5．议一议
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业
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