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专题 11.3 三角形内角和定理
【典例1】如图，直线l∥线段BC，点A是直线l上一动点．在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是
∠BAC的角平分线．
（1）如图1，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度数；
（2）当点A在直线l上运动时，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之间的数量关系，并画出对应图形进行说明．
【思路点拨】
1
（1）根据角平分线的定义得∠BAE= ∠BAC＝40°，而∠BAD＝90°﹣∠ABD＝25°，利用角的和差关系可得
2
答案；
（2）根据高在形内和形外进行分类，再根据AB，AC，AD为位置进行讨论．
【解题过程】
解：（1）∵AE是∠BAC的角平分线，
1
∴∠BAE= ∠BAC＝40°．
2
∵AD是△ABC的高线，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝25°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣25°＝15°；
（2）如图1，∠BAD+∠BAE＝∠DAE；如图2，∠BAD+∠DAE＝∠BAE；
如图3，∠BAE+∠DAE＝∠BAD；
如图4，∠BAE+∠DAE＝∠BAD．
1．（2021秋•包河区期末）已知△ABC的内角分别为∠A，∠B，∠C，下列能判定△ABC是直角三角形的
条件是（ ）
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠C＝2∠B
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
2．（2021秋•大丰区期末）如图，某位同学将一副三角板随意摆放在桌上，则图中∠1+∠2的度数是（
）A．70° B．80° C．90° D．100°
3．（2021秋•大余县期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平
分线．∠BAC＝50°，∠ABC＝60°．则∠DAE+∠ACD等于（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
4．（2021秋•云阳县期末）如图，钝角△ABC中，∠2为钝角，AD为BC边上的高，AE为∠BAC的平分
线，则∠DAE与∠1、∠2之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关系，你发现的是
（ ）
∠2−∠1
A．∠DAE＝∠2﹣∠1 B．∠DAE=
2
∠2 ∠1+∠2
C．∠DAE= −∠1 D．∠DAE=
2 2
5．（2021秋•长沙县期末）已知在△ABC中，∠A＝108°，∠B＝2∠C，则∠B＝ ．
6．（2021秋•平阳县期中）当三角形中一个内角β是另一个内角α的2倍时，我们称此三角形为“幸运三
角形”，其中角α称为“幸运角”．如果一个“幸运三角形”中有一个内角为 48°，那么这个“幸运三角
形”的“幸运角”度数为 ．
7．（2021•南岗区校级开学）在△ABC中，∠B＝35°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，∠DCA
＝75°，则∠DAE的度数为 ．
8．（2021•香坊区校级开学）在△ABC中，∠A＝50°，BD、CE分别是边AC、AB上的高，直线BD与CE
交于点H，则∠BHC的度数为 ．9．（2021秋•涡阳县期末）在△ABC中，已知∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，求∠A的度数．
10．（2021秋•陆川县期中）如图：是一个大型模板，设计要求 BA与CD相交成26°角，DA与CB相交成
37°角，现小燕测得∠A＝151°，∠B＝66°，∠C＝88°，∠D＝55°，她就断定这块模板是合格的，这是为什
么？
11．（2021秋•大连期中）如图，在△ABC中，∠B＝75°，AD⊥BC，∠C＝∠CAD，求∠C，∠BAC的度
数．
12．（2021秋•建昌县期末）如图，AD是∠BAC的平分线，CE是△ADC边AD上的高，若∠BAC＝70°，
∠ECD＝20°．求∠ACB的度数．
13．（2021秋•合川区期末）如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点F．
（1）若∠A＝54°，∠ABC＝50°，求∠CFD的度数；
（2）求证：2∠BFC＝∠A+180°．14．（2021秋•和平区期末）如图，BE和BF三等分∠ABC，CE和CF三等分∠ACB，∠A＝60°，求
∠BEC和∠BFC的度数．
15．（2021秋•吴兴区期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线，已知
∠BAC＝100°．
（1）若∠DAE＝20°，求∠C的度数；
（2）设∠DAE＝α（0°＜α＜40°），用含有α的代数式表示∠C的大小．16．（2020秋•汉阳区期末）上小学时，我们已学过三角形三个内角的和为180°．
定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝ ；
（2）若△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．
①如图，若AD是∠BAC的平分线，请你判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由．
②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠ABC＝24°，则∠EAC＝ ．
17．（2021秋•金安区校级期中）如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点
D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．
（1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF＝120°，求∠BAD的度数；
（2）如图2，若∠ABC＝α，∠BDA＝β，求∠FAD+∠C的度数（用含α和β的代数式表示）．18．（2021秋•南山区校级期末）∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝ °；
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO＝60°，则∠D＝ °；
②随着点A，B的运动，∠D的大小是否会变化？如果不变，求∠D的度数；如果变化，请说明理由．19．（2021秋•正阳县期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之
为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、
AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．
（直接写出结果，不必证明）．20．（2021秋•驿城区校级期末）在图1中，已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，
∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．
（2）在图2中，∠B＝x，∠C＝y，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D”改为“F是AE上一点，FD⊥BC于
D”，试用x、y表示∠DFE＝ ；
（3）在图3中，当点F是AE延长线上一点，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说
明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么．
（4）在图3中，分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线，交于点 P，如图4．试用x、y表示∠P＝
．
