文档内容
12.3 角平分线的性质
角的平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。
注意：用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于 DE的长为半径画弧，两弧在
∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
题型1：作已知角的平分线
1.尺规作图：已知： ∠CBA ，求作 ∠CAB 的平分线.
【变式1-1】如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等。（不写作法，保留作图痕迹）
【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）作∠BAC的平分线AD交边BC于点D.（尺规作图，保留作图痕迹，不写
作法）.
（2）在（1）的条件下，若∠BAC=28°，求∠ADB的度数.
题型2：角平分线的性质的应用-证明线段
2.如图，已知OE平分∠AOB，BC⊥OA于点C，AD⊥OB于点D，求证：
EA=EB．
【变式2-1】如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，AB = AD，BC
= CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F.求证：CE = CF.
【变式2-2】已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF.求证：DF＝EF.
题型3：角平分线的性质的应用-和差关系
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC
上，连接DF．
（1）求证：AC=AE；
（2）若AC=8，AB=10，求DE的长；
（3）若CF=BE，直接写出线段AB，AF，EB的数量关系.
【变式3-1】如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角平分线AD于点
D，DF⊥AB于点F，且AB＞AC，试探究BF、AC、AF之间的数量关系，并说明理
由．
【变式3-2】
题型4：角平分线的性质的应用-面积相关
4.如图，BD是ΔABC的角平分线，DE⊥AB垂足为E，ΔABC的面积为70，AB=16，BC=12，求DE的长.
【变式4-1】如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，如图DE=DG，
△ADG和△AED的面积分别为50和38，求△EDF的面积
【变式4-2】如图，在 ΔABC 中， AD 为 ∠BAC 的平分线， DE⊥AB 于点
E， DF⊥AC 于点F，若 ΔABC 的面积为 21cm2 ， AB=8cm ， AC=6cm
，求 DE 的值.
角的平分线的判定
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
注意：用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
题型5：角平分线的判定
5.如图， ∠B=∠C=90° ，M是BC的中点，DM平分 ∠ADC ，求证：AM平分 ∠DAB ．
【变式5-1】如图所示,PA=PB,∠1+∠2=180°.求证:OP平分∠AOB.
【变式5-2】如图所示，AP、CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们
交于点P．求证：BP为∠MBN的平分线．
题型7：角平分线的性质与判定综合
6.如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，
∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD.
求证：
（1）AB=AD；
（2）CD平分∠ACE.
【变式6-1】如图，已知 △ABC 中BC边的垂直平分线DE与 ∠BAC 的平分线交于点E， EF⊥AB 交AB的延长线于点F， BG⊥AC 交AC于点G．求证．
（1）BF=CG ．
（2）若 AB=6 ， AC=8 ，求AF的长度．
【变式6-2】如图，在△ABC外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中
∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE.连接DC、BE交于F点．
（1）求证：△DAC≌△BAE．
（2）直线DC、BE是否互相垂直，请说明理由．
（3）求证：AF平分∠DFE．
【变式6-3】如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A=78°，
∠BPC=39°，BC=7，AB=4．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，
求MC的长度．
题型7：角平分线的实际应用
7.某地有两条相交叉的公路， 计划修建一个饭馆：希望饭馆点P既在MN这条
公路上，又到直线OA、OB的距离相等．你能确定饭馆应该建在什么位置吗？（保留作图痕迹）
【变式7-1】如图：某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园，要使公园到三
条公路的距离相等，应在何处修建？（使用尺规作图，保留作图痕迹）并证明你的观
点．
【变式7-2】太和中学校园内有一块直角三角形（Rt △ ABC）空地，如图所示，园
艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在 △ ABD区域内
种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝
6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积．
题型8：三角形中的角平分线
8.已知 △ ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作OD⊥BC，OE⊥AC，
OF⊥AB.求证：OD=OE=OF.【变式8-1】如图，△ABC中，AB＝6，AC＝7，BD、CD分别平分∠ABC、
∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F. 求△AEF的周长．
【变式8-2】如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平
分线将△ABC分为三个三角形，则S ：S ：S 等于？
△ABO △BCO △CAO
【变式8-3】如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．
（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．
（2）如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC．
（3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D；若DC=3，AB=8
则△ABD的面积是( )
A．8 B．12 C．16 D．24
2．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=4，
则PQ的长不可能是（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
3．如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=40°，则
∠BOC=（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
4．如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得
S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P( )
A．有且只有1个B．有且只有2个
C．组成∠E的平分线
D．组成∠E的平分线所在的直线(E点除外)
5．如图，在 Rt△ACB 中， ∠ACB=90° ， BC=12 ， BD=2CD ， AD 平分
∠BAC ，则点 D 到 AB 的距离等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
二、填空题
6．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，AF⊥BC于点F，BE、AF交于
点P，若AB=9，PF=3，则△ABP的面积是 .
7．如图，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝18°，则∠AOB的度数
为 ．
8．如图，在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° , AC=6 , BC=8 , AB=10 , AD 是
∠BAC 的平分线.若 P , Q 分别是 AD 和 AC 上的动点，则 PC+PQ 的最小值
是 .9．如图，OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，点D在OB上，DH⊥OP于H．若OD＝4，
OP＝7，PM＝3，则DH的长为 ．
三、作图题
10．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两
个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修
建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．
四、解答题
11．如图，已知 AD⊥BC 于点 D ， E 是延长线 BA 上一点，且 EC⊥BC 于
点 C ，若 ∠ACE=∠E .求证： AD 平分 ∠BAC .
12．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
△ABC面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，求DE的长．
13．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，OE＝12cm，点G是线段
OP的中点，连接EG，点F是射线OB上的一个动点，若PF的最小值为4cm，求
△PGE的面积.14．如图，直线AB∥CD，点E在CD上，点O、点F在AB上，连接OE，过点F作
FH⊥OE于点H.
（1）尺规作图：作∠EOF的角平分线OG交CD于点G；（不写作法，保留作图痕
迹，并标明字母）
（2）在（1）的条件下，已知∠OFH＝20°，求∠OGD的度数.
15．如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接
AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N.
（1）求证：AE＝CD；
（2）求证：AE⊥CD；
（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD，其中正
确的一个是 （请写序号），并给出证明过程.
