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12.3 角平分线的性质
角的平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。
注意：用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于 DE的长为半径画弧，两弧在
∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
题型1：作已知角的平分线
1.尺规作图：已知： ∠CBA ，求作 ∠CAB 的平分线.
【答案】解：如图，射线AF就是所作的 ∠CAB 的平分线.【解析】【分析】根据用尺规作图法，在射线AC上取点D，以点A为圆心，AD为
1
半径，画弧，交射线AB于点E；再分别以D、E为圆心，以大于 DE为半径，画
2
弧，在∠BAC内部交于点F，连接射线AF。AF就是∠CAB的角平分线。
【变式1-1】如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等。
（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：如图，
∴点Ｐ就是所求作的
【解析】【分析】先作∠AOB的平分线，与直线MN交于点P，点P即为所求作的
点.
【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）作∠BAC的平分线AD交边BC于点D.（尺规作图，保留作图痕迹，不写
作法）.
（2）在（1）的条件下，若∠BAC=28°，求∠ADB的度数.
【答案】（1）解：以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC，AB于M、N，
再分别以M、N为圆心，以大于MN长的一半为半径画弧，两者交于点P，连接AP
并延长与BC交于D，即为所求；
（2）∵∠C=90°，∠BAC=28°，
∴∠B=180°-∠C-∠BAC=62°，
∵AD平分∠BAC，
1
∴∠BAD= ∠BAC=14∘ ，
2
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠B=104°.
【解析】【分析】 （1）以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC，AB于
M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN长的一半为半径画弧，两者交于点P，
连接AP并延长与BC交于D，即为所求；
1
（2） 利用三角形内角和求出∠B，由角平分线的定义可得∠BAD= ∠BAC=14°，
2
再次利用三角形内角和求出∠ADB的度数.
题型2：角平分线的性质的应用-证明线段
2.如图，已知OE平分∠AOB，BC⊥OA于点C，AD⊥OB于点D，求证：
EA=EB．【答案】证明：∵OE平分∠AOB，EC⊥AO，ED⊥BO，
∴EC=ED，
{∠ACE=∠BDE=90°
在△ACE和△BDE中 EC=ED
∠AEC=∠BED
∴△ACE≌△BDE（ASA）
∴EA=EB.
【 解 析 】 【 分 析 】 根 据 角 平 分 线 的 性 质 得 出 EC=ED ， 利 用 ASA 证 出
△ACE≌△BDE，即可得出EA=EB.
【变式2-1】如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，AB = AD，BC
= CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F.求证：CE = CF.
{AD=AB
【答案】证明：在△ADC和△ABC中， AC=AC
DC=BC
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，
∴CE＝CF.
【解析】【分析】易证△ADC≌△ABC，得到∠DAC＝∠BAC，然后根据角平分线的
性质进行证明.
【变式2-2】已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF.求证：DF＝EF.【答案】证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE，
{OP=OP
在Rt△OPD和Rt△OPE中， ，
PD=PE
∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），
∴OD＝OE，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOF＝∠EOF，
{
OD=OE
在△ODF和△OEF中， ∠DOF=∠EOF ，
OF=OF
∴△ODF≌△OEF（SAS），
∴DF＝EF.
【解析】【分析】根据角平分线的性质可得PD＝PE，证明Rt△OPD≌Rt△OPE，得
到OD＝OE，由角平分线的概念可得∠DOF＝∠EOF，证明△ODF≌△OEF，据此可
得结论.
题型3：角平分线的性质的应用-和差关系
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC
上，连接DF．
（1）求证：AC=AE；
（2）若AC=8，AB=10，求DE的长；
（3）若CF=BE，直接写出线段AB，AF，EB的数量关系.【答案】解：（1）∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠AED=90°，
在△ACD和△AED中，
{∠CAD=∠BAD
∠C=∠AED ，
AD=AD
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC=AE．
（2）∵∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=6，
∴△ABC的面积等于24，
由（1）得：△ACD≌△AED，
∴DC=DE，
∵S =S +S ，
△ACB △ACD △ADB
1 1
∴S = AC•CD+ AB•DE，
△ACB 2 2
又∵AC=8，AB=10，
1 1
∴24= ×8×CD+ AB•DE
2 2
8
∴DE= ；
3
（3）∵AB=AE+EB，AC=AE，
∴AB=AC+EB，
∵AC=AF+CF，CF=BE
∴AB=AF+2EB．
故答案为：AB=AF+2EB．
【解析】【分析】（1）先过点D作DE⊥AB于E，由于DE⊥AB，那么∠AED=90°，
则有∠ACB=∠AED，联合∠CAD=∠BAD，AD=AD，利用AAS可证．
（2）由△ACD≌△AED，证得DC=DE，然后根据S =S +S 即可求得DE．
△ACB △ACD △ADB（3）由AC=AE，CF=BE，根据AB=AE+EB，AC=AF+CF即可证得．
【变式3-1】如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角平分线AD于点
D，DF⊥AB于点F，且AB＞AC，试探究BF、AC、AF之间的数量关系，并说明理
由．
【答案】解： BF=AC+AF ，理由如下：
如图，过点D作DG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接 CD ， DB ，
∵AD 平分 ∠BAM ， DF⊥AB ， DG⊥AM ，
∴DF=DG ， ∠AFD=∠AGD=∠BFD=90° ，
∵DE 垂直平分 BC ，
∴CD=BD ，
在 Rt△AFD 和 Rt△AGD 中，
{AD=AD
，
DF=DG
∴Rt△AFD≌Rt△AGD(HL) ，
∴AF=AG ，
在 Rt△BFD 和 Rt△CGD 中，
{BD=CD
，
DF=DG
∴Rt△BFD≌Rt△CGD(HL) ，∴BF=CG ．
∵CG=AC+AG ，
∴BF=AC+AF ．
【解析】【分析】BF=AC+AF，理由如下： 如图，过点D作DG⊥CA，交CA的延
长线于点G，连接CD，DB，由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DF=DG，
∠AFD=∠AGD=∠BFD=90°，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的
点到线段两端点的距离相等”可得CD=BD，用HL定理可证Rt△AFD≌Rt△AGD，
由全等三角形的性质得AF=AG，同理证Rt△BFD≌Rt△CGD，则BF=CG，然后由线
段的构成可求解.
【变式3-2】
题型4：角平分线的性质的应用-面积相关
4.如图，BD是ΔABC的角平分线，DE⊥AB垂足为E，ΔABC的面积为70，
AB=16，BC=12，求DE的长.
【答案】解：如图，过点D作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
1 1
S = ×16⋅DE+ ×12⋅DF=70，
△ABC 2 2
所以，14×DE=70，
解得DE=5.
【解析】【分析】过点D作DF⊥BC于F，利用角平分线上的点到角两边的距离相
等，可证得DE=DF，再利用△ABC的面积=△ABD的面积+△BDC的面积，利用三角形的面积公式建立关于DE的方程，解方程求出DE的长.
【变式4-1】如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，如图DE=DG，
△ADG和△AED的面积分别为50和38，求△EDF的面积
【答案】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
{DE=DG
，
DF=DH
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴S =S ，设面积为S，
△EDF △GDH
同理Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴S =S ，
△ADF △ADH
即38+S=50 - S，
解得：S=6．
∴△EDF的面积为6.
【解析】【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相
等可得DF=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF≌Rt△DGH，在根据全等三角形的面
积相等可得S =S ，列方程求解即可。
△ADF △ADH
【变式4-2】如图，在 ΔABC 中， AD 为 ∠BAC 的平分线， DE⊥AB 于点
E， DF⊥AC 于点F，若 ΔABC 的面积为 21cm2 ， AB=8cm ， AC=6cm
，求 DE 的值.【答案】解：∵S =S +S ，
△ABC △ABD △ACD
又∵DE⊥AB ， DF⊥AC ， S =21 ，
△ABC
1 1
∴S = AB•DE+ AC•DF=21 ，
△ABC 2 2
∵AD 为 ∠BAC 的平分线， AB=8cm ， AC=6cm ，
∴DE=DF ，
1 1
∴ ×8DE+ ×6DE=21 ，
2 2
∴DE=3cm .
【解析】【分析】本题根据等面积性，将△ABC拆分为△ADB和△ADC，继而利用
角平分线的性质定理，结合三角形面积公式求解DE.
角的平分线的判定
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
注意：用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
题型5：角平分线的判定
5.如图， ∠B=∠C=90° ，M是BC的中点，DM平分 ∠ADC ，求证：AM
平分 ∠DAB ．【答案】证明：如图，过点M作ME⊥AD于F，
∵∠C=90°，DM平分∠ADC，
∴ME=MC，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
∴BM=EM，
又∵∠B=90°，
∴点M在∠BAD的平分线上，
∴AM平分∠DAB．
【解析】【分析】过点M作ME⊥AD于F，根据角平分线的性质可得ME=MC，再
根据点M是BC的中点可得MB=CM，所以BM=EM，再利用角平分线的判断即可
得到AM平分∠DAB．
【变式5-1】如图所示,PA=PB,∠1+∠2=180°.求证:OP平分∠AOB.
【答案】解：过点P作PE⊥AO,PF⊥BO,垂足分别为E,F,则∠AEP=∠BFP=90°.
∵∠1+∠2=180°,∠2+∠PBF=180°,∴∠1=∠PBF.
在△APE与△BPF中，∠1=∠PBF，∠AEP=∠BFP，PA=PB,
∴△APE≌△BPF,∴PE=PF.
∴点P在∠AOB的平分线上,即OP平分∠AOB.
【解析】【分析】过P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，证△PEA≌△PFB，得出
PE=PF，再根据角平分线判定即可得出.
【变式5-2】如图所示，AP、CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们
交于点P．求证：BP为∠MBN的平分线．
【答案】解：过点P作PD⊥MB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BN于点F，如图所
示：
∵AP平分∠MAC，
∴PE=PD，
同理可证：PE=PF，
∴PD=PE=PF，
∴BP平分∠MBN．
【解析】【分析】过点P作PD⊥MB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BN于点F，然后
易得PE=PD=PF，进而根据角平分线的判定定理可求证．
题型7：角平分线的性质与判定综合
6.如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，
∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD.求证：
（1）AB=AD；
（2）CD平分∠ACE.
【答案】（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD；
（2）证明：∵AD∥BE，
∴∠ADC=∠DCE，
由①知AB=AD，
又∵AB=AC，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠ACD=∠DCE，
∴CD平分∠ACE；
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠ADB=∠DBC，由角平分线的概念可
得∠ABD=∠DBC，则∠ABD=∠ADB，据此证明；
（2）由平行线的性质得∠ADC=∠DCE，由（1）知AB=AD，结合AB=AC得
AC=AD，由等腰三角形的性质得∠ACD=∠ADC，则可推出∠ACD=∠DCE，据此证
明.
【变式6-1】如图，已知 △ABC 中BC边的垂直平分线DE与 ∠BAC 的平分线交
于点E， EF⊥AB 交AB的延长线于点F， BG⊥AC 交AC于点G．求证．（1）BF=CG ．
（2）若 AB=6 ， AC=8 ，求AF的长度．
【答案】（1）解：如图，连接BE和CE,
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE.
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠BFE＝∠EGC＝90°，EF＝EG.
在Rt△BFE和Rt△CGE中，
BE=CE，EF=EG，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），
∴BF＝CG.
（2）解：∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠AFE＝∠AGE＝90°，∠FAE＝∠GAE.
在△AFE和△AGE中，
∠FAE＝∠GAE ，∠AFE＝∠AGE，AE=AE，
∴△AFE≌△AGE，∴AF＝AG.
∵BF＝CG，
∴AB＋AC＝AF－BF＋AG＋CG＝2AF，
∵AB=6 ， AC=8 ，
1
∴AF= (8+6)=7 ．
2
【解析】【分析】（1）连接BE和CE,根据DE是BC的垂直平分线，得到BE＝CE，
再利用“HL”证明Rt△BFE≌Rt△CGE，即可得到BF=CG；（2）先证出
△AFE≌△AGE，再利用全等的性质得到对应边相等求解即可。【变式6-2】如图，在△ABC外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中
∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE.连接DC、BE交于F点．
（1）求证：△DAC≌△BAE．
（2）直线DC、BE是否互相垂直，请说明理由．
（3）求证：AF平分∠DFE．
【答案】（1）证明： ∵∠DAB=∠CAE=90° ，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC ，即 ∠DAC=∠BAE ，
又 ∵AD=AB ， AC=AE ，
在 △DAC 与 △BAE 中
{
AD=AB
∠DAC=∠BAE
AC=AE
∴△DAC ≌ △BAE ；
（2）解： DC⊥BE ．
理由是：
如图，作AN⊥BE 于 N ，
∵△DAC ≌ △BAE
∴∠ACD=∠AEB
∵∠AEB+∠ANE=90°
∠ANE=∠FNC
∴∠FNC+∠ACD=90°
∴∠NFC=90°
∴DC⊥BE（3）证明：如图， 作AM⊥DC 于 M ，
∵△DAC ≌ △BAE
∴S =S ， DC=BE ，
△DAC △BAE
1 1
∴ DC⋅AM= BE⋅AN ，
2 2
∴AM=AN ，
∴AF 平分 ∠DFE ．
【解析】【分析】（1）由等式的性质得∠DAC=∠BAE，结合AD=AB，AC=AE，然
后根据全等三角形的判定定理“SAS”进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得∠ACD=∠AEB，结合∠AEB+∠ANE=90°可得
∠FNC+∠ACD=90°，根据三角形的内角和定理得∠NFC=90°，据此证明；
（3）作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，由全等三角形的性质可得S =S ，
△DAC △BAE
DC=BE， 结合三角形的面积公式可得AM=AN，据此证明.
【变式6-3】如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A=78°，
∠BPC=39°，BC=7，AB=4．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，
求MC的长度．
【答案】（1）证明：∵∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，
∴∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，
∵CE平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠ECF，
∴∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，
∴BD平分∠ABC；
（2）解：连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，∵QG垂直平分AC，
∴AQ=CQ，
∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA，
∴QM=QN，
∴Rt△QNA≌Rt△QMC（HL），
∴NA=MC，
∵QM=QN，BQ=BQ，
∴Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），
∴NB=MB，
∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，
∴7=4+2MC，
∴MC=1.5．
【解析】【分析】（1）由三角形外角的性质可 ∠ABF=∠ACF-∠A=∠ACF-78° ，
∠DBF=∠ECF-∠BPC=∠ECF-39°， 由角平分线的定义可得∠ACF=2∠ECF， 从而
得出 ∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF， 根据角平分线的定义即得结
论；
（2）连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，先证明
Rt△QNA≌Rt△QMC（HL），可得NA=MC，再证Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），可
得NB=MB， 从而得出BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，据此即可求解.
题型7：角平分线的实际应用
7.某地有两条相交叉的公路， 计划修建一个饭馆：希望饭馆点P既在MN这条
公路上，又到直线OA、OB的距离相等．你能确定饭馆应该建在什么位置吗？（保
留作图痕迹）【答案】解：如图所示：
，
点P的位置就是饭馆的位置．
【解析】【分析】连接MN作出∠AOB的角平分线OD，与MN的交点P就是饭馆
位置．
【变式7-1】如图：某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园，要使公园到三
条公路的距离相等，应在何处修建？（使用尺规作图，保留作图痕迹）并证明你的观
点．
【分析】要使公园到三条公路的距离相等，则公园所处位置应在三条公路围成的三角
形的内角和外角平分线的交点．
【解答】解：
如图，设三条公路围成的三角形为△ABC，内角和外角平分线的交点为O，O ，O ，
1 2O，作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，OF⊥AB于F，
3
∵AO平分∠BAC，CO平分∠ACB，
∴OD＝OF，OD＝OE，
∴OD＝OE＝OF，
即点O到三角形各边的距离相等；
同理可证点O，O，O 分别到三角形各边的距离相等．
1 2 3
∵公园是在三条公路围成的一块平地上，
∴只有点O符合题意.
【变式7-2】太和中学校园内有一块直角三角形（Rt △ ABC）空地，如图所示，园
艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在 △ ABD区域内
种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝
6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积．
【答案】解：过点 D 分别作 DE⊥AB，DF⊥AC ， E、F 是垂足．
1 1 1
由 S =S +S ，得 AB⋅AC= AB⋅DE+ AC⋅DF ，
ΔABC ΔADB ΔADC 2 2 2
∴10×6=10×DE+6×DF ，
∵AD 是 ∠BAC 的平分线，
15
∴DE=DF= ．
41 15 75 1 15 45
∴S = ×10× = ；S = ×6× = .
ΔABD 2 4 4 ΔADC 2 4 4
【解析】【分析】过点 D 分别作 DE⊥AB，DF⊥AC ， E、F 是垂足，由
角平分线的性质可得DE=DF，根据S =S +S ，利用三角形的面积公式可
ΔABC ΔADB ΔADC
求出DE、DF，从而求出△ABD、△ADC的面积.
题型8：三角形中的角平分线
8.已知 △ ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作OD⊥BC，OE⊥AC，
OF⊥AB.求证：OD=OE=OF.
【答案】证明：连接BO、CO、AO，
∵BO是 ∠B 的角平分线，且OD⊥BC，OF⊥AB，
∴OD=OF ，
同理可得 OD=OE ， OE=OF ，
∴OD=OE=OF .
【解析】【分析】连接BO、CO、AO，由角平分线上的点到角两边距离相等得
OD=OF，OD=O，OE=OF，据此证明.
【变式8-1】如图，△ABC中，AB＝6，AC＝7，BD、CD分别平分∠ABC、
∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F. 求△AEF的周长．【答案】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，
∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，
∴ED＝EB，FD＝FC，
∵AB＝6，AC＝7，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝6+7
＝13．
【解析】【分析】根据平行线的性质即可得到∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，继而
根据角平分线的性质得到∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，根据等量代换求出
∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，即可得到ED=EB，FD=FC。
【变式8-2】如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平
分线将△ABC分为三个三角形，则S ：S ：S 等于？
△ABO △BCO △CAO
【答案】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵O是三角形三条角平分线的交点，
∴OD=OE=OF，
∵AB=20，BC=30，AC=40，
∴S ：S ：S =AB:BC:AC=2：3：4．
△ABO △BCO △CAO
故答案为：2：3：4．
【解析】【分析】根据角平分线的性质，即可得到得到点 O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的高相等，根据面积公式求出答案即可。
【变式8-3】如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．
（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．
（2）如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC．
（3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．
【答案】（1）解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
2 2
1 1
∴∠OBC+∠OCB= ∠ABC+ ∠ACB=65°，
2 2
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=115°；
（2）证明：过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OD=OE，OD=OF，
∴OE=OF，
∴OA平分∠BAC；
（3）证明：∵OC平分∠ACB，OP平分∠ACD，
1 1
∴∠ACO= ∠ACB，∠ACP= ∠ACD，
2 2
∴∠OCP=∠ACO+∠ACP1 1
= ∠ACB+ ∠ACD
2 2
1
= ∠BCD
2
1
= ×180°
2
=90°，
∴OC⊥CP．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ABC+∠ACB=130°， 再根据角平分线求出
1 1
∠OBC+∠OCB= ∠ABC+ ∠ACB=65°， 最后求解即可；
2 2
（2）根据角平分线的性质求出 OD=OE，OD=OF， 再求出 OE=OF， 最后证明即
可；
1 1
（3）先求出 ∠ACO= ∠ACB，∠ACP= ∠ACD， 再求出∠OCP=90°，最后证明
2 2
即可。
一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D；若DC=3，AB=8
则△ABD的面积是( )
A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】B
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
又∵BD平分∠ABC，∠C=90°，
∴DE=DC=3.1 1
∴△ABD的面积是 ×AB×DE= ×8×3=12 。
2 2
故答案为：B。
【分析】由三角形的面积公式，可先过点D作DE⊥AB于点E，则DE即为底边AB上
的高；由角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等，知DE=DC。从
而可求出△ABD的面积。
2．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=4，
则PQ的长不可能是（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【答案】A
【解析】【解答】解：当PQ⊥OM时，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=4，
∴PQ =PA=4，
最小值
即PQ的最小值为4，
∴PQ的长不可能是3.5，
故答案为：A．
【分析】利用角平分线的性质和垂线段最短的性质可得答案。
3．如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=40°，则
∠BOC=（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】A
【解析】【解答】由已知O到三角形三边距离相等，所以点O是三角形三条角平分线
1
交点，即AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO=∠ABO= ∠ABC，
2
1
∠BCO=∠ACO= ∠ACB，根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-
2
40°=140°，所以∠OBC+∠OCB=70°，再由三角形的内角和定理可得∠BOC=180°-70°=110°，故答案为：A．
【分析】由已知O到三角形三边距离相等，可得点O是三角形三条角平分线交点，即
AO，BO，CO都是 △ABC 的角平分线，根据三角形的内角和定理可得
∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∠OBC+∠OCB=70°，再由三角形的内角和定理可得
∠BOC=180°-70°=110°。
4．如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得
S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P( )
A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．组成∠E的平分线
D．组成∠E的平分线所在的直线(E点除外)
【答案】D
【解析】【解答】解：作 ∠E的平分线，可得点P到AB和CD的距离相等，
∵AB=CD，
∴此时点P满足S△PAB=S△PCD，
故应选：D.
【分析】作 ∠E的平分线，可得点P到AB和CD的距离相等，又AB=CD，根据等底
等高的三角形的面积相等得出满足条件的点P在组成∠E的平分线所在的直线(E点除
外) 。
5．如图，在 Rt△ACB 中， ∠ACB=90° ， BC=12 ， BD=2CD ， AD 平分
∠BAC ，则点 D 到 AB 的距离等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
【答案】B
【解析】【解答】解：∵BC=12，BD=2CD，
∴CD=4，由角平分线的性质，得点D到AB的距离等于CD=4.
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点
D到AB的距离=点D到AC的距离=CD.
二、填空题
6．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，AF⊥BC于点F，BE、AF交于
点P，若AB=9，PF=3，则△ABP的面积是 .
27
【答案】
2
【解析】【解答】解：如图，作PH⊥AB于H.
∵BE平分∠ABC，PH⊥AB，PF⊥BC，
∴PH=PF=3，
1 27
∴S = ⋅AB⋅PH= ，
△ABP 2 2
27
故答案为 ： .
2
【分析】如图，作PH⊥AB于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出
1
PH=PF=3，进而根据S = ⋅AB⋅PH即可算出答案。
△ABP 2
7．如图，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝18°，则∠AOB的度数
为 ．
【答案】108°
【解析】【解答】∵∠COB=2∠AOC，
1
∴∠AOC = ∠AOB，
3
∵OD平分∠AOB，1
∴∠AOD= ∠AOB，
2
1 1 1
∴∠COD=∠AOD-∠AOC= ∠AOB- ∠AOB= ∠AOB，
2 3 6
∵∠COD=18〬，
∴∠AOB=6∠COD=6×18〬=108〬.
故答案为108〬
1
【分析】先根据角平分线的性质得出∠AOD = ∠AOB，又因为∠COB=2∠AOC，
2
1 1 1 1
可得∠AOC = ∠AOB，所以∠COD=∠AOD-∠AOC= ∠AOB- ∠AOB=
3 2 3 6
∠AOB，再代入数值即可求
8．如图，在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° , AC=6 , BC=8 , AB=10 , AD 是
∠BAC 的平分线.若 P , Q 分别是 AD 和 AC 上的动点，则 PC+PQ 的最小值
是 .
24
【答案】
5
【解析】【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P
作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线.
∴PQ＝PM，这时PC＋PQ有最小值，即CM的长度，
1 1
∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，S ＝ AB•CM＝ AC•BC，
△ABC 2 2
AC⋅BC 24
∴CM＝ ＝ ，
AB 524
即PC＋PQ的最小值为 .
5
24
故答案为： .
5
【分析】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
由AD是∠BAC的平分线.得出PQ＝PM，这时PC＋PQ有最小值，即CM的长度，运
1 1
用勾股定理求出AB，再运用S ＝ AB•CM＝ AC•BC，得出CM的值，即PC
△ABC 2 2
＋PQ的最小值.
9．如图，OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，点D在OB上，DH⊥OP于H．若OD＝4，
OP＝7，PM＝3，则DH的长为 ．
12
【答案】
7
【解析】【解答】解：作PE⊥OB于E，
∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PM＝3，
1 1
S ＝ ×OP×DH＝ ×OD×PE，
△ODP 2 2
1 1
∴ ×7×DH＝ ×4×3，
2 2
12
解得，DH＝ ，
7
12
故答案为： ．
7
【分析】作PE⊥OB，根据角平分线的性质求出PE，根据三角形的面积公式计算，得
到答案．
三、作图题
10．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修
建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．
【答案】解：如图所示：点P就是发射塔修建的位置
【解析】【分析】利用角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，作出AB的垂直平分
线及直线m，n相交的夹角的角平分线即可.
四、解答题
11．如图，已知 AD⊥BC 于点 D ， E 是延长线 BA 上一点，且 EC⊥BC 于
点 C ，若 ∠ACE=∠E .求证： AD 平分 ∠BAC .
【答案】证明： ∵AD⊥BC 于点 D ， EC⊥BC 于点 C ，
∴AD//EC ，
∴∠BAD=∠E ， ∠DAC=∠ACE ，
∵∠ACE=∠E ，
∴∠BAD=∠DAC ，
即 AD 平分 ∠BAC
【解析】【分析】由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出AD∥EC ，
再根据平行线的性质可知∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACE，即可证明∠BAD=∠DAC，即
AD平分∠BAC.
12．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
△ABC面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，求DE的长．【答案】解：∵在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∵△ABC面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，
1 1
∴S = AB•DE+ AC•DF=28，
△ABC 2 2
1 1
即 ×20×DE+ ×8×DF=28，
2 2
解得DE=2cm
【解析】【分析】利用角平分线的性质，得出DE=DF，再利用△ABC面积是28cm2可
求DE．
13．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，OE＝12cm，点G是线段
OP的中点，连接EG，点F是射线OB上的一个动点，若PF的最小值为4cm，求
△PGE的面积.
【答案】解：∵点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，PF的最小值为4cm，
∴PE=4cm
∵OE=12cm
1
∴△POE的面积= ×4×12=24 cm2
2
又 点G是线段OP的中点
1
∴S = S =12 cm2
ΔPGE 2 ΔPOE
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等和垂线段最短可得
1
PE=PF=4cm，再根据等底同高的两个三角形的面积相等可得S =S = S 求解.
△PGE △OGE 2 △POE
14．如图，直线AB∥CD，点E在CD上，点O、点F在AB上，连接OE，过点F作
FH⊥OE于点H.（1）尺规作图：作∠EOF的角平分线OG交CD于点G；（不写作法，保留作图痕
迹，并标明字母）
（2）在（1）的条件下，已知∠OFH＝20°，求∠OGD的度数.
【答案】（1）解：如图，射线 OG 即为所求.
（2）解：∵FH⊥OE ， ∠OFH=20° ，
∴∠EOF=70° ，
∵OG 平分 ∠EOF ，
1
∴∠FOG= ∠EOF=35° ，
2
∵AB//CD ，
∴∠OGD+∠FOG＝180° ，
∴∠OGD＝145°
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠EOF=70°，由角平分线的概念可得
∠FOG的度数，然后由平行线的性质进行求解即可.
15．如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接
AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N.（1）求证：AE＝CD；
（2）求证：AE⊥CD；
（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD，其中正
确的一个是 （请写序号），并给出证明过程.
【答案】（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABC+∠CBE=∠CBE+∠EBD，
即∠ABE=∠CBD，
∵AB＝CB，BE＝BD ，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD
（2）证明：∵△ABE≌△CBD
∴∠AEB=∠CDB
∵∠DBE=90°，BE＝BD，
∴∠BDE=∠BED=45°
∴∠CDB+∠CDE+∠BED=90°
∴∠AEB+∠BED+∠CDE=∠CDE+∠AED=90°
∴CD⊥AE
（3）解：②
理由如下：
如图，作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，∵△ABE≌△CBD
∴AE=CD，S =S
△ABE △CDB
1 1
∴ AE×BK= CD×BJ
2 2
∴BK=BJ
∴MB平分∠AMD
∴结论②成立
若①成立，同理可得S =S
△BMC △BME
则BC=BE，根据已知条件不能判断BC=BE
则①不成立
故答案为：②
【解析】【分析】（1）先求出∠ABE=∠CBD，然后利用SAS证明△ABE≌△CBD，即
可求证AE=CD；
（2）由全等三角形的性质得出∠AEB=∠CDB，再根据
∠AEB+∠BED+∠CDE=∠CDE+∠AED=90°，即可得证；
（3）作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，根据全等三角形的性质和面积法求出BK = BJ，
判定MB平分∠AMD，推出结论②成立， 假设 ①成立，利用反证法验证即可.
