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专题09 角的多个等分线求角
类型一 角的多个等分线求角
1．已知，在 中，∠A=60°，
（1）如图①，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC= ；
（2）如图②，∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点O，O，则
1 2
；
（3）如图③，∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O，O，……， （内
1 2
部有 个点），则 ；
（4）如图③，∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O，O，……， ，若
1 2
，求n的值．
2．如图，∠A＝120°，且∠1＝∠2＝∠3和∠4＝∠5＝∠6，则∠BDC＝（ ）
A．120° B．60° C．140° D．无法确定
3．如图，在 中， ， 与 的角平分线交于 ， 与的角平分线交于点 ，依此类推， 与 的角平分线交于点 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在 ABC中，∠A＝20°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，∠ABD 与
1 1
∠ACD 的平分△线交于点D，以此类推，∠ABD 与∠ACD 的平分线交于点D，则
1 2 2 2
∠BDC的度数是__．
5．如图， ，且 和 ，则 （ ）
A． B．
C． D．不能确定，具体由三角形的形状确定
类型二 多个等分线求角进阶
6．如图，若BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，也就是∠OBC＝ ∠ABC，
∠OCB＝ ∠ACB，∠A＝72°，则∠BOC＝______°．7．如图，在四边形 中， ， ，
，则 的度数为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，∠MON=90°，在 ABO中，∠ABC= ∠ABN，∠BAD= ∠BAO，则
△
∠D=___°（用含n的代数式表示）．
9．如图，已知△ABC中，∠A=60°，点O为△ABC内一点，且∠BOC=140°，其中OB
1
平分∠ABO，OC平分∠ACO，OB平分∠ABO ，OC平分∠ACO ，…，OnB平分
1 2 1 2 1
∠ABOn ，OnC平分∠ACOn ，…，以此类推，则∠BOC =______ °，
-1 -1 1
∠BO C=______°．
202110．如图①，在 中，若 ，则 ， 叫做 的三
分线，其中， 是邻 的三分线， 是邻 的三分线．
（1）如图②，在 中， ， ， 的三分线交 于点 ，求
的度数；
（2）如图③，在 中， 是 的邻 三分线， 是 的邻 三分线，
且 ，垂足为 ，求 的度数．
11．（1）如图①在 ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=α，则
∠BOC= （用α表示）；如图②∠CBO= ∠ABC，∠BCO= ∠ACB，∠A=α，
则∠BOC= （用α表示）
扩展探究：
（2）如图③，∠CBO= ∠DBC，∠BCO= ∠ECB，∠A=α，求∠BOC的度数（用α
表示），并说明理由．
类型三 综合解答
12．【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫
做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点
D，求∠BDC的度数；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分
线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三
分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（ ），∠B＝54°，直接写出∠BPC的度数．
（用含m的代数式表示）
13．（1）如图①，在锐角 ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分
∠ACB，请分别写出∠A和△∠D，∠A和∠E的数量关系，并选择其中一个说明理由；
（2）如图②，在锐角 ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分外角
∠ACM，请分别写出∠△A和∠D，∠A和∠E的数量关系，并选择其中一个说明理由；
（3）如图③，在锐角 ABC中，BD和BE三等分外角∠PBC，CD和CE三等分外角
∠QCB，请分别直接写△出∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系．
14．（1）如图1，已知 ， 平分外角 ， 平分外角 ．直接写出
和 的数量关系，不必证明；
（2）如图2，已知 ， 和 三等分外角 ， 和 三等分外角 ．试确定 和 的数量关系，并证明你的猜想；（不写证明依据）
（3）如图3，已知 ， 、 和 四等分外角 ， 、 和 四等
分外角 ．试确定 和 的数量关系，并证明你的猜想；（不写证明依据）
（4）如图4，已知 ，将外角 进行 分， 是临近 边的等分线，将外
角 进行 等分， 是临近 边的等分线，请直接写出 和 的数量关系，
不必证明．
