考向32椭圆（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习

考向 32 椭圆 1.（2022·全国甲（文）T11） 已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的左、 右顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为离心率 ，解得 ， ， 分别为C 左的右顶点，则 ， B为上顶点，所以 . 所以 ，因为 所以 ，将 代入，解得 ， 故椭圆的方程为 . 2.（2022·全国甲（理）T10） 椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ，设 ，则 ，则 ， 故 ， 又 ，则 ，所以 ，即 ， 所以椭圆 的离心率 . 3.（2022·新高考Ⅰ卷T16） 已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为 ， ， 离心率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是 ________________． 【答案】13 【解析】∵椭圆的离心率为 ，∴ ，∴ ，∴椭圆的方程为 ，不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示，∵ ，∴ ，∴ 为正三角形，∵过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， 为线段 的垂直平分线，∴直线 的斜率为 ，斜率倒数为 ， 直线 的方程： ，代入椭圆方程 ，整理化简得到： ， 判别式 ， ∴ ， ∴ ， 得 ， ∵ 为线段 的垂直平分线，根据对称性， ，∴ 的周长等于 的周长，利用椭圆的定义得到 周长为 . 4.（2022·新高考Ⅱ卷T16） 已知椭圆 ，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴 分别交于M，N两点，且 ，则直线l的方程为___________． 【答案】 【解析】令 的中点为 ，因为 ，所以 ，设 ， ，则 ， ， 所以 ，即 所以 ，即 ，设直线 ， ， ， 令 得 ，令 得 ，即 ， ，所以 ， 即 ，解得 或 （舍去）， 又 ，即 ，解得 或 （舍去）， 所以直线 ，即 ； 5.（2022·全国乙（理）T20（文）T）21. 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 两点． （1）求E的方程； （2）设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足 ．证明：直线HN过定点．【答案】（1） （2） 【解析】【小问1详解】 解：设椭圆E的方程为 ，过 ， 则 ，解得 ， ，所以椭圆E的方程为： . 【小问2详解】 ，所以 ， ①若过点 的直线斜率不存在，直线 .代入 ， 可得 ， ，代入AB方程 ，可得 ，由 得到 .求得HN方程： ，过点 . ②若过点 的直线斜率存在，设 . 联立 得 ， 可得 ， ，且 联立 可得 可求得此时 ， 将 ，代入整理得 ， 将 代入，得 显然成立， 综上，可得直线HN过定点 【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 6.（2022·浙江卷T21）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点 在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点． （1）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（2）求 的最小值． 【答案】（1） ； （2） ． 【解析】【小问1详解】 设 是椭圆上任意一点, ,则 ，当且仅当 时取等号，故 的最大值是 . 【小问2详解】 设直线 ,直线 方程与椭圆 联立,可得 ,设 ，所以 ， 因为直线 与直线 交于 , 则 ,同理可得, .则， 当且仅当 时取等号，故 的最小值为 . 1.求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下： (1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解． (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解． (3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求 得e. 2．利用椭圆几何性质求值或范围的思路 (1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系． (2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求解． 1．点P(x，y)和椭圆的位置关系 0 0 (1)点P(x 0 ，y 0 )在椭圆内⇔ (2)点P(x 0 ，y 0 )在椭圆上⇔(3)点P(x 0 ，y 0 )在椭圆外⇔ 2．焦点三角形 如图，椭圆上的点P(x，y)与两焦点构成的△PFF 叫做焦点三角形．设r＝|PF|，r＝|PF|，∠FPF 0 0 1 2 1 1 2 2 1 2 ＝θ，△PFF 的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： 1 2 (1)当r＝r，即 点 P 的位置为短轴端点时 ，θ最大； 1 2 (2) ，当|y|＝b，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. 0 (3) a － c ≤|PF|≤ a ＋ c . 1 (4)|PF|＝ a ＋ ex ，|PF|＝ a － ex . 1 0 2 0 (5)当PF⊥x轴时，点P的坐标为 . 2 (6)4c2＝ | PF | 2 ＋ | PF | 2 － 2 | PF | | PF |cos θ . 1 2 1 2 3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长， a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 . 4．已知过焦点F 的弦AB，则△ABF 的周长为 4 a . 1 2 5．椭圆中点弦的斜率公式 若 M(x ， y) 是 椭 圆 ＋ ＝ 1(a ＞ b ＞ 0) 的 弦 AB(AB 不 平 行 于 对 称 轴 ) 的 中 点 ， 则 有 0 0 6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长 设直线l与圆锥曲线C的两个交点为A(x ，y)，B(x ，y)，若直线l斜率为k，则|AB|＝|x －x|＝＝|y － 1 1 2 2 1 2 1 y|＝.当直线l的斜率不存在时，|AB|＝|y－y|. 2 1 2 1．若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则 (1)b≤|OP|≤a；(2)a－c≤|PF|≤a＋c. 2．焦点三角形：椭圆上的点 P(x ，y)与两焦点构成的△PFF 叫作焦点三角形，r ＝|PF|，r ＝|PF|， 0 0 1 2 1 1 2 2 ∠FPF＝θ，△PFF 的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中； 1 2 1 2 (1)当r＝r 时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大； 1 2 (2)S＝b2tan ＝c|y|，当|y|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. 0 03．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l ＝. min 4．AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x，y)，B(x，y)，弦中点M(x，y)，则直线AB的斜率k ＝－. 1 1 2 2 0 0 AB 一、单选题 1．双曲线E与椭圆 焦点相同且离心率是椭圆C离心率的 倍，则双曲线E的标准方程为 ( ) A． B． C． D． 2．“ ”是“方程 表示的曲线为双曲线”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知椭圆C： 上的动点P到右焦点距离的最小值为 ，则 （ ） A．1 B． C． D． 4．已知 ， 分别为椭圆 的两个焦点，P为椭圆上一点，则 的最大值为（ ） A．2 B． C．4 D． 5．已知 分别为椭圆 的左右焦点，点P为椭圆上一点，以 为圆心的圆与直线 恰好相 切于点P，则 是（ ） A． B． C． D．6．已知双曲线 满足 ，且与椭圆 有公共焦点，则双曲线 的方程 为（ ） A． B． C． D． 7．已知椭圆 的上焦点为 ，过原点 的直线 交 于点 ，且 ，若 ，则 的 离心率为（ ） A． B． C． D． 8．已知椭圆 以 为左右焦点，点P、Q在椭圆上，且 过右焦点 ， ，若 ，则该椭圆离心率是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知 为3与5的等差中项， 为4与16的等比中项，则下列对曲线 描述正确的是 （ ） A．曲线 可表示为焦点在 轴的椭圆 B．曲线 可表示为焦距是4的双曲线C．曲线 可表示为离心率是 的椭圆 D．曲线 可表示为渐近线方程是 的双曲线 10．已知线段BC的长度为4，线段AB的长度为 ，点D,G满足 ， ，且 点在直线 AB上，若以BC所在直线为 轴，BC的中垂线为 轴建立平面直角坐标系，则（ ） A．当 时，点 的轨迹为圆 B．当 时，点 的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为 C．当 时，点 的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为 D．当 时， 面积的最大值为3 11．椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点P在椭圆C上，若方程 所表示的 直线恒过定点M，点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ） A．椭圆C的离心率为 B． 的最大值为4 C． 的面积可能为2 D． 的最小值为 12．双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，点P在C上.若 是直角三角形，则 的面积为（ ） A． B． C．4 D．2 三、填空题 13．已知椭圆 的左焦点为F，若A､B是椭圆上两动点，且 垂直于x轴，则 周长的最大值为___________. 14．若椭圆 的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是___________. 15．已知椭圆 的上、下顶点分别为 ， ，点 是椭圆C上异于 、 的点，直 线 和 的斜率分别为 、 ，写出一个满足 的椭圆C的方程是________________． 16．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，点 为椭圆 的上顶点，直线 与椭圆 的另一个交点为 ，若 ，则 ___________. 一、单选题 1．（2022·安徽蚌埠·三模（理））已知焦点在 轴上的椭圆 离心率为 ，则实数 等于 （ ） A． B． C． D． 2．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的长 征二号F遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射．此后，神舟十二号载人飞船与火箭成功分离， 进入预定轨道，并快速完成与“天和”核心舱的对接，聂海胜、刘伯明、汤洪波3名宇航员成为核心舱首 批“入住人员”，并在轨驻留3个月，开展舱外维修维护，设备更换，科学应用载荷等一系列操作．已知 神舟十二号飞船的运行轨道是以地心为焦点的椭圆，设地球半径为R，其近地点与地面的距离大约是 ， 远地点与地面的距离大约是 ，则该运行轨道（椭圆）的离心率大约是（ ）A． B． C． D． 3．（2021·湖南长沙·模拟预测）有两条互相垂直的直线 和 ，有一条定长的线段 ，它的两个端点 分别被限制于这两条直线上．点 是 上的一个确定点，即点 到点 和点 的距离的比值是一个定值． 那么，随着线段 的运动，点 的运动轨迹及焦距长为（ ） A．椭圆，焦距长为 B．椭圆，焦距长为 C．双曲线，焦距长为 D．双曲线，焦距长为 4．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知平面直角坐标系中的直线 、 .设到 、 距离之和为 的点的轨迹是曲线 ，到 、 距离平方和为 的点的轨迹是曲线 ，其中 .则 、 公共点的个数不可能为（ ） A．0个 B．4个 C．8个 D．12个 5．（2022·湖南·模拟预测）中心在坐标原点O的椭圆的上顶点为A，左顶点为B，左焦点为F．已知 ，记该椭圆的离心率为e，则（ ） A． B． C． D． 6．（2022·河南·模拟预测（文））对于曲线 （ 且 ），以下说法正确的是（ ） A．曲线是椭圆 B．曲线是双曲线 C．曲线的焦点坐标是 D．曲线的焦点坐标是 7．（2021·浙江·模拟预测）如图，已知椭圆 的长轴端点为 ， ，短轴端点为 ， ，焦点为 ， .现将左边半个椭圆沿短轴进行翻折，则在翻折过程中（不共面），以下说法不正确的是（ ） A．存在某个位置,使 B．存在某个位置,使二面角 的平面角为 C．对任意位置，都有 平面 D．异面直线 与 所成角的取值范围是 8．（2021·辽宁·模拟预测）已知点 、 ，动点 满足：直线 的斜率与直线 的斜 率之积为 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2022·重庆·模拟预测）已知椭圆的离心率为 ，短轴长为 ，两个焦点为 ，点 为椭圆上一点， 记 ，则下列结论中正确的是（ ） A． 的周长与点 的位置无关 B．当 时， 的面积取到最大值 C． 的外接圆半径最小为 D． 的内切圆半径最大为 10．（2021·江苏南通·模拟预测）已知方程 ，则下列说法中正确的有（ ）A．方程 可表示圆 B．当 时，方程 表示焦点在 轴上的椭圆 C．当 时，方程 表示焦点在 轴上的双曲线 D．当方程 表示椭圆或双曲线时，焦距均为10 11．（2022·全国·模拟预测）过椭圆 的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点， ， 是椭圆的左、 右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ） A． 周长的最小值为18 B．四边形 可能为矩形 C．若直线PA斜率的取值范围是 ，则直线PB斜率的取值范围是 D． 的最小值为-1 12．（2022·重庆八中模拟预测）曲线C的方程为 ，则下列说法正确的是（ ） A．存在实数 使得曲线C的轨迹为圆 B．存在实数 使得曲线C的轨迹为椭圆 C．存在实数 使得曲线C的轨迹为双曲线 D．无论 （ 且 ）取何值，曲线C的焦距为定值 三、填空题 13．（2021·安徽蚌埠·三模（理））“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火 星环绕､着陆､巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日，天问一号探测 器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，天问 一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点 高度调整至约265公里.若此时远火点距离约为11945公里，火星半径约为3400公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为___________.(精确到0.1) 14．（2022·浙江·模拟预测）椭圆 上三点A，B，C，其中A位于第一象限，且A，B关于 原点对称，C为椭圆右顶点．过A作x轴的垂线，交直线 于D．当A在椭圆上运动时，总有 ，则该椭圆离心率e的最大值为_________． 15．（2020·四川·模拟预测（理））点 在焦点为 、 的椭圆 上， 交 轴于点 ，且△ 为正三角形，若 ，则椭圆 的标准方程为________． 16．（2022·河南新乡·二模（文））已知圆 与圆 相交于A，B两点， 若圆 ， 的圆心为椭圆E的焦点，A，B在椭圆E上，则椭圆E的标准方程为______． 1．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知 ， 是椭圆 的左，右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心 率为( ) A． B． C． D．2．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点， 则 ( ) A． B． C． D． 3.(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知椭圆 的焦点为 ， ，过 的直线与 交于 ， 两点．若 ， ，则 的方程为 ( ) A． B． C． D． x2 y2 C: a2  b2 1 ab0 A A 4．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆 ， 的左、右顶点分别为 1， 2， AA bxay2ab0 C 且以线段 1 2为直径的圆与直线 相切，则 的离心率为 ( ) 6 3 2 1 A． 3 B． 3 C． 3 D．3 x2 y2 C:  1a0,b0 a2 b2 5．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知双曲线 的一条渐近线方程为 5 x2 y2 y  x  1 2 ,且与椭圆 12 3 有公共焦点，则 C 的方程为 ( ) x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2  1  1  1  1 8 10 4 5 5 4 4 3 A． B． C． D． 6．(2016 高考数学课标Ⅲ卷理科)已知 为坐标原点, 是椭圆 C: 的左焦点, 分别为 的左、右顶点. 为 上一点,且 轴.过点 的直线 与线段 交于点 , 与 轴交于点 .若直线 经过OE的中点,则 的离心率为 ( ) A． B． C． D．7．(2021年高考全国乙卷理科)设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都 满足 ，则 的离心率的取值范围是( ) A B C D A． B． C． D． 1 1 1 1 8．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知A、B分别为椭圆E： (a>1) 的左、右顶点，G为E的 上顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． 的 (1)求E 方程； (2)证明：直线CD过定点． 9．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知椭圆C 1 ： (a>b>0) 右的焦点F与抛物线C 2 的焦点重合， C 的中心与C 的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，且|CD| 1 2 1 2 = |AB|． (1)求C 的离心率； 1 (2)设M是C 与C 的公共点，若|MF|=5，求C 与C 的标准方程． 1 2 1 2 10．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为 的左、右顶点． (1)求 的方程； (2)若点 在 上，点 在直线 上，且 ， ，求 的面积．1．【答案】C 【解析】双曲线 与椭圆 焦点相同，则焦点坐标为 ， 椭圆的离心率为 ，∴双曲线的离心率为 ， 设双曲线实半轴长为 ，虚半轴长为 ，焦距为2c，则c=2， ，∴ ，∴所求双曲线方程为： ． 2．【答案】C 【解析】方程 表示的曲线为双曲线，则a(2a-1)＜0，解得0＜a＜ ， 故“ ”是“方程 表示的曲线为双曲线”的充要条件． 3．【答案】A 【解析】根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为 ， 即 ，又 ，所以 ， 由 ，所以 ； 4．【答案】B 【解析】椭圆上的点P满足 ，当点P为 的延长线与C的交点时， 达到最大值，最大值为 ． 5．【答案】A 【解析】依题意 ，设 ，由椭圆定义得 ， 由于以 为圆心的圆与直线 恰好相切于点P，所以 ，即 ， 整理得 ，得 ，得 ，所以 ． 6．【答案】A 【解析】由椭圆的标准方程为 ，可得 ，即 ， 因为双曲线 的焦点与椭圆 的焦点相同，所以双曲线 中，半焦距 ， 又因为双曲线 满足 ，即 ， 又由 ，即 ，解得 ，可得 ， 所以双曲线 的方程为 . 7．【答案】A 【解析】设椭圆 的上焦点为 ，显然 ， 因为过原点 的直线 交 于点 ， 所以有 ，因此四边形 是平行四边形， 又因为 ，所以有 ， 因此三角形 是以 为斜边的直角三角形， 因为 ，所以 ， 因为 是平行四边形， 所以 ，由椭圆的定义可知： ， 8．【答案】A 【解析】根据题意可得如图椭圆， 是直角三角形， ， 不妨设 ，则 ，因为 ，所以 ， ，所以离心率 ． 9．【答案】ACD 【解析】由 为3与5的等差中项，得 ，即 ， 由 为4与16的等比中项，得 ，即 ， 则曲线 的方程为 或 ． 其中 表示焦点在 轴的椭圆，此时它的离心率 ，故A正 确，C正确； 其中 表示焦点在 轴的双曲线，焦距为 ，渐近线方程为 ，故B不正确，D正确． 10．【答案】BCD 【解析】根据题意可知：点A的轨迹为以B为圆心，半径为 的圆B，点D为线段AB的中点，点 为线 段 的中垂线与直线AB的交点，则 当 时，线段 为圆B的弦，则 的中垂线过圆心B，点 即点B，A错误； 当 时，如图1，点 在线段AB上，连接则 ∴点 的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为 的椭圆，即 则椭圆的离心率 ，B正确； 当 为椭圆短轴顶点时， 面积的最大 若 时，则 ，最大面积为 ，D正确； 当 时，过点 作圆 的切线，切点为 若点 在劣弧 （不包括端点 ）上，如图2，点 在BA的延长线上，连接 则 ∴点 的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为 的双曲线的左半支 若点 在优弧 （不包括端点 ）上，如图3，点 在AB的延长线上，连接 则 ∴点 的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为 的双曲线的右半支 则点 的轨迹为双曲线 ∴ ，渐近线方程为 ，C正确； 11．【答案】ABD 【解析】对于选项A，由椭圆C的方程知 ， ， ，所以离心率 ，故选项A正确；对于选项B，由椭圆的定义可得 ，所以 ，即 的最大 值为4，故选项B正确； 对于选项C，当点P位于椭圆的上、下顶点时， 的面积取得最大值 ，故选项C错 误； 对于选项D，易知 ，则圆 ，所以 ，故选项D正确， 12．【答案】AC 【解析】由双曲线 可得 .根据双曲线的对称性只需考虑 或 . 当 时，将 代入 可得 ，所以 的面积为 . 当 时，由双曲线的定义可知， ，由勾股定理可得 . 因为 ， 所以 ，此时 的面积为 综上所述， 的面积为4或 . 13．【答案】12 【解析】如图.设 与x轴相交于点C，椭圆 右焦点为 ，连接 ， 所以 周长为 故 的周长的最大值为12， 14．【答案】 【解析】因为椭圆 的焦点在y轴上， 所以 ，解得 ，即实数k的取值范围为 . 15．【答案】 （答案不唯一） 【解析】由题意可知 、 ，设 ，则 ， 所以 ， 所以 ， 所以 . 所以椭圆 的方程可以为 （只需满足 即可）. 故答案为： （答案不唯一）.16．【答案】 【解析】由 ，可得 ， 如图过点 作 轴的垂线，垂足为 ，所以 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 可得点 的坐标为 ，代入椭圆方程可得 ， 有 ，解得 . 1．【答案】B 【解析】由题意，得 ， ，则 ， 所以椭圆的离心率 ，解得m=8. 2．【答案】A 【解析】以运行轨道长轴所在直线为x轴，地心F为右焦点建立平面直角坐标系， 设椭圆方程为 ，其中 ， 根据题意有 ， ， 所以 ， ，所以椭圆的离心率 ． 3．【答案】B 【解析】在两条互相垂直的直线 和 上建立平面直角坐标系， 当点 在第一象限时，设 与 轴的夹角为 ，则 的坐标为（ ， ）， 从而可知，点 在椭圆 上，点 的轨迹是四分之一个椭圆， 当点 在其它几个象限或坐标轴上时，点 的坐标满足方程 ， 所以点 的轨迹是一个椭圆，焦距长为 ． 4．【答案】D 【解析】由题意，直线 与直线 相互垂直，设曲线 上的点为 ，满足 ，即 ，则当 ， 时， ； 当 ， 时， ； 当 ， 时， ； 当 ， 时， ， 所以曲线 是以 、 、 、 为顶点的矩形，设曲线 上的点为 ，满足 ，即 ， 所以 是椭圆 ， 所以二者公共点的个数只可能是0、4、8个， 5．【答案】C 【解析】根据角平分线定理 ， 结合 及离心率 有 ，化简得 ． 设 又 ， ， 当 时， 恒成立，故 在 上单调递减， 所以 ． 6．【答案】D 【解析】当 时，曲线为双曲线 ， ，故焦点坐标为 ； 当 时，曲线为椭圆 ， ，焦点坐标为 . 7．【答案】B 【解析】由 ,所以 为锐角 则 为锐角三角形，故过 作 的垂线，垂足 在线段 上， 设 ,当 平面 时，则 ，又所以 平面 ,且 平面 ， 所以 ，故A正确； 如图，设 为 的中点，由 , 则 所以 为二面角 的平面角. 设 , 则 ， 所以 当 时， ，所以 所以 ，所以不存在某个位置,使二面角 的平面角为 ，，故B错； 由 ， 分别为 的中点，则 ，由 平面 ， 平面 ，则 平面 ，故C正确； 直线 , 将左边半个椭圆沿短轴进行翻折，则在翻折过程中 异面直线 与 所成角,即为以 为轴， 为母线的圆锥的母线与 所成角. 以 为轴， 为母线的圆锥轴截面顶角为 ，故D正确. 8．【答案】C 【解析】由题意可知， ，整理得 ， 则 ，故 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 即 ． 9．【答案】ACD 【解析】由椭圆定义知， 的周长为 ，故A正确；显然当 位于短轴端点时 的面积最 大，由 知此时 ，故B错误；由正弦定理知外接圆直径 ，由 知 最大为钝角，故 时 取最小值 ，故 的最小值为 ，故C正确；设内切圆半径为 ，由 知， 越大则 越大， ，故 ，10．【答案】BCD 【解析】对于A，当方程 可表示圆时， ，无解，故A错误. 对于B，当 时， ， ，表示焦点在 轴上的椭圆，故B正确. 对于C，当 时. ， ， ，表示焦点在 轴上的双曲线，故C正确. 对于D，当方程 表示双曲线时， ；当方程 表示椭圆时， ，所以焦距均为10，故D正确. 11．【答案】AC 【解析】A：根据椭圆的对称性， ，当PQ为椭圆的短轴时， 有最小值8，所以 周长的最小值为18，正确； B：若四边形 为矩形，则点P，Q必在以 为直径的圆上，但此圆与椭圆 无交点，错误； C：设 ，则 ，因为直线PA斜率的范围是 ， 所以直线PB斜率的范围是 ，正确； D：设 ，则 ．因为 ，所以当 时， 最小值为 ，错误. 12．【答案】BCD 【解析】对于A，因为 ，所以不存在实数 使得曲线C的轨迹为圆，故A不正确；对于B，当 且 时，即 时， 表示椭圆，所以存在实数 使得曲线C的 轨迹为椭圆，故B正确； 对于C，当 ，即 时， 表示双曲线，故C正确； 对于D，当 时， 表示椭圆，此时椭圆的 ，所以曲线C的焦距为 定值； 当 时， 表示双曲线，此时双曲线的 ，所以曲线C的 焦距为定值；故D正确， 13．【答案】0.6. 【解析】设椭圆的方程为 ( )， 由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 ，最大值为 ， 根据题意可得近火点满足 ， ， 解得 ， ， 所以椭圆的离心率为 ， 14．【答案】 【解析】依题意可得 ，设 ， ， ， ， 所以 ， 则 ， 又 ， ①， ②， 由 得 ③， 将①②代入③式，消去 ， 得 ， 因为 ， ，则要求 ，即 ，所以 ，即e的最大值为 ． 15．【答案】 【解析】由已知得，点 在焦点为 、 的椭圆 上， 交 轴于点 ，且△ 为正三角 形，则 , 即 为△ 的中位线， , 又∵在等腰△ 中， , ∴ ,∴ , 由椭圆的定义可知 ，即 ， 又∵ ，∴ ， ∴ ，则椭圆方程： ． 16．【答案】 【解析】设椭圆E的方程为 ， 由题意可得： , 又A在椭圆E上，可知 ，而 ， 所以 ， 故椭圆E的标准方程为 ,1．【答案】D 【解析】因为 为等腰三角形， ，所以 ，由余弦定理得 ， 所以 ，而 ，由已知 ，得 ，即 ，故选D． 2．【答案】D x2 y2 【解析】因为抛物线 的焦点 是椭圆  1的一个焦点，所以 3p p ，解得 ，故选D． p 8 3.【答案】B 【解析】如图，设 ，则 ，由 ，可得 ， ，所以点 为椭圆的上顶点或下顶点． 在 中，由余弦定理可得 ， 所以 ，即 ，即 ，又 ，所以椭圆方程为 ． B F1 O F2 A 4．【答案】A AA R a bxay2ab0 【解析】以线段 1 2为直径的圆的圆心为原点，半径为 ，该圆与直线 相切2ab d   Ra 0,0 bxay2ab0 b2 a2 a2 3b2 所以圆心 到直线 的距离 ，整理可得 2 c b 1 6 e  1    1  a a 3 3 所以 ，故选A． 5．【答案】 B 5 x2 y2 y  x   【解析】由渐近线的方程 2 ，可设双曲线的方程为 4 5 x2 y2  1 3,0 12 3 又椭圆 的焦点坐标为 x2 y2  1 0 4532 1 C 4 5 所以 ，且 ，故所求双曲线 的方程为： ，故选B． 6．【答案】A 【解析】由题意,设直线 的方程为 ,分别令 与 ,得点 , ,由△OBE∽△CBM,得 ,即 ,整理得 ,所以椭圆的离 心率 ,故选A. 7．【答案】C 【解析】设 ，由 ，因为 ， ，所以 ， 因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，由可得 ，即 ； 当 ，即 时， ，即 ，化简得， ，显然该不等式不成立． 故选：C． 8．【答案】（1） ；（2）证明详见解析． 【解析】（1）依据题意作出如下图象： 由椭圆方程 可得： ， ， ， ， 椭圆方程为： （2）证明：设 ，则直线 的方程为： ，即： 联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得： ，解得： 或将 代入直线 可得： 所以点 的坐标为 ． 同理可得：点 的坐标为 直线 的方程为： ， 整理可得： 整理得： 故直线 过定点 9．【答案】（1） ；（2） ， ． 【解析】（1） ， 轴且与椭圆 相交于 、 两点， 则直线 的方程为 ，联立 ，解得 ，则 ，抛物线 的方程为 ，联立 ， 解得 ， ， ，即 ， ， 即 ，即 ， ，解得 ，因此，椭圆 的离心率为 ； （2）由（1）知 ， ，椭圆 的方程为 ， 联立 ，消去 并整理得 ， 解得 或 （舍去）， 由抛物线的定义可得 ，解得 ． 因此，曲线 的标准方程为 ，曲线 的标准方程为 ． 10．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1） ， ， ， 根据离心率 ，解得 或 (舍)，的方程为： ，即 ； （2）不妨设 , 在x轴上方 点 在 上，点 在直线 上，且 ， ， 过点 作 轴垂线，交点为 ，设 与 轴交点为 根据题意画出图形，如图 ， ， ， 又 ， ， ， 根据三角形全等条件“ ”，可得： ， ， ， ， 设 点为 ，可得 点纵坐标为 ，将其代入 ， 可得： ，解得： 或 ， 点为 或 ， ①当 点为 时，故 ， ， ，可得： 点为 ，画出图象，如图 , ， 可求得直线 的直线方程为： ， 根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为： ， 根据两点间距离公式可得： ， 面积为： ； ②当 点为 时，故 ， ， ，可得： 点为 ， 画出图象，如图 , ， 可求得直线 的直线方程为： ， 根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为： ， 根据两点间距离公式可得： ， 面积为： ，综上所述， 面积为： ．