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专题13 与中点有关的计算与证明（原卷版）
类型一 构造直角三角形斜边的中线
典例1 如图，△CDE中，∠CDE＝135°，CB⊥DE于B，EA⊥CD于A，求证：CE=√2AB．
典例2 （2020秋•浦东新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AC＝26，
BD＝24，联结AC、BD，取AC和BD的中点M、N，联结MN，则MN的长度为 ．
针对训练
1．（2021秋•上蔡县校级月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、
AC的中点，
（1）请你猜测EF与AC的位置关系，并给予证明；
（2）当AC＝8，BD＝10时，求EF的长．类型二 捕捉三角形的中位线
典例3（2021•瑶海区校级三模）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为中线，E为AD的中点，
DF∥CE交BE于点F．若AC＝8，BC＝12，则DF的长为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．2.5
针对训练
1．（2021春•介休市期末）如图，AD和BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，垂足为点F，且
G、E为AC的三等分点，若BE＝8，则BF的长为 ．
类型三 构造三角形的中位线
典例 4 （2022 春•吴中区校级期中）如图，在△ABC 中，BC＝3，将△ABC 平移 5 个单位长度得到
△A B C ，点P、Q分别是AB、A C 的中点，PQ的取值范围 ．
1 1 1 1 1
典例5（2021秋•北海月考）如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点，将△BCE
沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中
点N，连接MN，则MN＝（ ）cm．24
A．5 B．6 C． D．2√7
5
针对训练
1
1．（2021春•荔湾区期中）如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CD= BC，过AC中点E作EF∥CD
2
（点F位于点E右侧），且EF＝2CD，连接DF，若AB＝6，则DF的长为 ．
2．（2021•安徽二模）如图．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．
若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（ ）
√3 √5 5
A．1 B． C． D．
2 2 3
3．如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，点P、M、N分
别为AC，AD、CE的中点．
（1）求证：PM＝PN；
（2）求∠MPN的度数．
类型四 中点四边形问题
1．（2020•菏泽）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满
足的条件是（ ）
A．互相平分 B．相等C．互相垂直 D．互相垂直平分
2．（2021春•青川县期末）如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD和DA的中点，
连接EF，FG，GH和HE．若EH＝3EF，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=√3EF B．AB＝2√2EF C．AB＝3EF D．AB=√10EF
3．（2022春•新泰市期中）如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD，下列结
论：
1
①EG⊥FH；②四边形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EG= (BC-AD)；⑤四边形EFGH
2
是菱形．
其中正确的是 ．
4．（2021春•召陵区期末）如图，5个全等的阴影小正方形镶嵌于一个单位正方形内部，且互不相交，中
a-√2
间小正方形各边的中点恰为另外4个小正方形的一个顶点，若小正方形边长为 （a、b是正整数），
b
则a+b的值为 ．
5．（2019•安徽一模）如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝8，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA
的中点，则EG2+FH2的值为 ．6．（2021秋•雁塔区校级月考）在四边形 ABCD中，AC＝BD＝8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、
DA的中点，则EG2+FH2的值为（ ）
A．64 B．18 C．36 D．48
7．（2021•江川区模拟）如图，在菱形ABCD中，边长为1，∠A＝60˚，顺次连接菱形ABCD各边中点，
可得四边形A B C D ；顺次连接四边形A B C D 各边中点，可得四边形A B C D ；顺次连接四边形
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
A B C D 各边中点，可得四边形A B C D ；按此规律继续下去，…，则四边形A B C D 的面
2 2 2 2 3 3 3 3 2019 2019 2019 2019
积是 ．
8．（2022春•开封期末）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点
O，点M，N分别为BO，CO的中点，连接ED，EM，MN，ND．
（1）求证：四边形EMND是平行四边形．
（2）当△ABC的边满足 时，四边形EDNM为矩形．9．（2022春•洪山区期末）给出下列定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，DA的中点，则中点四边形EFGH
形状是 ．
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD＝90°，点E，
F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，求证：中点四边形EFGH是正方形．
