文档内容
2022-2023 学年人教版数学七年级上册压轴题专题精选汇编
专题 11 角
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•新泰市期末）如图，已知射线OB，OM，ON在∠AOD内部，OM平分∠AOB，ON
平分∠BOD．若∠AOD＝156°，∠DON＝48°，则∠AOM的度数为（ ）
A．42° B．78° C．30° D．36°
【思路引导】根据角平分线的定义，由 OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，得∠BOM＝ ，
，推断出∠MON＝ ＝ ，从而
求得∠AOM＝30°．
【完整解答】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠BOM＝ ， ．
∴∠MON＝ ＝ ．
∴∠AOM＝∠AOD﹣∠DON﹣∠MON＝156°﹣48°﹣78°＝30°．
故选：C．
2．（2分）（2022春•新郑市期末）某镇要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从 A村沿北偏东72°方向到B
村，从B村沿北偏西28°方向到C村，为了保持与AB的方向相同，那么从C村修建的方向为北偏东（
）A．108° B．80° C．72° D．62°
【思路引导】根据方向角的定义以及平行线的性质进行计算即可．
【完整解答】解：如图，由题意得，
∠ABC＝180°﹣72°﹣28°＝80°，
∵CE∥AB，
∴∠ABC＝∠BCE＝80°，
∴∠GCE＝180°﹣80°＝100°，
由平行线的性质可得，
∠BCF＝∠GCN＝28°，
∴∠NCE＝100°﹣28°＝72°，
即从C村修建的方向为北偏东72°，
故选：C．
3．（2分）（2022•衢州一模）在以下图形中，根据尺规作图痕迹，不能判断射线 AD平分∠BAC的是（）
A．① B．② C．③ D．④
【思路引导】根据角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质一一判断即可．
【完整解答】解：如图①中，射线AD是角平分线．
如图②中，根据 SAS 可以证明△ABN≌△ACM，推出∠ABD＝∠ACD，再根据 AAS 证明
△BDM≌△CDN，推出DM＝DN，再根据SSS证明∠ADM≌△ADN，推出∠MAD＝∠NAD，推出射线
AD是角平分线；
如图④中，根据HL证明△DAF≌△DAE，推出∠DAF＝∠DAE，推出AD是角平分线．
如图③中，无法证明AD是角平分线．
故选：C．
4．（2分）（2021秋•绵阳期末）在同一平面内，点O在直线AD上，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分
别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON＝α（0°＜α＜90°），则∠AOC＝（ ）
A．90°﹣α B．90°+α C． D．90°±α
【思路引导】分两种情况如图①所示，当∠AOC＜∠AOB时，根据角平分线的定义得∠AOM＝
∠AOC，∠AON＝ ∠AOB，根据∠MON＝∠AON﹣∠AOM，得∠AOB﹣∠AOC＝2a，再根据已知条件∠AOC与∠AOB互补，得∠AOB＝180°﹣∠AOC，进而得∠AOC＝90°﹣a；
如图②所示，当∠AOC＞∠AOB时，根据角平分线的定义得∠AOM＝ ∠AOC，∠AON＝ ∠AOB，根
据∠MON＝∠AOM﹣∠AON，得∠AOC﹣∠AOB＝2a，再根据已知条件∠AOC 与∠AOB互补，得
∠AOB＝180°﹣∠AOC，进而得∠AOC＝90°+a．
【完整解答】解：①如图①所示，当∠AOC＜∠AOB时，
∵OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，
∴∠AOM＝ ∠AOC，∠AON＝ ∠AOB，
∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝ （∠AOB﹣∠AOC），
∴∠AOB﹣∠AOC＝2a，
∵∠AOC与∠AOB互补，
∴∠AOB＝180°﹣∠AOC，
∴180°﹣∠AOC﹣∠AOC＝2a，
∴∠AOC＝90°﹣a；
②如图②所示，当∠AOC＞∠AOB时，
∵OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，
∴∠AOM＝ ∠AOC，∠AON＝ ∠AOB，
∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝ （∠AOC﹣∠AOB），
∴∠AOC﹣∠AOB＝2a，
∵∠AOC与∠AOB互补，
∴∠AOB＝180°﹣∠AOC，
∴∠AOC﹣（180°﹣∠AOC）＝2a，
∴∠AOC＝90°+a，
综上所述：∠AOC＝90°+a或∠AOC＝90°﹣a，（0°＜α＜90°）；
故选：D．5．（2分）（2021秋•郎溪县期末）下列说法正确的是（ ）
A．若AC＝BC，则点C为线段AB的中点
B．若 ，则射线OC为∠AOB平分线
C．若∠1+∠2+∠3＝180°，则这三个角互补
D．若∠α与∠β互余，则∠α的补角比∠β大90°
【思路引导】A、点C为线段AB的中点，前提条件是点A、B、C在同一条直线上；
B、射线OC为∠AOB平分线，前提条件是射线OC在∠AOB的内部；
C、根据两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角判断；
D、根据余角补角定义，表示∠β，∠α的补角，根据题意列算式．
【完整解答】解：A、前提条件是点A、B、C在同一条直线上，∴不符合题意；
B、前提条件是射线OC在∠AOB的内部，∴不符合题意；
C、两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，而不是三个角，∴不符合题意；
D、∵∠α+∠β＝90°，
∴∠β＝90°﹣∠α，
∵∠α的补角：180°﹣∠α，
∴∠α的补角比∠β大：180°﹣∠α﹣（90°﹣∠α）＝90°，
∴符合题意；
故选：D．
6．（2分）（2021春•东营区校级月考）借助一副三角尺不能画出的角是（ ）
A．95° B．105° C．120° D．135°
【思路引导】结合一副三角板的度数即可得答案．
【完整解答】解：∵一副三角板的度数分别是：30°，60°，90°和45°，45°，90°，
∴60°+45°＝105°，30°+90°＝120°，45°+90＝135°，
因此可以拼出105°，120°，135°的角，
故选：A．
7．（2分）（2022春•环翠区期末）如图，点B，O，D在同一条直线上，若∠AOC＝90°，∠2＝115°，则∠1的度数为（ ）
A．15° B．25° C．26° D．65°
【思路引导】根据互余的性质求出∠COB的度数，根据互补的概念求出∠2的度数．
【完整解答】解：∵∠2＝115°，∠AOC＝90°，
∴∠COB＝65°，
∴∠1＝∠AOC﹣∠COB＝25°，
故选：B．
8．（2分）（2021秋•荔城区期末）如图，按照上北下南，左西右东的规定画出方向十字线，∠AOE＝
m°，∠EOF＝90°，OM，ON分别平分∠AOE和∠BOF，下面说法：①点E位于点O北偏西m°的方向上；
②点F位于点O北偏东m°的方向上；③∠MON＝135°，其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【思路引导】观察方向图形，点O在正南正北方向上，本据方向角解答即可．
【完整解答】解：①点E位于点O北偏西（90﹣m）°的方向上，错误，故不符合题意；
②点F位于点O北偏东m°的方向上，正确，故符合题意；
③∠MON＝135°，正确，故符合题意；
其中正确的有2个．
故选：B．
9．（2分）（2021秋•硚口区期末）如图，C，D在线段BE上，下列四个说法：
①直线CD上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；
②图中有4对互为补角的角；
③若∠BAE＝110°，∠DAC＝40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°；
④若BC＝4，CD＝3，DE＝5，点F是线段BE上任意一点（包含端点），则点 F到点B，C，D，E的
距离之和的最小值为15．其中正确的说法是（ ）
A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④
【思路引导】①按照一定的顺序数出线段的条数即可；②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对
邻补角，由此即可确定选择项；③根据角的和与差计算即可；④分两种情况探讨：当F在线段CD上最
小，点F和E重合最大计算得出答案即可．
【完整解答】解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，故①正确；
②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即∠BCA和∠ACD互补，∠ADE和∠ADC互
补，故②错误；
③由∠BAE＝110°，∠DAC＝40°，根据图形可以求出∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE＝
110°+110°+110°+40°＝370°，故③正确；
④当F在线段CD上，则点F到点B，C，D，E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC＝15，当F和E重合，
则点F到点B，C，D，E的距离之和最大为FB+FE+FD+FC＝12+0+5+8＝25，故④正确．
故选：C．
10．（2分）（2021秋•江汉区期末）已知∠α与∠β互补，下列说法：①若∠α是锐角，则∠β一定是钝角；
②若∠γ+∠α＝180°，则∠β＝∠γ；③若∠1＝ ∠α，∠2＝ ∠β，则∠1与∠2互余．其中正确的个数
是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【思路引导】直接利用互为余角、补角的定义分别分析得出答案．
【完整解答】解：①若∠α是锐角，则∠β一定是钝角，故此选项符合题意；
②若∠γ+∠α＝180°，则∠β＝∠γ，故此选项符合题意；
③若∠1＝ ∠α，∠2＝ ∠β，则∠1与∠2互余，故此选项符合题意．
其中正确的个数是3个．
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022•南山区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°利用尺规在AB，AC上分别截取AD，AE，使AE＝AD；分别以D，E为圆心、以大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F；作射
线AF交BC于点G．若AC＝5，CG＝2，则△ABG的周长为 + ．
【思路引导】如图，如图，过点G作GH⊥AB于点H．设BG＝x，BH＝y．利用全等三角形证明AC＝
AH＝5，GC＝GH＝2，再利用相似三角形的性质求出x，y，可得结论．
【完整解答】解：如图，如图，过点G作GH⊥AB于点H．设BG＝x，BH＝y．
由作图可知，∠GAC＝∠HAG，
在△GAC和△GAH中，
，
∴△AGC≌△GAH（AAS），
∴AC＝AH＝5，GC＝GH＝2，
∵∠B＝∠B，∠BHG＝∠C＝90°，
∴△BHG∽△BCA，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴x＝ ，y＝ ，
经检验x＝ ，y＝ 都是分式方程的解，∵AG＝ ＝ ＝ ，AB＝5+ ＝ ，
∴△ABC的周长＝ + + ＝ + ．
故答案为： + ．
12．（2分）（2021秋•濮阳期末）如图所示，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，若∠1＝20°，则
∠2的度数为 110 ° ．
【思路引导】由图示可得，∠1与∠BOC互余，结合已知可求∠BOC，又因为∠2与∠COB互补，即可
求出∠2的度数．
【完整解答】解：∵∠1＝20°，∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝70°，
∵∠2+∠BOC＝180°，
∴∠2＝110°．
故答案为：110°．
13．（2分）（2021秋•沙坪坝区校级期末）平面内，∠AOB＝120°，C为∠AOB内部一点，射线OM平分
∠AOC，射找ON平分∠BOC，射线OD平分∠MON，当|∠AOC﹣2∠COD|＝30°时，∠AOC的度数是
45° 或 15° ．
【思路引导】首先根据角平分线的定义可得∠MON＝60°，再设∠MOC＝x，用含x的代数式表示出
∠AOC和∠COD，根据题意列出方程可得答案．
【完整解答】解：当OD在∠MOC外部时，
∵射线OM平分∠AOC，射找ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝ AOC，∠CON＝ BOC，∴ ＝ ＝60°，
∵射线OD平分∠MON，
∴∠MOD＝30°，
设∠MOC＝x，则∠AOC＝2x，∠COD＝30°﹣x，
∴|2x﹣2（30°﹣x）|＝30°，
解得x＝22.5°或7.5°，
∴∠AOC＝2x＝45°或15°；
当OD在∠MOC内部时，
∵射线OM平分∠AOC，射找ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝ AOC，∠CON＝ BOC，
∴ ＝ ＝60°，
∵射线OD平分∠MON，
∴∠MOD＝30°，
设∠MOC＝x，则∠AOC＝2x，∠COD＝x﹣30°，
∴|2x﹣2（x﹣30°）|＝30°，方程无解，此种情况不存在．
综上，∠AOC＝2x＝45°或15°．
故答案为：45°或15°．
14．（2分）（2021秋•红河州期末）已知∠AOB＝80°，射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝20°，∠COD
＝50°，射线OE、OF分别平分∠BOC、∠COD，则∠EOF的度数是 5 ° 或 55 ° ．
【思路引导】先根据题意画出图形，再分OD在∠AOB内和OD在∠AOB外，根据角的和差关系和角平
分线的定义可求∠EOF的度数．
【完整解答】解：如图1，OD在∠AOB内，
∵∠AOB＝80°，∠AOC＝20°，
∴∠BOC＝60°，
∵射线OE平分∠BOC，∴∠EOC＝30°，
∵射线OF平分∠COD，∠COD＝50°，
∴∠FOC＝25°，
∴∠EOF＝∠EOC﹣∠COF＝5°；
如图2，OD在∠AOB外，
∵∠AOB＝80°，∠AOC＝20°，
∴∠BOC＝60°，
∵射线OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝30°，
∵射线OF平分∠COD，∠COD＝50°，
∴∠FOC＝25°，
∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝30°+25°＝55°．
则∠EOF的度数是5°或55°．
故答案为：5°或55°．
15．（2分）（2022春•铜仁市期末）某天卢老师在数学课上，利用多媒体展示如下内容：如图，C为直线
AB上一点，∠DCE为直角，CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，各学习小组经过讨论
后得到以下结论：①∠ACF与∠BCH互余；②∠HCG＝45°；③∠ECF与∠GCH互补；④∠ACF﹣
∠BCG＝45°．聪明的你认为哪些结论是正确的，请写出正确结论的序号 ①②④ ．
【思路引导】根据角平分的定义，互为余角、互为补角的定义逐个进行判断，最后得出答案做出选择．
【完整解答】解：∵CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，∴∠ACF＝∠FCD＝ ∠ACD，∠DCH＝∠HCB＝ ∠DCB，∠BCG＝∠ECG＝ ∠BCE，
∵∠ACB＝180°，∠DCE＝90°，
∴∠FCH＝90°，∠HCG＝45°，∠FCG＝135°
∴∠ACF+∠BCH＝90°，故①②正确，
∵∠ECF＝∠DCE+∠FCD＝90°+∠FCD，∠FCD+∠DCH＝90°，
∴∠ECF+∠DCH＝180°，
∵∠HCG≠∠DCH，
∴∠ECF与∠GCH不互补，故③错误，
∵∠ACD﹣∠BCE＝180°﹣∠DCB﹣∠BCE＝90°，
∴∠ACF﹣∠BCG＝45°．故④正确．
故答案为：①②④．
16．（2分）（2021秋•金牛区期末）如图，长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连
接EF、EG．将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直
线EF上的点A′处，得折痕EN．∠FEG＝20°，则∠MEN＝ 100 ° 或 80 ° ．
【思路引导】分两种情形：当点 G 在点 F 的右侧；当点 G 在点 F 的左侧，根据∠MEN＝
∠NEF+∠MEG+∠FEG或∠MEN＝∠NEF+∠MEG﹣∠FEG，求出∠NEF+∠MEG即可解决问题．
【完整解答】解：当点G在点F的右侧，∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG，
∴∠NEF＝ ∠AEF，∠MEG＝ ∠BEG，
∴∠NEF+∠MEG＝ ∠AEF+ ∠BEG＝ （∠AEF+∠BEG）＝ （∠AEB−∠FEG），
∵∠AEB＝180°，∠FEG＝20°，
∴∠NEF+∠MEG＝ （180°−20°）＝80°，
∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝80°+20°＝100°；
当点G在点F的左侧，
∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG，
∴∠NEF＝ ∠AEF，∠MEG＝ ∠BEG，
∴∠NEF+∠MEG＝ ∠AEF+ ∠BEG＝ （∠AEF+∠BEG）＝ （∠AEB+∠FEG），
∵∠AEB＝180°，∠FEG＝20°，
∴∠NEF+∠MEG＝ （180°+20°）＝100°，
∴∠MEN＝∠NEF+∠MEG﹣∠FEG＝100°﹣20°＝80°，
综上，∠MEN的度数为100°或80°，
故答案为：100°或80°．
17．（2分）（2021春•奉化区校级期末）一副三角板 AOB与COD如图1摆放，且∠A＝∠C＝90°，
∠AOB＝60°，∠COD＝45°，ON平分∠COB，OM平分∠AOD．当三角板COD绕O点顺时针旋转（从
图1到图2）．设图1、图2中的∠NOM的度数分别为α，β，α+β＝ 10 5 度．【思路引导】根据角平分线的意义，以及角的和与差，分别表示出∠MON，然后利用两个图形分别计
算α、β即可．
【完整解答】解：如图1，∵ON平分∠COB，OM平分∠AOD．
∴∠NOB＝∠CON＝ ∠BOC＝ （45°+∠BOD），
∠MOD＝∠MOA＝ ∠AOD＝ （60°+∠BOD），
∴∠MON＝α＝∠NOB+∠MOD﹣∠BOD＝ （45°+60°），
如图2，∵ON平分∠COB，OM平分∠AOD．
∴∠NOB＝∠CON＝ ∠BOC＝ （45°﹣∠BOD），
∠MOD＝∠MOA＝ ∠AOD＝ （60°﹣∠BOD），
∴∠MON＝β＝∠NOB+∠MOD+∠BOD＝ （45°+60°），
∴α+β＝45°+60°＝105°，
故答案为：105．
18．（2分）（2019秋•句容市期末）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝60°，
∠BOE＝ ∠BOC，∠BOD＝ ∠AOB，则∠DOE＝ （ ） °．（用含n的代数式表示）【思路引导】根据各个角之间的关系，设∠BOE＝x°，表示∠BOC、∠AOB、∠BOD，进而求出∠DOE
的大小即可．
【完整解答】解：设∠BOE＝x°，
∵∠BOE＝ ∠BOC，
∴∠BOC＝nx，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝60°+nx，
∵∠BOD＝ ∠AOB＝ （60°+nx）＝ +x，
∴∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE＝ +x﹣x＝ ＝（ ）°，
故答案为：（ ）．
19．（2分）1时10分时，钟表上时针与分针间的夹角为 锐 角；3时时，时针与分针间的夹角为
直 角；2时35分时，时针与分针间的夹角为 钝 角（填“锐”、“直”或“钝”）．
【思路引导】根据钟面平均分成12份，可得每份的度数，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，
可得答案．
【完整解答】解：∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴1时10分，时针与分针之间是 ×30°＝25°，是锐角；
3时，时针与分针之间是3×30°＝90°，是直角；
2时35分，时针与分针之间是（4+ ）×30°＝132.5°，是钝角．
故答案为：锐，直，钝．
20．（2分）（2021秋•市中区期末）点O为直线l上一点，射线OA、OB均与直线l重合，将射线OB绕
点O逆时针旋转α（0≤α≤90°），过点O作射线OC、OD、OM、OM，使得∠BOC＝90°，∠COD＝2α，∠COM＝ ∠AOC，∠CON＝ ∠COD（OM在∠AOC内部，ON在∠COD内部），当∠MON＝
α时，则α＝ 20 ° ．
【思路引导】由平角的定义可得∠AOC＝180°﹣∠BOC﹣α＝90°﹣α，由已知条件可得∠CON＝ ，
∠COM＝30°﹣ ，利用∠COM＝∠MON+∠CON，即可求得α．
【完整解答】解：由题意可得：∠AOC＝180°﹣∠BOC﹣α＝90°﹣α，
∵∠COD＝2α，∠COM＝ ∠AOC，∠CON＝ ∠COD，
∴∠CON＝ ，∠COM＝ （90°﹣α）＝30°﹣ ，
∵∠COM＝∠MON+∠CON，∠MON＝ α
∴30°﹣ ＝ α+ ，
解得：α＝20°．
故答案为：20°．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（4分）（2022春•泾阳县期末）如图，已知△ABC，请利用尺规作图法在AC上求作一点P，使得BP
平分∠ABC．（保留作图痕迹，不写作法）【思路引导】根据要求作出图形即可．
【完整解答】解：如图，点P即为所求．
22．（5分）（2022春•陈仓区期中）如图，点O在直线AB上，射线OC在直线AB的上方，OD，OE分
别平分∠AOC，∠BOC．
（1）若∠BOC＝50°，求∠DOE的度数；
（2）若∠BOC＝α°，求∠DOE的度数；
（3）当射线OC绕点O旋转时，∠DOE的度数会发生变化吗？如果不变，请写出理由．
【思路引导】（1）利用平角、角平分线计算即可；
（2）利用平角、角平分线计算即可；
（3）利用平角、角平分线计算即可．
【完整解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝130°，
∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOC＝ ＝65°，∠COE＝ ∠BOC＝25°，
∴∠DOC+∠BOC＝65°+25°＝90°，
即∠DOE＝90°；
（2）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOC＝α°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝（180﹣α）°，
∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOC＝ ＝ ，∠COE＝ ∠BOC＝ °，
∴∠DOC+∠BOC＝ + °＝
＝90°，
即∠DOE＝90°；
（3）不变化，不妨设∠BOC＝α°
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝（180﹣α）°，
∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOC＝ ＝ ，∠COE＝ ∠BOC＝ °，
∴∠DOC+∠BOC＝ + °
＝
＝90°，
即∠DOE＝90°．
23．（8分）（2021秋•寻乌县期末）图1是木工常用的“曲尺”，∠MON＝90°；现将曲尺顶点O放在直
线AB上，曲尺边OM、ON分别在直线AB的左边、右边，过O点在直线AB的左边作射线OC（如图
2）．
（1）如图2，当曲尺边OM恰好是∠BOC的平分线时，那么曲尺边ON所在的直线是否平分∠AOC，试
说明其理由．
（2）如图3，若OC是∠MOB的平分线，∠AOM＝a．
①∠CON＝ a （用含a的代数式表示）；
②当∠AOC＝ ∠BON，求∠AOM的度数．【思路引导】（1）反向延长射线ON得射线OG，由OM是∠BOC的平分线，得∠COM＝∠BOM，又
∠MON＝90°，即得∠BOM+∠BON＝90°，∠COM+∠COG＝90°，故∠BON＝∠COG，而∠BON＝
∠AOG，可知∠COG＝∠AOG，曲尺边ON所在的直线平分∠AOC；
（2）①由∠AOM＝a，得∠BOM＝180°﹣a，又OC是∠MOB的平分线，可得∠COM＝ ∠BOM＝90°
﹣ a，根据∠MON＝90°，即得∠CON＝90°﹣∠COM＝ a；
②根据OC是∠MOB的平分线，∠AOM＝a，得∠AOC＝∠AOM+∠MOC＝∠AOM+ ∠BOM＝90°+
a，又∠MON＝90°，得∠BON＝90°﹣∠MOB＝90°﹣（180°﹣∠AOM）＝a﹣90°，由∠AOC＝
∠BON，有90°+ a＝ （a﹣90°），解得∠AOM＝a＝130°．
【完整解答】解：（1）曲尺边ON所在的直线平分∠AOC，理由如下：
反向延长射线ON得射线OG，如图：
∵OM是∠BOC的平分线，
∴∠COM＝∠BOM，
∵∠MON＝90°，
∴∠BOM+∠BON＝90°，∠COM+∠COG＝90°，
∴∠BON＝∠COG，
∵∠BON＝∠AOG，
∴∠COG＝∠AOG，
∴曲尺边ON所在的直线平分∠AOC；
（2）①∵∠AOM＝a，
∴∠BOM＝180°﹣a，
∵OC是∠MOB的平分线，∴∠COM＝ ∠BOM＝90°﹣ a，
∵∠MON＝90°，
∴∠CON＝90°﹣∠COM＝ a；
故答案为： a；
②∵OC是∠MOB的平分线，∠AOM＝a，
∴∠AOC＝∠AOM+∠MOC＝∠AOM+ ∠BOM＝a+（90°﹣ a）＝90°+ a，
∵∠MON＝90°，
∴∠BON＝90°﹣∠MOB＝90°﹣（180°﹣∠AOM）＝90°﹣（180°﹣a）＝a﹣90°，
∵∠AOC＝ ∠BON，
∴∠AOC＝ （a﹣90°），
∴90°+ a＝ （a﹣90°），
解得a＝130°，
∴∠AOM＝a＝130°．
24．（8分）（2021秋•东至县期末）已知∠AOB＝60°，
（1）如图1，OC为∠AOB内部任意一条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON＝ 30 °
；
（2）如图2，当OC转到∠AOB的外部时，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，（1）中的结论还成立吗？
请说明理由．
（3）如图 3，当 OC旋转到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部且射线 OC在OB的下方时，OM平分
∠AOC，射线ON在∠BOC内部，∠NOC＝ ∠BOC，求∠COM﹣ ∠BON的度数．【思路引导】（1）先利用角平分线的性质得到∠MOC＝ ∠AOC，∠NOC＝ ∠BOC，再利用∠MON
＝∠COM+∠CON计算；
（2）根据角平分线的性质并结合∠MON＝∠COM﹣∠CON解答即可；
（3）根据题意得到∠COM＝ ∠AOC，∠BON＝ ∠BOC，再利用∠COM﹣ ∠BON计算，即可解答．
【完整解答】解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝60°，
∴∠MOC＝ ∠AOC，
∴∠NOC＝ ∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝ ∠BOC+ ∠AOC＝ ∠AOB＝ ×60°＝30°．
故答案为：30°；
（2）不变，
当OC旋转到∠AOB的外部时，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝60°，
∴∠MOC＝ ∠AOC，
∴∠NOC＝ ∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝ ∠AOC﹣ ∠BOC＝ ∠AOB＝ ×60°＝30°．
∴∠MON的度数不会发生变化；
（3）当OC旋转到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部且射线OC在OB的下方时，
∵OM平分∠AOC，∠NOC＝ ∠BOC，∴∠COM＝ ∠AOC，∠BON＝ ∠BOC，
∴∠COM﹣ ∠BON＝ ∠AOC﹣ × ∠BOC＝ ∠AOC﹣ ∠BOC＝ ∠AOB＝30°．
25．（8分）（2022春•南岗区期末）已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角
中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．
（1）一个角的平分线 是 这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”）
（2）如图，∠MPN＝60°．
①若射线PQ是∠MPN的奇妙线，则∠QPN的度数为 20 ° 或 30 ° 或 40 ° 度；
②射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3°45'的速度绕点P按逆时针方向旋转，当
∠FPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线PM是∠FPN的奇妙线？
【思路引导】（1）根据奇妙线定义即可求解；
（2）①分3种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可；
②分3种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可．
【完整解答】解：（1）一个角的平分线是这个角的“奇妙线”；
故答案为：是．
（2）①若∠MPN＝60°，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则由“巧分线”的定义可知有三种情况符
合题意：
当∠NPQ＝2∠MPQ时，∠QPN＝40°，
当∠MPQ＝2∠NPQ时，∠QPN＝20°，
当∠NPM＝2∠MPQ时，∠QPN＝30°，
故答案为：20°或30°或40°；
②依题意有，3°45′＝3.75°，
当3.75t＝60+ ×60时，
解得t＝24；
当3.75t＝2×60时，解得t＝32；
当10t＝60+2×60时，
解得t＝48．
故当t为24或32或48时，射线PM是∠FPN的“奇妙线”；
26．（9分）（2021秋•滨海县期末）【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝ ∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．
例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝ ∠AOB，称射线OC是射
线OA的友好线；同时，由于∠BOD＝ ∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝ 4 0 °；
（2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线
OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．（直接写出答案）
【思路引导】（1）根据新定义直接可得答案；
（2）①分两种情况：在 OC、OD相遇前，180°﹣3t﹣2t＝40°，在OC、OD相遇后，3t+2t﹣180°＝
40°，即可解得答案；
②分4种情况：相遇之前，（Ⅰ）OC是OA的友好线时，∠AOC＝ ∠AOD，即2t＝ （180°﹣3t），
（Ⅱ）OC是OD的友好线时，∠DOC＝ ∠AOD，即180°﹣3t﹣2t＝ （180°﹣3t），相遇之后：
（Ⅲ）OD是OC的友好点∠COD＝ ∠AOC，即3t+2t﹣180°＝ ×2t，（Ⅳ）OD是OA的友好点，∠AOD＝ ∠AOC，即180°﹣3t＝ ×2t，分别解方程即可．
【完整解答】解：（1）∵射线OM是射线OA的友好线，
∴∠AOM＝ ∠AOB＝40°，
故答案为：40°；
（2）射线OD与射线OA重合时，t＝60（秒），
①存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，有两种情况：
在OC、OD相遇前，180°﹣3t﹣2t＝40°，
∴t＝28；
在OC、OD相遇后，3t+2t﹣180°＝40°，
∴t＝44，
综上所述，当t为28秒或44秒时，∠COD的度数是40°；
②相遇之前，
（Ⅰ）如图：
OC是OA的友好线时，
∠AOC＝ ∠AOD，即2t＝ （180°﹣3t），
∴t＝20；
（Ⅱ）如图：
OC是OD的友好线时，
∠DOC＝ ∠AOD，即180°﹣3t﹣2t＝ （180°﹣3t），∴t＝30；
相遇之后：
（Ⅲ）
OD是OC的友好点
∠COD＝ ∠AOC，即3t+2t﹣180°＝ ×2t，
∴t＝ ，
（Ⅳ）
OD是OA的友好点，
∠AOD＝ ∠AOC，即180°﹣3t＝ ×2t，
∴t＝ ，
综上所述，当t为20秒或30秒或 秒或 秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条
射线的友好线．
27．（8分）（2021秋•孟村县期末）以直线AB上一点O为端点，在直线AB的上方作射线OC，使∠BOC
＝50°，将一个直角三角板DOE的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°，且直角三角板DOE在直线AB
的上方．
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE在射线OA上，则∠COD＝ 40 ° ；
（2）如图2，直角三角板DOE的边OD在∠BOC的内部．
①若OE恰好平分∠AOC，求∠COE和∠BOD的度数；②请直接写出∠COE与∠BOD之间的数量关系；
（3）若 ，求此时∠BOD的度数．
【思路引导】（1）根据两个角互为余角，求出∠COD的度数；
（2）①根据平角定义先求出∠AOC，根据角平分线的定义得 ，进而求
出∠BOD；
②根据角的和差关系求出∠COE与∠BOD之间的数量关系；
（3）分两种情况分别论述：第一种情况，如图②，当∠COD在∠BOC的内部时，第二种情况，如图③，
当∠COD在∠BOC的外部时，分别计算．
【完整解答】解：（1）∵∠DOE＝90°，
∴∠DOB＝90°，
∵∠BOC＝50°，
∴∠COD＝40°，
故答案为：40°；
（2）如图②
①∵∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝180°﹣50°＝130°，
∵OE恰好平分∠AOC，
∴ ，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOE﹣∠DOE＝25°；
②∠COE与∠BOD之间的数量关系为：∠COE﹣∠BOD＝40°；
∵∠COD＝∠BOC﹣∠BOD，∠COD+∠COE＝90°，
∴∠BOC﹣∠BOD+∠COE＝90°，
∴∠COE﹣∠BOD＝90°﹣∠BOC．
∵∠BOC＝50°，∴∠COE﹣∠BOD＝40°；
（3）第一种情况，如图②，当∠COD在∠BOC的内部时，
∵∠COD＝∠BOC﹣∠BOD，∠BOC＝50°，
∴∠COD＝50°﹣∠BOD．
∵∠AOE+∠DOE+∠BOD＝180°，∠DOE＝90°，
∴∠AOE＝90°﹣∠BOD．
∵ ，
∴ ，
∴∠BOD＝30°；
第二种情况，如图③，当∠COD在∠BOC的外部时，
∵∠COD＝∠BOD﹣∠BOC，∠BOC＝50°，
∴∠COD＝∠BOD﹣50°．
∵∠AOE+∠DOE+∠BOD＝180°，∠DOE＝90°，
∴∠AOE＝90°﹣∠BOD．
∵ ，
∴ ，
∴∠BOD＝60°．
综上所述，∠BOD的度数为30°或60°．
28．（10分）（2021秋•海沧区期末）如图1，对于线段AB和∠A′OB′，点C是线段AB上的任意一点，射线OC′在∠A′OB′内部，如果 ＝ ，则称线段AC是∠A′OC′的伴随线段，∠A′OC′是线段
AC的伴随角．例如：AB＝10，∠A′OB′＝100°，若AC＝3，则线段AC的伴随角∠A′OC′＝30°．
（1）当AB＝8，∠A′OB′＝130时，若∠A′OC′＝65，试求∠A′OC′的伴随线段AC的长．
（2）如图2，对于线段AB和∠A′OB′，AB＝6，∠A′OB′＝120．若点C是线段AB上任一点，E，F分别
是线段AC，BC的中点，∠A′OE′，∠A′OC′，∠A′OF′分别是线段AE，AC，AF的伴随角，则在点C从A
运动到B的过程中（不与A，B重合），∠E′OF′的大小是否会发生变化？如果会，请说明理由；如果不
会，请求出∠E′OF′的大小．
（3）如图3，已知∠AOC是任意锐角，点M，N分别是射线OA，OC上的任意一点，连接MN，∠AOC
的平分线OD与线段MN相交于点Q．对于线段MN和∠AOC，线段MP是∠AOD的伴随线段，点P和
点Q能否重合？如果能，请举例并用数学工具作图，再通过测量加以说明；如果不能，请说明理由．
【思路引导】（1）根据伴随角和伴随线段的定义定义列出等式即可求解；（2）由中点的定义可得EF＝ AB，再利用伴随角和伴随线段的定义列出等式，可得出结论；
（3）由伴随角和伴随线段的定义可得，点P和点Q重合时，是MN的中点，画出图形，测量即可．
【完整解答】解：（1）由伴随角和伴随线段的定义可知， ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴AC＝4．
（2）不会，∠E′OF′＝60°．理由如下：
∵点E，F分别是线段AC，BC的中点，
∴EC＝ AC，CF＝ BC，
∴EF＝ AB＝3．
∵∠A′OE′，∠A′OC′，∠A′OF′分别是线段AE，AC，AF的伴随角，
∴ ＝ ， ＝ ， ＝ ，
∵EF＝AF﹣AE，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ＝ ＝ ，
∵∠A′OB′＝120°，
∴∠E′OF′＝60°．
（3）能，理由如下：
∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠AOD＝ ∠AOC，
∵线段MP是∠AOD的伴随线段，
∴ ＝ ＝ ．即点P是MN的中点．
若点P和点Q重合，则点Q为MN的中点．
根据题意画出图形如下所示：测量得出当点P和点Q重合时，NP＝MQ＝1.25cm．
