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专题01 三角形的高线和角分线结合
类型一 从一个顶点出发的高线和角分线
1．如图，在 中， 、 分别是 的高和角平分线， ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)试用 、 的代数式表示 的度数_________．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACB的值，再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出
∠DCE．
（2）由（1）的解题思路即可得正确结果．
(1)
解： ，
，是 的平分线，
．
是高线，
，
，
．
(2)
解： ，
，
是 的平分线，
．
是高线，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查角平分线，高线以及角的转换，掌握角平分线，高线的性质是解题的关键．
2．如图，在三角形ABC中， ，AE平分∠BAC， ， ．
(1)∠BAE的度数是______．
(2)∠DAE的度数是______．
(3)探究：如果把条件 ， 改成 ，你认为能得出∠DAE的度数吗？若能，请
你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【答案】(1)50°
(2)20°
(3)能，过程见解析【解析】
【分析】
(1)根据三角形内角和定理得∠BAC，然后根据角平分线定义得∠BAE= ∠BAC，即可；
(2)由于AD⊥BC，则∠ADE=90°， 根据三角形外角性质得∠ADE= ∠B+∠BAD，所以∠BAD=90°-∠B，然后
利用∠DAE= ∠BAE-∠BAD进行计算；
(3)根据三角形内角和定理得∠BAC，再根据角平分线定义得∠BAE，加上∠ADE=∠B+∠BAD=90°，则
∠BAD=90°-∠B，然后利用角的和差得∠DAE=∠BAE-∠BAD，即可求得∠DAE的度数等于∠B与∠C差的一
半，即可求解；（本题方法不唯一）；
(1)
∵∠B+∠C+∠BAC = 180°
∴∠BAC = 180°-∠B-∠C= 180°- 60°- 20°= 100°，
∵ AE平分∠BAC，
∴∠BAE= ∠BAC= 50°
(2)
∵AD⊥BC
∴∠ADE= 90°，
而∠ADE=∠B+∠BAD，
∠BAD= 90°-∠B= 90°- 60°=30°
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD= 50°- 30°= 20°
(3)
能得出∠DAE的度数．
（解法1）设 ，则 ，
∴ ．
∵AE平分∠BAC，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，∴ ．
（解法2）∵ ，
∴ ．
∵AE平分∠BAC，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线的定义，角的和差，三角形的外角的性质，解题的关
键是理解并熟悉三角形的内角和定义，以及掌握角三角形的角平分线的定义．
3．如图，在 中， ， 平分 ，若 ， ，求 的度数？
【答案】30
【解析】 °
【分析】
根据AE平分∠BAC，可得∠BAE=∠EAC，由∠1=40°，∠2=20°，可求得∠EAD的度数，在直角三角形
ABD在利用两锐角互余，即可求解．
【详解】
解：∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠EAC=∠EAD+∠2，
∴∠EAD=∠1-∠2=40°-20°=20°，
在Rt△ABD中，∠B=90°-∠BAD=90°-40°-20°=30°．
【点睛】
本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；求得∠EAD的度数是正确解答本题的关键．
4．如图，AD、AE分别是 ABC的角平分线和高线.
(1) 若∠B＝50°，∠C＝60△°，求∠DAE的度数；
（2）若∠C ＞∠B，猜想∠DAE与∠C-∠B之间的数量关系，并加以证明.
【答案】（1）5°；（2）∠ DAE = (∠C-∠B). 证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）先根据三角形内角和得到∠CAB=180°-∠B-∠C=70°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAD=
∠CAB=35°，∠AEC=90°，则∠CAE=90°-∠C=30°，然后利用∠DAE=∠CAD-∠CAE计算即可．
（2）根据题意可以用∠B和∠C表示出∠CAD和∠CAE，从而可以得到∠DAE与∠C-∠B的关系．
【详解】
(1)在 ABC中,∵∠B=50°,∠C=60°,
∴∠BA△C=180°-50°-60°=70°.
∵AD是∠BAC的角平分线,
∴∠BAD=∠DAC= ∠BAC=35°.
又∵AE是BC上的高,
∴∠AEC=90°.
在 CAE中,∠CAE=90°-∠C=90°-60°=30°,
∴∠△DAE=∠CAD-∠CAE=35°-30°=5°.
（2）∠ DAE = (∠C-∠B).证明如下：
∵AE是 ABC的高，
∴∠AEC△=90°，
∴∠EAC=90°-∠C，
∵AD是 ABC的角平分线，
△
∴∠DAC= ∠BAC.
∵∠BAC=180°-∠B-∠C，
∴∠DAC= (180°-∠B-∠C) ，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC
= (180°-∠B-∠C) - (90°-∠C)
= (∠C-∠B)
【点睛】
本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求
问题需要的条件．
5．如图，在 中， 为边 上的高，点 为边 上的一点，连接 ．
（1）当 为边 上的中线时，若 ， 的面积为30，求 的长；
（2）当 为 的角平分线时，若 ， ，求 的度数．
【答案】（1）5；（2）15°
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的面积公式求出BC即可解决问题；
（2）先根据三角形内角和求得∠BAC的度数，再根据AD平分∠BAC，AE⊥BC，求得∠BAE，∠BAD的度
数，最后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD计算即可．
【详解】解：（1）∵AE⊥BC，AE=6，△ABC的面积为30，
∴ ×BC×AE=30，
∴ ×BC×6=30，
∴BC=10，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD= BC=5；
（2）∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-36°-66°=78°
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD= ∠BAC=39°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=90°-∠B=54°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=54°-39°=15°．
【点睛】
本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中基础题．
6．如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．
（1）当AD为边BC上的中线时．若AE=4，△ABC的面积为24，求CD的长；
（2）当AD为∠BAC的角平分线时．
①若∠C =65°，∠B =35°，求∠DAE的度数；
②若∠C-∠B =20°，则∠DAE = °．
【答案】（1）6 ；（2）①15°；②10．
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的面积公式求出BC即可解决问题；（2）①根据三角形内角和求出∠BAC和∠CAE的度数，然后根据角平分线的定义求得∠CAD的度数，从而
求解；
②设∠C=x°，则∠B=（x+20）°，然后根据三角形内角和用含x的式子表示出∠BAC和∠CAE的度数，然后
根据角平分线的定义求得∠CAD的度数，从而求解．
【详解】
解：（1）由题意可知：AE⊥BC，AE=4，△ABC的面积为24，
∴ ×BC×AE=24，
∴ ×BC×4=24，
∴BC=12，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD= BC=6，
（2）①在△ABC中，∠BAC=180°-∠C-∠B =80°，
在△AEC中，∵AE⊥BC
∴∠CAE=180°-90°-∠C=25°
∵AD为∠BAC的角平分线
∴∠CAD=
∴∠DAE的度数为∠CAD -∠CAE =15°
②设∠C=x°，则∠B=（x+20）°
在△ABC中，∠BAC=180°-∠C-∠B =（160-2x）°，
在△AEC中，∵AE⊥BC
∴∠CAE=180°-90°-∠C=（90-x）°
∵AD为∠BAC的角平分线
∴∠CAD=
∴∠DAE的度数为∠CAE- ∠CAD =10°
故答案为：10．
【点睛】
本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中基础题．7．△ABC中， AD为∠BAC的平分线，AF为BC边上的高．
（1）若∠B=38°，∠C=76°，求∠DAF的度数．
（2）若∠B=m°，∠C=n°，（m
