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专题 11.4 三角形的外角性质
【典例1】阅读下面的材料，并解决问题．
（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下
列角度的度数．
如图1，∠O＝ ；如图2，∠O＝ ；如图3，∠O＝ ；
如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O ，O ，连接O O ，则∠BO O ＝ ．
1 2 1 2 2 1
1
（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+ ∠A．
2
（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O ，O ，若∠1＝115°，∠2＝
1 2
135°，求∠A的度数．
【思路点拨】
（1）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是内角平分线或外角平分线，
利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案；
（2）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是角平分线，利用角平分线的
定义及三角形内角和定理可证得结论；
（3）先分别求出∠ABC与∠ACB的度数，即可求得∠A的度数．【解题过程】
解：（1）如图1，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB
2 2
∴∠OBC+∠OCB
1
= （∠ABC+∠ACB）
2
1
= （180°﹣∠BAC）
2
1
= （180°﹣60°）
2
＝60°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°；
如图2，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCD= ∠ACD
2 2
∵∠ACD＝∠ABC+∠A
1
∴∠OCD= （∠ABC+∠A）
2
∵∠OCD＝∠OBC+∠O
∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC
1 1 1
= ∠ABC+ ∠A− ∠ABC
2 2 2
1
= ∠A
2
＝30°
如图3，∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD
1 1
∴∠OBC= ∠EBC，∠OCB= ∠BCD
2 2
∴∠OBC+∠OCB
1
= （∠EBC+∠BCD）
21
= （∠A+∠ACB+∠BCD）
2
1
= （∠A+180°）
2
1
= （60°+180°）
2
＝120°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60°
如图4，∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O ，O
1 2
2 2
∴∠O
2
BC= ∠ABC，∠O
2
CB= ∠ACB，O
1
B平分∠O
2
BC，O
1
C平分∠O
2
CB，O
2
O
1
平分BO
2
C
3 3
∴∠O
2
BC+∠O
2
CB
2
= （∠ABC+∠ACB）
3
2
= （180°﹣∠BAC）
3
2
= （180°﹣60°）
3
＝80°
∴∠BO
2
C＝180°﹣（∠O
2
BC+∠O
2
CB）＝100°
1
∴∠BO
2
O
1
= ∠BO
2
C＝50°
2
故答案为：120°，30°，60°，50°；
（2）证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
2 2
∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
1
＝180°− （∠ABC+∠ACB）
2
1
＝180°− （180°﹣∠A）
2
1
＝90°+ ∠A．
2
（3）∵∠O BO ＝∠2﹣∠1＝20°
2 1∴∠ABC＝3∠O
2
BO
1
＝60°，∠O
1
BC＝∠O
2
BO
1
＝20°
∴∠BCO
2
＝180°﹣20°﹣135°＝25°
∴∠ACB＝2∠BCO
2
＝50°
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°
或由题意，设∠ABO ＝∠O BO ＝∠O BC＝α，∠ACO ＝∠BCO ＝β，
2 2 1 1 2 2
∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°
∴α＝20°，β＝25°
∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，
∴∠A＝70°．
1．（2021秋•双流区期末）如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，
连接DE．则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＞∠D B．∠D＞∠2 C．∠1＝∠2+∠3 D．∠3＝∠A
2．（2020秋•秦都区期末）如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分
线交AB于点D，∠MAC是△ABC的外角，若∠MAC＝α，∠EFC＝β，∠ADC＝γ，则α、β、γ三者间的数
量关系是（ ）
A．β＝α+γ B．β＝2γ﹣α C．β＝α+2γ D．β＝2α﹣2γ
3．（2021 秋•饶平县校级期中）如图，已知∠BOF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 为多少度
（ ）A．360° B．720° C．540° D．240°
4．（2021秋•江津区期末）将一副直角三角板按如图放置，使两直角重合，则∠1的度数为 ．
5．（2021春•松北区期末）已知AH为△ABC的高，若∠B＝40°，∠ACH＝65°，则∠BAC的度数为
°．
6．（2021秋•江岸区校级月考）如图，∠ABD的平分线与∠ACD的平分线相交于P．若∠A＝50°，∠D＝
10°，则∠P＝ ．
7．（2020秋•涿州市期中）如图，已知∠C＝54°，∠E＝30°，∠BDF＝130°，求∠A的度数．
8．（2020秋•成安县期末）如图，一条直线分别交△ABC的边及延长线于D、E、F，∠A＝20°，∠CED＝100°，∠ADF＝35°，求∠B的大小．
9．（2021秋•成都期末）如图，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB
的度数．
10．（2021秋•信州区校级期中）如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分
别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．
（1）求∠DBE的度数．
（2）若∠A＝70°，求∠D的度数．
11．（2021秋•朝阳期中）（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究∠ADB与∠A、∠B、∠C
的数量关系并给出证明；
（2）模型应用：如图2，DE平分∠ADB，CE平分∠ACB，∠A＝24°，∠B＝66°，请直接写出∠E的度数．12．（2020秋•白银期末）（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．
13．（2021秋•西吉县期中）已知：如图，∠MON＝90°，点A、B分别在射线OM、ON上移动（不与点O
重合），AC平分∠MAB，AC的反向延长线与∠ABO的平分线相交于点D．
（1）当∠ABO＝70°时、∠D的度数是多少？
（2）随着点A、B的移动，试问∠D的大小是否变化？请说出你的理由．
14．（2021春•海口期末）如图1，直线m与直线n垂直相交于O，点A在直线m上运动，点B在直线n上
运动，AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线．（1）∠ACB＝ ；
（2）如图2，若BD是△AOB的外角∠OBE的角平分线，BD与AC相交于点D，点A、B在运动的过程中，
∠ADB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；
（3）如图3，过C作直线与AB交于F，且满足∠AGO﹣∠BCF＝45°，求证：CF∥OB．
15．（2021秋•南岗区期末）已知：三角形ABC，过点B作直线DE∥AC，∠C+∠CBD＝180°．
（1）如图1，求证AC⊥BC；
（2）如图2，AF平分∠BAC交直线DE于点F，BG平分∠ABC交AF于点G，求∠BGF的度数；
4
（3）如图3，在（2）的条件下，点H在直线DE上，连接AH，且∠FAH＝2∠BGF，若∠BAH﹣∠BAF=
5
∠BAC，求∠ABC的度数．
16．（2020秋•本溪期末）已知点A在射线CE上，∠BDA＝∠C．
（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC；
（2）如图2，若BD⊥BC，请证明∠DAE+2∠C＝90°；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠BAC＝∠BAD，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠DFE＝
8∠DAE时，求∠BAD的度数．（直接写出结果）17．（2021秋•恩施市期末）问题引入：
（1）如图1，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝ （用α
1 1
表示）；如图2，∠CBO= ∠ABC，∠BCO= ∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝ （用α表示）；
3 3
拓展研究：
1 1
（2）如图3，∠CBO= ∠DBC，∠BCO= ∠ECB，∠A＝α，猜想∠BOC度数（用α表示），并说明理由；
3 3
1
（3）BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点 O，∠CBO= ∠DBC，
n
1
∠BCO= ∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝ （直接写出答案）．
n18．（2021秋•锦州期末）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是
“邻BA三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝45°，若∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，则
∠BDC的度数为 ；
（2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻CB三分线，且∠BPC＝
135°，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的邻BC三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直
线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝60°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）19．（2020春•雨花区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是△ABC的角平分线，CD⊥AB，
垂足为D，延长CE与外角∠ABG的平分线交于点F．
（1）若∠A＝60°，求∠DCE和∠F的度数；
（2）若∠A＝n°（0＜n＜90），请直接写出∠DCE和∠F的度数（用含n的代数式表示）；
（3）若△FCB高FH和∠DCB的角平分线交于点Q，在（2）的条件下求∠CQH的度数（用含n的代数式
表示）．20．（2020春•海淀区校级期末）已知 AB∥CD，点M，N分别在直线AB、CD上，E是平面内一点，
∠AME和∠CNE的平分线所在的直线相交于点F．
（1）如图1，当E、F都在直线AB、CD之间且∠MEN＝80°时，∠MFN的度数为 ；
（2）如图2，当E在直线AB上方，F在直线CD下方时，探究∠MEN和∠MFN之间的数量关系，并证明
你的结论；
（3）如图3，当E在直线AB上方，F在直线AB和CD之间时，直接写出∠MEN和∠MFN之间的数量关
系 ．
