专题30和角平分线有关的计算（解析版）_初中数学人教版_7上-初中数学人教版_7上-初中数学人教版（旧版）赠送_07专项讲练

专题30 和角平分线有关的计算 1．已知 ， （1）如图1， 、 分别平分 和 ，若 ，则 是 3 8 ； （2）如图2， 、 分别平分 和 ，若 ，求 的度数（写推理过 程）． （3）若 、 分别平分 和 ， ，则 的度数是 （在稿纸上画图分析，直接填空）． 【解答】解：（1） ， 平分 ， ， ， ， 又 平分 ， ． （2） ， ， ， 又 、 分别平分 和 ， ， ， ， （3）分两种情况：当 时， ，当 时， ． 2．我们学过角的平分线的概念．类比给出新概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成 的两 个角的射线，叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条，例如：如图 1，若 ，则 是 的一条三分线．（1）如图1，若 ，若 ，求 的度数； （2）如图2，若 ，若 ， 是 的两条三分线． ①求 的度数； ②现以 为中心，将 顺时针旋转 度 得到 ，当 恰好是 的三分 线时，则求 的值． （3）如图3，若 ， 是 的一条三分线， ， 分别是 与 的平分线，将 绕点 以每秒 的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若射线 恰好是 的三分线，则此时 绕点 旋转的时间是多少秒？（直接写出答案即可， 不必说明理由） 【解答】解：（1） 是 的一条三分线，且 ， ， ； （2）①解： ， ， 是 的两条三分线，如图2①， ， ②现以 为中心，将 顺时针旋转 度 得到 ，当 恰好是 的三分 线时，分两种情况：当 是 的三分线，且 时，如图2②， ， ， ， 当 是 的三分线，且 时，如图2③， ， ， 或50． （3） 是 的一条三分线， ， 分别是 与 的平分线 可得 ， 或 ， 当 时， 绕点 旋转 或 时， 是 的一条三分线， 或 （秒 当 时， 绕点 旋转 或 时， 是 的一条三分线， 或 （秒 综上， 绕点 旋转的时间是25，26，28或29秒． 3．如图，已知 内部有三条射线， 平分 ， 平分 ． （1）若 ， ，求 的度数； （2）若 ，求 的度数（写出求解过程）； （3）若将条件中“ 平分 ， 平分 ．平分”改为“ ， ”，且 ，求 的度数（写出求解过程）． 【解答】解：（1） ， ，； 平分 ， 平分 ， ， ， ． （2） ， 平分 ， 平分 ， ． （3） ， ， ， ． 4．如图，已知 ， ． （1）求 的度数； （2）若射线 绕点 以每秒旋转 的速度顺时针旋转，同时射线 以每秒旋转 的速度逆 时针旋转，设旋转的时间为 秒 ，试求当 时 的值； （3）若 绕点 以每秒旋转 的速度逆时针旋转，同时 绕点 以每秒旋转 的速度 逆时针旋转，设旋转的时间为 秒 ， 平分 ， 平分 ，在旋转的过程 中， 的度数是否发生改变？若不变，求出其值：若改变，说明理由． 【解答】解：如图所示： （1）设 ，又 ， ， ， ， 又 ， 解得： ； （2） ， ， ， ①若线段 、 重合前相差 ，则有： ， 解得： ， ②若线段 、 重合后相差 ，则有： 解得： ， 又 ， 或 ； （3） 的度数不会发生改变， ，理由如下： 旋转 秒后， ， ， 、 分别平分 、 ， ． 5．根据阅读材料，回答问题．材料：如图所示，有公共端点 的两条射线组成的图形叫做角 ．如果一条射线 把 一个角 分成两个相等的角 和 ，这条射线 叫做这个角的平分线．这时， （或 ． 问题：平面内一定点 在直线 的上方，点 为直线 上一动点，作射线 ， ， ． 当点 在直线 上运动时，始终保持 ， ，将射线 绕点 顺时针 旋转 得到射线 ． （1）如图1，当点 运动到使点 在射线 的左侧时，若 平分 ，求 的度数； （2）当点 运动到使点 在射线 的左侧， 时，求 的值； （3）当点 运动到某一时刻时， ，直接写出此时 的度数． 【解答】解：（1）设 的度数为 ， 由题意可知： ， 因为 平分 ，所以 ， 所以 解得， ． 答： 的度数为 ． （2）①如图2， 当射线 在 内部时，设 的度数为 ， 由题意可知： ， ， ，， ， ， ， ， 解得， ； ②如图3， 当射线 在 外部时，设 的度数为 ， 由题意可知： ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ． ③如图，由题意可知： ， 设 ，则 ， ， 解得 ， ， ； 由题意可知： ， 设 ，则 ， ， 解得 ， ， ； 答； 的值为 或 或 或 ； （3）如图4，当 时，由图可得： ， 又 ， ， ； 如图5，当 时，由图可得： ， 又 ， ，； 当射线 在 下面时， 或 ． 综上所述： 的度数为 或 或 或 ． 6．我们已学习了角平分线的概念，那么你会用它们解决有关问题吗？ （1）如图1所示，将长方形笔记本活页纸片的一角折过去，使角的顶点 落在 处， 为折痕． 若 ，求 的度数． （2）在（1）条件下，如果又将它的另一个角也斜折过去，并使 边与 重合，折痕为 ， 如图2所示，求 的度数． 【解答】解：（1） ， ， ； （2）由（1）的结论可得 ， ， ， ， ． 7．如图，已知 ，以 为顶点， 为一边画 ，若 ， 与 的平分线分别为 ， ．（1）如图1，若射线 在 的内部，求 的度数． （2）如图2，若射线 在 的外部，求 的度数． （3）由（1）、（2）题结果中的规律，若把“ 改为 为锐角）”，其余条 件不变， 的度数会发生变化吗？若变化，请求 的度数；若不变，请说明理由． 【解答】解：（1） 平分 ， 平分 ， ， ， ， ， ． （2） 平分 ， 平分 ， ， ， ， ， ． （3） 的度数不会变化，理由如下： 若射线 在 的内部， 平分 ， 平分 ，， ， ， ， ． 若射线 在 的外部， 平分 ， 平分 ， ， ， ， ， ． 8．如图1， ， ， 平分 （1）若 ，则 4 0 （2）将 绕点 旋转至如图2位置，求 和 的数量关系 （3）在（2）的条件下，在 内部是否存在射线 ，使 ，且 ？ 若存在，求 的值，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1） ， ， ， 平分 ，， ， ， 故答案为40； （2） ， ； （3）存在．理由如下： ， 设 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 9．如图1，已知 ， ， 是 内部的一条射线，且 平分 ． （1）若 ，则 ； （2）若 ，则 ； （3）若 ，则 （用含 的式子表示）． （4）当射线 绕点 逆时针旋转到如图2的位置时，请把图补充完整；此时， 与 有怎样的数量关系？请说明理由．【解答】解：（1） ， ， ， 平分 ， ， ， ， ； 故答案为： ； （2） ， ， ， 平分 ， ， ； 故答案为： ； （3） ， ， ， 平分 ， ， ； 故答案为： ； （4）如图所示： ．证明：设 ，则 ， 又 平分 ， ． 即 ． 10．已知 ， ，若射线 绕点 在 内部旋转， 平分 ． （1）如图 1，当 时，请直接写出 和 的度数： 50 ； ； （2）请分别求出当 和 时， 的度数（利用备用图，画出图形并写出简要的 过程）； （3）若 ，请用含 的式子表示 的度数（直接写出结果）． 【解答】解：（1） ． 平分 ， ． ． 故答案为：50； ． （2）当 时，如图①所示：， ． 平分 ， ． ． 如图②所示：当 时． ， ， ． 平分角 ， ． ． 如图③所示：当 时． ， ， ． 平分角 ， ． ． 的度数为 或 ． （3）如图②所示：， ， ． 平分角 ， ． ． 如图③所示： ， ， ． 平分角 ， ． ． 综上所述， 或 ． 11．在数学的学习过程中，我们要不断地归纳，思考和迁移，这样才能提高我们解决问题的能力： 规律发现： 在学完《数轴》这节课后，小明的作业有两道小题，请你帮他把余下的两空完成： （1）点 表示的数是2，点 表示的数是6，则线段 的中点 表示的数为 4 ； （2）点 表示的数是 ，点 表示的数是7，则线段 的中点 表示的数为 ； 发现：点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，则线段 的中点 表示的数为 ． 直接运用： 将数轴按如图（1）所示从某一点开始折出一个等边三角形 ，设点 表示的数为 ，点 表示的数为 ， 表示的数为 ，则 值为 ，若将 从图中位置向右滚动，则 数字2014对应点将与 的顶点 重合．类比迁移： 如图（2）： ， ， ，若射线 绕 点每秒 的速度顺时针旋转， 射线 绕 点每秒 的速度顺时针旋转，射线 以每秒 的速度逆时针旋转，三线同时 旋转，当一条射线与直线 重合时，三条射线同时停止运动，问：运动几秒时，其中一条射 线是另外两条射线夹角的平分线？ 【解答】解：（1） 将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形 ，设点 表示的 数为 ，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ， ； ， 解得： ． 故 表示的数为： ， 点 表示的数为： ， 即等边三角形 边长为1， 数字2014对应的点与 的距离为： ， ， 从出发到2014点滚动672周后再滚动两次， 数字2014对应的点将与 的顶点 重合． 故答案为： ， ； （2） ， ， ， ， 经分析知2秒时 与 重合，所以在2秒以前设运动 秒时， 是 与 的角平分线， 解得 ． 经分析知2秒时 与 重合，2.25秒时 与 重合，所以在2秒到2.25秒间， 是 与 的角平分线，设运动 秒时， 3秒时 与 重合，所以在3秒以前设运动 秒时， 是 与 的角平分线， 解得 ．4秒时与 直线 重合，设3秒后4秒前运动 秒时 是 与 的角平分线， 解得 （舍去）． 故运动1.5秒， 秒或2.4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线． 12．已知 ， ． （1）如图1，当点 、 、 在同一条直线上时， 的度数是 ； 如图2，若 恰好平分 ，则 的度数是 ； （2）当 从图1的位置开始，绕点 逆时针方向旋转 ，作射线 平分 ，射线 平分 ，在旋转过程中，发现 的度数保持不变． ① 的度数是 ； ②请选择下列图3、图4、图5、图6四种情况中的两种予以证明． 【解答】解：（1） 点 、 、 在同一条直线上 平分 （2）① ②图4证明： 平分 ， 平分 ，图5证明： 平分 ， 平分 ， ． 13．已知 ， 是锐角， 平分 ， 平分 ． （1）如图1若 ，求 的度数？ （2）若射线 绕着点 运动到 的内部（如图 ，在（1）的条件下求 的度数； （3）若 ， ，请用含有 ， 的式子直接表示上 述两种情况 的度数．【解答】解：（1） 平分 ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ； （2）由（1）可知， ， ， ； （3） 平分 ， 平分 ， ， ， ， ， ， ． 如果射线 在 的外部，那么 ； 如果射线 在 的内部，那么 ． 14．已知 ，射线 从 出发，绕点 以 秒的速度逆时针旋转，旋转时间为 秒 ．射线 、 分别平分 、 ． （1）如图①，如果 秒，求 的度数； （2）如图①，若射线 旋转时间为 秒，求 的度数（用含 的代数式表示）； （3）射线 从 出发时，射线 也同时从 出发，绕点 以 秒的速度逆时针旋转，射 线 、 在旋转过程中 ，若 ，请你借助图②和备用图进行分析后，直接 写出 的值．【解答】解：（1）如图①，根据题意，得 ， 射线 平分 ， ， 答： 的度数为 ． （2）根据题意，得 射线 、 分别平分 、 ， ， ， ， 答： 的度数为 ． （3） 射线 、 分别平分 、 ， 根据题意，得 ， ①如图②：当 落在 和 之间时， ， ， 解得 ．②如图 当 落在 和 之间时， ， 解得 ． 当 时， 的值为 ， 当 时， 的值为 ． 答： 的值为 或 ． 15．已知如图1， 平分 ， 平分 ． （1）如果 ， ，那么 是多少度？ （2）如果 ， ，那么 是多少度？ （3）通过（1）、（2）的计算，你发现了什么？ （4）拓展： 如图2，已知点 是 的中点，点 是 的中点，试判断线段 与线段 的数量关系，并 说明理由．【解答】解（1） 平分 ， ， 平分 ， ， ， ； （2） 平分 ， ， 平分 ， ， ， ； （3）通过第（1）、（2）的计算，发现 ； （4）拓展： ，理由如下： 点 是 的中点， ， 点 是 的中点， ， ．16．【问题提出】已知 ， ， ，求 的度数． 【问题思考】聪明的小明用分类讨论的方法解决． （1）当射线 在 的内部时，①若射线 在 内部，如图1，可求 的度数， 解答过程如下：设 ， ， ， ， ， ， ， 问：当射线 在 的内部时，②若射线 在 外部，如图2，请你求出 的度数； 【问题延伸】（2）当射线 在 的外部时，请你画出图形，并求 的度数． 【问题解决】综上所述： 的度数分别是 ， ， 或 ． 【解答】解：（1）②如下图2所示， 设 ，则 ， ，， ， ， ． ； （2）当射线 在 外部时，根据题意，此时射线 靠近射线 ， ， ， 射线 的位置也只有两种可能； ①若射线 在 内部，如图3所示， ， ， ， ； ②若射线 在 外部，如图4所示， ， ，， ， ， ； 由上可得， 的度数分别是 ， ， ， ． 故答案为： ， ， 或 ． 17．如图1，将一副三角板的两个锐角顶点放到一块， ， ， ， 分 别是 ， 的角平分线． （1）当 绕着点 逆时针旋转至射线 与 重合时（如图 ，则 的大小为 ； （2）如图 3，在（1）的条件下，继续绕着点 逆时针旋转 ，当 时，求 的大小，写出解答过程； （3）在 绕点 逆时针旋转过程中， ． 【解答】解：（1） ， ， ， 分别是 ， 的角平分线， ， ， ． 故答案为： ； （2）当绕着点 逆时针旋转 ， 时， ， ， ， ， ； （3） ， ， ， 分别是 ， 的角平分线， ， ，， ， ， ； 当 在 、 的反向延长线形成的角的内部时， 同理， ， 综上所述： 或 ， 故答案是：37.5或142.5． 18．一副三角尺（分别含 ， ， 和 ， ， 按如图1所示摆放在量角器上，边 与量角器 刻度线重合，边 与量角器 刻度线重合 ，将三角 尺 绕量角器中心点 以每秒 的速度顺时针旋转，当边 与 刻度线重合时停止运动， 设三角尺 的运动时间为 ． （1）当 时，边 经过的量角器刻度线对应的度数是 9 0 度； （2）如图2，若在三角尺 开始旋转的同时，三角尺 也绕点 以每秒 的速度逆时针旋 转，当三角尺 停止旋转时，三角尺 也停止旋转， ． ①用含 的代数式表示： ； ；当 为何值时， ？ ②从三角尺 与三角尺 第一对直角边和斜边重叠开始起到另一对直角边和斜边重叠结束止 经过的时间 为 秒．【解答】解：（1）当 秒时，由旋转可知： 边 旋转的角度为： ， 边 经过的量角器刻度线对应的度数为： ， 故答案为： ； （2）① 三角尺 也绕点 以每秒 的速度逆时针旋转， ， ， ， 故答案为： ， ， 在三角尺 和三角尺 旋转前， ， 现在 ，分两种情况： 与 相遇前，则： ， 解得： ， 与 相遇后，则： ， 解得： ， 当 为秒5或5.5秒时， ；② ， ， 当 与 重合时， ， 当 与 重合时，即 与 共旋转了 ， ， ， 故答案为： ． 19．如图1，对于线段 和 ，点 是线段 上的任意一点，射线 在 内部， 如果 ，则称线段 是 的伴随线段， 是线段 的伴随角．例如： ， ，若 ，则线段 的伴随角 ． （1）当 ， 时，若 ，试求 的伴随线段 的长． （2）如图2，对于线段 和 ， ， ．若点 是线段 上任一点， ， 分别是线段 ， 的中点， ， ， 分别是线段 ， ， 的伴随 角，则在点 从 运动到 的过程中（不与 ， 重合）， 的大小是否会发生变化？如 果会，请说明理由；如果不会，请求出 的大小． （3）如图3，已知 是任意锐角，点 ， 分别是射线 ， 上的任意一点，连接 ， 的平分线 与线段 相交于点 ．对于线段 和 ，线段 是 的伴随 线段，点 和点 能否重合？如果能，请举例并用数学工具作图，再通过测量加以说明；如果不 能，请说明理由．【解答】解：（1）由伴随角和伴随线段的定义可知， ， ， ． （2）不会， ．理由如下： 点 ， 分别是线段 ， 的中点， ， ， ． ， ， 分别是线段 ， ， 的伴随角， ， ， ， ， ， ， ． （3）能，理由如下： 是 的平分线， ， 线段 是 的伴随线段，．即点 是 的中点． 若点 和点 重合，则点 为 的中点． 根据题意画出图形如下所示： 测量得出当点 和点 重合时， ． 20．已知 和 是直角． （1）如图1，当射线 在 的内部时，请探究 和 之间的关系，并说明理由． （2）如图 2，当射线 ， 都在 的外部时，过点 作射线 ， ，满足 ， ，求 的度数． （3）在（2）的条件下，在平面内是否存在射线 ，使得 ？若存在，求出 的度数；若不存在，请说明理由． 【解答】（1） ． 证明： 和 是直角， ， ， ， 同理： ， ，； （2）解：设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的度数为 ； （3）①当射线 在 内部时， ， ； ②当射线 在 外部时， ， ． ③当 在 外部且在直线 上方的时候求得的 超过180度，不合题意舍去． 综上所述， 的度数是 或 ．