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第 01 讲 三角形与角平分线模型（原卷版）
第一部分 几何模型+模型应用
几何模型一 三角形两内角平分线的夹角
1
例1 如图1，点P为△ABC的内角平分线BP与CP的交点，求证：∠BPC＝90°+ ∠A；
2
模型应用一
1．（2022春•江阴市校级月考）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝115°，则∠A＝（
）
A．50° B．45° C．65° D．70°
2．（2022春•沭阳县）如图，已知△ABC，点D，F分别在边AB，AC上运动，点E为平面上的一个动点．
当∠DEF＝∠A且点E恰在∠ABC与∠ACB的角平分线的交点处，若∠1+∠2＝140°，则∠BEC为（
）
A．120° B．125° C．130° D．135°
几何模型二 三角形一内角平分线和一外角平分线的夹角
例2 如图2，点P为△ABC内角平分线BP与外角平分线CP的交点，请探究∠BPC与∠A的关系；
学科网（北京）股份有限公司模型应用2
3．（2021秋•曲靖期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝128°，P是△ABC的内角∠ABC的平分线BP 与外
1
角∠ACE的平分线CP 的交点；P 是△BP C的内角∠P BC的平分线BP 与外角∠P CE的平分线CP 的
1 2 1 1 2 1 2
交点；P 是△BP C的内角∠P BC的平分线BP 与外角∠P CE的平分线CP 的交点；依次这样下去，则
3 2 2 3 2 3
∠P 的度数为（ ）
6
A．2° B．4° C．8° D．16°
4．（南安市月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是x轴正半轴上的动点，点B是y轴正半轴上的
动点，作射线AB，∠OAB的平分线与∠OBA的外角的平分线交于点C．
（1）当OA＝OB时，∠C的度数是 ．
（2）当点A、B分别在x轴和y轴正半轴上移动时，∠C的大小是否变化？请说明理由．
几何模型三 三角形两外角平分线夹角
例3 如图3，点P是△ABC的外角平分线BP与CP的交点，请探究∠BPC与∠A的关系．
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司模型应用3
5．（2022春•渠县校级期中）如图，点F，C在射线AN上，点B，E在射线AM上，∠MEF与∠NFE的角
平分线交于点G，∠MBC与∠NCB的角平分线交于点P．若∠G＝67°，那么∠P＝ °．
几何模型四 蝴蝶型两角平分线夹角
例4 如图所示，AB，CD相交于点E，CF，BF分别为∠ACD和∠ABD的平分线且相交于点F，求证：∠F
1
= （∠A+∠D）．
2
模型应用4
6．如图，AC，BD相交于点O，BP，CP分别平分∠ABD，∠ACD，且交于点P．
（1）若∠A＝70°，∠D＝60°，求∠P的度数；
（2）试探索∠P与∠A，∠D间的数量关系；
（3）若∠A：∠D：∠P＝2：4：x，求x的值；
（4）若BP、CP分别为∠ABD、∠ACD的外角平分线，则∠P与∠A、∠D的关系为 ．
学科网（北京）股份有限公司几何模型五 燕尾形两角平分线夹角
例5 如图，BP，CP分别平分∠ABD，∠ACD，它们交于点P.求证:∠P＝ (∠A＋∠D).
A
P
D
B C
模型应用5
7．（2022春•宜兴市校级月考）如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＞∠D，∠ACD﹣
∠ABD＝64°，∠P＝18°，则∠A的度数为（ ）
A．50° B．46° C．48° D．80°
8．（2021春•武侯区校级月考）已知，如图，在△ABC，∠A＝60°，若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点
O ，则∠BO C＝ °；若∠ABO 和∠ACO 的角平分线交于点O ，∠ABO 和∠ACO 的角平分线交
1 1 1 1 2 2 2
于点O ，则∠BO C＝ °．
3 3
几何模型六 三角形一内角平分线与一高的夹角
例6 （2022春•金牛区校级期中）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，若∠B＝48°，∠C
＝68°，则∠DAE的度数是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．10° B．12° C．14° D．16°
模型应用6
9．（2021秋•湖州期末）如图，在△ABC中，AE是△ABC的角平分线，D是AE延长线上一点，DH⊥BC
于点H．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠EDH＝ ．
第二部分 专题提优训练
1．（2022春•海淀区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交
A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
2．（2022春•仪征市期中）如图，∠AOB＝60°，点M、N分别在OA、OB上运动（不与点O重合），ME
平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M、N的运动过程中，∠F的度数（
）
A．变大 B．变小 C．等于45° D．等于30°
3．（2022春•宜兴市校级月考）在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点 F在CA的延长线上，
FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H，下列结论：
①∠DBE＝∠EFH；
学科网（北京）股份有限公司②2∠BEF＝∠BAF+∠C；
③2∠EFH＝∠BAC﹣∠C；
④∠BGH＝∠ABE+∠C．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022•雁塔区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的外角∠BAD的平分线，BF平
分∠ABC与AE的反向延长线相交于点F，则∠BFE为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
5．（2021秋•虎林市期末）把一副三角板ABC与BDE按如图所示的方式拼接在一起，其中A、D、B三点
在同一条直线上，BM为∠ABC的角平分线，BN为∠CBE的角平分线．下列结论：①∠MBN＝45°，
②∠BNE＝∠BMC，③∠EBN＝65°，④2∠NBD＝∠CBM，其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021秋•泗水县期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线相交于点D，∠A
＝44°，则∠D的度数是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．44° B．24° C．22° D．20°
7．（2021秋•任城区期末）如图，点O是△ABC内一点，∠A＝60°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的
角平分线，则∠BOC等于（ ）
A．110° B．120° C．130° D．无法确定
8．（2021秋•莱阳市期末）如图，F是△ABC的角平分线CD和BE的交点，CG⊥AB于点G．若∠ACG＝
32°，则∠BFC的度数是（ ）
A．119° B．122° C．148° D．150°
9．（2021秋•临漳县期末）BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP
＝50°，则∠P＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
10．（2021秋•武冈市期末）如图，已知P是三角形ABC内一点，∠BPC＝120°，∠A＝70°，BD是∠ABP
的角平分线，CE是∠ACP的角平分线，BD与CE交于点F，则∠BFC等于（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．100° B．90° C．85° D．95°
11．（2022春•宜兴市校级月考）如图，∠A＝45°，∠BCD＝135°，∠AEB与∠AFD的角平分线交于点
P，下列结论：①EP⊥FP；②∠AEB+∠AFD＝∠P；③∠A＝∠PEB+∠PFD．其中正确的有（ ）
个．
A．0 B．1 C．2 D．3
12．（2022春•碑林区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝56°，AE，AD分别是角平分线和
高，则∠DAE的度数是 ．
13．（2022•灞桥区校级二模）三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是
．
14．（2021秋•威县期末）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线．
（1）若∠B＝47°，∠C＝73°，则∠DAE的度数为 ．
（2）若∠B＝ °，∠C＝ °（ ＜ ），用含 、 的代数式表示∠DAE的度数＝ ．
α β α β α β
学科网（北京）股份有限公司15．（2021秋•金台区期末）如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于 D ，
1
∠ABD 与∠ACD 的
1 1
角平分线交于点D ，则∠BD C的度数是 ．
2 2
16．（2021秋•江油市期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画
出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB
的度数是定值．这个定值为 ．
17．（2021秋•黄石期末）如图，△ABC的内角∠ABC的平分线BP与外角∠ACD的平分线CP交于点P，
连接AP，若∠BPC＝46°，则∠CAP＝ °．
18．（2022春•源城区月考）如图，BE、CE分别为△ABC的内、外角平分线，BF、CF分别为△EBC的内、
外角平分线，若∠A＝52°，则∠BFC＝ 度．
学科网（北京）股份有限公司19．（2022春•射阳县期中）如图，△ABC的角平分线 CD、BE相交于 F，∠A＝90°，EG∥BC，且
CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝45°；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分
∠BCG．其中正确的结论是 （填序号）．
20．（2021秋•西安期末）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角
∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论 ①∠1＝2∠2，
②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2，正确的是 ．（把所有正确的结论
的序号写在横线上）
21．（2021秋•开江县期末）已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝
30°，∠C＝50°．则∠DAE＝ 10 ° ．
22．（2022春•达川区校级期中）如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，O为三条角平分线的交点，则∠BOC
＝ 度．
学科网（北京）股份有限公司23．（2022春•碑林区校级期中）如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线．
（1）若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）若∠DAE＝15°，求∠C﹣∠B的大小．
学科网（北京）股份有限公司24．（2022春•滨海县校级月考）【情景引入】
1
（1）如图1，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线，说明∠D＝90°+ ∠A的理由．
2
【深入探究】
（2）①如图2，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量
关系是 ；
②如图3，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，探究∠D与∠A之间
的等量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）请用以上结论解决下列问题：如图4，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、
Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、
∠ECQ．
①∠A＝80°，则∠F的度数为 ；
②∠F＝n°，则∠A的度数为 ．
学科网（北京）股份有限公司25．（海珠区期末）在平面直角坐标系中，点A（a，b）是第四象限内一点，AB⊥y轴于B，且B（0，b）
是y轴负半轴上一点，b2＝16，S△AOB ＝12．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）如图1，点D为线段OA（端点除外）上某一点，过点D作AO垂线交x轴于E，交直线AB于F，
∠EOD、∠AFD的平分线相交于N，求∠ONF的度数．
（3）如图2，点D为线段OA（端点除外）上某一点，当点D在线段上运动时，过点D作直线EF交x
轴正半轴于E，交直线AB于F，∠EOD，∠AFD的平分线相交于点N．若记∠ODF＝ ，请用 的式子
表示∠ONF的大小，并说明理由． α α
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