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第 23 讲 因式分解应用的七类题型（原卷版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 有关求未知系数
典例1（2022春•东台市期中）若关于x的二次三项式x2+2（m﹣3）x+16可用完全平方公式分解因式，则
m的值为 ．
思路引领：根据完全平方公式，进行计算即可解答．
解：由题意得：
x2+2（m﹣3）x+16＝（x±4）2，
∴x2+2（m﹣3）x+16＝x2±8x+16，
∴2（m﹣3）＝±8，
∴m﹣3＝±4，
∴m＝7或m＝﹣1，
故答案为：7或﹣1．
解题秘籍：本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
典例2（2021•杭州模拟）若多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，则m的值是 ．
思路引领：设另一个因式是x+a，根据已知得出（x2﹣x+2）（x+a）＝x3+x+m，再进行化简，即可求出
a、m值．
解：∵多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，
∴设另一个因式是x+a，
则（x2﹣x+2）（x+a）＝x3+x+m，
∵（x2﹣x+2）（x+a）
＝x3+ax2﹣x2﹣ax+2x+2a
＝x3+（a﹣1）x2+（﹣a+2）x+2a，
∴a﹣1＝0，2a＝m，
解得：a＝1，m＝2，
故答案为：2．
解题秘籍：本题考查了因式分解的定义和多项式乘以多项式法则，能得出关于 a、m的方程是解此题的
关键．
针对训练1
1．（2022春•郫都区期中）如果x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），那么nm的值为 ．
25
思路引领：将原式展开，根据对应项系数相等列式即可求出m、n的值，即可求解．
解：原式可化为x2+mx﹣15＝x2+（3+n）x+3n，
{3+n=m)
∴ ，
3n=−15
{m=−2)
解得 ，
n=−5
1
∴nm＝（﹣5）﹣2= ．
25
1
故答案为： ．
25
解题秘籍：本题考查了因式分解与多项式的乘法是互为逆运算的性质，掌握因式分解﹣十字相乘法，
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）是解本题的关键．
2．（2022春•临湘市期中）若a2+（m﹣3）a+4能用完全平方公式进行因式分解，则常数m的值是 7 或
﹣ 1 ．
思路引领：根据完全平方公式，进行计算即可解答．
解：由题意得：
a2+（m﹣3）a+4＝（a±2）2，
∴a2+（m﹣3）a+4＝a2±4a+4，
∴m﹣3＝±4，
∴m＝7或m＝﹣1，
故答案为：7或﹣1．
解题秘籍：本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
3．（2021春•雁塔区校级期中）如果a﹣3是多项式a2+ma﹣6的一个因式，则m的值是 ．
思路引领：根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，计算对比得出答案．
解：∵a﹣3是多项式a2+ma﹣6的一个因式，
∴a2+ma﹣6＝（a﹣3）（a+2）＝a2﹣a﹣6，
∴m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
解题秘籍：本题考查了因式分解的意义，利用整式的系数得出另一个因式是解决问题的关键．
类型二 有关简便计算典例3（2021秋•鱼台县期末）利用因式分解计算：
（1）9002﹣894×906；
（2）2.68×15.7﹣31.4+15.7×1.32．
思路引领：（1）利用平方差公式把894×906分解，再和9002相减．
（2）首先2.68×15.7+15.7×1.32通过因式分解提取公因数15.7，使3.68+0.32结果为整数4．再﹣31.4计
算．
（1）9002﹣894×906
＝9002﹣（900﹣6）（900+6）
＝9002﹣（9002﹣62）
＝9002﹣9002+62
＝36．
（2）2.68×15.7﹣31.4+15.7×1.32
＝15.7×（2.68+1.32）﹣31.4
＝15.7×4﹣31.4
＝31.4×2﹣31.4
＝31.4．
解题秘籍：本题考查因式分解的应用，关键是熟记因式分解的方法．
典例4（2021秋•任城区期中）利用因式分解计算：
（1）22014﹣22013；
（2）（﹣2）101+（﹣2）100．
思路引领：（1）根据22014＝2×22013进行解答即可；
（2）根据（﹣2）101＝（﹣2）×（﹣2）100进行解答．
解：（1）22014﹣22013＝2×22013﹣22013＝22013；
（2）（﹣2）101+（﹣2）100＝（﹣2）×（﹣2）100+（﹣2）100＝﹣2100．
解题秘籍：本题考查的是因式分解的应用和同底数幂的乘法的逆运算，掌握同底数幂的乘法法则和合并
同类项法则是解题的关键．
针对训练
1．（2019秋•莱西市期中）利用因式分解计算
（1）22019﹣（﹣2）2020．
3 1
（2）（16 ）2﹣（13 ）2．
4 4思路引领：（1）利用提公因式可求解；
（2）利用平方差公式可求解．
解：（1）22019﹣（﹣2）2020
＝22019×（1﹣2）
＝﹣22019；
3 1
（2）（16 ）2﹣（13 ）2
4 4
3 1 3 1
＝（16 −13 ）（16 +13 ）
4 4 4 4
7
= ×30
2
＝105．
解题秘籍：本题考查了因式分解的应用，灵活运用因式分解是本题的关键．
1 1 1 1
2．（2017春•靖远县校级月考）利用因式分解计算：（1− ）（1− ）（1− ）…（1− ）（1
22 32 42 92
1 1
− ）…（1− ）
102 n2
思路引领：把每个括号内利用平方差分解因式，再分别求和差后进行求积即可．
解：
1 1 1 1 1 1
（1− ）（1− ）（1− ）…（1− ）（1− ）…（1− ）
22 32 42 92 102 n2
1 1 1 1 1 1 1 1
＝（1+ ）（1− ）（1+ ）（1− ）（1+ ）（1− ）+…+（1+ ）（1− ）
2 2 3 3 4 4 n n
3 1 4 2 5 3 n+1 n−1
= × × × × × ×⋯× ×
2 2 3 3 4 4 n n
n+1
= ．
2n
解题秘籍：本题主要考查因式分解的应用，正确进行因式分解是解题的关键．
类型三 有关化简求值
典例5（1）已知a+b＝5，ab＝6，求a2+b2的值
（2）已知x﹣y＝4，x2+y2＝10，求x+y的值．
思路引领：（1）本题利用完全平方公式，只需将a+b＝5平方，联立ab＝6式，即可求得a2+b2的值．（2）根据完全平方公式，可得差的平方，根据等式的性质，可得和的平方，根据开方运算，可得答案．
解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣12＝13；
（2）由x﹣y＝4，平方，得
x2﹣2xy+y2＝16，①
x2+y2＝10 ②，
②﹣①得
2xy＝﹣6，③
②+③，得
x2+2xy+y2＝（x+y）2＝4，
开方，得
x+y＝±2．
解题秘籍：本题考查了完全平方公式，利用了差的平方、和的平方．
针对训练
1．已知：a2+2a+b2﹣6b+10＝0，求3a+2b的值．
思路引领：先利用配方法得到（a+1）2+（b﹣3）2＝0，再根据非负数的性质得a+1＝0，b﹣3＝0，然后
解出a和b的值后代入代数式计算即可．
解：∵a2+2a+b2﹣6b+10＝0，
∴a2+2a+1+b2﹣6b+9＝0，
∴（a+1）2+（b﹣3）2＝0，
∴a+1＝0，b﹣3＝0，
∴a＝﹣1，b＝3，
∴3a+2b＝﹣3+2×3＝﹣9．
解题秘籍：本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利
用因式分解简化计算问题．
类型四 有关三角形的问题
典例6（2022春•青羊区校级期中）阅读下列材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣
4y，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
x2﹣4y2+2x﹣4y
＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）…分组＝（x﹣2y）（x+2y）+2（x﹣2y）…组内分解因式
＝（x﹣2y）（x+2y+2）…整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：9x2﹣9x+3y﹣y2；
（2）已知△ABC的三边a、b、c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
思路引领：（1）先分组，再用公式分解．
（2）先因式分解，再求a，b，c的关系，判断三角形的形状．
解：（1）9x2﹣9x+3y﹣y2
＝（9x2﹣y2）+（﹣9x+3y）
＝（3x+y）（3x﹣y）﹣3（3x﹣y）
＝（3x﹣y）（3x+y﹣3）；
（2）△ABC为等腰三角形．
理由：∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0，
∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，
∴a﹣b＝0或a+b﹣c＝0，
∵△ABC三边a、b、c都大于0，
∴a+b﹣c＞0．
∴a﹣b＝0，即a＝b，
∴△ABC为等腰三角形．
解题秘籍：本题考查分组分解法及三角形形状的判定，正确分组是求解本题的关键．
典例7（2022春•鄄城县期末）△ABC三边a、b、c满足a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc＝0，判断△ABC的形状，并
说明理由．
思路引领：利用完全平方公式进行变形，再利用非负数的性质求解．
解：∵a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc＝（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
解题秘籍：本题考查了完全平方公式的应用，非负数的性质是解题的关键．
针对训练
1．（2022春•乐平市期末）阅读下列分解因式的过程：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）+（﹣2x+4y）＝
（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣4a﹣b2+4；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
思路引领：（1）依据分组分解法，把a2﹣4a﹣b2+4分组成（a2﹣4a+4）+（﹣b2），然后用完全平方公
式法因式分解后，再用平方差公式法因式分解．
（2）先把a2﹣ab﹣ac+bc＝0因式分解，得出（a﹣b）（a﹣c）＝0，由此得出a＝b，或a＝c，或a＝b
＝c，从而判断出△ABC是等腰三角形或等边三角形．
解：（1）a2﹣4a﹣b2+4
＝（a2﹣4a+4）+（﹣b2）
＝（a﹣2）2﹣b2
＝（a﹣2+b）（a﹣2﹣b）．
（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，
∴（a2﹣ab）+（﹣ac+bc）＝0，
a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
（a﹣b）（a﹣c）＝0，
∴a﹣b＝0或a﹣c＝0，a＝b且a＝c，
即a＝b，或a＝c，或a＝b＝c，
∴△ABC是等腰三角形或等边三角形．
解题秘籍：本题考查因式分解的应用，对于不能直接因式分解的式子可以用分组法因式分解，通过观察
式子特点、分好组是分组法因式分解的关键．
2．（2022春•河源期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项
式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差
公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整
个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣
2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；
（2）已知：x+y＝7，x﹣y＝5．求：x2﹣y2﹣2y+2x的值．
（3）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
思路引领：（1）利用分组分解法求解；
（2）先利用分组分解法分解，再整体代入求解；
（3）先利用分组分解法分解，再根据边长进行判断．解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；
（2）x2﹣y2﹣2y+2x＝（x2﹣y2）+（2x﹣2y）＝（x﹣y）（x+y+2）
∵x+y＝7，x﹣y＝5，
∴原式＝（x﹣y）（x+y+2）＝5×（7+2）＝45；
（3）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0
∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝（a﹣b）（a﹣c）＝0，
∴a＝b或a＝c，
∴△ABC是等腰三角形．
解题秘籍：本题考查了利用分组法分式分解，结合三角形的分类及整体代入思想是解题的关键．
类型五 有关整除的问题
典例8（2021秋•卧龙区校级月考）请你猜一猜817﹣279﹣913能被45整除吗？并写出你的理由．
思路引领：将817﹣279﹣913中每一项的底数变为3计算求解．
解：817﹣279﹣913能被45整除，
理由如下：∵817﹣279﹣913＝（34）7﹣（33）9﹣（32）13＝328﹣327﹣326＝326×（32﹣3﹣1）＝326×5＝
324×45，
∴817﹣279﹣913能被45整除．
解题秘籍：本题考查因式分解的应用，解题关键是掌握幂的运算法则，掌握因式分解的方法．
典例9（2020秋•农安县期中）对于任意自然数n，代数式2n（n2+2n+1）﹣2n2（n+1）的值都能被4整除
吗？请说明理由．
思路引领：先判断，再根据题目中式子展开即可说明判断的是否正确，本题得以解决．
解：能被4整除．
理由：原式＝2n3+4n2+2n﹣2n3﹣2n2＝2n2+2n＝2n（n+1），
∵n为自然数，
∴n与n+1两数必有一数为偶数，
∴2n（n+1）是4的倍数，
∴对于任意自然数n，代数式2n（n2+2n+1）﹣2n2（n+1）的值都能被4整除．
解题秘籍：本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用整除的知识解答．
针对训练
1．（2019春•太原期末）数257﹣512能被120整除吗？请说明理由．
思路引领：把257﹣512化成（52）7﹣512，再分解因式得出514﹣512＝512（52﹣1）＝511×5×24＝511×120，
即可得出结论．解：257﹣512能被120整除，理由如下：
∵257﹣512＝（52）7﹣512＝514﹣512＝512（52﹣1）＝511×5×24＝511×120，
∴257﹣512能被120整除．
解题秘籍：本题考查了因式分解的应用以及幂的乘方法则；熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
2．（2018秋•福山区期中）对于任意的正整数，所有形如n3+3n2+2n的数的能被6整除吗？请说明理由．
思路引领：先提取公因式，再用十字相乘法分解因式，因为n，n+1，n+2是三个连续的正整数，所以其
中必有一个是2的倍数，一个是3的倍数，所以原式一定是6的倍数．
解：能，理由如下：
n3+3n2+2n
＝n（n2+3n+2）
＝n（n+1）（n+2），
因为n，n+1，n+2是三个连续的正整数，
所以其中必有一个是2的倍数，一个是3的倍数，
所以原式一定是6的倍数．
所以形如n3+3n2+2n的数能被6整除．
解题秘籍：本题考查了因式分解的应用，掌握三个连续的正整数，其中必有一个是偶数，一个是3的
倍数是解题的关键．
类型六 有关参数的问题
典例10（2022春•新罗区期中）阅读理解：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
∵（x+3）（x+n）＝x（x+n）+3（x+n）＝x2+nx+3x+3n＝x2+（n+3）x+3n，
∴x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，
∴由等式恒等原理可知：n+3＝﹣4①，m＝3n②，
由①②解得：n＝﹣7，m＝﹣21，
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
活学活用：
（1）若x2+4x﹣m＝（x﹣3）（x+n），则mn＝ ；
（2）若二次三项式2x2+ax﹣6有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式．
思路引领：（1）将（x﹣3）（x+n）展开，根据所给出的二次三项式即可求出m、n的值，代入计算即可；
（2）设另一个因式为（x+b），得2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+b）＝2x2+（2b﹣3）x﹣3b，可知﹣3b＝
﹣6，a＝2b﹣3，继而求出a和b的值及另一个因式．
解：（1）∵x2+4x﹣m＝（x﹣3）（x+n），
∴（x﹣3）（x+n）＝x（x+n）﹣3（x+n）＝x2+nx﹣3x﹣3n＝x2+（n﹣3）x﹣3n，
∴x2+4x﹣m＝x2+（n﹣3）x﹣3n，
∴由等式恒等原理可知：n﹣3＝4①，﹣m＝﹣3n②，
由①②解得：n＝7，m＝21，
∴mn＝7×21＝147；
故答案为：147；
（2）设另一个因式为（x+b），得2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+b），
∵（2x﹣3）（x+b）＝2x（x+b）﹣3（x+b）＝2x2+2bx﹣3x﹣3b＝2x2+（2b﹣3）x﹣3b，
∴2x2+ax﹣6＝2x2+（2b﹣3）x﹣3b，
∴由等式恒等原理可知：﹣3b＝﹣6①，a＝2b﹣3②，
由①②解得：b＝2，a＝1，
∴另一个因式为（x+2）．
解题秘籍：本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与
整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
针对训练
1．（2022春•安乡县期末）阅读下列解答过程：
已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为x+a
则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+a）＝x2+ax+3x+3a＝x2+（a+3）x+3a，
{a+3=−4)
∴ ，
3a=m
{ a=−7 )
∴ ，
m=−21
∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
请依照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式x2+5x+k有一个因式是x﹣2，求另一个因式及k的值．
思路引领：利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案．
解：设另一个因式为（x+m），由题意，得：
x2+5x+k＝（x﹣2）（x+m），
则x2+5x+k＝x2+（m﹣2）x﹣2m，
{m−2=5)
∴ ，
k=−2m
{ m=7 )
解得 ，
k=−14
∴另一个因式为x﹣7，k的值为﹣14．
解题秘籍：此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，正确假设出另一个因式是解题
的关键．
2．（2021秋•天河区期末）阅读：因为（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，说明x2+x﹣6有一个因式是x﹣2；当
因式x﹣2＝0，那么多项式x2+x﹣6的值也为0，利用上面的结果求解：
（1）多项式A有一个因式为x+m（m为常数），当x＝ ，A＝0；
（2）长方形的长和宽都是整式，其中一条边长为x﹣2，面积为x2+kx﹣14，求k的值；
（3）若有一个长方体容器的长为（x+2），宽为（x﹣1），体积为4x3+ax2﹣7x+b，试求a，b的值．
思路引领：（1）根据多项式的一个因式为0，则多项式为0可求解；
（2）根据长方形的面积公式可知：x﹣2是x2+kx﹣14的一个因式，利用当x＝2时，x2+kx﹣14＝0，求
出k的值即可；
（3）根据长方体的体积公式可知x+2，x﹣1是4x3+ax2﹣7x+b的一个因式，利用x＝﹣2和x＝1时，
4x3+ax2﹣7x+b＝0，求出a，b的值即可；
解：（1）由题意，得，当x+m＝0时，A＝0，
∴x＝﹣m时，a＝0，
故答案为：﹣m；
（2）由题意得x﹣2是x2+kx﹣14的一个因式，
∴x﹣2能整除x2+kx﹣14，
∴当x﹣2＝0时，x2+kx﹣14＝0，
∴x＝2时，x2+kx﹣14＝4+2k﹣14＝0，
解得：k＝5；
（3）由题意得x+2，x﹣1是4x3+ax2﹣7x+b的一个因式，
∴x+2，x﹣1能整除4x3+ax2﹣7x+b，∴x+2＝0，x﹣1＝0，
当x+2＝0时即x＝﹣2时，4x3+ax2﹣7x+b＝0，
∴4a+b＝18①，
当x﹣1＝0即x＝1时，4x3+ax2﹣7x+b＝0，
∴a+b＝3②，
①﹣②得3a＝15，
解得：a＝5，
∴b＝﹣2．
解题秘籍：此题考查了因式分解的应用，是一道推理题，掌握好整式的除法法则是解题的关键．
类型七 有关看错的问题
典例11 （2022秋•宁阳县校级月考）在分解因式时x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+1）
（x+9）；乙看错了b的值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣4）．那么x2+ax+b分解因式正确的结果是多少？
为什么？
思路引领：根据“甲看错了a的值，分解的结果是（x+1）（x+9）”可确定b的值，根据“乙看错了b
的值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣4）”可确定a的值，进而确定x2+ax+b，再进行因式分解即可．
解：分解因式时x2+ax+b时，
由于甲看错了a的值，分解的结果是（x+1）（x+9）＝x2+10x+9，因此b＝9；
由于乙看错了b的值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣6x+8．因此a＝﹣6；
所以这个多项式为x2﹣6x+9，
x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，
答：正确的分解因式的结果为x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．
解题秘籍：本题考查因式分解，掌握十字相乘法是正确解答的前提，根据“甲看错了a的值，分解的结
果是（x+1）（x+9）”确定b的值，根据“乙看错了b的值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣4）”确定a
的值是正确解答的关键．
针对训练
1．（2022春•娄底月考）甲、乙两人在因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x
﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么b﹣a的值为（ ）
A．﹣8 B．﹣6 C．﹣4 D．2
思路引领：根据“甲、乙两人在因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣
2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4）”可求出b、a的值，再代入计算即可．
解：甲、乙两人在因式分解x2+ax+b时，由于甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），
因此b的值是正确的，即b＝6×（﹣2）＝﹣12；
由于乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），
因此a的值是正确的，即a＝﹣8+4＝﹣4，
所以b﹣a＝﹣12﹣（﹣4）＝﹣8，
故选：A．
解题秘籍：本题考查十字相乘法分解因式，理解因式分解的定义是正确解答的前提．
2．（2022春•覃塘区期中）在将x2+mx+n因式分解时，小刚看错了m的值，分解得（x﹣1）（x+6）；小
芳看错了n的值，分解得（x﹣2）（x+1），那么原式x2+mx+n正确分解为 ．
思路引领：利用多项式乘多项式法则先算乘法，根据因式分解与乘法的关系及小刚、小明没有看错的值
确定m、n，再利用十字相乘法分解整式即可．
解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6，
∵小刚看错了m的值，
∴n＝﹣6；
（x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2，
∵小芳看错了n的值，
∴m＝﹣1．
∴x2+mx+n
＝x2﹣x﹣6
＝（x﹣3）（x+2）．
故答案为：（x﹣3）（x+2）．
解题秘籍：本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法、能根据乘法与因式分解的关系确定 m、n的
值是解决本题的关键．
3．（2021秋•龙凤区期中）两位同学将同一个二次三项式进行因式分解时，一位同学因看错了一次项系数
而分解成（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项而分解成（x﹣2）（x﹣4），则原多项式因式
分解的正确结果是： ．
思路引领：根据两位同学的结果确定出原多项式，分解即可．
解：根据题意得：（x﹣1）（x﹣9）＝x2﹣10x+9，（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣6x+8，
原多项式为x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．
故答案为：（x﹣3）2．
解题秘籍：此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．（2021秋•莱州市期中）甲、乙两个同学分解因式 x2+ax+b时，甲看错了 b，分解结果为（x+2）
（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为 ．
思路引领：根据题意可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一次项的系数，利用
多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，代入原多项式进行因式分解．
解：∵甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），但a是正确的，
（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，
∴a＝6，
∵（x+1）（x+9）＝x2+10x+9，乙看错了a，但b是正确的，
∴b＝9，
∴x2+ax+b＝x2+6x+9＝（x+3）2，
故答案为：（x+3）2．
解题秘籍：本题主要考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法，根据题意可
知a、b是相互独立的，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出 a、b的值，是解题关
键．
第二部分 专题提优训练
1．（2022•覃塘区三模）若x﹣4是多项式x2﹣mx﹣24的一个因式，则m的值为 ．
思路引领：利用十字相乘法分解因式得出x2﹣mx﹣24＝（x﹣4）（x+6）即可得出m的值．
解：∵x﹣4是多项式x2﹣mx﹣24的一个因式，
∴x2﹣mx﹣24＝（x﹣4）（x+6）＝x2+2x﹣24．
∴﹣m＝2，
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
解题秘籍：此题主要考查了因式分解的意义，正确利用十字相乘法分解因式得出是解题关键．
2．利用因式分解计算：
（1）5032﹣4972
（2）1722+56×172+282．
思路引领：（1）原式利用平方差公式变形，计算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用完全平方公式变形，计算即可得到结果．
解：（1）原式＝（503+497）×（503﹣497）＝1000×6＝6000；
（2）原式＝1722+2×28×172+282＝（172+28）2＝2002＝40000．解题秘籍：此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．
3．（2015秋•威海期中）利用因式分解计算：
（1）5352×4﹣4652×4；
（2）1022+102×196+982．
思路引领：（1）先提公因式4，再利用平方差公式分解后计算出结果．
（2）通过观察，显然符合完全平方公式．
解：（1）5352×4﹣4652×4
＝4（5352﹣4652）
＝4（535+465）（535﹣465）
＝4×1000×70
＝280000；
（2）1022+102×196+982
＝1022+2×102×98+982
＝（102+98）2
＝2002
＝40000．
解题秘籍：本题考查了因式分解在有理数的计算中的运用，涉及了提公因式，平方差公式以及完全平方
公式在因式分解中的运用．
4．（2015春•泰州校级月考）利用因式分解简便计算：
（1）502﹣49×51
（2）482+48×24+122．
思路引领：（1）直接利用平方差公式计算得出即可；
（2）直接利用完全平方公式分解因式得出即可．
解：（1）502﹣49×51
＝502﹣（50﹣1）（50+1）
＝502﹣502+1
＝1；
（2）482+48×24+122
＝（48+12）2
＝3600．
解题秘籍：此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．5．（2018春•洪泽区期末）当n为自然数时，（n+5）2﹣（n﹣3）2能被16整除吗？请说明理由．
思路引领：用平方差公式进行分解因式可得．
解：∵（n+5）2﹣（n﹣3）2＝（n+5+n﹣3）（n+5﹣n+3）＝16（n+1），且n为自然数
∴（n+5）2﹣（n﹣3）2能被16整除
解题秘籍：本题考查因式分解的应用，关键是能用平方差公式熟练分解因式．
6．发现：任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证：（1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸：任意三个连续整数的平方和能被3整除吗？如果不能，余数是几呢？请给出结论并写出理由．
思路引领：（1）通过计算可求倍数；
（2）通过完全平方公式可求平方和，即可证平方和是5的倍数；
延伸：通过完全平方公式可求平方和，即可判断平方和是否被3整除．
解：（1）∵（﹣1）2+02+12+22+32＝1+0+1+4+9＝15＝5×3
∴结果是5的3倍．
（2）设五个连续整数的中间一个为n，则另四个整数为：n﹣2，n﹣1，n+1，n+2
∴它们的平方和为（n﹣2）2+（n﹣1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2
∵（n﹣2）2+（n﹣1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2＝5n2+10＝5（n2+2）
∴它们的平方和是5的倍数
延伸：不能被3整除，余数为2
设中间的整数为n，
∵（n﹣1）2+n2+（n+1）2＝3n2+2
∴不能被3整除，余数为2
解题秘籍：本题考查了因式分解的应用，熟练运用完全平方公式计算是本题的关键．
7．（2022春•永丰县期末）已知：二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是x﹣5，求另一个因式及k的值．
思路引领：利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而
得出方程组，可得答案．
解：设另一个因式为（2x+a），得2x2+3x﹣k＝（x﹣5）（2x+a）
则2x2+3x﹣k＝2x2+（a﹣10）x﹣5a
{a−10=3)
∴ ，
−5a=−k{a=13)
解得： ，
k=65
∴另一个因式为（2x+13），k的值为65．
解题秘籍：此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，正确假设出另一个因式是解题
的关键．
8．（2021秋•淮阳区期末）甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）
（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为
．
思路引领：根据甲、乙看错的情况下得出a、b的值，进而再利用十字相乘法分解因式即可．
解：因式分解x2+ax+b时，
∵甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），
∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，
又∵乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），
∴a＝﹣8+4＝﹣4，
∴原二次三项式为x2﹣4x﹣12，
因此，x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2），
故答案为：（x﹣6）（x+2）．
解题秘籍：本题考查十字相乘法进行因式分解，掌握十字相乘法的使用方法是得出答案的关键．
9．（2022春•蓝山县期中）甲、乙同学在分解因式：mx2+ax+b时，甲仅看错了a，分解结果为2（x﹣1）
（x﹣9）；乙仅看错了b，分解结果为2（x﹣2）（x﹣4），求m、a、b的正确值，并将mx2+ax+b分解
因式．
思路引领：根据多项式乘多项式展开，合并同类项，即可得到m、a、b的值，代入多项式，分解因式即
可．
解：∵2（x﹣1）（x﹣9）
＝2（x2﹣9x﹣x+9）
＝2（x2﹣10x+9）
＝2x2﹣20x+18，
∴m＝2，b＝18，
∵2（x﹣2）（x﹣4）
＝2（x2﹣4x﹣2x+8）
＝2（x2﹣6x+8）＝2x2﹣12x+16，
∴a＝﹣12，
∴mx2+ax+b
＝2x2﹣12x+18
＝2（x2﹣6x+9）
＝2（x﹣3）2．
解题秘籍：本题考查了因式分解﹣十字相乘法，根据多项式乘多项式展开，合并同类项，得到m、a、b
的值是解题的关键．
