文档内容
专题 13 因式分解的七种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、已知因式分解的结果求参数................................................................................................................2
类型二、提多项式的公因式的因式分解法........................................................................................................5
类型三、综合利用提公因式法和公式法因式分解.............................................................................................7
类型四、利用因式分解先化简再求值..............................................................................................................10
类型五、十字相乘法因式分解.........................................................................................................................12
类型六、分组分解法因式分解.........................................................................................................................16
类型七、因式分解的应用.................................................................................................................................21
压轴能力测评（15题）....................................................................................................................................26
解题知识必备
1.因式分解-提公因式法
提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因
式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2.因式分解-运用公式法
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
3.因式分解-分组分解法
分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组
后能出现公因式，二是分组后能应用公式
4.因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．
压轴题型讲练
类型一、已知因式分解的结果求参数
例题：（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式
有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值．解：设另一个因式为 ，得 ，
则 ，
．
解得： ，
∴另一个因式为 ， 的值为 ，
问题：仿照以上方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值．
解：设另一个因式为________，得： =________，
则
．
解得： =________， =________．
另一个因式为________， 的值为________．
(2)已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值．
【变式训练1】（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知关于 的多项式 有一个因式为 ，
则 的值 ；
【变式训练2】（2024·安徽马鞍山·三模）若多项式 因式分解后结果是 ，则 的
值是 ．
【变式训练3】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为 ，得
则
解得： ．
∴另一个因式为 ， 的值为 ． 问题：仿照以上方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k 的值．
(2)已知二次三项式 有一个因式是 ，则另一个因式为 ，k的值为 ．
(3)已知二次三项式 有一个因式是 ，a是正整数，则另一个因式为 ，a 的值为 ．类型二、提多项式的公因式的因式分解法
例题：（24-25九年级上·陕西榆林·开学考试）因式分解： ．
【变式训练1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）分解因式： ．
【变式训练2】（23-24七年级下·湖南怀化·期中）因式分解 ．
【变式训练3】（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）因式分解： ．
【变式训练4】（23-24八年级上·全国·单元测试）把下列各式分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
类型三、综合利用提公因式法和公式法因式分解
例题：把下列各式分解因式：
(1) ；
(2) ．
【变式训练1】把下列各式因式分解：
(1) ；
(2) ．
【变式训练2】因式分解：
(1)
(2)
【变式训练3】因式分解：
(1) ；
(2)
4．因式分解
(1)
(2)
(3)类型四、利用因式分解先化简再求值
例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）若 ，则代数式 的值等于 ．
10．（2024·广东深圳·模拟预测）已知 ， ，求 的值为 ．
11．（23-24八年级下·辽宁鞍山·开学考试）已知 ，则代数式 的值为 ．
12．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）若实数 满足 ，则
．
13．（22-23七年级下·广西来宾·期中）已知 ， ，则 的值是 ．
类型五、十字相乘法因式分解
例题：（23-24八年级上·广西河池·期末）阅读教材：人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思
考”内容介绍，在因式分解中有一类形如 的多项式，其常数项是两个因数的积，而一次
项系数恰好是这两个因数的和，则我们可以把它分解成
例如， ，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线
的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，
使其等于一次项系数（如图），这种方法称为“十字相乘法”．
这样，我们可以得到： ．
【迁移运用】利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式：
(1)
(2)
【变式训练1】阅读理解：用“十字相乘法”因式分解
例如： 求：(1)
(2)
【变式训练2】阅读理解题
在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘
法公式运算来进行因式分解，
基本式子为： ，
例如：分解因式 ， ， ，
按此排列： 交叉相乘，乘积相加等于 ，
得到 ，这就是十字相乘法．
利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)先分解因式，再求值： ，其中 ．
【变式训练3】阅读理解：用“十字相乘法”分解因式 的方法（如图）．
第一步：二次项 ；
第二步：常数项 ，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；
第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项 ．
即 ．
像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．
运用结论：
(1)将多项式 进行因式分解，可以表示为 _______________；
(2)若 可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数 的所有可能值．
【变式训练4】阅读下列材料：将一个形如 的二次三项式因式分解时，如果能满足 且
，则可以把 因式分解成 ．
例如：（1） ；（2） ．根据材料，把下列式子进行因式分解．
(1) ；
(2) ；
(3) ．
类型六、分组分解法因式分解
例题：《义务教育数学课程标准（2022年版》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算
律进行正确运算的能力，因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和
运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补
上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解．
例题：用拆项补项法分解因式 ．
解：添加两项 ．
原式
请你结合自己的思考和理解完成下列各题：
(1)分解因式： ；
(2)分解因式 ；
(3)分解因式： ．
【变式训练1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）在有理数范围分解因式
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式训练2】（23-24七年级下·山东聊城·期末）阅读下列材料：
材料1：将一个形如 的二次三项式因式分解时，如果能满足 且 ，则可以把
因式分解成
(1)根据材料1，把 分解因式．
(2)结合材料、完成下面小题：
①分解因式： ；②分解因式： ．
(3)结合材料分解因式 ；
【变式训练3】（2023春·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考阶段练习）将一个多项式分组后，可提
公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”
分法、“3+1”分法、“3+2”分法“3+3”分法等．
如“2+2”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)分解因式： ；
(3)分解因式： ．
类型七、因式分解的应用
例题：（23-24七年级下·浙江宁波·期末）【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：
．如果我们将 写成 ，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数
差的完全平方公式．过程如下： ．
【类比推理】（1）已知两数的立方和公式为 ，请类比两数差的完全平方公式
的推理过程，推导两数的立方差公式： ______．
【应用公式】（2）①因式分解： ．②因式分解： ．
【拓展提升】（3）如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形 ，设 ，
， ．若 ，则
① ______．
②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且 ，请先将代数式 进行因式分解，
然后求出代数式的值．【变式训练1】（23-24八年级下·辽宁锦州·期末）下面是一位同学仿解题过程，请仔细阅读，在理解的基
础上，完成相应的学习任务．若 是多项式 的一个因式，求 的值．
解： 是多项式 的一个因式，
设 （ 为整式）．
当 时，则有 ．
将 代入 ，
得 ．
解得 ．
学习任务：
(1)若 是多项式 的一个因式，请求出多项式中二次项的系数 的值；
(2)若 和 是多项式 的两个因式，请求出多项式中三次项和一次项的系数 的
值．
【变式训练2】（23-24八年级下·辽宁阜新·阶段练习）我们已经学过将一个多项式因式分解的方法有提公
因式法和运用公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如： ，
②拆项法：
例如： ．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①用分组分解法： ；
②用拆项法： ；
(2)已知：a，b，c为 的三条边， ，求 的周长．
【变式训练3】（23-24八年级下·山东济南·期末）【阅读材料】
配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平
方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决些问题．
①用配方法分解因式：
．
②用配方法求值：例如 ，即 ．．
③用配方法确定范围：例如
，
∴当 时，M有最小值 ．
【问题解决】
请根据上述材料解决下列问题：
(1)如果 （__________）是一个完全平方式，则括号内的常数应为__________；
(2)分解因式：
(3)已知 ，当 __________， __________时，y有最小值，最小值是
__________；
(4)已知 ，试比较P，Q的大小．
压轴能力测评（15题）
一、单选题
1．（24-25八年级上·山东东营·单元测试）把多项式 分解因式，结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若 可以分解为 ，那么 的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
3．（2024八年级上·全国·专题练习）若 为任意正整数， 的值总可以被 整除，则 等于
（ ）
A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数
4．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若 ， ，则 的值为
（ ）A．2024 B．6072 C． D．
二、填空题
5．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）因式分解：
．
6．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）若多项式 因式分解后有一个因式 ，则
．
7．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知 ， ，则 的值是
．
8．（24-25八年级上·全国·期中）如图 是一个棱长为 的正方体中挖去一个棱长为 的小正方体 ，
将剩余部分进行切割得到如图 所示的三个长方体．通过计算剩余部分的体积，可对多项式 进行因
式分解，即 ．
三、解答题
9．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：
10．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式：
(1) ；
(2) ．
11．（2024八年级上·全国·专题练习）下面是某同学对多项式 进行因式分解的
过程．
解：设 ．
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
．（第四步）
请问：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）
A．提公因式法 B．平方差公式C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
(2)已知该同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：_______；
(3)请你模仿以上方法，尝试对多项式 进行因式分解．
12．（24-25八年级上·全国·期末）（1）若 ，则 的值是 ；
（2）分解因式：
① ；
② ；
（3）若多项式 能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值．
13．（23-24七年级下·河北唐山·期末）材料1：将一个形如 的二次三项式因式分解时，如果能满
足 且 ，则可以把 因式分解成 ．
材料2：分解因式：
解：将“ ”看成一个整体，令 ，则原式 ，再将“A”还原，得：原式
上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．结
合材料1和材料2，完成下面小题：
(1)分解因式： ；
(2)分解因式： ．
14．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）阅读材料，利用公式法，可以将一些形如 的
多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法，运用多
项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分
解．
例：
．
根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题．
(1)分解因式： ；
(2)求多项式 的最小值；
(3)已知 、 、 是 的三边长，且满足 ，求 的周长．
15．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下．甲：
乙：
（分成两
（分成两组）
组）
（提公因式）
（直接运用公式）
.
请在他们解法的启发下解答下列各题．
(1)分解因式 ．
(2)若 ， ， 分别为 三边的长．
①若满足若 ，请判断 的形状，并说明理由．
②若满足 ，求c的范围．
