文档内容
2022-—2023 学年度高三年级第一次调研测试
数学试题
2023.01
注意事项：
1．考试时间120分钟，试卷满分150分。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．若非空且互不相等的集合M，N，P满足：M∩N＝M，N∪P＝P，则M∪P＝
A．M B．N C．P D．O
2．
已知i5＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b的值为
A．－1 B．0 C．1 D．2
3．设p：4x－3＜1；q：x－(2a＋1)＜0，若p是q的充分不必要条件，则
A．a＞0 B．a＞1 C．a≥0 D．a≥1
4．已知点Q在圆C：x2－4x＋y2＋3＝4上，点P在直线y＝x上，则PQ的最小值为
A． 2－1 B．1 C． 2 D．2
数学试题 第 1 页 (共 20 页)5．某次足球赛共8支球队参加，分三个阶段进行．
(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组4队进行单循环比赛，以积分和净胜球数取前两
名；
(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名进行主、客场交叉淘汰赛(每
两队主、客场各赛1场)，决出胜者；
(3)决赛：两个胜队参加，比赛1场，决出胜负．
则全部赛程共需比赛的场数为
A．15 B．16 C．17 D．18
π
6．若f(x)＝sin(2x＋ )在区间[－t，t]上单调递增，则实数t的取值范围为
6
π π π π π π
A．[ ， ] B．(0， ] C．[ ， ] D．(0， ]
6 2 3 6 3 6
π π π
所以函数f(x)的单调递增区间为[－ ， ]，则0＜t≤ ，故答案选D．
3 6 6
7．足球是由12个正五边形和20个正六边形组成的．如图，将足球上的一个正六边形和它
→ →
相邻的正五边形展开放平，若正多边形边长为2，A，B，C分别为正多边形的顶点，则AB·AC
＝
数学试题 第 2 页 (共 20 页)A．(3＋ 3cos18°)a2 B．( 3＋cos18°)a2
C．(3＋ 2cos18°)a2 D．(3 3＋3cos18°)a2
8．在某次数学节上，甲、乙、丙、丁四位通项分别写下了一个命题：
甲：ln3＜ 3ln2：乙：lnπ＜ π ；丙：2 12＜12；丁：3eln2＞4 2．
e
所写为真命题的是
数学试题 第 3 页 (共 20 页)A．甲和乙 B．甲和丙 C．丙和丁 D．甲和丁
【答案】B
【解析】法一：
而 8＞e，所以f( 8)＜f(e)，故丁错；综上，答案选B．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共计20分。在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
数学试题 第 4 页 (共 20 页)9．连续抛掷一枚骰子2次，记事件A表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事
件B表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则
A．事件A与事件B不互斥 B．事件A与事件B相互独立
3 2
C．P(AB)＝ D．P(A|B)＝
4 3
10．长方体ABCD－A B C D 中，AA ＝3，底面ABCD是边长为2的正方形，底面A B C D
1 1 1 1 1 1 1 1 1
中心为M，则
A．C D ∥平面ABM
1 1
→ → 1→
B．向量AM在向量AC上的投影向量为 AC
2
3 10
C．棱锥M－ABCD的内切球的半径为
10
11
D．直线AM与BC所成角的余弦值为
11
数学试题 第 5 页 (共 20 页)5－1 5－1
11．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把 ( ≈0.618)称为黄金数．离心率
2 2
x2
等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若黄金双曲线E： －y2＝1(a＞0)的左、
a2
右顶点分别为A ，A ，虚轴的上端点为B，左焦点为F，离心率为e，则
1 2
→ →
A．a2e＝1 B．A B·FB＝0
2
2＋ 5
C．顶点到渐近线的距离为e D．△A FB的外接圆的面积为 π
2
4
数学试题 第 6 页 (共 20 页)12．设函数f(x)的定义域为R，f(2x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝
ax＋b，若f(0)＋f(3)＝－1，则
A．b＝－2 B．f(2023)＝－1
1
C．f(x)为偶函数 D．f(x)的图象关于( ，0)对称
2
数学试题 第 7 页 (共 20 页)f(x)为偶函数，则选项C正确；综上，答案选AC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分。
13．若(1－2x)5(x＋2)＝a ＋a x＋…＋a x6，则a ＝ ．
0 1 6 3
数学试题 第 8 页 (共 20 页)14．某学校组织1200名学生进行“防疫知识测试”．测试后统计分析如下：学生的平均成
绩为― x＝80，方差为s2＝25．学校要对成绩不低于90分的学生进行表彰．假设学生的测试
成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)(其中μ近似为平均数― x，σ2近似为方差s2，则估计获表彰
的学生人数为 ．(四舍五入，保留整数)
参考数据：随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6827，
P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9973．
15．已知抛物线y2＝2x与过点T(6，0)的直线相交于A，B两点，且OB⊥AB(O为坐标原点)，
则△OAB的面积为 ．
ex－1，x≤1，
1
16．已知函数 f(x)＝ 则函数 F(x)＝f[f(x)]－2f(x)－ 的零点个数
|ln(x－1)|，x＞1，
2
为 ．
数学试题 第 9 页 (共 20 页)数学试题 第 10 页 (共 20 页)四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知△ABC为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB＋bcosA＝
2ccosC．
(1)求角C；
(2)若c＝2，求△ABC的周长的取值范围．
【解析】
数学试题 第 11 页 (共 20 页)18．(本小题满分12分)
已知等比数列{a }的前n项和为S ，S ＝14，S ＝126．
n n 3 6
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)当n∈N*时，a b ＋a b ＋…＋a b ＝4n－1，求数列{b }的通项公式．
n 1 n－1 2 1 n n
【解析】
19．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥S－ABCD中，侧面SAD⊥底面ABCD，SA⊥AD，且四边形ABCD为
数学试题 第 12 页 (共 20 页)π
平行四边形，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝ ，SA＝3．
3
(1)求二面角S－CD－A的大小；
→ →
(2)点P在线段SD上且满足SP＝λSD，试确定λ的值，使得直线BP与面PCD所成角最大．
【解析】
数学试题 第 13 页 (共 20 页)20．(本小题镇分12分)
x2 y2 3
设椭圆E： ＋ ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F (－c，0)，F (c，0)，离心率为 ，
1 2
a2 b2 3
a2
若椭圆E上的点到直线l：x＝ 的最小距离为3－ 3．
c
(1)求椭圆E的方程；
数学试题 第 14 页 (共 20 页)(2)过F 作直线交椭圆E于A，B两点，设直线AF ，BF 与直线l分别交于C，D两点，线
1 2 2
段AB，CD的中点分别为M，N，O为坐标原点，若M，O，N三点共线，求直线AB的方
程．
【解析】法一：
法二：
数学试题 第 15 页 (共 20 页)数学试题 第 16 页 (共 20 页)21．(本小题满分12分)
2
已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋ －5．
x
(1)证明：f(x)＜ x；
(2)若函数f(x)的图象与g(x)的图象有两个不同的公共点，求实数a的取值范围．
第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过
点球战胜法国队获得冠军．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三
个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即
2
使方向判断正确也有 的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在
3
前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，
球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传
向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在
甲脚下的概率为p ，易知p ＝1，p ＝2．
n 1 2
1
①试证明：{p － }为等比数列；
n
3
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为q ，比较p 与q 的大小．
n 10 10
【解析】法一：
数学试题 第 17 页 (共 20 页)法二：
数学试题 第 18 页 (共 20 页)数学试题 第 19 页 (共 20 页)22．(本小题满分12分)
1
已知函数f(x)＝aex＋cosx＋ x2，其中a为实数，e是自然对数的底数．
2
π π
(1)当a＝0时，求曲线f(x)在点( ，f( ))处的切线方程；
2 2
(2)若g(x)为f(x)的导函数，g(x)在(0，π)上有两个极值点，求a的取值范围．
【解析】
数学试题 第 20 页 (共 20 页)
