FY25暑假初一B9因式分解综合教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初一_志高_教师版PDF

B09 因式分解综合
考情链接
1. 本次任务由四个部分构成
（1）提公因式因式分解
（2）公式法因式分解
（3）十字相乘法因式分解
（4）分组分解法
2. 考情分析
（1）因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而提公因式法因式分解则是因式分
解的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察；
（2）分组分解法是在提取公因式法、公式法、十字相乘法的基础上学习的最后一种基本的
因式分解方法．分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法，通过对多项式进行适当的分
组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的
特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的．我们有目的地将多项式的某些项
组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的.
环节 需要时间
课后练习讲解 10分钟
考点1：因式分解综合 45分钟
考点2：因式分解综合的简单应用 20分钟
考点3：新定义题型 20分钟
出门测 15分钟
1知识加油站——因式分解综合
知识笔记
因式分解步骤：
（1）先提公因式
（2）两项考虑__________________因式分解
（3）三项考虑__________________因式分解或__________________因式分解
（4）四项考虑__________________因式分解.
五项式因式分解步骤：
一般采用“三二分组”，再试用提公因式法、__________________、__________________、
或__________________继续因式分解. 有时候也需要运用添项、拆项等较强的解题技巧.
六项式因式分解步骤：
一般采用“三二一分组”，再试用提公因式法、完全平方法、平方差法或十字相乘法继续因
式分解. 此外，还可以直接使用双十字相乘作答.
【填空答案】
平方差公式；完全平方公式；十字相乘法；分组分解法
平方差公式；完全平方公式；十字相乘法
2考点一：因式分解综合【建议时长：45分钟】
例题1:
（★★★☆☆）选用合适的方法分解因式：
（1）a3 2a2bab2；
（2）m2 m1 4  1m 2
（3） x2 1 2 4x  x2 1  4x2；
（4） xy 22  yx 80；
（5）6ax2 9a2xy2xy3ay2
（6）x2y2z2 x2z y2z1
【配题说明】因式分解提公因式法；因式分解分组分解法；因式分解十字相乘法等，
主要是考察学生二项因式分解与三项因式分解能力。
【常规讲解】
（1）原式 a(a2  2abb2) a(a b)2；
（2）原式 (m 1)(m2  4 4m)  (m 1)(m  2)2；
（3）原式 (x2 1 2x)2  (x 1)4；
（4）原式(x y10)(x y8)；
（5）原式3ax(2x3ay) y(2x3ay)(3ax y)(2x3ay)
（6）原式 x2z(y2z1)(y2z1)(y2z1)(x2z1)
练习1:
（★★★☆☆）分解因式：
（1）a2 xy b2 yx 
（2） x2 4 2 16x2．
（3）x2 6xy16y2；
（4）4x2  4xy  y2  z2 ．
（5） xy 22  xy 1；
（6）9  ab 216  ab 2 ；
3【常规讲解】
（1）原式 (x  y)(a2 b2)  (x  y)(a b)(a b)；
（2）原式 (x2  4x 4)(x2  4x 4) (x 2)2(x 2)2．
（3）原式(x8y)(x2y)；
（4）原式 (2x y)2  z2  (2x y  z)(2x y  z)．
（5）原式 (x y 1)2；
（6）原式(3a3b4a4b)(3a3b4a4b)(a7b)(7ab)(a7b)(7ab)；
例题2:
（★★★☆☆）选用合适的方法进行因式分解
第一组：
（2022•静安区校级期中）因式分解：
（1）2a(a1)2 28a2(1a)18a(a1)；
（2）(x2 3x)2 8(x2 3x)20；
（3）4x3 2x2 9xy2 3xy；
（4）y(y4)(m2)(m2)．
第二组：
（2022•宝山区校级期中）因式分解：
（1）4a2 (a2 1)2；
（2）(ab)(ab3)10
6x2y3x3 3xy2．
（3）
（4）15a3b2 9a2b2 3ab3．
【配题说明】因式分解提公因式法；因式分解分组分解法；因式分解十字相乘法等，
主要是考察学生二项因式分解与三项因式分解能力。与例题一考点一样，可作为二项三项的
补充练习。
第一组
【常规讲解】
解：（1）2a(a1)2 28a2(1a)18a(a1)
2a(a1)2 28a2(a1)18a(a1)
2a(a1)[(a1)14a9]
2a(a1)(a114a9)
2a(a1)(15a8) ；
4（2）(x2 3x)2 8(x2 3x)20
(x2 3x10)(x2 3x2)
(x5)(x2)(x1)(x2)；
（3）4x3 2x2 9xy2 3xy
(4x3 9xy2)(2x2 3xy)
x(4x2 9y2)x(2x3y)
 x(2x3y)(2x3y)x(2x3y)
 x(2x3y)(2x3y1)；
（4）y(y4)(m2)(m2)
 y2 4ym2 4，
(y2)2 m2
(ym2)(ym2) ．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公
因式，必须先提公因式．
第二组：
【常规讲解】
解：（1）原式(a2 12a)(a2 12a)
(a1)2(a1)2；
（2）原式(ab)2 3(ab)10
(ab5)(ab2) ．
（3）解：6x2y3x3 3xy2
3x(x2 2xy y2)
3x(x y)2．
（4）解：15a3b2 9a2b2 3ab3 3ab2(5a2 3ab)．
练习2:
第一组：
（★★★☆☆）（2022•长宁区校级期中）已知a2b10，ab15，求下列各式的值：
（1）a2 4b2；
（2）(a1)(2b1)(a1)(2b1) ．
（★★★☆☆）（2022•静安区期中）因式分解
（1）(x5)2 4；
5（2）16a2b16a3 4ab2．
第二组：
（★★★☆☆）（1）（2022•虹口区校级月考）因式分解：a2 2abb2 3a3b2．
（★★★☆☆）（2）（2022•虹口区校级月考）因式分解：(xy)2 2(yx)80．
（★★★☆☆）（3）（2022•静安区期中）分解因式：(4ab)2 (ab)2．
第一组：
【常规讲解】
解：（1）∵a2b10，ab15，
a2 4b2 (a2b)2 4ab102 415160；
（2）∵a2 4b2 160，ab15，
(a1)(2b1)(a1)(2b1)
(a1)(a1)(2b1)(2b1)
(a2 1)(4b2 1)
4a2b2 a2 4b2 1
4(ab)2 (a2 4b2)1
4152 1601
741．
解：（1）(x5)2 4
(x52)(x52)
(x7)(x3)；
（2）16a2b16a3 4ab2
4a(4ab4a2 b2)
4a(4a2 4abb2)
4a(2ab)2．
第二组：
【常规讲解】（1）解：原式a2 2abb2 3a3b2
(ab)2 3(ab)2
(ab1)(ab2) ．
（2）解：原式(xy)2 2(xy)80
(x y8)(x y10)．
（3）解：(4ab)2 (ab)2
(4abab)(4abab)
3a(5a2b)．
6例题3:
（★★★★☆）
（1）因式分解：x2 2xy3y2 3x y2
（2）因式分解：x3 2x2 x2x5 2x4
（3）（2022•虹口区校级月考）因式分解：a2 2abb2 3a3b2．
（4）因式分解：a2 10ab25b2 40b8a9
（5）因式分解：a2 2abb2 3a3b2．
（6）因式分解：x2 9xy18y2 3x9y．
（7）因式分解：a2bcabcd bcab2 ac2 c2d
【配题说明】主要考察学生对6项式的因式分解
【常规讲解】（1）解：原式(x2 2xy3y2)(3x y)2
(x3y)(x y)(3x y)2
(x3y2)(x y1)．
故答案为：(x3y2)(x y1)．
（2）原式 x2(x2)(x2)x4(x2)(x2)(x2 x4 1)
（3）解：原式a2 2abb2 3a3b2
(ab)2 3(ab)2
(ab1)(ab2) ．
（4）原式(a5b)2 8(a5b)9
(a5b9)(a5b1)．
（5）解：原式a2 2abb2 3a3b2
(ab)2 3(ab)2
(ab1)(ab2) ．
（6）解：x2 9xy18y2 3x9y
(x2 9xy18y2)(3x9y)
(x3y)(x6y)3(x3y)
(x3y)(x6y3)．
（7）解：a2bcabcd bcab2 ac2 c2d
a2bcac2 abcd c2d bcab2
ac(abc)cd(abc)b(abc)
(abc)(accdb) ．
7练习3:
（★★★☆☆）
（1）（2022•闵行梅陇中学期中）因式分解：x2 9xy 18y2 3x9y ．
（2）因式分解：axaybxcycxby ；
（3）因式分解：x2 4xy  4y2  x 2y 6 ．
（4）因式分解：x2 4xy4y2 3x6y2
6x2 5xy6y2 2x23y20．
（5）因式分解：
x2 2xy y2 3x3y2．
（6）因式分解：
【常规讲解】（1）解：x2 9xy 18y2 3x9y
 (x2 9xy 18y2)(3x9y)
(x3y)(x6y)3(x3y)
(x3y)(x6y3)．
（2）原式a(x y)b(x y)c(yx)(abc)(x y)．
（3）原式 (x 2y)2 (x 2y)6  (x 2y 3)(x 2y  2)．
（4）解：x2 4xy4y2 3x6y2
(x2y)2 3(x2y)2
(x2y2)(x2y1)
（5）解：6x2 5xy6y2 2x23y20
6x2 x(5y2)(6y2 23y20)，
6x2 x(5y2)(2y5)(3y4)，
(2x3y4)(3x2y5)．
（6）解：x2 2xy y2 3x3y2
(xy)2 3(xy)2
(x y1)(x y2) ．
8考点二：因式分解的简单应用【建议时长：20分钟】
例题4:
（1）（★★★☆☆）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x y，
ab，2，x2 y2，a，x y，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将
2a(x2 y2)2b(x2 y2)因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱美
（2）（★★★★☆）在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式分解法
无法直接分解的．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的
方法叫做分组因式分解法．例如：axaybxbya(x y)b(x y)(ab)(x y) ．下列
说法：
①因式分解：x2 2xy y2 1(xy1)(xy1)；
②若a，b，c是ABC 的三边长，且满足a2 bcb2 ac，则ABC 为等腰三角形；
③若a，b，c为实数且满足a2 2b2 c2 284a8b8c ，则以a，b，c作为三边能构
成三角形．
其中正确的个数有( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【常规讲解】（1）解：2a(x2 y2)2b(x2 y2)2(x2 y2)(ab)2(x y)(xy)(ab)，
信息中的汉字有：华、我、爱、中．
所以结果呈现的密码信息可能为爱我中华．
故选：A．
（2）解：①x2 2xy y2 1(x2 2xy y2)1(xy)2 1(xy1)(xy1)；故符合题
意；
②∵a2 bcb2 ac ，
a2 bcb2 ac0，
(ab)(ab)(ab)c(ab)(abc)0 ，
∵abc0，
ab0，
ab，
ABC为等腰三角形；故符合题意；
③∵a2 2b2 c2 284a8b8c ，
9(a2 4a4)2(b2 4b4)(c2 8c16)0，
(a2)2 2(b2)2 (c4)2 0，
a20，b20，c40，
a2，b2，c4，
∵ab224c，
以a，b，c作为三边不能构成三角形，故不符合题意；
故选：C．
10练习4:
（1）（★★★☆☆）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x1，
ab，5， x2 1，a， x1，分别对应下列六个字：区，爱，我，数，学，西，现将
5a(x2 1)5b(x2 1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是 ．
（2）（★★★☆☆）已知a，b，c是ABC 的三条边，且满足a2 bcb2 ac，则ABC 是
( )
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【常规讲解】（1）解：5a(x2 1)5b(x2 1)
5(x2 1)(ab)
5(x1)(x1)(ab)，
∵x1，ab，5，x2 1，a，x1，分别对应下列六个字：
区，爱，我，数，学，西，
5a(x2 1)5b(x2 1)因式分解，结果呈现的密码信息是：
我爱西区
故答案为：我爱西区．
（2）解：∵a2 bcb2 ac ，
a2 bcb2 ac0，
(ab)(ab)c(ba)0，
(abc)(ab)0，
∵a，b，c是ABC的三条边，
，abc0，ab，
ABC是等腰三角形，
故选：B．
11考点三：新定义题型【建议时长：20分钟】
例题5:
（★★★☆☆）（2023•闵行区校级期中）阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：x3 5x2 4
解答：对于任意一元多项式 f(x)，其奇次项系数之和为m，偶次项系数之和为n，若mn，
则 f(1)0，若mn，则 f（1）0．在x3 5x2 4中，因为m5，n5，所以把x1
代入多项式x3 5x2 4，得其值为0，由此确定多项式x3 5x2 4中有因式(x1)，于是可
设 x3 5x2 4(x1)(x2 mxn) ， 分 别 求 出 m ， n 的 值 ， 再 代 入
x3 5x2 4(x1)(x2 mxn)，就容易分解多项式x3 5x2 4，这种分解因式的方法叫做
“试根法”．
（1）上述式子中m ，n ；
（2）对于一元多项式x3 x2 17x15，必定有 f( )0；
（3）请你用“试根法”分解因式：x3 x2 17x15．
【配题说明】本题考查因式分解的意义，充分理解题意及因式分解的意义是解题的关键．
【常规讲解】
解：（1）∵x3 5x2 4
(x1)(x2  pxq)
x3  px2 qxx2  pxq
x3 (p1)x2 (q p)xq，
p15，q4，
则 p4，q4，
故答案为：4；4；
（2）∵多项式x3 5x2 3x9的奇次项系数之和为134，偶次项系数之和为594，
则 f(1)0，
故答案为：1；
（3）由（2）可知因式分解后必有因式(x1)，
设x3 5x2 3x9(x1)(x2 axb)，
则(x1)(x2 axb)
x3ax2 bxx2 axb
x3 (a1)x2 (ab)xb，
则a15，b9，
即a6，b9，
12x3 5x2 3x9(x1)(x2 6x9)(x1)(x3)2．
13练习5:
（★★★☆☆）（2023•奉贤区期中）阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：x3 5x2 4
解答：对于任意一元多项式 f(x)，其奇次项系数之和为m，偶次项系数之和为n，若mn，
则 f(1)0，若mn，则 f（1）0．在x3 5x2 4中，因为m5，n5，所以把x1
代入多项式x3 5x2 4，得其值为0，由此确定多项式x3 5x2 4中有因式(x1)，于是可
设 x3 5x2 4(x1)(x2  pxq) ， 分 别 求 出 p 、 q 的 值 ， 再 代 入
x3 5x2 4(x1)(x2  pxq)，就容易分解多项式x3 5x2 4，这种分解因式的方法叫做
“试根法”．
（1）上述式子中 p ，q ；
（2）对于一元多项式x3 5x2 3x9，必定有 f( )0；
（3）请你用“试根法”分解因式：x3 5x2 3x9．
【配题说明】因式分解的意义
【常规讲解】
解：（1）∵x3 5x2 4
(x1)(x2  pxq)
x3  px2 qxx2  pxq
x3 (p1)x2 (q p)xq，
p15，q4，
则 p4，q4，
故答案为：4；4；
（2）∵多项式x3 5x2 3x9的奇次项系数之和为134，偶次项系数之和为594，
则 f(1)0，
故答案为：1；
（3）由（2）可知因式分解后必有因式(x1)，
设x3 5x2 3x9(x1)(x2 axb)，
则(x1)(x2 axb)
x3ax2 bxx2 axb
x3 (a1)x2 (ab)xb，
则a15，b9，
即a6，b9，
x3 5x2 3x9(x1)(x2 6x9)(x1)(x3)2．
14全真战场
教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补充练习或课后补充练习让学生的完成
．． ．．
关卡一
练习1:
（★★☆☆☆）已知a，b，c是正整数，ab，且a2 abacbc11，则ac等于( )
A．1 B．1或11 C．1 D．1或11
【常规讲解】解：a2 abacbc11
(a2 ab)(acbc)11
a(ab)c(ab)11
(ab)(ac)11
∵ab，
ab0，
∵a，b，c是正整数，
ab1或11，ac11或1．
故选：D．
练习2:
（★★☆☆☆）分解因式：
（1）aaxbbx；
（2）xy  y2  yz xz．
（3）x4  x3y  xz3  yz3；
（4）5x3  x15x2 3
（5）5a2m15am3abm9bm
【常规讲解】
（1）原式(ab)x(ab)(ab)(1x)；
（2）原式 y(x y)z(yx)(x y)(yz)．
（3）原式 x3(x y) z3(x y) (x3  z3)(x y)．
（4）原式 5x2(x3)(x3) (5x2 1)(x3)．
（5）原式5am(a3)3bm(a3)m(5a3b)(a3)
15练习3:
（★★★☆☆）因式分解：
（1）（2020•宝山区期末）分解因式：2x3  2x2y  8y 8x ．
（2）（2020•奉贤区期末）因式分解：(y2  y)2 14(y2  y) 24 ．
（3）（2020•奉贤区期末）因式分解：9 x2 2xy y2．
（4）（2020•上海期末）分解因式：a4 4b2c2 a2b2 4a2c2．
（5）（2020•浦东新区期末）分解因式：2x3 12x2y 18xy2 ．
（6）（2020•松江区期末）因式分解：(x2 4x)2 2(x2 4x)15．
【常规讲解】
（1）解：原式 2x2(x  y)8(x  y)
 2(x y)(x2  4)
2(x y)(x2)(x2)．
（2）解：原式 (y2  y 2)(y2  y 12)
(y2)(y1)(y4)(y3)．
（3）解：9 x2 2xy y2
 9  (x2  2xy  y2)
9(x y)2
(3 x y)(3 x y)．
（4）解：原式 (a4 a2b2)(4a2c2 4b2c2)
 a2(a2 b2)4c2(a2 b2)
 (a2 b2)(a2  4c2)
(ab)(ab)(a2c)(a2c)．
（5）解：2x3 12x2y 18xy2
 2x(x2  6xy  9y2)
 2x(x3y)2．
（6）解：原式 (x2  4x5)(x2  4x3)
(x5)(x1)(x3)(x1)．
16关卡二
练习4:
（★★★★☆）分解因式：(x y2xy)(x y2)(xy1)2  ．
【常规讲解】解：原式(x y)2 2(x y)2xy(x y)4xy(xy)2 2xy1
(x y)2 2(x y)2xy(x y)(xy)2 2xy1
(x y)2 2(x y)(xy1)(xy1)2
[(x y)(xy1)]2
(x yxy1)2
(x1)2(y1)2．
故答案为(x1)2(y1)2．
练习5:
（★★★★★）已知：a2b2 1，c2 d2 1，且acbd0，求abcd的值．
【常规讲解】
由(acbd)2  a2c2  2abcd b2d2  0，得 2abcd  a2c2 b2d2，
代入(ab cd)2  a2b2  2abcd  c2d2  a2b2  a2c2 b2d2  c2d2
 a2(b2 c2) d2(b2 c2)  (b2 c2)(a2  d2)，
再把a2b2 1，c2 d2 1代入，可得：
(b2 c2)(a2 d2) (1a2 1 d2)(a2 d2) (a2 d2)2，
∴(ab  cd)2  (a2  d2)2，∴(abcd)2 (a2 d2)2  0，
可得abcd0．
故答案为0
练习6:
（★★★★☆）已知x2 x50，求x5 2x4 6x3 19x2 8x18的值．
【常规讲解】
解：∵x2 x50，
x5 2x4 6x319x2 8x18
x3(x2 x5)3x2(x2 x5)2x(x2 x5)2(x2 x5)8
8．
17练习7:
（★★★★☆）先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．
分解因式：x4 4
解：x4 4x4 4x2 44x2 (x2 2)2 4x2
(x2 2x2)(x2 2x2)
以上解法中，在x4 4的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的
值保持与 x4 4 的值保持不变，必须减去同样的一项．按照这个思路，试把多项式
x4 x2y2  y4分解因式．
【常规讲解】
解：x4 x2y2  y4 x4 2x2y2  y4 x2y2
(x2  y2)2 x2y2（2分）
(x2  y2 xy)(x2  y2 xy)．
练习8:
（★★★★☆）若a2 b10，且(a2 1)(b2)a2b．
（ ）求b的取值范围；
Ⅰ
（ ）若a4 2b20，求b的值．
Ⅱ
【常规讲解】
解：（Ⅰ）∵a2 b10，
a2 b1，a2 b1，
(a2 1)(b2)a2b．
a2b2a2 b2a2b
a2 a2 b20，
a2 120，
a2 1，b11，
b0．
（或者：把a2 b1代入原不等式：解得b0)
∵a2 b1，
∵a2 0，（大于等于）
b1 0，b 1．（大于等于）
答：b的取值范围为1 b0．（大于等于）
18（Ⅱ）a4 2b20，a4 2(b1)0，
∵a2 b1，
a4 2a2 0，
解得a2 0或a2 2，
∵a2 1，
a2 0，
b10，
b1．
（或者：把a2 b1代入原等式：解得b1，1舍去）
答：b的值为1．
19