文档内容
第11讲 相关定理在解三角形中的综合应用
（高阶拓展、竞赛适用）
（8 类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为13-15分
【备考策略】1.掌握正余弦定理在三角形中的应用、熟练掌握面积公式的应用
2能熟练掌握解三角形中的相关定理公式进行综合应用
【命题预测】本节内容是在新高考卷的命题考查为解答题，常考查相关定理公式综合，需备考综合复习
知识讲解1. 海伦-秦九韶公式
三角形的三边分别是a、b、c，
则三角形的面积为
其中 ，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。
我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式:
2. 三倍角公式
，
3. 射影定理
， ，
4. 角平分线定理
中， 为 的角平分线，则有
（1）在
（2）
（3） （库斯顿定理）
（4）
5. 张角定理
6. 倍角定理
在 中,三个内角 的对边分别为 ,
(1)如果 ,则有:
(2)如果 ,则有:
(3)如果 ,则有:
倍角定理的逆运用
在 中,三个内角A、B、C的对边分别为 ,(1)如果 ,则有: 。
(2)如果 ,则有: 。
(3)如果 ,则有: 。
7. 中线长定理
为 的中线,则中线定理:
证明:
在 和 中,用余弦定理有:
8. 三角恒等式
在 中，
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ；
⑥ ；
⑦ ；
⑧ ；
⑨ ；⑩ 。
考点一、 海伦 - 秦九韶公式及其应用
1．（2024·浙江湖州·模拟预测）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设 ，则该三角形的
面积 ，这就是著名的“海伦-秦九韶公式”若 的三边长分别为5，6，7，则
该三角形的面积为 ．
2．（2023·江苏·三模）海伦（Heron，约公元1世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的
“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长a，b，c计算其面积的公式S ABC＝
△
，其中 ，若a＝5，b＝6，c＝7，则借助“海伦公式”可求得△ABC的内
切圆的半径r的值是 ．
3．（2023·辽宁葫芦岛·二模）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十
一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三
斜求积"中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：
“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，
开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即 ， 现在有周长为 的
满足 ，则用以上给出的公式求得 的面积为（ ）
A． B． C． D．12
4．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶（约1202～1261）独立发现了与海伦
公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．
具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，
为实一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式，就是 ．现将
一根长为 的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为 ，则该三角形面积的最大
值为（ ） ．
A． B． C． D．1．（22-23高三下·河北·期中）已知 中角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，则
的面积 ，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出．若
的周长为15， ，则 的面积为
．
2．（2023·浙江·模拟预测）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角
形三边长求三角形面积的公式.在 中，设 分别为 的内角 的对边，S表示 的面
积，其公式为 .若 ， ， ，则 .
3．（22-23高三上·陕西渭南·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即△ABC
的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积 ．若 ，
，则△ABC面积S的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
4．（22-23高三上·山东滨州·期中）三角形的三边分别为a，b，c，秦九韶公式
和海伦公式 ，其中 ，是等价的，都是
用来求三角形的面积．印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪的一部论及天文的著作中，给出若四边形的四
边分别为a，b，c，d，则 ，其中 ， 为一组对
角和的一半.已知四边形四条边长分别为3，4，5，6，则四边形最大面积为（ ）
A．21 B． C． D．
考点二、 三倍角公式及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 ，且 为
锐角，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1. 已知 的内角 的对边分别为 ,若 ,则 的最小值为
A.-1 B. C.3 D.
考点三、 射影定理及其应用
1．（22-23高三·吉林长春·阶段练习）在 中，角 所对的边分别为 ， 表示 的面积，
若 ， ，则 （ ）
A．90 B．60 C．45 D．30
1．（21-22高三上·全国·阶段练习）在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，
， ，若 ，则 的面积为 .
2．（2022·山西临汾·一模）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 ，则
tanA的最大值为 .
考点 四 、 角平分线定理及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习） 中，边 内上有一点 ，证明： 是 的角平分线的充要条
△
件是 ．2．（2023·全国·统考高考真题）在 中， ， 的角平分线交BC于
D，则 ．
3．（2024·河北·三模） 中， ， ．则 的角平分线 的长为 ．
4．（2023·江苏·一模）在 中， ， 的角平分线 交 于点D， 的面积是
面积的3倍，则 （ ）
A． B． C． D．
1．（2024高三·全国·专题练习）已知AD是 的 角平分线， ， ， ，则
.
2．（2023高三·全国·专题练习）在 中， ， ，A的角平分线 ，则 （
）
A．2 B． C． D．
3．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）（多选）设 为 的外心， ， ， 的
角平分线 交 于点 ，则（ ）
A． B．
C． D．考点 五 、 张角定理及其应用
1．（内蒙古呼和浩特·统考一模）如图，已知 是 中 的角平分线，交 边于点 .
（1）用正弦定理证明： ；
（2）若 ， ， ，求 的长.
2.在 中,角 所对的边分别为 ,已知点 在 边上,
,则
__________
1. 在 中 , 角 所 对 的 边 分 别 为 是 的 角 平 分 线 , 若
,则 的最小值为_______
2．（2024·江西宜春·三模）在 中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ，
的周长为15，面积为 ．
(1)求 的外接圆面积；
(2)设D是边AB上一点，在①CD是边AB上的中线；②CD是 的角平分线这两个条件中任选一个，
求线段CD的长．
考点 六 、 倍角定理及其应用
1.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c, 若B=2A,a=1,b=√3, 则c=____________
2．（2020高三·全国·专题练习）设锐角 的三个内角 . . 的对边分别为 . . ，且 ， ，则 周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
1．（22-23高三上·安徽阜阳·阶段练习） 内角 ，C的对边分别为 ，若 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
c (2b) 2
2 .在 △ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 若 A=2B, 则 + 的最小值为
b a
_____
考点 七 、 中线长定理及其应用
1．（23-24高一下·河北保定·期末）阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗
尼奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线
及第三边之半的平方和的两倍，即如果AD是 中BC边上的中线，则 .
(1)若在 中， ， ， ，求此三角形BC边上的中线长；
(2)请证明题干中的定理；
(3)如图 中，若 ，D为BC中点， ， ， ，
求 的值.
2．（2011·吉林·一模）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则
边上的中线长为 ．1．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习） 的三边分别为 ，边 上的中线长为 ．
2．（2020高三·全国·专题练习） 的两边长分别为 ，第三边上的中线长为1，则其外接圆的直径
为
考点 八 、 三角恒等式及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，若
.
(1)求 ；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
1．（2023春·浙江台州·高三校考期中）在① ，② ，
③ 的面积为 ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且______．
(1)求角A；
(2)若 ， 的内切圆半径为 ，求 的面积．
一、单选题
1．（23-24高一·全国·课后作业）在 中，已知 ， ，且AB边的中线长为1，那么c的长为．
A． B．2 C． D．3
2．（2022·全国·模拟预测）数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个 的三边长分别为a，
b，c，三角形的面积S可由公式 求得，其中p为三角形周长的一半，与古希腊
数学家海伦公式完全一致，所以这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的周长为24，
，则当三角形面积最大值时AB边上的高为（ ）
A．8 B． C．12 D．3．（23-24高一下·重庆·阶段练习） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
， ，若边 的中线长等于 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（23-24高二·全国·假期作业）在 中，已知 ， ， ，则 边上的中线长为
．
5．（23-24高一下·福建福州·期末）在 中， 的角平分线交
于 ，则 .
6．（22-23高一·全国·课后作业）任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”： 的三边是 ，它
们所对的角分别是 ，则有 ， ， ．请利
用上述知识解答下面的题：在 中，若 ，则 ．
7．（2019高一·山东济南·学业考试）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有
一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式 求得，其中p为
三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 ， ，
则此三角形面积的最大值为 .
三、解答题
8．（23-24高二下·福建福州·期中）在 中，内角 的对边分别是 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 边上的中线长.
9．（20-21高一下·福建莆田·阶段练习）在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ，
.
（1）求角 ；
（2）若 为 的角平分线，证明： .
10．（20-21高一下·福建·期中）已知 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足
.
(1)求角A；
(2)设点D为上BC一点，且AD=2，证明：若 ，则 存在最大值或最小值；请在下面的两个条件中选择
一个填到上面的横线上，并证明.
①AD是 的中线；②AD是 的角平分线.
11．（23-24高一下·湖南株洲·期末）在 中，角 所对的边分别为 ，向量 ，
，且 ， 为线段 上一点.
(1)求角 的大小；
(2)若 为角 的角平分线， ， 的周长为15，求 的长.
12．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知 分别为 三个内角A，B，C的对边，满足：
．
(1)证明： ；
(2)若 ，且 为锐角三角形，求 的面积S的取值范围．
13．（2024·陕西商洛·模拟预测）在锐角 中.内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知
.
(1)求证： ；
(2)求 的取值范围.
14．（23-24高一下·河南郑州·期中）古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长
a，b，c计算三角形面积的公式： ，这个公式常称为海伦公式，其中，
．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三
角形面积的公式： ，这个公式常称为“三斜求积”公式．
(1)已知 的三条边分别为 ，求 的面积；
(2)利用题中所给信息，证明三角形的面积公式 ；
(3)在 中， ，求 面积的最大值．
15．（22-23高一下·山东枣庄·期中） 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知
.
(1)求 的值；
(2)若BD是 的角平分线.
（i）证明： ；
（ii）若 ，求 的最大值.一、单选题
1．（陕西·高考真题）设在 中,角 所对的边分别为 , 若 , 则
的形状为 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
二、填空题
2．（2023·全国·统考高考真题）在 中， ， 的角平分线交BC于
D，则 ．
三、解答题
3．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
．
(1)若 ，求C；
(2)证明：
4．（全国·高考真题）△ABC中D是BC上的点,AD平分 BAC,BD=2DC．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ,求 .
5．（全国·高考真题） 中，D是BC上的点，AD平分∠BAC， 面积是 面积的2倍．
(1)求 ；
(2)若AD＝1，DC＝ ，求BD和AC的长．
