FY25暑假初一B14可化为一元一次方程的分式方程教师版2.0_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初一_志高_教师版PDF

B14 可化为一元一次方程的分式方程 考情链接 1. 本次任务由三个部分构成 （1）可化为一元一次方程的分式方程解法 （2）分式方程的增根问题 （3）整数指数幂 2. 考情分析 （1）可化为一元一次方程的方程的分式方程与整数指数幂主要以填空、计算题的形式对学 生进行考查，而增根会以填空的形式对学生进行考查； （2）理解分式方程及可化为一元一次方程的分式方程的意义．通过学习分式方程的解法， 理解分式方程的基本思想，重点知道解分式方程时可能产生增根的原因，掌握验根的方 法．理解负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算法则，在用科学计算法表示绝对值 较大的数的基础上，学会用它表示绝对值小于 的数． 环节 需要时间 作业讲解及复习 15分钟 切片1：可化为一元一次方程的分式方程解法 30分钟 切片 2：分式方程的增根问题 40分钟 切片3：整数指数幂 20分钟 出门测 15分钟 1知识加油站 1——可化为一元一次方程的分式方程解法【建议时长：30 分钟】 考点一：分式方程的概念 知识笔记1 分式方程的概念 __________里含有未知数的方程叫做分式方程. 【填空答案】：分母 例题1: （1）（★★☆☆☆）（2022•静安区市西中学期中）已知方程： 1−9x2 ① =0， x2 ② 2 x x + x 2 2 = 1 2 2 ③x+ =2+ x+2 x−2 4 ④(x+ )(x−6)=−1． 5 这四个方程中，分式方程的个数是 ( ) A．4 B．3 C．2 D．1． （2）（★★☆☆☆）（2022•普陀区校级期中）下列方程属于分式方程的是( ) 1+4x2 A． +5=0 B． 3 3 x x + 2 1 + 2 = 0 C． 3 x 2 + x − 3 = 0 D． x + 5 4 − x = 1 【配题说明】本题考查分式方程的定义 【常规讲解】 （1）解：① 1 − x 9 2 x 2 = 0 ，是分式方程； ② x x + x 2 2 = 1 ，是分式方程； 2 2 ③x+ =2+ ，是分式方程； x+2 x−24 ④(x+ )(x−6)=−1，不是分式方程， 5 则分式方程的个数是3． 故选：B． （2）解： 3 A 、 1 + 4 3 x 2 + 5 = 0 不是分式方程，是整式方程，故此选项错误； B 、是分式方程，故此选项正确； C 、是整式方程，故此选项错误； B 、不是分式方程，故此选项错误； 故选：B． 练习1:【学习框8】 （1）（★★☆☆☆）下列关于 x 的方程中，不是分式方程的是 ( ) A． 1 x + x = 1 B． x 3 + 3 x 4 = 2 5 C． x 1 − 1 = 4 x x2 −1 D． =2 x+1 （2）（★★☆☆☆）（2021•宝山区校级月考）下列方程中不是分式方程的是 ( ) x2 2 A． −x=0 B． =1 C． 3 x 3 2 − x = x D． 1 y + y = 2 【配题说明】本题考查分式方程的定义 【常规讲解】 （1）解： A 、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误； B 、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项正确； C 、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误； D 、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误． 故选： B ． （2）解：A．分母中不含有未知数，不是分式方程，故本选项符合题意； B ．分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意； C ．分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意； D．分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：A．考点二：分式方程的解法 知识笔记2 可化为一元一次方程的分式方程一般解法： （1）_________：在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）_________：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零 的根是原方程的增根，必须舍去． 【填空答案】：转化；检验 例题2: 3x+1 4 （1）（★★★☆☆）（2022•嘉定区育才中学期末）解方程： =2+ ． x−3 x−3 1 4−x （2）（★★★☆☆）（2022•宝山区罗南中学期末）解方程：1− = ． x−5 x−5 （3）（★★★☆☆）（2023•崇明区期末）解方程： 4 x 2 8 − 4 + 1 = x x − 2 ． 2y+1 1 （4）（★★★☆☆）（2023•普陀区校级期末）解方程： − =1． y 3y 【配题说明】可化为一元一次方程的分式方程解法（普通解法+无解情况） 【常规讲解】 3x+1 4 （1）解： =2+ ， x−3 x−3 方程两边都乘 x − 3 ，得 3 x + 1 = 2 ( x − 3 ) + 4 ， 解得：x=−3， 检验：当 x = − 3 时， x − 3  0 ， 所以x=−3是分式方程的解， 即分式方程的解是x=−3． 1 4−x （2）解：1− = x−5 x−5 去分母得：x−5−1=4−x，移项得合并得： 5 2 x = 1 0 ， 解得： x = 5 ， 经检验， x = 5 是原方程的增根， 故原分式方程无解． （3）解：去分母得： 8 + x 2 − 4 = x ( x + 2 ) ， 整理得： 2 x = 4 ， 解得： x = 2 ， 经检验 x = 2 是增根，分式方程无解． （4）解： 2 y y + 1 − 1 3 y = 1 ， 方程两边同乘 3 y 得：3(2y+1)−1=3y， 去括号得： 6 y + 3 − 1 = 3 y ， 移项，合并同类项得：3y=−2， 2 系数化为1得：y=− ， 3 检验：把 y = − 2 3 2 代入3y得：3(− )=−20， 3  y = − 2 3 是原方程的解． 练习2:【学习框10】 （1）（★★★☆☆）解方程： 1 − x x − 1 = x 2 + 1 ． （2）（★★★☆☆）解方程： y 1 2 6 − 4 = y y − + 2 2 − 1 ． x+5 5 3 （3）（★★★☆☆）（2023•杨浦区期末）解方程： = − ． x2 −x x−1 x 1 x （4）（★★★☆☆）（2022•杨浦区期末）解方程：1+ = ． 1−x2 x−1 【配题说明】可化为一元一次方程的分式方程解法（普通解法+无解情况） 【常规讲解】 （1）解：去分母得：x2 −1−x2 −x=2x−2，解得： 6 x = 1 3 ， 经检验 x = 1 3 是分式方程的解． （2）解：去分母得： 1 6 = ( y − 2 ) ( y − 2 ) − ( y 2 − 4 ) ， 去括号得： 1 6 = y 2 − 4 y + 4 − y 2 + 4 ， 合并得： 1 6 = − 4 y + 8 ， 解得： y = − 2 ， 检验： y = − 2 时，y2 −4=0， 则原方程无解． （3）解：方程的两边同乘 x ( x − 1 ) ， 得： x + 5 = 5 x − 3 ( x − 1 ) ， 解得： x = 2 ． 检验：把 x = 2 代入 x ( x − 1 ) = 2  0 ，即 x = 2 是原分式方程的解． 则原方程的解为： x = 2 ． （4）解： 1 − x 2 + 1 = − x (1 + x ) ， 1 − x 2 + 1 = − x − x 2 ， x = − 2 ． 检验：当 x = − 2 时， 1 − x 2  0 ， x − 1  0 ， x=−2是原方程的解． 例题3: （★★★★☆）阅读下列材料： 在学习“可化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于 x a 的分式方程 =1的解为正数，求 x−4 a 的取值范围． 经过独立思考与分析后，小杰和小哲开始交流解题思路如下： 小杰说：解这个关于 x 的分式方程，得x=a+4．由题意可得a+40，所以 a  − 4 ，问 题解决． 小哲说：你考虑的不全面，还必须保证x4，即a+44才行． （1） 请 回 答 ：__________的 说 法 是 正 确 的 ， 并 简 述 正 确 的 理 由 是________________________； （2）参考对上述问题的讨论，解决下面的问题： 若关于 7 x 的方程 x m − 3 − 3 x − x = 2 的解为非负数，求m的取值范围． 【配题说明】分式方程的解的正负性问题 【常规讲解】 解：（1）小哲的说法是正确的，正确的理由是分式的分母不为0； 故答案为：小哲；分式的分母不为0； （2）去分母得：m+x=2x−6， 解得： x = m + 6 ， 由分式方程的解为非负数，得到 m + 6 0 ，且m+63， 解得：m −6且 m  − 3 ． 【拓展讲解1】（★★★★★）解关于m的方程： m 1 + 5 − m 1 + 6 = m 1 + 7 − m 1 + 8 ． 【配题说明】复杂分式方程 【常规讲解】 原方程可化为 ( m + 5 1) ( m + 6 ) = ( m + 7 1) ( m + 8 ) ， 方程两边同时乘以 ( m + 5 )( m + 6 )( m + 7 )( m + 8 ) 可得： ( m + 7 )( m + 8 ) = ( m + 5 )( m + 6 ) 整理得： 4 m = − 2 6 ，解得： m = − 1 3 2 ， 13 经检验m=− 是原方程的解，所以原方程的解为 2 m = − 1 3 2 ． 【拓展讲解2】（★★★★★）解方程： x x + + 2 1 + x x + + 8 7 = x x + + 6 5 + x x + + 4 3 ． 【配题说明】复杂分式方程 【常规讲解】 方程可变为： 1 + x 1 + 1 + 1 + x 1 + 7 = 1 + x 1 + 5 + 1 + x 1 + 3 ， 1 1 1 1 化简为： + = + ， x+1 x+7 x+5 x+3 2x+8 2x+8 通分可得：(x+1)(x+7) = (x+5)(x+3)， 则可得：2x+8=0或 (x+1)(x+7)=(x+5)(x+3) ，解得： 8 x = − 4 或无解， 所以原分式方程的解为 x = − 4 ． 练习3:【学习框12】 x−3 x−2 m （★★★★☆）已知分式方程 − = 的解为正数，则m 的取值范围为 x−2 x−3 x2 −5x+6 __________． 【配题说明】分式方程的解的正负性问题 【常规讲解】 解： x x − − 3 2 − x x − − 2 3 = ( x ( − x 3 − ) 2 2 − ) ( ( x x − − 3 2 ) ) 2 = x − 2 2 − x 5 + x 5 + 6 ，  m = − 2 x + 5 ，  x = − m − 2 5 ， 分式方程的解为正数，  m − 5  0 ，  m  5 ， 又 x  2 ， x  3 ，  m  1 ， m  − 1 ，  m 的范围是 m  5 且 m   1 ， 故答案为 m  5 且m1．知识加油站 2——分式方程的增根问题【建议时长：40分钟】 知识笔记3 增根问题的解题思路 （1）去分母 （2）将最简公分母等于0时，求出x的值（即求出增根的值） （3）将x的值（增根）代入方程 （4）求出字母的值 【口诀：___________________________________________】 【填空答案】：去分母，求增根，代增根，解字母． 考点三：分式方程的增根问题 例题4: （1）（★★★☆☆）（2023•长宁区延安初级中学月考）已知关于 9 x 的方程 x 2 1 − 4 = x k − 2 有增 根，那么 k = ． （2）（★★★☆☆）（2023•黄浦区期中）如果 x = 3 是方程 x x − 3 = 2 − 3 k − x 的增根，那么 k 的 值为 ． （3）（★★★☆☆）（2022•青浦区东方中学期末）解关于 x x−3 2m 的方程 = 有增根，则 x−2 x−2 m 的值为 ． （4）（★★★☆☆）（2024•徐汇区校级月考）当 m = _____时，关于 x 5+m 1 的方程 = −1 x−2 x−2 会产生增根． 【配题说明】本题考查分式方程的增根问题． 【常规讲解】 1 k （1）解： = ， x2 −4 x−2 去分母得：1=k(x+2)，由分式方程有增根，得到 10 x 2 − 4 = 0 ，即 x =  2 ， 把 x = 2 代入整式方程 1 = k ( x + 2 ) ， 解得 k = 1 4 ． 把 x = − 2 代入整式方程 1 = k ( x + 2 ) ， 无解． 故答案为： 1 4 ． （2）解：方程两边同乘以 x − 3 得， x = 2 ( x − 3 ) + k ， x = 3 x k 是方程 =2− 的增根， x−3 3−x 3=2(3−3)+k，  k = 3 ． 故答案为3． （3）解：方程两边都乘 ( x − 2 ) ，得 x − 3 = 2 m ， 方程有增根，  增根使最简公分母x−2=0，即增根是x=2， 把 x = 2 1 代入整式方程，得m=− ． 2 故答案为： − 1 2 ． （4）解： 5 x + − m 2 = x 1 − 2 − 1 ， 5 + m = 1 − x + 2 ， x = − 2 − m ， 当x−2=0时，原方程会产生增根， 即当 x = 2 时，原方程会产生增根， −2−m=2， 解得： m = − 4 ． 故答案为： − 4 ．练习4:【学习框14】 （1）（★★★☆☆）若分式方程 11 x a − 3 = 2 − 3 3 − x 有增根，则a的值是 ( ) A．3 B． − 3 C．2 D．0 （2）（★★★☆☆）若关于 x 分式方程 x x − − m 2 = x 1 − 2 有增根，则 m = _______． （3）（★★★☆☆）若 y = 1 是方程 y m − 1 + y 3 − 2 = ( y − 1 1 ) ( y − 2 ) 的增根，则m=_______． （4）（★★★☆☆）（2023•崇明区期末）若关于x的方程： x 3 − 3 + x a 2 x − 9 = x 4 + 3 有增根，则 a = ____________． 【配题说明】本题考查分式方程的增根问题． 【常规讲解】 （1）解：方程两边都乘 ( x − 3 ) ， 得 a = 2 ( x − 3 ) + 3 ． 原方程有增根，  最简公分母 ( x − 3 ) = 0 ， 解得 x = 3 ． 当x=3时， a = 3 ， 故选：A． （2）解：去分母得： x − m = 1 ， 由分式方程有增根，得到 x − 2 = 0 ，即 x = 2 ， 代入整式方程得： 2 − m = 1 ， 解得： m = 1 ， 故答案为：1． （3）解：去分母，可得 m ( y − 2 ) + 3 ( y − 1 ) = 1 ， 把y=1代入，可得 m(1−2)+3(1−1)=1，解得 12 m = − 1 ， 故答案为： − 1 ． （4）解： 原方程有增根，  增根可能是x=3或−3， x 3 − 3 + x a 2 x − 9 = x 4 + 3 ， 方程两边都乘以(x+3)(x−3)， 3 ( x + 3 ) + a x = 4 ( x − 3 ) ， ( a − 1 ) x = − 2 1 ， 把x=3代入得， ( a − 1 )  3 = − 2 1 ， 解得 a = − 6 ， 把 x = − 3 代入得，(a−1)(−3)=−21， 解得 a = 8 ， 故答案为： − 6 或8． 考点四：分式方程的无解问题 知识笔记4 无解问题的解题思路 （1）去分母 （2）将方程化为 a x = b 的形式 【分类讨论】 ①增根情况： 同知识笔记3增根问题 ②整式方程本身无解情况：【字母出现在未知数的系数中时，进行讨论】 a=0 a. 列式： （即未知数系数=0，常数≠0） b0 b. 求出字母的值 例题5: 2 m （1）（★★★☆☆）（2022•闵行区七宝三中期末）如果关于x的分式方程 =1− 无解， x−3 x−3则 13 m 的值为______． （2）（★★★★☆）（2023•杨浦区期中）若关于x的方程 2 m x − + 3 x − 1 = 2 x 无解，则m 的值是 ______． （3）（★★★★☆）（2023•普陀区校级期末）关于 x 5x 3+mx 的方程 + =2无解，则 x−4 4−x m 的 值为____________． 【配题说明】本题考查分式方程的无解问题． 【常规讲解】 2 m （1）解： =1− ， x−3 x−3 去分母得： 2 = x − 3 − m ， 根据分式方程无解，得到 x − 3 = 0 ，即 x = 3 ， 代入整式方程得： 2 = − m ， 解得： m = − 2 ． 故答案为：−2． （2）解： 2 m x − + 3 x − 1 = 2 x ， 方程两边同乘： x ( x − 3 ) ，得： 2 m x + x 2 − x 2 + 3 x = 2 x − 6 ， 整理得： ( 2 m + 1 ) x = − 6 ， ①整式方程无解： 2 m + 1 = 0 1 ，解得：m=− ； 2 ②分式方程有增根： x = 0 或 x − 3 = 0 ，解得： x = 0 或 x = 3 ； 当x=0时：整式方程无解； 当x=3时： 3 ( 2 m + 1 ) = − 6 ，解得： m = − 3 2 ； 综上，当 m = − 1 2 3 或m=− 时，分式方程无解； 2 1 3 故答案为：− 或− ． 2 2 5x 3+mx （3）解： + =2， x−4 4−x 方程两边同时乘以x−4，得14 5 x − 3 − m x = 2 x − 8 ， 移项、合并同类项，得 ( 3 − m ) x = − 5 ， 方程无解，  3 − m = 0 或 x = 4 ，  m = 3 或 4 ( 3 − m ) = − 5 ， 解得 m = 3 或 m = 1 7 4 ， 故答案为：3或 1 7 4 ． 练习5:【学习框16】 （1）（★★★☆☆）若关于 x 的方程 x x − − 2 3 = x m − 3 + 2 无解，则 m 的值为________． m−2 （2）（★★★☆☆）如果关于x的分式方程 =1无解，求字母 x+1 m 的值； mx x+3m （3）（★★★★☆）（2023•徐汇区期中）若分式方程 = 无实数解，则 x−1 x−1 m = _____________． 【配题说明】本题考查分式方程的无解问题． 【常规讲解】 x−2 m （1）解： = +2 x−3 x−3 去分母得：x−2=m+2(x−3)， 整理得：x=4−m， 原方程无解，得到 x − 3 = 0 ，即 x = 3 ，  4 − m = 3 ，解得 m = 1 ． 故答案为：1 （2）解： 两边乘以x+1，得： m − 2 = x + 1 ， 由题意知x=−1，代入得 m − 2 = 0 ， 则m=2． mx x+3m （3）解：分式方程 = 去分母，得mx=x+3m， x−1 x−1整理得： 15 ( m − 1 ) x = 3 m ①， 有两种情况： 第一种情况：当 x − 1 = 0 ，即 x = 1 时，分式方程无解， 把x=1代入①，得 m − 1 = 3 m ， 解得： m = − 1 2 ； 第二种情况： ( m − 1 ) x = 3 m ①， 当m−1=0，即m=1时，方程无解； 所以该分式方程无解时， m 的值是 − 1 2 或1． 故答案为： − 1 2 或1． 例题6: （★★★★★）已知关于 x 的分式方程 x 2 − 2 + x m 2 x − 4 = x 2 + 2 ． ①若方程的增根为 x = 2 ，求 m 的值； ②若方程有增根，求 m 的值； ③若方程无解，求 m 的值． 【配题说明】本题考查分式方程增根、无解问题的综合． 【常规讲解】 解：①去分母得： 2 ( x + 2 ) + m x = 2 ( x − 2 ) 整理，得 m x = − 8 ． 若增根为 x = 2 ，则 2 m = − 8 ．得 m = − 4 ； ②若原分式方程有增根，则 ( x + 2 ) ( x − 2 ) = 0 ．所以x=−2 或x=2． 当x=−2 时， − 2 m = − 8 ．得 m = 4 ． 当x=2 时， 2 m = − 8 ．得m=−4． 所以若原分式方程有增根，则m=4． ③由②知，当 m =  4 时，原分式方程有增根，即无解； 去分母后的整式方程：mx=−8， 当m=0 时，x无意义即无解． 综上知，若原分式方程无解，则m=4 或m=0．【拓展讲解】已知，关于 16 x 的分式方程 2 x a + 3 − b x − − x 5 = 1 ． （1）当 a = 1 ， b = 0 时，求分式方程的解； （2）当 a = 1 时，求 b 为何值时分式方程 2 x a + 3 − b x − − x 5 = 1 无解； （3）若 a = 3 b ，且 a 、 b 为正整数，当分式方程 2 x a + 3 − b x − − x 5 = 1 的解为整数时，求 b 的值． 【配题说明】程度较好班级可拓展此题． 【常规讲解】 解：（1）把 a = 1 ， b = 0 代入分式方程 2 x a + 3 − b x − − x 5 = 1 中，得 2 x 1 + 3 − x − − x 5 = 1 方程两边同时乘以 ( 2 x + 3 ) ( x − 5 ) ， ( x − 5 ) + x ( 2 x + 3 ) = ( 2 x + 3 ) ( x − 5 ) x − 5 + 2 x 2 + 3 x = 2 x 2 − 7 x − 1 5 10 x=− 11 检验：把 x = − 1 1 0 1 代入 ( 2 x + 3 ) ( x − 5 )  0 ，所以原分式方程的解是 x = − 1 1 0 1 ． 10 答：分式方程的解是x=− ． 11 a b−x （2）把a=1代入分式方程 − =1得 2x+3 x−5 2 x 1 + 3 − b x − − x 5 = 1 方程两边同时乘以(2x+3)(x−5)， (x−5)−(b−x)(2x+3)=(2x+3)(x−5) x − 5 + 2 x 2 + 3 x − 2 b x − 3 b = 2 x 2 − 7 x − 1 5 (1 1 − 2 b ) x = 3 b − 1 0 11 ①当11−2b=0时，即b= ，方程无解； 2 ②当11−2b0时， x = 3 1 b 1 − − 1 2 0 b x = − 3 2 时，分式方程无解，即 3 1 b 1 − − 1 2 0 b = − 3 2 ，b不存在； 3b−10 x=5时，分式方程无解，即 =5，b=5． 11−2b综上所述， 17 b = 1 1 2 或 b = 5 时，分式方程 2 x a + 3 − b x − − x 5 = 1 无解． （3）把 a = 3 b 代入分式方程 2 x a + 3 − b x − − x 5 = 1 ，得： 2 3 x b + 3 + x x − − b 5 = 1 方程两边同时乘以 ( 2 x + 3 ) ( x − 5 ) ， 3 b ( x − 5 ) + ( x − b ) ( 2 x + 3 ) = ( 2 x + 3 ) ( x − 5 ) 整理得： (1 0 + b ) x = 1 8 b − 1 5  x = 1 8 1 b 0 − + 1 b 5 1 8 1 b 0 − + 1 b 5 = 1 8 ( b + 1 1 0 0 + ) b − 1 9 5 = 1 8 − 1 1 0 9 + 5 b ，且 b 为正整数， x 为整数 10+b必为195的因数， 1 0 + b 1 1 1 9 5 = 3  5  1 3  1 9 5 的因数有1、3、5、13、15、39、65、195 但1、3、5 小于11，不合题意，故 1 0 + b 可以取13、15、39、65、195这五个数． 对应地，方程的解 x 为3、5、13、15、17 由于 x = 5 为分式方程的增根，故应舍去． 对应地， b 只可以取3、29、55、185 所以满足条件的 b 可取3、29、55、185这四个数． 练习6:【学习框18】 （★★★★★）已知关于 x 2 mx 1 的分式方程 + = ． x−1 (x−1)(x+2) x+2 （1）若方程的增根为 x = 1 ，求 m 的值； （2）若方程无解，求 m 的值． 【配题说明】本题考查分式方程增根、无解问题的综合． 【常规讲解】 解：去分母，得2(x+2)+mx=x−1， 整理，得 ( m + 1 ) x = − 5 ， （1）将 x = 1 代入(m+1)x=−5， 解得m=−6； （2） 方程无解，当x=1时， 18 m = − 6 ； 将x=−2代入 ( m + 1 ) x = − 5 ， 解得 m = 3 2 ， 当m+1=0时， m = − 1 ，  满足条件的 m 的值有 3 2 或 − 6 或 − 1 ．知识加油站 3——整数指数幂【建议时长：20分钟】 考点五：整数指数幂 知识笔记5 1. 零指数 19 a 0 = 1 ( a  0 ) ； 2. 负整数指数幂 1 a−p = (其中a0，p是自然数)； ap 3. 用科学记数法表示绝对值大于0而小于1的数的方法 绝对值大于0而小于1的数等于 a  1 0 − n（ 其 中 1  a  1 0 ， n 为 正 整 数 ） ． 例题7: （1）（★★☆☆☆）（2022•徐汇区期末）下列运算正确的是( ) A． 4 x 6  ( 2 x 2 ) = 2 x 3 B． 2 x − 2 = 2 1 x 2 C． ( − 2 a 2 ) 3 = − 8 a 6 D． a 2 a − − b b 2 = a − b （2）（★★☆☆☆）（2022•嘉定区育才中学期末）将−3x−2y3写成只含有正整数指数幂的形式： − 3 x − 2 y 3 = _______． （3）（★★★☆☆）（2020•浦东新区期末）若 a = − 3 − 2 ， b = ( − 1 3 ) − 2 ，c=(−0.3)0，则 a ， b ， c的大小关系是( ) A． a  b  c B． b  c  a C． c  b  a D．acb 【配题说明】（1）考查整式指数幂的运算判断； （2）考查整式指数幂与分式形式的互化； （3）考查整数指数幂的大小比较． 【常规讲解】 解：（1）A、4x6 (2x2)=2x4，故本选项错误，2 B、2x−2 = ，故本选项错误， x2 20 C 、 ( − 2 a 2 ) 3 = − 8 a 6 ，故本选项正确， D 、 a 2 a − − b b 2 = a + b ，故本选项错误． 故选： C ． （2）将代数式 − 3 x − 2 y 3 表示为只含有正整数指数幂的形式： − 3 x − 2 y 3 = − 3 3 y 2 x ． 故答案为： − 3 3 y 2 x ． （3） a = − 3 − 2 = − 1 9 ， b = ( − 1 3 ) − 2 = 9 ， c = ( − 0 .3 ) 0 = 1 ，  a  c  b ． 故选： D ． 练习7:【学习框20】 （1）（★★☆☆☆）（2020•静安区期末）如果 a  0 ，那么下列计算正确的是 ( ) A． ( − a ) 0 = 0 B． ( − a ) 0 = − 1 C． − a 0 = 1 D． − a 0 = − 1 （2）（★★☆☆☆）（2020•松江区期末）将 5 x − 3 y 2 写成只含有正整数指数幂的形式是： __________． （3）（★★★☆☆）（2019•宝山区期末）将下列各式：−42、 0 .2 − 2 和 ( 3 5 ) 2 ，按从小到大的顺 序排列结果是______________． 【配题说明】（1）考查整式指数幂的运算判断； （2）考查整式指数幂与分式形式的互化； （3）考查整数指数幂的大小比较． 【常规讲解】 （1）解： (−a)0 =1，  选项A不符合题意； (−a)0 =1， 选项B不符合题意；21 − a 0 = − 1 ，  选项 C 不符合题意； − a 0 = − 1 ，  选项 D 符合题意． 故选： D ． （2）解： 5 x − 3 y 2 = 5 2 y 3 x ． 5y2 故答案为： ． x3 （3）解：−42 =−16， 0 .2 − 2 = 2 5 ， ( 3 5 ) 2 = 9 2 5 ， − 1 6  9 2 5  2 5 ，  − 4 2  ( 3 5 ) 2  0 .2 − 2 ， 3 故答案为：−42 ( )2 0.2−2． 5 例题8: （1）（★★☆☆☆）红细胞的直径约为 0 .0 0 0 0 0 7 7 m ， 0 .0 0 0 0 0 7 7 用科学记数法表示为 ________________． （2）（★★☆☆☆）用科学记数法表示：−0.000312=____________． 【配题说明】本题考查科学计数法表示绝对值大于0小于1的数． 【常规讲解】 （1）解：0.0000077=7.710−6． 故答案为：7.710−6 （2）解：−0.000312用科学记数法表示为−3.1210−4． 故答案为： − 3 .1 2  1 0 − 4 ．练习8:【学习框22】 （1）（★★☆☆☆）（2022•宝山区期末）已知空气每立方厘米的质量大约是 22 0 .0 0 1 2 9 3 克，将 这个数用科学记数法表示为______________． （2）（★★☆☆☆）（2022•徐汇区期末）用科学记数法表示： 0 .0 0 0 0 1 9 7 =____________． 【配题说明】本题考查科学计数法表示绝对值大于0小于1的数． 【常规讲解】 （1）解：将数 0 .0 0 1 2 9 3 用科学记数法表示正确的是 1 .2 9 3  1 0 − 3 ， 故答案为： 1 .2 9 3  1 0 − 3 ． （2）解： 0 .0 0 0 0 1 9 7 = 1 .9 7  1 0 − 5 ． 故答案为1.9710−5． 例题9: （1）（★★★☆☆）（2022•闵行区七宝三中期末）计算： x 1 − − 1 + − x y 1 y − 1 − 1 （结果不含负整数指数 幂）． （2）（★★★☆☆）（2023•普陀区期末）计算： ( 1 ) 2 0 2 3 ( 3 .1 4 ) 0 ( 1 2 ) 2  − + − + − − ． 【配题说明】本题考查整数指数幂的化简计算． 【常规讲解】 (x−1+ y−1)xy （1）解：原式= (1−x−1y−1)xy x+ y = ． xy−1 1 （2）解：(−1)2023+(−3.14)0 +(− )−2 2 =−1+1+4 =4．练习9:【学习框24】 （1）（★★★☆☆）计算： 23 ( x − 1 + y − 1 )  ( x − 1 − y − 1 ) （2）（★★★☆☆）（2023•青浦区期末）计算： ( − 3 ) 2 − ( 1 2 ) − 2 + 2 − 1 − ( 3 2 ) 0 ． 【配题说明】本题考查整数指数幂的化简计算． 【常规讲解】 （1）解：(x−1+ y−1)(x−1−y−1) = ( 1 x + 1 y ) ( 1 x − 1 y ) = y + x y x  y − x y x = y + x y x  y − x y x = y y + − x x ． （2）解： ( − 3 ) 2 − ( 1 2 ) − 2 + 2 − 1 − ( 3 2 ) 0 = 9 − 4 + 1 2 − 1 = 4 1 2 ．全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成 关卡一 练习1: （★★☆☆☆）下列关于 24 x 的方程是分式方程的为( ) A． 3 + 2 x − x = 2 + 5 x B． 2 1 + x = 1 − 2 x C． x 1 2 3 x  + = − 2x−1 x D． = 7 2 【常规讲解】 解： A 、方程分母中不含未知数，故不是分式方程； B 、方程分母中含未知数 x ，故是分式方程； C 、方程分母中不含表示未知数的字母，是常数； D 、方程分母中不含未知数，故不是分式方程． 故选： B ． 练习2: （1）（★★★☆☆）解方程： x 2 7 + x + x 2 3 − x = x 2 4 − 1 ． （2）（★★★☆☆）解方程： 1 − x x + 1 = x 2 2 + x （3）（★★★☆☆）解方程： 1 x + x 2 − x 2 = x 2 − 1 【常规讲解】 （1）解：方程两边同乘以 x ( x + 1 ) ( x − 1 ) 得： 7 ( x − 1 ) + 3 ( x + 1 ) = 4 x ， 去括号得：7x−7+3x+3=4x， 整理得： 6 x = 4 ， 2 解得：x= ， 3 2 经检验x= 是原方程的解． 3 （2）解：去分母得：(x+1)(1−x)+x2 +x=2， 移项合并得：1+x=2，解得： 25 x = 1 ， 经检验 x = 1 是分式方程的解． （3）解：去分母得： x − 1 − 2 = 2 x ， 解得： x = − 3 ， 经检验 x = − 3 是分式方程的解． 练习3: （1）（★★★☆☆）已知关于 x 的分式方程 x x − 1 − 3 = x 2 k − 1 的的解为正数，则k的取值范围为 _________． x−1 m （2）（★★★☆☆）若关于 x 的方程 =3− 的解为正数，则 m 的取值范围为 x−2 2−x ___________． （3）（★★★★☆）如果方程 x 2 − 2 + 2 k − x = x 3 − x 2 会产生增根，那么 k = _______． （4）（★★★★☆）如果在解关于 x 的方程 x x + + 1 2 − x x − 1 = x k 2 x + + x 2 − 2 时产生了增根，那么 k 的 值为________． 【常规讲解】 （1）解：去分母，得 x − 3 ( x − 1 ) = 2 k ， 解得 x = 3 − 2 2 k ． 分式方程的解为正数，  3 − 2 2 k  0 且 3 − 2 2 k  1 ． 3 解得，k  且 2 k  1 2 ． 故答案为： k  3 2 且 k  1 2 ． （2）解：去分母得：x−1=3(x−2)+m， 去括号得：x−1=3x−6+m， 移项合并得：−2x=m−5，解得： 26 x = − m − 2 5 ， 由分式方程的解为正数，得到 − m − 2 5  0 且 − m − 2 5  2 ， 解得：m5且 m  1 ． 故答案为： m  5 且 m  1 ． 2 k 3x （3）解：方程 + = x−2 2−x x−2 方程两边同时乘以 ( x − 2 ) ，得 2 − k = 3 x 2−k x= 3 分式方程有增根 x=2，即 x = 2 − 3 k = 2 解得 k = − 4 故答案是 − 4 ． （4）解：原方程变形为 x x + + 1 2 − x x − 1 = ( x − k x 1 ) + ( x 2 + 2 ) ， 方程去分母后得： ( x − 1 ) ( x + 1 ) − x ( x + 2 ) = k x + 2 ， 整理得： ( k + 2 ) x = − 3 ，分以下两种情况： 令 x = 1 ，k+2=−3，  k = − 5 ； 1 令x=−2，−2(k+2)=−3，k =− ， 2 当 k = − 2 时，整式方程 ( k + 2 ) x = − 3 无解，  k = − 2 舍去； 综上所述， k 1 的值为−5或− ． 2 故答案为：−5或 − 1 2 ． 练习4: xy2 （1）（★★☆☆☆）将 写成不含分母的形式：_______________． 3(x+ y)5 （2）（★★☆☆☆）将代数式2−1x−3y2化为只含有正整数指数幂的形式_______________．（3）（★★★☆☆）计算： 27 x 1 − − 1 + − x y 1 y − 1 − 1 （结果不含负整数指数幂）． 【常规讲解】 （1）解： 3 ( x x y + 2 y ) 5 = 3 − 1 x y 2 ( x + y ) − 5 ． 故答案为： 3 − 1 x y 2 ( x + y ) − 5 ； （2）解：原式 = 2 2 y 3 x ； 故答案为： 2 2 y 3 x （3）解：原式 = ( x (1 − − 1 + − x y 1 y − 1 ) x − 1 ) x y y = x x y + − y 1 ． 关卡二 练习5: （1）（★★★★☆）解方程： x x 2 2 − − x x + − 3 1 = x x 2 2 + + x x + − 2 2 x+7 x+9 x+10 x+6 （2）（★★★★☆）解方程： + = + ； x+6 x+8 x+9 x+5 【常规讲解】 （1）解：方程整理得： 1 − x 2 − 4 x − 1 = 1 − x 2 + 4 x − 2 ，即 x 2 − 4 x − 1 = x 2 + 4 x − 2 ， 可得 x 2 − x − 1 = x 2 + x − 2 ， 1 解得：x= ， 2 1 经检验x= 是分式方程的解． 2 （2）原方程移项得： x x + + 9 8 − x x + + 1 0 9 = x x + + 6 5 − x x + + 7 6 ， 两边同时通分整理得： x 2 + 1 1 7 x + 7 2 = x 2 + 1 1 1 x + 3 0 ． 两个分式分子相同，分式值相同，则分式分母相同， x2 +17x+72=x2 +11x+30．解得： 28 x = − 7 ． 经检验， x = − 7 是原方程的解． 练习6: （★★★★★） x 2 − 1 + ( x − m 1 ) x ( x + 2 ) = x 1 + 2 ，若方程无解，求 m 的值． 【常规讲解】 解： x 2 − 1 + ( x − m 1 ) x ( x + 2 ) = x 1 + 2 ， 方程两边同时乘以(x+2)(x−1)得：2(x+2)+mx=x−1， 整理得： ( m + 1 ) x = − 5 ， 当m+1=0时，该方程无解，此时 m = − 1 ； 当m+10时，若方程无解，则原方程有增根， 原分式方程有增根，  ( x + 2 ) ( x − 1 ) = 0 ， 解得： x = − 2 或 x = 1 ， 当 x = − 2 时， m = 3 2 ；当x=1时， m = − 6 ，  m 的值为 − 1 或−6或 3 2 ． 练习7: （★★★★★）已知x+x−1 =2，求 x 2 0 x 1 6 2 0 + 1 5 x + − 2 x 0 1 6 − 2 0 + 1 5 2 的值． 【常规讲解】 x 2 + x − 2 = ( x + x − 1 )2 − 2 = 2 ； x 3 + x − 3 = ( x + x − 1 )3 − 3 x  x − 1 ( x + x − 1 ) = 2 3 − 3  2 = 2 ； x 4 + x − 4 = ( x 2 + x − 2 )2 − 2 = 2 ， x 5 + x − 5 = ( x 2 + x − 2 )( x 3 + x − 3 ) − ( x + x − 1 ) = 2 x6 +x−6 = ( x3+x−3 )2 −2xx−3 =4−2=2， 找出规律可得： x 2 0 1 5 + x − 2 0 1 5 = 2 ， x 2 0 1 6 + x − 2 0 1 6 = 2 ， x2016 +x−2016 +2 2+2 所以 = =2． x2015 +x−2015 2