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重难点 01 规律探索问题
（4 种类型 16 种题型+专项训练）
►题型01 数式规律
1）周期规律
1．（2023·山东·中考真题）已知一列均不为1的数a ，a ，a ，⋯，a 满足如下关系：
1 2 3 n
1+a 1+a 1+a 1+a
a = 1，a = 2 ，a = 3，⋯，a = n ，若a =2，则a 的值是（ ）
2 1−a 3 1−a 4 1−a n+1 1−a 1 2023
1 2 3 n
1 1
A．− B． C．−3 D．2
2 3
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2x 2×2 4
2．（2023·四川内江·中考真题）对于正数x，规定f(x)= ，例如：f(2)= = ，
x+1 2+1 3
1 1
2× 2×
(1) 2 2 2×3 3 (1) 3 1
f = = ，f(3)= = ，f = = ，计算：
2 1 3 3+1 2 3 1 2
+1 +1
2 3
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (1) (1)
f +f +f +⋯+f +f +f(1)+ f(2)+f(3)+⋯+f(99)+f(100)+f(101)=（
101 100 99 3 2
）
A．199 B．200 C．201 D．202
3．（2022·内蒙古·中考真题）观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，
…根据其中的规律可得70+71+⋯+72022的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
2）等式规律
4．（2021·浙江嘉兴·中考真题）观察下列等式：1=12−02，3=22−12，5=32−22，…按此规律，则第n
个等式为2n−1= ．
5．（2024·宁夏·中考真题）观察下列等式：
第1个：1×2−2=22×0 第2个：4×3−3=32×1
第3个：9×4−4=42×2 第4个：16×5−5=52×3
按照以上规律，第n个等式为 ．
6．（2021·湖南怀化·中考真题）观察等式：2+22=23−2，2+22+23=24−2，2+22+23+24=25−2，
……，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，……，2199，若2100=m，用含m的代数式表示这
组数的和是 ．
3）新定义类规律
7．（2023·四川成都·中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m−n>1，
则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16=52−32，16就是一个智慧优数，可以利用
m2−n2=(m+n)(m−n)进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个
智慧优数是 ．
8．（2024·山东济南·模拟预测）若把第n个位置上的数记为x ，则称x ，x ，x ，…，x 有限个有序放置
n 1 2 3 n
的数为一个数列A．定义数列A的“伴生数列”B是：y ，y ，y ，…，y ，其中y 是这个数列中第n个
1 2 3 n n
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位置上的数，n=1，2，…，k且y =¿并规定x =x ，x ❑ =x ．如果数列A只有四个数，且x ，x ，x ，
n 0 n n +1 1 1 2 3
x 依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是（ ）
4
A．0，1，0，1． B．1，0，1，0． C．1，0，0，1． D．0，1，1，0．
9．（2024·河北保定·一模）观察下列式子，定义一种新运算：5#3=2×5−3；3#(−1)=2×3+1；
−4#(−3)=2×(−4)+3．
(1)这种新运算是：x# y=_______（用含x，y的代数式表示）；
(2)若m#(−3)>3#m，求m的最小整数值；
(3)若a，b均为整数，试判断(a#b−b#a)#3a是否能被3整除，并说明理由．
4）计数类规律
10．（2020·四川·中考真题）将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，
12），（14，16，18，20）…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第
m组第n个数字，则m+n＝ ．
11．（2023·湖北随州·中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：
设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，
每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人
把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所
有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终
状态为“亮”
的灯共有多少盏？
几位同学对该问题展开了讨论：
甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：
乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和
第3个人共按了2次，……
丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．
根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏．
►题型02 数阵与数表规律
1）三角阵
12．（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如
图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
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观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，(a+b) 7展开的多项式中各项系数之和为 ．
13．（2023·四川·中考真题）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图
的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三
个数为 ．
14．（2025·山东临沂·一模）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a+b) n（n 为非负整
数）展开式的项 数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．
(a+b) 0=1
(a+b) 1=a+b
(a+b) 2=a2+2ab+b2
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b) 5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
……
1
1 1
1 2 1
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1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
……
则(a+b) 2024展开式中所有项的系数和是 ．（结果用指数幂表示）
15．（2022·重庆巴南·模拟预测）“杨辉三角”给出了(a+b) n展开式的系数规律（其中n为正整数，展开
式的项按a的次数降幕排列），它的构造规则是：两腰上都是数字1，而其余的数则是等于它肩上的两个
数之和．例如：(a+b) 2=a2+2ab+b2展开式的项的系数1，2，1与“杨辉三角”第三排对应：
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式的项的系数1，3，3，1．与“杨辉三角”第四排对应；依此类
推……判断下列说法正确的是（ ）
①“杨辉三角”第六排数字依次是：1，5，10，10，5，1；
②当a=2,b=−1时，代数式a3+3a2b+3ab2+b3的值为−1；
③(a+b) 2022展开式中所有系数之和为22022；
④当代数式a4−8a3+24a2−32a+16的值为1时，a=1或3．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
16．（2023·河南平顶山·二模）阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角．
杨辉三角如果将(a+b) n (n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面
的等式：
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(a+b) 0=1，它只有一项，系数为1；
(a+b) 1=a+b，它有两项，系数分别为1，1；
(a+b) 2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
将上述每个式子的各项系数排成该表．
观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数
都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写．
该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪
著的《开方作法本源》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角，在欧洲这
个表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡（B．Pascal，1623——1662）是1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393
年，比贾宪迟600年．
(1)应用规律：
①直接写出 的展开式， ；
(a+b) 4 (a+b) 4=
② 的展开式中共有 项，所有项的系数和为 ；
(a+b) 6
(2)代数推理：
已知m为整数，求证： 能被18整除．
(m+3) 3−(m−3) 3
2）螺旋阵
17．（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把
位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：(3,5)；(7,10)；(13,17)；(21,26)；(31,37)…
如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数
对： ．
18．（2024·山东泰安·二模）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同
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一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：(3,5)，(7,10)，(13,17)，(21,26)，(31,37)，⋯，如
果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律、请写出第50个数对：
．
3）乘方阵
19．（2023·湖北恩施·中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
−2，4，−8，16，−32，64，……①
0，7，−4，21，−26，71，……②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ；取每行数的第2023个数，则这两个数的
和为 ．
20．（2020·青海·中考真题）观察下列各式的规律：①1×3−22=3−4=−1；②2×4−32=8−9=−1；
③3×5−42=15−16=−1．请按以上规律写出第4个算式 ．用含有字母的式子表示第n个算式
为 ．
21．（2023·云南昆明·一模）观察下列按一定规律排列的单项式：x,−3x2,5x3,−7x4,9x5,−11x6,⋯，
按这个规律，第15个单项式是（ ）
A．15x15 B．−15x15 C．29x15 D．−29x15
4）幻方表
22．（2022·湖北武汉·中考真题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——
九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例
如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（ ）
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A．9 B．10 C．11 D．12
23．（2021·陕西·中考真题）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列
及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为 ．
-1 -6 1
0 a -4
-5 2 -3
24．（2024·四川德阳·二模）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫
格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，表1是一个已
完成的幻方．表2是一个未完成的幻方，其中A−B的值为 ．
表1
2 7 6
9 5 1
4 3 8
表2
x−7 x+5 −4
−2 A B
25．（2023·福建·一模）关于幻方的起源，中国有“河图”和“洛书”之说，相传在远古时期，伏曦氏取
得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献
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给他，这就是“河图”，也是最早的幻方．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，现有−6、−4、−2、
0、3、5、7、9分别放入图中的圆圈中，使得内圆和外圆以及同一行和同一列的四个数字和相等，则
x−2y= ．
5）月历表
26．（2024·河北邢台·模拟预测）如图所示的是2024年2月份的月历，其中“U型”、“十字型”两个阴
影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移
动），设“U型”覆盖的五个数字之和为S ，“十字型”覆盖的五个数字之和为S ．若S +S =176，则
1 2 1 2
S −S 的最大值为（ ）
2 1
A．39 B．44 C．65 D．71
27．（2022·河北保定·一模）图①、图②是某月的月历
(1)图①中带阴影的方框中的9个数之和与方框正中心的数有什么关系？请说明理由．
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(2)如果将带阴影的方框移至图②的位置，（1）中的关系还成立吗？若成立，说明理由．
(3)甲同学说，所求的9个数之和可以是90，乙同学说，所求的9个数之和也可以是290，甲、乙的说法对
吗？若对，求出方格中最中间的一个数，若不对，说明理由．
28．（2022·陕西宝鸡·模拟预测）根据2021年11月份的月历表，思考并回答如下问题：
(1)2022年1月1日是星期几；
(2)5月1日是星期六，在2021年的月历中，1日恰好也是星期六的月份有哪个；
(3)有一种计算机病毒叫做黑色星期五，当计算机的日期是13日又是星期五时，这种病毒就发作．已知
2021年8月13日是黑色星期五，请找出来接下来的三个“黑色星期五”．
►题型03 图形规律
1）等差
29．（2024·重庆·中考真题）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图
案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，
菱形的个数是（ ）
A．20 B．21 C．23 D．26
30．（2023·四川遂宁·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、
润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷
（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为CH ，乙烷
4
的化学式为C H ，丙烷的化学式为C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式
2 6 3 8
为 ．
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31．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四
种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2
种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型
中氢原子的个数是 ．
2）双等差规律
32．（2024·山西阳泉·三模）如图，四边形OABC 是正方形，曲线C C ，C C ，C C ，C C ，⋯
1 1 2 2 3 3 4 4 5
叫作“正方形的渐开线”，其中 的圆心依次按 ， 循环，
C´C ，C´C ，C ´C ，C´C ，⋯ O，A，B C
1 2 2 3 3 4 4 5 1
当OA=1时，弧C C 的长为（ ）
2024 2025
A．1012π B．1022.5π C．2024π D．2025π
1
33．（2024·河南三门峡·一模）如图，四边形ABCD是边长为 的正方形，曲线DA B C D A …是由多
2 1 1 1 1 2
段 的圆心角所对的弧组成的．其中， 的圆心为 ，半径为 ； 的圆心为 ，半径为 ；
90° D´A A AD A´B B BA
1 1 1 1
的圆心为 ，半径为 ； 的圆心为 ，半径为 ，…， ， ， ， …的
B´C C CB C ´D D DC D´A A´B B´C C ´D
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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圆心依次为A，B，C，D循环，则 的长是（ ）
A ´B
2024 2024
4047π 2024π
A． B．2024π C． D．2023π
2 4
3）乘积规律
34．（2024·安徽合肥·模拟预测）某广场铺设的地砖为正方形，如图①所示且带有图案，铺设地砖拼成一
圈的图案如图②所示．
【观察思考】如图②，当地砖铺设了1圈时，地砖用了4块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有1个；如
图③，当地砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；…
【规律总结】
(1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个；
(2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用
含n的代数式表示）；
(3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花
费多少元？
35．（2019·辽宁铁岭·中考真题）如图，在△A C O中，A C =A O=2，∠A OC =30°，过点A 作
1 1 1 1 1 1 1 1
A C ⊥OC ，垂足为点C ，过点C 作C A ∥C A 交OA 于点A ，得到△A C C ；过点A 作
1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2
A C ⊥OC ，垂足为点C ，过点C 作C A ∥C A 交OA 于点A ，得到△A C C ；过点A 作
2 3 1 3 3 3 3 1 1 1 3 3 3 2 3
A C ⊥OC ，垂足为点C ，过点C 作C A ∥C A 交OA 于点A ，得到△A C C ；……按照上面的
3 4 1 4 4 4 4 1 1 1 4 4 4 3
作法进行下去，则△A ❑ C ❑ C 的面积为 ．（用含正整数n的代数式表示）
n +1 n +1 n
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36．（2025·山西长治·模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的“<>”组成的，第1个图
案中有3个“ ”，第2个图案中有9个“ ”，第3个图案中有18个“ ”……按此规
律，第n个图案中有 个“ ”．（用含n的代数式表示）
4）递推法找规律
37．（2024·山西临汾·一模）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成，第1个图案中
有5个圆片，第2个图案中有11个圆片，第3个图案中有17个圆片，……，依此规律，第n个图案中有
个圆片（用含n的代数式表示）
38．（2022·湖北黄冈·三模）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，
他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个
数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a =1，第2个五角形数记作a =5，第
1 2
3个五角形数记作a =12，第4个五角形数记作a =22，…，若按此规律继续下去，则a = .
3 4 6
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5）方程思想
39．（2022·湖北恩施·二模）元宵节，广场上要设计一排灯笼增强气氛，其中有一个设计由如图所示图案
逐步演变而成，其中圆圈代表灯笼，n代表第n次演变过程，s代表第n次演变后的灯笼的个数．仔细观察
下列演变过程，当s=190时，n= ．
40．（2020·四川遂宁·中考真题）如图所示，将形状大小完全相同的“
▱
”按照一定规律摆成下列图形，
第1幅图中“
▱
”的个数为a
1
，第2幅图中“
▱
”的个数为a
2
，第3幅图中“
▱
”的个数为a
3
，…，以此类
2 2 2 2 n
推，若 + + +…+ ＝ ．（n为正整数），则n的值为 ．
a a a a 2020
1 2 3 n
41．（2024·云南昆明·一模）如图三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个
点…第n行有n个点，已知前k行共有210个点，则k的值为 ．
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2×3
42．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，图案1中“☆”的个数为1×2，“★”的个数为 ，图案2中
2
3×4 4×5
“☆”的个数为2×3，“★”的个数为 ，图案3中“☆”的个数为3×4，“★”的个数为 ；…．
2 2
(1)图案5中“☆”的个数为 ；
(2)图案n中，“★”的个数为 ；（用含n的式子表示）
2
(3)根据图案中“☆”和“★”的排列方式及规律，若图案n中“★”的个数是“☆”的个数的 ，求n的
3
值．
43．（2024·河北唐山·二模）如图是蜂巢的局部图片(由大小相同的正六边形组成)，嘉嘉借助这个图片设计
了一道数学题，请解答这道题．
在第1行两个正六边形内填上数字3、−5，规定在图案中，下面的数字都等于其上方两个数字之和（若数
字上方只有一个数字，则另一个数字按0处理）．如第2行第1个：0+3=3；第2行第2个：
3+(−5)=−2．
(1)填空：a= _______，b= _________．
(2)求c+d+e的值．
(3)按照此规律，请直接用含n的式子表示第n行第2个数字，并判断这个数字能否为19．若能，求出n的
值；若不能，请说明理由．
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►题型04 实践操作
1）分类找规律
44．（2020·湖北武汉·中考真题）下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成
的“L”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．把“L”形纸片放置在图（2）中，
使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法，图（4）是一张由36个小正方
形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种
不同放置方法，则n的值是（ ）
A．160 B．128 C．80 D．48
45．（2021·山东青岛·三模）【问题提出】
每对小兔子在出生后1个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出1对小兔子来，如果1个人在1月
份买了1对小兔子，假设每对兔子均可成活，且具有繁殖能力，那么理论上12月份的时候他共有多少对兔
子？
(1)【问题探究】
1月份，有1对小兔子；
2月份，长成大兔子，所以还是1对；
3月份，大兔子生下1对小兔子，所以共有2对；
4月份，刚生下的小兔子长成大兔子，而原来的大兔子又生下1对小兔子，共3对；
…
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依此类推，请填下表：
月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份 7月份 … 12月份
兔子对数 1 1 2 3 …
(2)【类比应用】
树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝．一棵苗在1
年后长出1条新枝，第2年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过1年的同时萌发
新枝，当年生的新枝则依次“休息”，这在生物学上称为“鲁德维格定律”．那么，10年后树上有
条树枝．
(3)【综合应用】
如图①，一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共
有 种回家的方法；
(4)如图②，在正五边形ABCDE上，一只青蛙从点A开始跳动，每次可以随意跳到相邻两个顶点中的一个
上，跳到点D上就停止跳动．青蛙在6次之内（含6次）跳到点D有 种不同的跳法．
月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6份份 7月份 ⋯ 12月份
兔子
1 1 2 3 5 8 13 ⋯ 144
对数
46．（23-24七年级下·广东揭阳·期中）如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王
按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2024个这样的图形（图1）拼
出来的图形的总长度是 ．（结果用m，n表示）
2）递推找规律
47．（2022·贵州六盘水·中考真题）为倡导“全民健身，健康向上”的生活方式，我市教育系统特举办教
职工气排球比赛．比赛采取小组循环，每场比赛实行三局两胜制，取实力最强的两支队伍参加决赛，从C
组的比分胜负表中知道二中胜4场负1场．
教职工气排球比赛比分胜负表
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(1)根据表中数据可知，一中共获胜___________场，“四中VS五中”的比赛获胜可能性最大的是
___________；
(2)若A处的比分是21 10和21 8，并且参加决赛的队伍是二中和五中，则B'处的比分可以是___________和
___________；（两局∶结束比赛∶，根据自己的理解填写比分）；
(3)若A'处的比分是10 21和8 21，B处的比分是21 18，15 21，15 12，那么实力最强的是哪两支队伍，请
说明理由． ∶ ∶ ∶ ∶ ∶
48．（2023·福建福州·模拟预测）甲、乙、丙三位同学参加学习脱贫干部黄文秀、戍边英雄陈红军、人民
科学家南仁东、抗疫英雄张定宇等英雄的先进事迹知识竞赛.该竞赛共有十道判断题.三位同学的答题情况
如下：
题号选手 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 √ √ × √ × √ × × √ ×
乙 √ √ × × √ × √ √ × ×
丙 × √ √ × √ √ √ × √ √
考试成绩公布后，三个人都答对了7道题，由此可知，1～10题的正确答案依次是（ ）
A．√、√、×、×、√、√、√、×、√、×
B．√、√、×、×、√、×、√、×、√、×
C．√、√、×、×、√、√、√、√、√、×
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D．√、×、×、×、√、√、√、√、√、×
49．（2024·北京·一模）学校组织学生到某工艺品加工厂参加劳动实践活动．用甲、乙两台设备加工三件
工艺品，编号分别为A，B，C，加工要求如下：
①每台设备同一时间只能加工一件工艺品；
②每件工艺品须先在设备甲上加工完成后，才能进入设备乙加工；
③每件工艺品在每台设备上所需要的加工时间（单位：min）如下表所示：
（1） 若要求A，B，C三件工艺品全部加工完成的总时长不超过20min，请写出一种满足条件的加工方案
（按顺序写出工艺品的编号）；
（2） A，B，C三件工艺品全部加工完成，至少需要 min．
50．（23-24七年级上·湖北武汉·开学考试）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺
艺术品加工完成共需A、B、C、D、E、F、G七道工序，加工要求如下：① 工序C、D须在工序A完成
后进行，工序E须在工序B、D都完成后进行，工序F须在工序C、D都完成后进行；② 一道工序只能由
一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③ 各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2
若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要的时间是（ ）
A．26分钟 B．27分钟 C．28分钟 D．29分钟
3）结合坐标找规律
51．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知 ， ， ， ，
A (1,−√3) A (3,−√3) A (4,0) A (6,0)
1 2 3 4
， ， ， …，依此规律，则点 的坐标为 ．
A (7,√3) A (9,√3) A (10,0) A (11,−√3) A
5 6 7 8 2024
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52．（2023·山东烟台·中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，
以点P为位似中心作正方形PA A A ，正方形PA A A ,…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在
1 2 3 4 5 6
格点上，其中正方形PA A A 的顶点坐标分别为P(−3,0),A (−2,1),A (−1,0)，A (−2,−1)，则顶点
1 2 3 1 2 3
A 的坐标为（ ）
100
A．(31.34) B．(31,−34) C．(32,35) D．(32,0)
53．（2024·甘肃酒泉·三模）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点
运动到点(−1，1)，第2次接着运动到点(−2，0)，第3次接着运动到点(−3，2)，…，按这样的运动规
律，经过第2024次运动后，动点P的坐标是 ．
1 1 1 1 1 1 1 1
54．（2024·全国·模拟预测）观察规律 =1− , = − , = − ,⋅⋅⋅，运用你观察到的
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
规律解决以下问题：如图，分别过点P (n,0)(n=1、2、⋯)作x轴的垂线，交y=ax2(a>0)的图象于点
n
1 1 1
A ，交直线y=−ax于点B ．则 + +⋅⋅⋅+ 的值为（ ）
n n A B A B A B
1 1 2 2 2024 2024
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2022 2023 2025a 2024
A． B． C． D．
2023a 2024a 2024 2025a
4）结合图像找规律
55．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，
OA=OB=4，连接AB，过点O作OA ⊥AB于点A ，过点A 作A B ⊥x轴于点B ；过点B 作
1 1 1 1 1 1 1
B A ⊥AB于点A ，过点A 作A B ⊥x轴于点B ；过点B 作B A ⊥AB于点A ，过点A 作A B ⊥x
1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3
轴于点B ；…；按照如此规律操作下去，则点A 的坐标为 ．
3 2023
56．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形A B C D 的位置如图所示，点B 的坐
1 1 1 1 1
标为(0,2)，点C 的坐标为(1,0)，延长A D 交x轴于点C ，作正方形D C D A ，延长A D 交x轴于点
1 1 1 2 1 2 2 2 2 2
C ，作正方形D C D A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅按这样的规律进行下去，则点A 到x轴的距离是 ．
3 2 3 3 3 4
57．（2023·山东烟台·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为
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(1,0)，点D的坐标为(0,2)，延长CB交x轴于点A ，做第1个正方形A B C C；延长C B 交x轴于点A ，
1 1 1 1 1 1 2
做第2个正方形A B C C …，按这样的规律进行下去，第2023个正方形的面积为（ ）
2 2 2 1
(3) 4046 (9) 2003 (3) 2022 (9) 4044
A．5× B．5× C．5× D．5×
2 4 2 4
58．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在抛物线y=x2的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两
个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第2024个正方形的边长是 ．
22
