文档内容
专题 14.5 因式分解
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 判断是否因式分解】................................................................................................................................1
【考点二 已知因式分解的结果求参数】................................................................................................................3
【考点三 公因式】....................................................................................................................................................6
【考点三 提多项式的公因式的因式分解法】........................................................................................................7
【考点四 综合利用提公因式法和公式法因式分解】............................................................................................9
【考点五 十字相乘法因式分解】..........................................................................................................................13
【考点六 分组分解法因式分解】..........................................................................................................................16
【考点七 因式分解的应用】..................................................................................................................................19
【过关检测】............................................................................................................................................................23
【典型例题】
【考点一 判断是否因式分解】
例题：（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）下列各式因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】十字相乘法、判断是否是因式分解、完全平方公式分解因式
【分析】本题考查因式分解，根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，熟练掌握相关的
知识点是解题的关键．根据因式分解的方法逐项判断即可．
【详解】解：A、 ，是整式乘法，不符合题意；
B、 ，不是积的形式，不符合题意；
C、 ，故原式分解错误，不符合题意；D、 ，分解正确，符合题意；
故选：D．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形
叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式”进行判断即可得．
【详解】解：A． ，是因式分解，选项说法正确，符合题意；
B． ，右边不是整式的积的形式，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意；
C． ，右边不是整式的积的形式，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意；
D． ，右边不是整式的积的形式，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意；
故选：A ．
2．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解且正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】本题考查因式分解的识别．熟练掌握因式分解的定义和方法，是解题的关键．根据因式分解的定
义：把一个多项式转化为几个整式积的形式，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、 ，选项正确，符合题意；B、 ，是整式的乘法，不符合题意；
C、 ，分解错误，不符合题意；
D、 ，等式右边不是整式积的形式，不符合题意；
故选：A．
3．（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（ ）
① ；② ；③ ；④
；⑤ ；⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】本题考查了因式分解的意义．掌握因式分解的定义是解决本题的关键．
利用“因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做这个多项式的因式分解”
解题即可．
【详解】解：① 是整式乘法；
② 结果是和的形式，不是因式分解；
③ 是整式乘法；
④ 是因式分解；
⑤ 是因式分解；
⑥ 中含有不是整式的式子，不是因式分解；
故是因式分解的有④⑤，①②③⑥不符合定义，
故选：B．【考点二 已知因式分解的结果求参数】
例题：（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若 可以分解为 ，那么 的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】已知因式分解的结果求参数、（x+p）（x+q）型多项式乘法
【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．根据因式分解
的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解： ，
， ，
， ，
，
故选：B．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）把多项式 分解因式，结果是 ，则a，b的
值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】已知因式分解的结果求参数
【分析】本题主要考查了整式乘法，解二元一次方程组，因式分解的定义等知识点，根据多项式乘法将因
式展开，然后组成方程组，解方程组即可得解， 熟练掌握整式乘法法则是解决此题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，∴ ．
故选：D．
2．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知关于 的多项式 有一个因式为 ，则 的值
；
【答案】14
【知识点】已知因式分解的结果求参数
【分析】本题主要考查了已知因式分解的结果，求参数，求出当 时， ，则当 时，
，据此求解即可．
【详解】解：当 时， ，
∵关于 的多项式 有一个因式为 ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：14．
3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式是 ，得
则
解得
∴另一个因式是 的值是
仿照上面的方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值；
(2)若二次三项式 有一个因式是 ，求a的值．【答案】(1)另一个因式为 ， 的值为9
(2)
【知识点】已知因式分解的结果求参数
【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系：
（1）设另一个因式为 ，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可
求出结论；
（2）设另一个因式为 ，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即
可求出结论．
【详解】（1）解：设另一个因式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
∴ ，
另一个因式为 ， 的值为9；
（2）解：设另一个因式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 。【考点三 公因式】
例题：（24-25八年级上·山东青岛·期中）把多项式 分解因式，应提的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】公因式
【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟知公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各
项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数
取指数最低的．据此求解即可．
【详解】解：把多项式 分解因式，应提的公因式是 ，
故选：B．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）多项式 的公因式是 ．
【答案】
【知识点】公因式
【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键．根据公因式的定
义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式．
【详解】多项式 ，
各项系数 的最大公约数为 ，
各项都含有 ， 的最低指数为 ，
该多项式的公因式为 ．
故答案为： ．
2．（24-25九年级上·全国·期中）多项式 分解因式时应提取的公因式是 ．
【答案】 /
【知识点】公因式
【分析】本题考查了公因式，方法是：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项
的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．按照此方法即可找到公因式．
【详解】解：多项式的公因式为： ；
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·山东泰安·期中）多项式 的公因式是 ．
【答案】
【知识点】公因式
【分析】本题考查了公因式．熟练掌握公因式的定义是解题的关键．根据公因式的定义作答即可．
【详解】解：多项式 的公因式是 ，
故答案为： ．
【考点三 提多项式的公因式的因式分解法】
例题：（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ．
【答案】
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解-分组分解法，提取公因式法，根据题意，先把 分组得
，然后再提取公因式，得出 ，最后再提取公因式即可得出答案．
【详解】解：
、
．
故答案为： ．【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）分解因式： ．
【答案】
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．直接提取公因式 ，进
而分解因式得出答案．
【详解】解：原式 ．
故答案为： ．
2．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ．
【答案】
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题主要考查了因式分解，直接提取公因式 分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
3．（23-24八年级上·全国·课后作业）用提公因式法将下列各式分解因式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键；（1）提公因式法提取 分解因式即可求解；
（2）提公因式法提取 分解因式即可求解；
【详解】（1）解：
（2）解：
．
【考点四 综合利用提公因式法和公式法因式分解】
例题：（24-25八年级上·北京·期中）分解因式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先
提公因式．
（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【详解】（1）解：原式
；（2）解：原式
【变式训练】
1．（23-24八年级上·北京·期中）分解因式
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公
因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
（1）先提公因式，然后利用完全平方公式法分解因式；
（2）先提公因式，然后利用平方差公式法分解因式．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
2．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）分解因式：(1)
(2)
(3)
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用
的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不
能再分解为止．
（1）用因式分解法求解即可；
（2）先提公因式2，再利用平方差公式分解因式即可；
（3）先提公因式 ，再利用完全平方公式分解因式即可；
（4）先化为平方差形式分解因式，再分别提公因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：；
（3）解：
；
（4）解：
．
3．（24-25八年级上·山东青岛·期中）因式分解
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；(4) ．
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的提公因式法和公式法是解题的关键．
（1）直接运用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式 ，再运用平方差公式进行因式分解即可；
（3）先提取公因式 ，再运用平方差公式进行因式分解即可；
（4）先提取公因式 ，再运用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解： ，
；
（2） ，
，
；
（3） ，
，
，
；
（4） ，
，
．
【考点五 十字相乘法因式分解】
例题：（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式：【答案】
【知识点】十字相乘法
【分析】本题考查了利用了十字相乘法进行因式分解，利用了十字相乘法分解的分解原则是关键．将4化
为 ， 化为 ，用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：
【变式训练】
1．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】十字相乘法
【分析】本题主要考查了分解因式，直接根据十字相乘法分解因式即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
2．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容
介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式 的分解因式的方法叫“十字
相乘法”．例如：将二次三项式 因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项 一次项系数 ，则 ．如图所示：
仿照上述解决下列问题：
(1)因式分解： ；
小亮做了如下分析：
一次项为： ，则常数项为： ；
则 __________； =_________；
（ ）（ ）
(2)因式分解： ：
(3)若二次三项式 可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值．
【答案】(1)见详解
(2)
(3) ，
【知识点】十字相乘法
【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法，
（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）利用十字相乘法分解分解可得；
（3）找出所求满足乘积为 ，相加为 的值即可．
【详解】（1）解：一次项为： ，则常数项为 ，则 2； 3；
∴ ；
（2）解：一次项为： ，则常数项为 ，
则 ；
（3）解：若 可分解为两个一次因式的积，则整数 的所有可能的值是：； ； ； ，
即整数 的所有可能的值是： ， ．
3．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
① ；
② ；
③ ．
通过以上计算发现，形如 的两个多项式相乘，其结果一定为 ．（p，q为整
数）
因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有 ，即可将形如
的多项式因式分解成 （p、q为整数）．
例如： ．
【初步应用】
（1）用上面的方法分解因式： _________；
【类比应用】
（2）规律应用：若 可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________；
【拓展应用】
（3）分解因式： ．
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）
【知识点】十字相乘法
【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式．
（1）按照已知条件中方法进行分解因式即可；
（2）先找出乘积为 的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出 的值即可；（3）按照已知条件中的方法，先把 分解成 ，然后把多项式进行第一次分解因式，再把 分解成
， 分解成 ，进行第二次分解因式即可．
【详解】解：（1）
，
，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
，
，
，
∴ 或 或 或 ，
整数 的值可能是 或 ，
故答案为： 或 ；
（3） ，
，
，
，
．【考点六 分组分解法因式分解】
例题：（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提
公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，
进行分组分解．
例1：“两两分组”： 例2：“三一分组”：
解：原式 解：原式
． ．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题：
分解因式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2)
【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式
【分析】本题主要考查因式分解，理解题目中的例题的方法是解题的关键．
（1）根据“两两分组”中的例题因式分解即可；
（2）根据“三一分组”中的例题写出因式分解的结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下列材料：分解因式： ．
解1：
解2：
．
【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分
成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继
续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法：
【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题：
(1)分解因式：
(2)分解因式：
【答案】(1)
(2)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法
【分析】本题考查因式分解：
（1）先将原式分组为 ，再利用提取公因式法和公式法进行分解；
（2）先将原式变形为 ，再利用平方差公式进行因式分解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
2．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）阅读以下材料，并解决问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，
比如多项式． ．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项
式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，
而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分
解．具体过程如下：
例1：
……………………分成两组
………………分别分解
………………………提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四
项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
(1)材料例1中，分组的目的是_________．
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
_____________；_____________．
(3)利用分组分解法进行因式分解： ．
【答案】(1)分组后能出现公因式，分组后能应用公式
(2) ，
(3)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法
【分析】本题主要考查的因式分解的方法，掌握提取公因式法公式法分解因式，理解分组分解的方法是解
题的关键．
（1）根据因式分解的方法“提取公因式，公式法”即可求解；
（2）根据材料提示的“分组分解法”进行分解因式即可求解；
（3）运用分组分解法进行分解因式，先把前三项看做一个整体，是完全平方公式，再与后一项结合，运
用平方差公式分解因式即可求解．
【详解】（1）解：分组后能出现公因式，分组后能应用公式；
（2）解： ，前两项为一组，后一项为一组，
∴原式 ，
，第一项和第三项作为一组，第二、四、五项作为一组，
∴原式 ，
故答案为： ， ．
（3）解：
．
【考点七 因式分解的应用】例题：（24-25八年级上·山东威海·期中）我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式．对于超过
三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式．即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利
用已经学过的方法进行分解因式．如：
分解因式：
．
利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)已知 的三边 满足 ，判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)等腰三角形，理由见解析
【知识点】分组分解法、因式分解的应用、构成三角形的条件
【分析】本题考查因式分解—分组分解法及应用，三角形三边关系，对于不能直接因式分解的式子可以用
分组法因式分解，因式分解分组时要注意观察式子特点、分好组是关键．
（1）依据分组分解法，把 分组为 ，然后用平方差公式和提公因式法
分别因式分解，然后再提取公因式 即可求解；
（2）通过分组分解法把 化成 ，然后利用三角形三边关系得出
，则 ，得到 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：等腰三角形．
由 ，可得 ．
，
．
．
是等腰三角形．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，
张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答：
因式分解：
① ；
② ．
下面是晶晶和小舒的解法：
小舒：
晶晶：
（分成两组）
（分成两组）
（直接运用公式）
（直接提公因式）
请在她们的解法启发下解答下面各题：
(1)因式分解： ；
(2)已知 的三边a，b，c满足 ， 是什么三角形？
【答案】(1) ；
(2) 是等腰三角形．
【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了因式分解，等腰三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解．
（1）分组，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可；
（2）整理后，利用完全平方公式分解，再利用三边关系即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ 是等腰三角形．
2．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）阅读下列材料：
对于多项式 ，如果我们把 代入此多项式，发现 的值为0，这时可以确定多项式中有
因式 ；同理，可以确定多项式中有另一个因式 ，于是我们可以得到： ．
又如：对于多项式 ，发现当 时， 的值为0，则多项式 有一个因式
，我们可以设 ，解得 ．
于是我们可以得到：
请你根据以上材料，解答以下问题：
(1)当 ______时，多项式 的值为0，所以多项式 有因式______，从而因式分解______；
(2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多
项式： ．
【答案】(1)1， ， ；
(2) ，过程见解析．
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题考查了多项式乘以多项式和因式分解，理解阅读材料的方法，借助多项式乘法进行因式分解
是解题的关键．
（1）根据题意，当 时， ，设 ，求出m、n的值，进而即可求
出答案；
（2）根据题意，当 时， ，设 ，
求出m、n的值，进而即可求出答案．
【详解】（1）解：当 时， ，
设 ，
解得 ，
∴因式分解 ，
故答案为1， ， ；
（2）当 时， ，
设 ，
解得 ，
∴ ．【过关检测】
一、单选题
1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式
【分析】根据完全平方公式和平方差公式，进行逐一判断即可．
本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．
【详解】解：A． 无法分解因式，故此选项错误，不符合题意；
B． ，用平方差公式分解，故此选项正确，符合题意；
C． 无法分解因式，故此选项错误，不符合题意；
D． 无法分解因式，故此选项错误，不符合题意；
故选：B．
2．（24-25八年级上·北京·期中）已知 ，则 的值是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】D
【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式
【分析】先根据平方差公式将 分解成 ，然后将 整体代入，再化简得结果为
，再利用提公因式法分解因式得结果为 ，然后再次将 整体代入即可得解．
本题主要考查了分解因式和整体代入法求代数式的值，熟练掌握平方差公式是解题的关键．【详解】解：
．
故选：D．
3．（24-25八年级上·北京·期中）已知 、 、 是 的三边，且满足 ，则 的
形状是（ ）．
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、等腰三角形的定义
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，因式分解的应用，先把已知条件式左边分解因式推出
，进而得到 ，据此可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 、 、 是 的三边，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 是等腰三角形，
根据现有条件无法证明 是直角三角形和等边三角形，
故选：C．
4．（24-25八年级上·河南南阳·期中）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：， ， ， ， ， 分别对应下列六个字：阳、爱、我、南、游、美，现将
因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．美我南阳 C．南阳游 D．我爱南阳
【答案】D
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因式 ，再利用平方差公式分解
因式即可，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．
【详解】解： ，
故结果呈现的密码信息可能是我爱南阳，
故选：D．
5．（重庆育才中学教育集团2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试题）已知多项式
（ 为常数），下列说法：
①当 时，无论 取何值，都有 ；
②若 且 ，则 ；
③若 ，则不存在整数 ，使得 ．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】利用平方根解方程、运用完全平方公式进行运算、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解的应用，进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性求解题目，做题的关
键是配方．
结合已知，依次对各个选项进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性进行判断即可．
【详解】解：对于①： ，
∵ ， ，
∴当 时， ，故①正确；对于②：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
对于③：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴不存在整数 ， 使得 ，故③正确．
故选：D．
二、填空题
6．（24-25八年级上·全国·课堂例题）因式分解： ．
【答案】【知识点】平方差公式分解因式
【分析】本题考查了公式法分解因式，根据平方差公式进行因式分解，即可作答．
【详解】解： ，
故答案为： ．
7．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，然后再根据平
方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式
．
故答案为： ．
8．（24-25八年级上·北京·期中）若 ， ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】分组分解法、因式分解的应用
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据已知得出 ，原式化为 即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴
即
∴故答案为： ．
9．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知 ，其中k、q均为整数，则
．
【答案】 或15
【知识点】十字相乘法
【分析】把等式右边展开，由对应相等得出 ， ，再由k，q均为整数，求出k和q的值，即
可求出答案．
本题考查因式分解—十字相乘法等，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴当 时，则 ，
∴ ；
当 时，则 ，
∴ ；
故答案为 或15
10．（24-25八年级上·河南南阳·期中）若 ， 是等腰三角形 的两边长，且满足关系式
，则 的周长是 ．
【答案】10
【知识点】完全平方公式分解因式、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义、非负数的性质及三角形三边关系；根据关系式
得出 ，再根据 是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【详解】解：∵ ，即 ，
∴ ，
，b=4，
①若 是腰长，则三角形的三边长为： 、 、 ，不能组成三角形；
②若 是底边长，则三角形的三边长为： 、 、 ，能组成三角形
周长为 ．
故答案为：10．
三、解答题
11．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】分组分解法、十字相乘法、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）先提公因式后，运用平方差公式进行因式分解；
（2）运用十字相乘法进行因式分解；（3）运用分组分解法进行因式分解；
（4）将原式变形为 ，将 看成整体，运用十字相乘法进行分解后，
再次运用十字相乘法和提公因式法进行因式分解．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
12．（24-25八年级上·山东泰安·期中）分解因式
(1) ；
(2) ；(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】综合运用公式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键：
（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先利用平方差公式法进行因式分解，再利用提公因式法进行因式分解即可；
（3）先利用平方差公式法进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（4）先利用完全平方公式，再利用平方差公式法进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
；
（3）解：原式
（4）解：原式
．
13．（24-25八年级上·云南昆明·期中）整体思想是数学解题中常用的一种思想方法：下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程．
解：令
原式 第一步
第二步
第三步
第四步
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是______．
A．提取公因式 B．公式法
(2)请你类比以上方法尝试对多项式 进行因式分解．
【答案】(1)B
(2)
【知识点】完全平方公式分解因式、因式分解的应用
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）根据完全平方公式即可得到答案；
（2）根据题意所给方法进行因式分解即可．
【详解】（1）解：根据完全平方公式可知，第二步到第三步运用了因式分解的方法是公式法，
故选B；
（2）解：令 ，
原式
．
14．（24-25八年级上·山东烟台·期中）《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于运算能力的解释为：
运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力． 因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法—拆项补项
法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式转化为已学过的知识进行分解．
例题：用拆项补项法分解因式
解：添加两项
原式
请你结合自己的思考和理解完成下列各题：
(1)分解因式： ；
(2)分解因式： ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】提公因式法分解因式、十字相乘法、分组分解法
【分析】本题主要考查了分解因式：
（1）先把原式变形为 ，再仿照题意分解因式即可；
（2）先把原式变形为 ，再仿照题意分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
15．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我
们来温故一下因式分解的几种方法并练习！
（1）提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式： ；
（2）十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系
数．其实就是运用乘法公式 的逆运算来进行因式分解：
①分解因式 ；
②解方程： ．
（3）拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项．
① ；
② ；
除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等．
[综合应用]分解因式： ．
【答案】（1） ；（2）① ；② ；（3）① ；②
；综合应用：
【知识点】因式分解的应用、分组分解法、十字相乘法、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；
（1）根据提公因式法可进行分解因式；
（2）①根据十字相乘法可进行分解因式；②先移项，然后再对方程左边进行十字相乘，进而问题可求解；
（3）①把 拆分，然后再根据提公因式和完全平方公式可进行分解因式；②把 拆开，然后根据提公
因式和平方差公式可进行分解因式；
综合应用：根据完全平方公式、十字相乘法及整体思想可进行分解因式．【详解】解：（1） ；
故答案为 ；
（2）① ；
故答案为 ；
②
∴ 或 ，
∴ ；
（3）①
；
②
；
故答案为 ； ；
综合应用：；
故答案为 ．
16．（24-25八年级上·福建泉州·期中）下面是一位同学仿解题过程，请仔细阅读，在理解的基础上，完成
相应的学习任务．若 是多项式 的一个因式，求 的值．
解： 是多项式 的一个因式，
设 （A为整式）．
当 时，则有 ．
将 代入 ，得 ．解得 ．
学习任务：
(1)若 是多项式 的一个因式，求出多项式中二次项的系数 的值；
(2)若 和 是多项式 的两个因式，求出多项式中三次项和一次项的系数 ，
的值．
【答案】(1)
(2) ，
【知识点】因式分解的应用、加减消元法
【分析】本题考查了因式分解的应用及解二元一次方程组：
（1）依据题意列出式子，令 即可求解；
（2）依据题意列式，令 或 ，列出二元一次方程组，即可求解．
【详解】（1）解：若 是多项式 的一个因式，
设 （其中 为整式），
令
即取 ，得 ；
解得 ；
（2）解：设 （其中 为整式），令 或 ，
当 时，即x=2时，得 ，
当 时，即 时，得 ，
即 ，
由 解得 ，则 ．
17．（24-25八年级上·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当 或
时，多项式 的值为0，把此时x的值称为多项式A的
零点．
(1)已知多项式 ，则此多项式的零点为________．
(2)已知多项式 有一个零点为2，求多项式B的另一个零点；
(3)订正：小聪继续研究 ， 及 等，发现在x轴上表示这些多项式零点的
两个点关于直线 对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式
是“3-系多项式”，则 ________， ________，
________．
2
【答案】(1)− 或
3
(2)
(3) ，−2，
【知识点】计算多项式乘多项式、因式分解的应用
【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，因式分解的应用；
(1）根据题意，令 ，解方程得出 的值，即可得出答案；
(2）根据题意，把x=2代入多项式 ，得 ，然后解关于 的方程即可得出 的值，再
把 的值代入 ，进而得出答案；(3）根据题意，由“ -系多项式”定义，进而得出答案．
【详解】（1）解：根据题意，令 ，
或 ，
解得： 或 ，
2
故答案为：− 或 ；
3
（2）根据题意，把x=2代入 ，得 ，
解得：a=2，
把a=2代入 ，得 ，
令 ，
解得： ，
多项式 的另一个零点是 ；
（3） ，
的两个零点分别是 或 ，
根据“ 系多项式”的定义，有 ，
∴
把 代入 ，
得
，
，
故答案为： ，−2， ．18．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）数学教科书中这样写道：“我们把多项式 及
叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形．先添加一个适当
的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是
一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与负数
有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式 ；
例如求代数式 的最小值 ．可知当 时，
有最小值，最小值是 ，根据阅读材料，利用配方法解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)当a为何值时，多项式 有最值，并求出这个最值；
(3)当a，b为何值时，多项式 有最值，并求出这个最值．
【答案】(1) ；
(2) 时，多项式 有最大值为20；
(3) ， 时，多项式 有最小值为13．
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题主要考查了因式分解的应用、非负数的性质、配方法等知识点，熟练掌握配方法、因式分解
的方法是解本题的关键．
（1）根据阅读材料，先将 变形为 ，再根据完全平方公式写成 ，然后
利用平方差公式分解即可解答；
（2）利用分解因式将多项式 转化为 ，然后利用非负数的性质即可解答；
（3）利用分解因式将多项式 转化为 ，然后利用非负数的性
质即可解答．【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）∵ ，
，
，
∵ ，
∴当 时，多项式 有最大值为20；
（3） ，
，
，
，
，
∵ ，
∴当 ， 时，多项式 有最小值为13
