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专题 21.4 解题技巧：一元二次方程的解法与配方法的应用（类比归
纳）
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【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【类型一 形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接开平方法】..........................................................................1
【类型二 当二次项系数为1，且一次项为偶数，可用配方法】..................................................................4
【类型三 若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解】......................7
【类型四 所有一元二次方程均可用公式法求解】......................................................................................10
【类型五 一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】..............................................................................14
【类型六 一元二次方程的特殊解法——换元法】......................................................................................16
【类型七 完全平方式中的配方】..................................................................................................................20
【类型八 判断代数式的正负或求最值】......................................................................................................22
【类型九 比较两个代数式的大小】..............................................................................................................27
【类型十 利用配方法构造非负数求值】......................................................................................................28
【典型例题】
【类型一 形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接开平方法】
1．（2023·天津西青·统考二模）方程 的两个根是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
2．（2022春·八年级单元测试）下列哪个是一元二次方程 的解（ ）
A． ， B． ，C． ， D． ，
3．（2023·江苏·九年级假期作业）方程 的根是_____．
4．（2023春·浙江·八年级专题练习）若代数式 的值为9，则 的值为______．
5．（2023·全国·九年级专题练习）解方程： ．
6．（2023·全国·九年级专题练习）解方程： ．
7．（2023·江苏·九年级假期作业）解关于 的方程： ．
【类型二 当二次项系数为1，且一次项为偶数，可用配方法】
1．（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）用配方法解方程 时，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·九年级假期作业）一元二次方程 的解为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（2023秋·陕西榆林·九年级绥德中学校考期末）将方程 化成 的形式是
___________．
4．（2023·全国·九年级专题练习）把方程 化成 的形式，则 的值是
__________
5．（2023秋·广东东莞·九年级校联考期末）解方程： ．
6．（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）解方程：7．（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程：
8．（2023·全国·九年级假期作业）用配方法解关于 的方程： ．
【类型三 若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解】
1．（2023春·广东揭阳·九年级统考期末）一元二次方程 的解是（ ）
A． B． C． ， D． ，
2．（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）方程 的根是（ ）
A．3和 B． C．3 D． 和
3．（2023·全国·九年级假期作业）方程 的解为________．
4．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）方程 的解为_______．
5．（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）解方程： ．
6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）解方程： ．
7．（2023·江苏南京·统考二模）解方程： ．
【类型四 所有一元二次方程均可用公式法求解】
1．（2023秋·四川广安·九年级统考期末）解方程： ．
2．（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）解方程： .
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）公式法解方程： ．
4．（2023·全国·九年级专题练习）用公式法解下列一元二次方程：
(1) ．(2) ．
(3) ．
5．（2023·全国·九年级专题练习）用公式法解下列方程：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
6．（2023·福建泉州·统考一模）小明在解方程 的过程中出现了错误，其解答如下：
解： ， ， ，．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步
，．．．．．．．．．．．．．第二步
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第三步
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步
(1)问：小明的解答是从第________步开始出错的；
(2)请写出本题正确的解答．
【类型五 一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】
1．（2023秋·广东广州·九年级校考期末）解方程： ．
2．（2023·全国·九年级专题练习）解方程： ．
3．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）解一元二次方程： ．
4．（2023春·北京海淀·九年级首都师范大学附属中学校考开学考试）解方程：
5．（2023·全国·九年级专题练习）解方程： ．【类型六 一元二次方程的特殊解法——换元法】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）解下列方程：
(1) ； (2) ．
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知 ，求 的值；
解：设 ，则原方程可变形为 ．即
∴ 得 ，
∴ 或
已知 ，求 的值．
3．（2023秋·九年级单元测试）阅读材料，解答问题．
解方程： ．
解：把 视为一个整体，设 ，
则原方程可化为 ．
解得 ， ．
或 ．
， ．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1) ；
(2) ．4．（2023春·八年级单元测试）（换元法）解方程：
解：设 则原方程可化为
解得：
当 时， ，解得
当 时， ，解得
∴原方程的根是 ，
根据以上材料，请解方程：
(1) ．
(2)
【类型七 完全平方式中的配方】
1．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期中）如果 是一个完全平方式，那么 _________．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）如果 是一个完全平方式，那么 ________
3．（2023春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）若 是完全平方公式，则 的
值为________．
4．（2023春·江苏徐州·七年级校考阶段练习）阅读下列材料：
教科书中这样写道：“我们把多项式 及 叫做完全平方式”，如果一个多项式不是
完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整
个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式 （b、c为常数）写成 （h、k为
常数）的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
【知识理解】
(1)若多项式 是一个完全平方式，那么常数k的值为______；
A．4 B．8 C． D．
(2)若多项式 是一个完全平方式，那么常数m的值为______；
(3)配方： ______； ______；
【知识运用】
(4)通过配方发现，代数式 有最小值，则最小值为______；
(5)已知 ，则 ______， ______．
【类型八 判断代数式的正负或求最值】
1．（2023·江苏扬州·统考一模）已知 ，则 的最小值是（ ）
A．8 B． C． D．9
2．（2023春·山东威海·八年级统考期中）已知 ， ，下列结论正确的是
（ ）
A． 的最大值是0 B． 的最小值是
C．当 时， 为正数 D．当 时， 为负数
3．（2023春·广东清远·八年级校考期中）多项式 的最小值是_____．
4．（2023春·江苏·七年级期中）阅读材料：
求 的最小值．
解： ，∵ 即 的最小值为0，
∴ 的最小值为4．
解决问题：
(1)若a为任意实数，则代数式 的最小值为 ．
(2)求 的最大值．
(3)拓展：
①不论x，y为何实数，代数式 的值 ．（填序号）
A．总不小于1 B．总不大于1 C．总不小于6 D．可为任何实数
②已知 ，求 ．
5．（2023春·浙江·七年级专题练习）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和
解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式： ，解：原式
② ，利用配方法求M的最小值：
解：
因为 ，所以当 时，M有最小值5
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式 ；
(2)用配方法因式分解 ；(3)若 ，求M的最小值．
【类型九 比较两个代数式的大小】
1．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）已知 ， (m为任意实数)，则M、N的
大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
2．（2022·山东德州·统考中考真题）已知 ， 为任意实数，则 的值( )
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定
【类型十 利用配方法构造非负数求值】
1．（2023·全国·九年级假期作业）“ ”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完
全平方式，例如： ，∵ ，∴ ，∴ ．
即： 的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题：
(1)求代数式 最值；
(2)已知 ，求 的值；
(3)比较代数式 与 的大小．
2．（2022春·广东揭阳·八年级统考期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关运
算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式： ，
解：原式
② ，利用配方法求 的最小值，
解：
∵ ，
∴当 时， 有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式： ______．
(2)用配方法因式分解： ．
(3)若 ，求 的最小值．
(4)已知 ，则 的值为______．
