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第 02 讲 解题技巧专题：特殊的因式分解法(5 类热点题型讲
练)
目录
【考点一 利用整体法提公因式因式分解】............................................................................................................1
【考点二 因式分解要彻底分解】............................................................................................................................3
【考点三 十字相乘法因式分解】............................................................................................................................6
【考点四 分组分解法因式分解】..........................................................................................................................12
【考点五 因式分解的应用】..................................................................................................................................15
【考点一 利用整体法提公因式因式分解】
例题：（2024上·四川眉山·八年级统考期末）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了公式法及提公因式法分解因式，熟练掌握分解因式的方法是关键．按照提公因式法分
解法进行分解因式即可．
【详解】解：
．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2023上·湖南衡阳·八年级校考期末）把式子 分解因式，结果是
【答案】
【分析】此题考查了因式分解的方法，先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可，解题的关键是熟
练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法
等．
【详解】．
故答案为： ．
2．（2023下·全国·八年级假期作业）因式分解： ．
【答案】
【解析】略
3．（2023上·陕西延安·八年级校考阶段练习）因式分解： ．
【答案】
【分析】用提公因式法进行因式分解即可，此题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法因式分解是解题的
关键．
【详解】解：
4．（2023上·上海青浦·七年级校考期中）因式分解：
【答案】
【分析】本题考查的是因式分解，熟练的利用提公因式的方法分解因式是解本题的关键，本题先提取公因
式 ，分解后再次提取公因式2，从而可得答案．
【详解】解：
；
5．（2023上·八年级课时练习）分解因式：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可；
（2）利用提公因式法因式分解即可．
【详解】（1）
．
（2）
．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公
因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
【考点二 因式分解要彻底分解】
例题：（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）因式分解
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式 ，然后利用平方差公式分解因式即可；
（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）因式分解： ．
【答案】【分析】先利用完全平方公式和平方差公式化简，再利用十字相乘进行因式分解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式以及十字相乘是解题的关键．
2．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）因式分解
(1) (2)
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）先提取公因式a，再根据平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式x，再根据完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
【点睛】本题考查公因式和公式法分解因式，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
3．（2023春·四川成都·八年级成都市第二十中学校校考阶段练习）分解因式：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用提公因式法分解因式即可；
（2）先提公因式，然后再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式 ．
4．（2023秋·湖南永州·七年级统考期末）因式分解
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
5．（2023秋·上海静安·七年级新中初级中学校考期末）因式分解：
(1) ； (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接提取公因式y，再利用完全平方公式分解因式得出答案；
（2）直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再
用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
6．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）分解因式．(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式先提取公因式y，再运用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先运用平方差公式分解，再提取公因式即可
【详解】（1）
=
=
（2）
=
=
=
【点睛】此题考查了提公因式法，公式法分解因式．解题的关键是注意因式分解的步骤：先提公因式，再
利用公式法分解，注意分解要彻底．
【考点三 十字相乘法因式分解】
例题：（2024上·北京东城·八年级统考期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：
．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系
可得 ．通过观察可把 看作以x为未知数，a、
b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数 与常数项 分别进行适当的
分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的
方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式 的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，
如图2，则 ．
根据阅读材料解决下列问题：
(1)用十字相乘法分解因式： ；
(2)用十字相乘法分解因式： ；(3)结合本题知识，分解因式： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
（1）利用十字相乘法进行求解即可；
（2）利用十字相乘法进行求解即可；
（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：
，
；
（3）解：
，
．
【变式训练】
1．（2023上·全国·八年级专题练习）十字相乘法分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
【分析】本题主要考查十字法因式分解的应用：
（1） ，从而运用十字相乘法可分解因式；
（2） ，从而运用十字相乘法可分解因式；
（3） ，从而运用十字相乘法可分解因式；
（4） ，从而运用十字相乘法可分解因式；
（5） ，从而运用十字相乘法可分解因式；
（6） ，从而运用十字相乘法可分解因式；
（7） ，从而运用十字相乘法可分解因式；
（8） ，从而运用十字相乘法可分解因式；（9） ，从而运用十字相乘法可分解因式；
（10） ，从而运用十字相乘法可分解因式；
（11） ，从而运用十字相乘法可分解因式；
（12） ，从而运用十字相乘法可分解因式
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
（8）
；
（9）；
（10）
；
（11）
（12）
．
2．（2023下·广西北海·七年级统考期中）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解
例如： 求：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系
数即可求解；
（2）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系数即可求
解．
【详解】（1）解：如图，
∴
（2）解：如图，∴ ．
【点睛】本题考查十字相乘法因式分解，掌握分解的步骤是解题的关键．
3．（2022上·湖北恩施·八年级校考期中）阅读与思考：我们知道，整式乘法计算：
，反过来， 即为因式分解．通过观察发现：这个等式可
以写成 ，一般地，可以归纳为： ，例如，
分解因式： ，
请仔细阅读以上内容并完成下面练习：分解因式：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解即可；
（2）根据十字相乘法进行因式分解即可；
（3）先提取公因式，然后利用十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是掌握十字相乘法和提公因式法．
4．（2023下·湖南岳阳·七年级统考期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式 的方法（如
图）．
第一步：二次项 ；
第二步：常数项 ，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项 ．
即 ．
像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．
运用结论：
(1)将多项式 进行因式分解，可以表示为 _______________；
(2)若 可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数 的所有可能值．
【答案】(1)
(2)图见解析， ， ， ，16
【分析】（1）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可；
（2）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可．
【详解】（1）解： ，常数项 ，
，
，
故答案为： ；
（2）解： ，常数项 ，
画“十字图”如下：
， ， ，16．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解题的关键．
【考点四 分组分解法因式分解】
例题：（2023上·辽宁鞍山·八年级统考期中）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取
公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“ ”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了
新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为
．此种因式分解的方法叫做
“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)因式分解： ；
(2)已知 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解的新方法，及其应用．
(1)根据方法，适当分组分解即可．
(2)先因式分解，后代入求值即可．
【详解】（1）
．
（2）
，
又 ，
故原式 ．
【变式训练】
1．（2024上·山西长治·八年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务.
数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分
解，如“ ”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可以提取
公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分
解了，其过程如下： .
此种因式分解的方法叫做“分组分解法”.
任务：
(1)因式分解：
(2)已知 ， ，求 的值.
【答案】(1)(2) ，8
【分析】本题考查因式分解，掌握“分组分解法”是解题的关键．
（1）仿照材料中的方法，前两项为一组，后两项为一组，利用“分组分解法”求解；
（2）先利用“分组分解法”进行因式分解，再将 ， 作为整体代入求值．
【详解】（1）解： ，
．
（2）解：
.
将 ， 代入，得：
原式 ．
2．（2023上·全国·八年级专题练习）阅读下列文字与例题：
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法称作分组分解．
例如：以下两个式子的分解因式的方法就称为分组分解法．
① ；
②
试用上述方法分解因式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了分解因式 分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
（1）原式前三项结合，后两项结合，利用完全平方公式及提取公因式方法分解即可；
（2）原式后三项提取 ，利用完全平方公式及平方差公式分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式3．（2023上·全国·八年级专题练习）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将
因式分解．经过小组合作交流，得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用
提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的．这种方法可以称为分组分解法．(温馨提示：因式分解一
定要分解到不能再分解为止)
请你也试一试利用分组分解法进行因式分解：
(1)因式分解： ；
(2)因式分解： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分组分解法因式分解；
（1）先分组，然后根据提公因式法与平方差公式因式分解即可求解；
（2）先分组，然后根据提公因式法以及完全平方公式因式分解，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【考点五 因式分解的应用】
例题：（2023下·四川达州·八年级统考期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和
运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．
例如：
②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．
分解步骤：
1．分解二次项，所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角；
2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；
3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；
4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
例如： 分析：
观察得出：两个因式分别为 与
解：原式
③添项拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．
例如： ．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法） ______；
②（十字相乘法） ______；
(2)已知：a、b、c为 的三条边， ，判断 的形状．
【答案】(1)① ；②
(2) 是直角三角形
【分析】（1）①把原式分组成 ，然后提公因式法分解因式即可；②直接利用十字相乘法
分解即可；
（2）把原式进行因式分解得到 ，进而求出
，再利用勾股定理的逆定理求解即可．
【详解】（1）解：①
，故答案为： ；
②
，
故答案为： ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是直角三角形．
【点睛】本题考查因式分解的方法及其在几何图形问题中的应用，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘
法公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2024上·山东东营·八年级统考期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信
息： ， ，2， ， ， ，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将
因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱美
【答案】A
【分析】本题考查因式分解的应用，综合利用提公因式法和公式法进行因式分解，即可求解．
【详解】解： ，
2， ， ， 对应的汉字分别为：爱、我、中、华，
呈现的密码信息可能是“爱我中华”，
故选A．
2．（2024·全国·八年级竞赛）已知 ，则 的值
（ ）．
A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定不是正数 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了整式的加减，完全平方公式．此题可直接用多项式M减去多项式N，然后化简，最后把得出的结果与零比较确定 的正负．
【详解】解：∵ ，
∴
．
故选：B
3．（2024上·湖北恩施·八年级统考期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分
解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式 ，因式分解的结果是 ，
若取 ， ，则各个因式的值是： ， ， ，于是就可以把“018162”作为
一个六位数的密码．对于多项式 ，取 ， ，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A．528024 B．522824 C．248052 D．522480
【答案】B
【分析】本题主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．先提公
因式 ，然后根据平方差公式因式分解，进而代入字母的值即可求解．
【详解】解：∵
，
∵ ， ，则各个因式的值为 ， ， ，
∴产生的密码不可能是522824，
故选：B．
4．（2024上·河南商丘·八年级统考期末）［阅读材料］
将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“
”分组．二是“ ”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，
若可以构成完全平方，则采用“ ”分组；若无法构成，则采用“ ”分组．
例如： ；
．
［应用知识］
（1）因式分解： ．
（2）因式分解： ．
［拓展应用］
（3）已知一三角形的三边长分别是 ，且满足： ．试判断这个三角形的形
状，并说明理由．【答案】（1） ；（2） ；（3）这个三角形为等边三角形．理由见解析
【分析】本题考查了因式分解以及因式分解的应用．
（1）利用“ ”分组，再利用提公因式法分解即可；
（2）利用“ ”分组，先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式分解即可；
（3）整理后，利用“ ”分组，再利用完全平方公式分解得到 ，根据非负数的性
质求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）这个三角形为等边三角形．
理由： ，
，
，
，
．
，
，
，
这个三角形是等边三角形．
5．（2024上·广东汕头·八年级校联考期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如 的
多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一
些多项式进行因式分解．
例如： ．
即： ．根据以上材料，解答下列问题：
(1)因式分解： ；
(2)已知 ， ， 是 的三边长，且满足 ，求 的最长边 的取值范围；
(3)已知 ， ， 是 的三边长，且满足 ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查因式分解应用，三角形三边关系，平方得非负性．
（1）根据题意进行求解即可；
（2）利用完全平方公式将所给式子变形，再根据三角形三边关系即可求解；
（3）将式子变形利用平方非负性即可计算出 ， ， 三边长，再计算周长即可．
【详解】（1）解：根据题意列式：
∴ ，
即： ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
即： ，
∴ ，
∵ ， ， 是 的三边长，
∴ ，即： ，
∵ 是 的最长边，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
即： ，
∴ ，
∴ 的周长为： ．
