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单元提升卷 03 函数
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．函数 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出函数 的定义域，探讨其奇偶性，再结合 时函数值为正即可判断作答.
【详解】由 ，得 ，即函数 的定义域为 ，
显然 ， ，即函数 是奇函数，其图象关于原点对称，AB不满足；
当 时， ，于是 ，其图象在第一象限，C不满足，D满足.
故选：D
2．下列函数中，值域为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出每个函数的值域，即可得出答案．
【详解】对于A：定义域为 ，值域 ，故A错误，
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学科网（北京）股份有限公司对于B：定义域为 ，因为 ，所以 ，故B正确；
对于C：定义域为 ，因为 ，所以 ，
所以 ，故C错误；
对于D：因为 ，所以 ，故D错误，
故选：B．
3．已知函数 ，且 ，则实数 的值等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】利用抽象函数定义域求法求解即可；
【详解】令 ，解得 或 由此解得 ，
故选：D
4．（ 2023·山西临汾·统考二模）已知函数 是定义在 上的连续函数，且满足
， .则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 ， ，代入原式可得 ，列出等式
， ， ， ，再利用累加法计算即可.
【详解】令 ， ，因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
得 ，即 ，
因为 ， ， ， ，
， ， ， ，
将上述 个式子累加得， ，
.
故选：D
【点睛】求解本题的关键是通过赋值法，令 ， ，将原式转化为
，列出等式，利用累加法计算即可.
5．已知方程 有两个不同的解 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，将方程解问题转化为 及 的图像交点问题，再结合图像列出
不等关系，即可得到结果.
【详解】
由于 ，即 ，在同一坐标系下做出函数 及
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学科网（北京）股份有限公司的图像，如图所示：
由图知 在 上是减函数，故 ，由图知 ，
所以 ，即 ，化简得 ，即 ，
故选：D.
6．已知定义域为 的函数 ，若对任意的 、 ，都有 ，则称函数 为
“定义域上的 函数”，给出以下五个函数：
① ， ；
② ， ；
③ ， ；
④ ， ；
⑤ ， ，
其中是“定义域上的 函数”的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【解析】本题首先可以根据题意得出 ，然后对题目中给出五个函数依次进行研究，
得出它们的 和 并进行比较，即可得出结果.
【详解】 ，即 ，
①：因为 ， ，
所以 ， ，
易知 恒成立，①满足；
②：因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，
当 时， ，②不满足；
③：因为 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ， 恒成立，③满足；
④：因为 ，
所以 ，
，
因为 ，所以 ， ，
故 恒成立，④满足；
⑤：因为 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
故 恒成立，⑤满足，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，能否根据题意明确“定义域上的 函数”的含义是解决本题
的关键，可通过求出函数 的 和 并进行比较来判断函数是否是“定义域上的 函
数”，考查计算能力，是中档题.
7．定义在 上的函数 的图象关于直线 对称，且当 时， ，有（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】函数 的图象关于直线 对称可得 ，再根据当 时， 单调递减可得答
案.
【详解】定义在 上的函数 的图象关于直线 对称，
所以 ，所以 ，
因为当 时， 为单调递增函数，
定义在 上的函数 的图象关于直线 对称，
所以当 时， 单调递减，
因为 ，所以 ，即 .
故选：B.
8．已知 是定义在 上的奇函数，且 ，若对任意的 ， ，均有
成立，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，则 在 上递增，判断 也是是定义
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学科网（北京）股份有限公司在 上的奇函数，可得 在 上递增，分类讨论列不等式求解即可.
【详解】因为对任意的 ， ，均有 成立，
不妨设 ，则 ，
所以 ，
构造函数 ，则 在 上递增，
因为 是定义在 上的奇函数，所以 也是是定义在 上的奇函数，
所以 在 上递增，
不等式 化为 ，
因为 ，
则 ，
或 ；
时， ，不合题意；
综上不等式 的解集为 ，
故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数 ，则（ ）
A． B．
C． 的最小值为 1 D． 的图象与 轴有1个交点
【答案】ACD
【分析】利用换元法求出 的解析式，然后逐一判断即可.
【详解】令 ，得 ，则 ，得 ，
故 ， ， ，A正确，B错误.
，所以 在 上单调递增，
， 的图象与 轴只有1个交点，C正确，D正确.
故选：ACD
10．某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为 （单位：℃），环境温度为 （
，单位℃），物体的温度冷却到 （ ，单位：℃）需用时t（单位：分钟），推导出函数关系
为 ，k为正的常数．现有一壶开水（100℃）放在室温为20℃的房间里，
根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况，则（ ）（参考数据： ）
A．函数关系 也可作为这壶外水的冷却模型
B．当 时，这壶开水冷却到40℃大约需要28分钟
C．若 ，则
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学科网（北京）股份有限公司D．这壶水从100℃冷却到70℃所需时间比从70℃冷却到40℃所需时间短
【答案】BCD
【分析】对A，利用指对互化即可判断A；对B，将数据代入公式即得到 ；对C，根据 ，解出
值，再代入数据即可判断；对D，分别代入公式计算冷却时间，作差比价大小即可.
【详解】对A，由 ，得 ，
所以 ，整理得 ．A项错误；
对B，由题意可知 ．
，B项正确；
对C，由 ，得 ，即 ，则 ．C项正确；
对D，设这壶水从100℃冷却到70℃所需时间为 分钟，则 ，
设这壶水从70℃冷却到40℃所需时间为 分钟，
则 ，
因为 ，所以 ，D项正确．
故选：BCD．
11．已知幂函数 对任意 且 ，都满足 ，若
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】由已知函数为幂函数可得 ，再由已知可得此函数在 上递增，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司从而可求出函数解析式，然后判断函数奇偶性和单调性，从而可判断选项AB，对于CD，作差比较即可.
【详解】因为 为幂函数，
所以 ，解得 或 ，
因为对任意 且 ，都满足 ，
所以函数 在 上递增，
所以
当 时， ，不合题意，
当 时， ，
所以
因为 ，
所以 为奇函数，
所以由 ，得 ，
因为 在 上为增函数，
所以 ，所以 ，
所以A错误，B正确，
对于CD，因为 ，
所以
，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以C错误，D正确，
故选：BD
12．在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C
地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地
的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（ ）
A．甲车出发2h时，两车相遇
B．乙车出发1.5h时，两车相距170km
C．乙车出发2 h时，两车相遇
D．甲车到达C地时，两车相距40km
【答案】BCD
【分析】观察函数图象可知，当t＝2时，两函数图象相交，结合交点代表的意义，即可得出结论A错误；
根据速度＝路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度，再根据时间＝路程÷速度和可求出乙车出发1.5h时，两
车相距170km，结论B正确；据时间＝路程÷速度和可求出乙车出发2 h时，两车相遇，结论C正确；结
合函数图象可知当甲到C地时，乙车离开C地0.5小时，根据路程＝速度×时间，即可得出结论D正确．
【详解】观察函数图象可知，当t＝2时，两函数图象相交，
∵C地位于A、B两地之间，
∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论A错误；
甲车的速度为240÷4＝60（km/h），
乙车的速度为200÷（3.5﹣1）＝80（km/h），
∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）＝1.5（h），
∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论B正确；
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴乙车出发 时，两车相遇，结论C正确；
∵80×（4﹣3.5）＝40（km），
∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论D正确；
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．有下列说法：
① ；②16的4次方根是 ；
③ ；④ ．
其中，正确的有________(填序号)．
【答案】②④
【分析】根据n次方根的定义求解.
【详解】n为奇数时，负数的n次方根是一个负数， ，故①错误；
16的4次方根有两个，为 ，故②正确；
因为 ，故③错误；
因为 是正数，故 ，故④正确．
故答案为：②④
14．已知函数 在 上有零点，则实数a的取值范围是________________．
【答案】
【分析】分 和 两种情况，根据零点的定义结合分式不等式运算求解.
【详解】当 时，函数 ，无零点，不合题意；
当 时，由 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，解得 或 ；
综上所述：实数a的取值范围是 .
故答案为： .
15．已知函数 是二次函数又是幂函数，函数 ，函数 ，则
的值为______．
【答案】82
【分析】根据已知得出 ，在根据函数 的解析式得出其定义域，并结合对数运算得出
，即可根据函数奇偶性的定义得出函数 为奇函数，即可根据奇函数的性质得出
，根据已知 结合函数 的解析式与 的奇偶性得出 ，且 ，即
可根据所求式子的规律得出答案.
【详解】 函数 是二次函数又是幂函数，
，
在 上恒成立，
函数 ，定义域为 ，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
函数 为奇函数，
，
且
则 ，
故答案为：82.
16．已知 为定义在R上的奇函数， 为偶函数，且对任意的 ， ， ，都有
，试写出符合上述条件的一个函数解析式 ______.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据给定的奇偶性，推理计算得函数的周期性，再结合单调性求解作答.
【详解】因为 是定义在R上的奇函数，则 ，且 ，
又 为偶函数，则 ，即 ，
于是 ，则 ，即 是以 为周期的周期函数，
对任意 ， ， ，都有 ，可得 在 单调递减，
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学科网（北京）股份有限公司不妨设 ，由题意， ，所以 ，则 ，
当 时， ，
因为 在 上单调递减，且 在 上单调递增，
所以 ，不妨取 ，此时 .
故符合上述条件的一个函数解析式 ，（答案不唯一）.
故答案为： （答案不唯一）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（1）已知 ， ，求 .（用 表示）
（2）已知 ， ，求 .（用 表示）
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）由指数式与对数式的关系可得 ，结合对数运算公式化简即可；
（2）由指数与对数关系可得 ，利用换底公式和对数运算公式化简可得结论.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 .
（2）因为 ，所以 ，
所以 .
18．已知函数 .
(1)作出函数 的图象；
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学科网（北京）股份有限公司(2)就a的取值范围讨论函数 的零点的个数．
【答案】(1)作图见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）先作出 的图象，然后将其在x轴下方的部分翻折到x轴上方；
（2）数形集结合，函数 的零点的个数就是函数 的图象与直线 的交点的个数．
【详解】（1）先作出 的图象，然后将其在x轴下方的部分翻折到x轴上方，原x轴上及其上
方的图象及翻折上来的图象便是所要作的图象．
.
（2）由图象易知，函数 的零点的个数就是函数 的图象与直线 的交点的个数．
.
当 时，函数 的零点的个数为0；
当 与 时，函数 的零点的个数为2；
当 时，函数 的零点的个数为4；
当 时，函数 的零点的个数为3.
19．已知 是定义在 上的奇函数．
(1)求实数 的值；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数 即可求出结果；
（2）根据 的奇偶性和单调性即可求出结果.
【详解】（1）因为 为定义在 上的奇函数，所以 ，所以 ．
此时 ，经验证， ，故 ．
（2）由（1）可知 ，
任取 ，
则 ，
因为 ，则 ，
所以
所以 是 上的增函数．
由 恒成立，
得 恒成立，
则 ，
所以 恒成立，
因为 ，
所以 ．
实数 的取值范围为： ．
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学科网（北京）股份有限公司20．已知函数 ，且 ，当 的定义域是 时，此时值域也是 .
(1)求 的值；
(2)若 ，证明 为奇函数，并求不等式 的解集.
【答案】(1) ， 或 ，
(2)证明见解析，
【分析】（1）分 以及 ，根据函数的单调性，列出方程组，即可求出答案；
（2）根据已知得出 ，求出 ，化简 即可得出证明；根据函数的奇偶性
以及函数的单调性，列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】（1）当 时，函数 单调递减，且 .
又 在 上单调递增，
根据复合函数的单调性可知，函数 在 上单调递减，
所以 ，解得 ；
当 时，函数 单调递增，且 .
又 在 上单调递增，
根据复合函数的单调性可知，函数 在 上单调递增，
所以 ，解得 .
综上， ， 或 ， .
（2）因为 ，所以 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，定义域为 ，且函数 在 上单调递增.
因为 ，
所以 为奇函数.
则不等式 ，可化为 .
又函数 在 上单调递增，则 ，即 ，
所以不等式 的解集为 .
21．已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ．
(1)求函数 的解析式和单调区间；
(2)若关于x的方程 有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【答案】(1) ；单调增区间为 ， ；单调减区间为 ，
(2)
【分析】（1）由奇函数求解函数的解析式，并求解单调区间即可；
（2）方程 有两个不相等的实数根，转化为 与 的图象有两个不同的交点，画出图象求
解即可.
【详解】（1）当 时， ；当 时，有 ，
此时 ．
故函数 的解析式为
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增；
由奇函数的性质，当 时，函数 单调递减；
当 时，函数 单调递增；
故函数的单调增区间为 ， ；
单调减区间为 ， ；
（2）如图：
当 时， ； ；
当 时， ； ；
当 时， ； ；
当 时， ；
故 ．
22．已知函数 .
(1)若 在区间 上恒成立，求m的取值范围；
(2)当 时，证明： 在区间 内至少有2个零点.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设 ，由已知可得 在 上恒成立，利用定义判断函数
的单调性，结合单调性求其最小值，由此可得m的取值范围；
（2）判断函数值 的正负，结合零点存在性定理证明结论.
【详解】（1）∵ 在 上恒成立，则 ，
设 ，则 ，
∴函数 在 上恒成立，
令 ，则 ，
在区间[2，+∞）上任取实数 ，且 ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ .
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ 在 上是增函数.
∴ ，
∴ .
∴ 的取值范围为 .
（2）∵ ，
，
.
∴ ， ，
又 在（0，+∞）上连续
∴由零点存在性定理知函数 在 ， 内各至少有一个零点.
∴ 在 内至少有2个零点.
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