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第 03 讲 解题技巧专题：特殊的因式分解法
目录
【考点一 利用整体法提公因式因式分解】............................................................................................................1
【考点二 因式分解要彻底分解】............................................................................................................................2
【考点三 十字相乘法因式分解】............................................................................................................................7
【考点四 分组分解法因式分解】..........................................................................................................................11
【考点五 因式分解的应用】..................................................................................................................................16
【考点一 利用整体法提公因式因式分解】
例题：（24-25八年级上·山东青岛·期末）因式分解： ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解
题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）因式分解： ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，关键是变形 ；式子变形后提取公因式
，再把另一个因式用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式
；
故答案为： ．
2．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ．
【答案】【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，然后再根据平
方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
．
故答案为： ．
3．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式
【分析】本题考查因式分解，先提公因式 ，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为： ．
4．（2025七年级下·全国·专题练习）分解因式： ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：
故答案为： ．
【考点二 因式分解要彻底分解】
例题：（23-24七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： ．
【答案】【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提取公因式4，再利用平方差公式进行分解，
然后利用完全平方公式继续分解即可得答案．
【详解】解：
．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）因式分解： ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提
取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
．
2．（24-25八年级上·河南新乡·期中）因式分解
(1) ；
(2) ＋8 ＋16．
【答案】(1)
(2)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式
【分析】此题考查因式分解的方法，
（1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式；
（2）根据完全平方公式和平方差公式分解因式．
【详解】（1）解：
；（2）解： 8 16
．
3．（24-25八年级上·山东烟台·期末）因式分解：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用提取公因式和公式法进行因式分解，注意：因式分解
要彻底．
（1）先用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解即可；
（2）先用完全平方公式分解，再提取公因式即可．
【详解】（1）解： ；
；
（2）解：
．
4．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）因式分解：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】此题考查了因式分解．
（1）提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可；（2）先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
5．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）分解因式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解，熟悉掌握因式分解的运算方法是解题的关键．
（1）利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先化简式子，再利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】（1）
解：原式
（2）
解：原式
6．（24-25八年级上·陕西商洛·阶段练习）分解因式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）先整体提取公因式，再利用平方差公式因式分解；
（2）先利用平方差公式，再用完全平方公式进行因式分解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
7．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）因式分解
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是将原式进行正确的变形，注意分解要彻底；
（1）利用因式分解法，将原式进行正确的变形，即可求解；
（2）利用因式分解法，将原式进行正确的变形，即可求解；
【详解】（1）解：
；
（2）解：；
【考点三 十字相乘法因式分解】
例题：（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式：
【答案】
【知识点】十字相乘法
【分析】本题考查了利用了十字相乘法进行因式分解，利用了十字相乘法分解的分解原则是关键．将4化
为 ， 化为 ，用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：
【变式训练】
1．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】十字相乘法
【分析】本题主要考查了分解因式，直接根据十字相乘法分解因式即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
2．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容
介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式 的分解因式的方法叫“十字相
乘法”．例如：将二次三项式 因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项 一次项
系数 ，则 ．如图所示：
仿照上述解决下列问题：(1)因式分解： ；
小亮做了如下分析：
一次项为： ，则常数项为： ；
则 __________； =_________；
（ ）（ ）
(2)因式分解： ：
(3)若二次三项式 可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值．
【答案】(1)见详解
(2)
(3) ，
【知识点】十字相乘法
【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法，
（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）利用十字相乘法分解分解可得；
（3）找出所求满足乘积为 ，相加为 的值即可．
【详解】（1）解：一次项为： ，则常数项为 ，则 2； 3；
∴ ；
（2）解：一次项为： ，则常数项为 ，
则 ；
（3）解：若 可分解为两个一次因式的积，则整数 的所有可能的值是：
； ； ； ，
即整数 的所有可能的值是： ， ．
3．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
① ；
② ；
③ ．
通过以上计算发现，形如 的两个多项式相乘，其结果一定为 ．（p，q为整
数）
因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有 ，即可将形如
的多项式因式分解成 （p、q为整数）．
例如： ．【初步应用】
（1）用上面的方法分解因式： _________；
【类比应用】
（2）规律应用：若 可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________；
【拓展应用】
（3）分解因式： ．
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）
【知识点】十字相乘法
【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式．
（1）按照已知条件中方法进行分解因式即可；
（2）先找出乘积为 的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出 的值即可；
（3）按照已知条件中的方法，先把 分解成 ，然后把多项式进行第一次分解因式，再把 分解成
， 分解成 ，进行第二次分解因式即可．
【详解】解：（1）
，
，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
，
，
，
∴ 或 或 或 ，
整数 的值可能是 或 ，
故答案为： 或 ；
（3） ，
，
，
，
．4．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我
们来温故一下因式分解的几种方法并练习！
（1）提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式： ；
（2）十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系
数．其实就是运用乘法公式 的逆运算来进行因式分解：
①分解因式 ；
②解方程： ．
（3）拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项．
① ；
② ；
除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等．
[综合应用]分解因式： ．
【答案】（1） ；（2）① ；② ；（3）① ；②
；综合应用：
【知识点】因式分解的应用、分组分解法、十字相乘法、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；
（1）根据提公因式法可进行分解因式；
（2）①根据十字相乘法可进行分解因式；②先移项，然后再对方程左边进行十字相乘，进而问题可求解；
（3）①把 拆分，然后再根据提公因式和完全平方公式可进行分解因式；②把 拆开，然后根据提公
因式和平方差公式可进行分解因式；
综合应用：根据完全平方公式、十字相乘法及整体思想可进行分解因式．
【详解】解：（1） ；
故答案为 ；
（2）① ；
故答案为 ；
②
∴ 或 ，
∴ ；
（3）①；
②
；
故答案为 ； ；
综合应用：
；
故答案为 ．
【考点四 分组分解法因式分解】
例题：（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提
公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，
进行分组分解．
例1：“两两分组”： 例2：“三一分组”：
解：原式 解：原式
． ．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题：
分解因式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2)
【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式【分析】本题主要考查因式分解，理解题目中的例题的方法是解题的关键．
（1）根据“两两分组”中的例题因式分解即可；
（2）根据“三一分组”中的例题写出因式分解的结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海青浦·期末）因式分解： ．
【答案】
【知识点】分组分解法、提公因式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解—分组分解法，先把原式中一二两项分成一组，三四两项分成一组，每组分
别提取公因式，最后组与组之间提取公因式 即可．
【详解】解∶原式
，
故答案为∶ ．
2．（24-25八年级上·重庆合川·期末）分解因式：
【答案】
【知识点】分组分解法
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法进行因式分解是解题的关键．利用分组分解法分解因
式即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
3．（2025九年级下·全国·学业考试）分解因式： ．
【答案】
【知识点】分组分解法、十字相乘法、提公因式法分解因式
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公
因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
本题利用分组分解法，十字相乘法和提公因式法进行因式分解即可．【详解】原式
．
故答案为： ．
4．（24-25八年级上·重庆渝北·阶段练习）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如
下：
甲:
乙
（分成两
（分成两组）
组）
（提公因式）
（直接运用公式）
=
请在他们解法的启发下，解答下列各题：
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】分组分解法
【分析】本题主要考查因式分解，灵活运用分组分解法是解答本题的关键．
（1）原式先进行分组，再提取公因式，最后运用平方差公式进行因式分解即可；
（2）原式先进行分组，再运用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
（2）解：5．（24-25八年级上·河南新乡·期中）因式分解课后，老师给同学们布置了如下作业．
因式分解： ．
小明：将“ ”看成整体，令 ，则原式 ，再将“A”还原，可以得到原式
．
张老师：上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请大家仿照小明
的做法完成下列题目．
(1)因式分解： ．
(2)因式分解： ．
(3)因式分解： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】分组分解法、因式分解的应用
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
（1）直接利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）分组后然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可；
（3）将 看成整体，令 ，进行因式分解，再将“B”还原代入，再次因式分解即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
；
（3）解：令 ，
则
．
将 代入，得
原式 ．6．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下列材料：分解因式： ．
解1：
解2：
．
【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分
成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继
续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法：
【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题：
(1)分解因式：
(2)分解因式：
【答案】(1)
(2)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法
【分析】本题考查因式分解：
（1）先将原式分组为 ，再利用提取公因式法和公式法进行分解；
（2）先将原式变形为 ，再利用平方差公式进行因式分解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
7．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）阅读以下材料，并解决问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，
比如多项式． ．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项
式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，
而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分
解．具体过程如下：例1：
……………………分成两组
………………分别分解
………………………提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四
项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
(1)材料例1中，分组的目的是_________．
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
_____________；
_____________．
(3)利用分组分解法进行因式分解： ．
【答案】(1)分组后能出现公因式，分组后能应用公式
(2) ，
(3)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法
【分析】本题主要考查的因式分解的方法，掌握提取公因式法公式法分解因式，理解分组分解的方法是解
题的关键．
（1）根据因式分解的方法“提取公因式，公式法”即可求解；
（2）根据材料提示的“分组分解法”进行分解因式即可求解；
（3）运用分组分解法进行分解因式，先把前三项看做一个整体，是完全平方公式，再与后一项结合，运
用平方差公式分解因式即可求解．
【详解】（1）解：分组后能出现公因式，分组后能应用公式；
（2）解： ，前两项为一组，后一项为一组，
∴原式 ，
，第一项和第三项作为一组，第二、四、五项作为一组，
∴原式 ，
故答案为： ， ．
（3）解：
．【考点五 因式分解的应用】
例题：（24-25八年级上·山东威海·期中）我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式．对于超过
三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式．即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利
用已经学过的方法进行分解因式．如：
分解因式：
．
利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)已知 的三边 满足 ，判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)等腰三角形，理由见解析
【知识点】分组分解法、因式分解的应用、构成三角形的条件
【分析】本题考查因式分解—分组分解法及应用，三角形三边关系，对于不能直接因式分解的式子可以用
分组法因式分解，因式分解分组时要注意观察式子特点、分好组是关键．
（1）依据分组分解法，把 分组为 ，然后用平方差公式和提公因式法
分别因式分解，然后再提取公因式 即可求解；
（2）通过分组分解法把 化成 ，然后利用三角形三边关系得出
，则 ，得到 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：等腰三角形．
由 ，可得 ．
，
．
．
是等腰三角形．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·北京·期中）已知 、 、 是 的三边，且满足 ，则 的
形状是（ ）．A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、等腰三角形的定义
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，因式分解的应用，先把已知条件式左边分解因式推出
，进而得到 ，据此可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 、 、 是 的三边，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 是等腰三角形，
根据现有条件无法证明 是直角三角形和等边三角形，
故选：C．
2．（24-25八年级上·河南南阳·期中）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：
， ， ， ， ， 分别对应下列六个字：阳、爱、我、南、游、美，现将
因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．美我南阳 C．南阳游 D．我爱南阳
【答案】D
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因式 ，再利用平方差公式分解
因式即可，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．
【详解】解： ，
故结果呈现的密码信息可能是我爱南阳，
故选：D．
3．（24-25八年级上·河南南阳·期中）若 ， 是等腰三角形 的两边长，且满足关系式
，则 的周长是 ．
【答案】10
【知识点】完全平方公式分解因式、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义、非负数的性质及三角形三边关系；根据关系式
得出 ，再根据 是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【详解】解：∵ ，即 ，
∴ ，，b=4，
①若 是腰长，则三角形的三边长为： 、 、 ，不能组成三角形；
②若 是底边长，则三角形的三边长为： 、 、 ，能组成三角形
周长为 ．
故答案为：10．
4．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，
张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答：
因式分解：
① ；
② ．
下面是晶晶和小舒的解法：
小舒：
晶晶：
（分成两组）
（分成两组）
（直接运用公式）
（直接提公因式）
请在她们的解法启发下解答下面各题：
(1)因式分解： ；
(2)已知 的三边a，b，c满足 ， 是什么三角形？
【答案】(1) ；
(2) 是等腰三角形．
【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了因式分解，等腰三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组
后进行因式分解．
（1）分组，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可；
（2）整理后，利用完全平方公式分解，再利用三边关系即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ．∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ 是等腰三角形．
5．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）阅读下列材料：
对于多项式 ，如果我们把 代入此多项式，发现 的值为0，这时可以确定多项式中有
因式 ；同理，可以确定多项式中有另一个因式 ，于是我们可以得到： ．
又如：对于多项式 ，发现当 时， 的值为0，则多项式 有一个因式
，我们可以设 ，解得 ．
于是我们可以得到：
请你根据以上材料，解答以下问题：
(1)当 ______时，多项式 的值为0，所以多项式 有因式______，从而因式分解
______；
(2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多
项式： ．
【答案】(1)1， ， ；
(2) ，过程见解析．
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题考查了多项式乘以多项式和因式分解，理解阅读材料的方法，借助多项式乘法进行因式分解
是解题的关键．
（1）根据题意，当 时， ，设 ，求出m、n的值，进而即可求
出答案；
（2）根据题意，当 时， ，设 ，
求出m、n的值，进而即可求出答案．
【详解】（1）解：当 时， ，
设 ，
解得 ，
∴因式分解 ，
故答案为1， ， ；
（2）当 时， ，
设 ，解得 ，
∴ ．
