文档内容
第 03 讲 解题技巧专题：特殊的因式分解法
目录
【考点一 利用整体法提公因式因式分解】............................................................................................................1
【考点二 因式分解要彻底分解】............................................................................................................................2
【考点三 十字相乘法因式分解】............................................................................................................................7
【考点四 分组分解法因式分解】..........................................................................................................................11
【考点五 因式分解的应用】..................................................................................................................................16
【考点一 利用整体法提公因式因式分解】
例题：（24-25八年级上·山东青岛·期末）因式分解： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）因式分解： ．
2．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ．
3．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：
4．（2025七年级下·全国·专题练习）分解因式： ．
【考点二 因式分解要彻底分解】
例题：（23-24七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）因式分解： ．
2．（24-25八年级上·河南新乡·期中）因式分解
(1) ；
(2) ＋8 ＋16．
3．（24-25八年级上·山东烟台·期末）因式分解：
(1) ；
(2) ．4．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）因式分解：
(1) ；
(2) ．
5．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）分解因式：
(1)
(2)
6．（24-25八年级上·陕西商洛·阶段练习）分解因式：
(1)
(2)
7．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）因式分解
(1)
(2)
【考点三 十字相乘法因式分解】
例题：（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式：
【变式训练】
1．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式：
(1) ；
(2) ．
2．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容
介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式 的分解因式的方法叫“十字相
乘法”．例如：将二次三项式 因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项 一次项
系数 ，则 ．如图所示：
仿照上述解决下列问题：
(1)因式分解： ；
小亮做了如下分析：
一次项为： ，则常数项为： ；
则 __________； =_________；（ ）（ ）
(2)因式分解： ：
(3)若二次三项式 可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值．
3．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
① ；
② ；
③ ．
通过以上计算发现，形如 的两个多项式相乘，其结果一定为 ．（p，q为整
数）
因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有 ，即可将形如
的多项式因式分解成 （p、q为整数）．
例如： ．
【初步应用】
（1）用上面的方法分解因式： _________；
【类比应用】
（2）规律应用：若 可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________；
【拓展应用】
（3）分解因式： ．
4．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我
们来温故一下因式分解的几种方法并练习！
（1）提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式： ；
（2）十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系
数．其实就是运用乘法公式 的逆运算来进行因式分解：
①分解因式 ；
②解方程： ．
（3）拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项．
① ；
② ；
除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等．
[综合应用]分解因式： ．【考点四 分组分解法因式分解】
例题：（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提
公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，
进行分组分解．
例1：“两两分组”： 例2：“三一分组”：
解：原式 解：原式
． ．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题：
分解因式：
(1) ；
(2) ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海青浦·期末）因式分解： ．
2．（24-25八年级上·重庆合川·期末）分解因式：
3．（2025九年级下·全国·学业考试）分解因式： ．
4．（24-25八年级上·重庆渝北·阶段练习）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如
下：
甲:
乙
（分成两
（分成两组）
组）
（提公因式）
（直接运用公式）
=
请在他们解法的启发下，解答下列各题：
(1) ；
(2)
5．（24-25八年级上·河南新乡·期中）因式分解课后，老师给同学们布置了如下作业．
因式分解： ．
小明：将“ ”看成整体，令 ，则原式 ，再将“A”还原，可以得到原式．
张老师：上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请大家仿照小明
的做法完成下列题目．
(1)因式分解： ．
(2)因式分解： ．
(3)因式分解： ．
6．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下列材料：分解因式： ．
解1：
解2：
．
【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分
成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继
续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法：
【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题：
(1)分解因式：
(2)分解因式：
7．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）阅读以下材料，并解决问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，
比如多项式． ．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项
式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，
而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分
解．具体过程如下：
例1：
……………………分成两组
………………分别分解
………………………提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四
项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
(1)材料例1中，分组的目的是_________．
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
_____________；_____________．
(3)利用分组分解法进行因式分解： ．
【考点五 因式分解的应用】
例题：（24-25八年级上·山东威海·期中）我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式．对于超过
三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式．即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利
用已经学过的方法进行分解因式．如：
分解因式：
．
利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)已知 的三边 满足 ，判断 的形状，并说明理由．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·北京·期中）已知 、 、 是 的三边，且满足 ，则 的
形状是（ ）．
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
2．（24-25八年级上·河南南阳·期中）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：
， ， ， ， ， 分别对应下列六个字：阳、爱、我、南、游、美，现将
因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．美我南阳 C．南阳游 D．我爱南阳
3．（24-25八年级上·河南南阳·期中）若 ， 是等腰三角形 的两边长，且满足关系式
，则 的周长是 ．
4．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，
张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答：
因式分解：
① ；
② ．
下面是晶晶和小舒的解法：
小舒：
晶晶：
（分成两组）（分成两组） （直接运用公式）
（直接提公因式）
请在她们的解法启发下解答下面各题：
(1)因式分解： ；
(2)已知 的三边a，b，c满足 ， 是什么三角形？
5．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）阅读下列材料：
对于多项式 ，如果我们把 代入此多项式，发现 的值为0，这时可以确定多项式中有
因式 ；同理，可以确定多项式中有另一个因式 ，于是我们可以得到： ．
又如：对于多项式 ，发现当 时， 的值为0，则多项式 有一个因式
，我们可以设 ，解得 ．
于是我们可以得到：
请你根据以上材料，解答以下问题：
(1)当 ______时，多项式 的值为0，所以多项式 有因式______，从而因式分解
______；
(2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多
项式： ．
