文档内容
专题 04 一元二次方程的解法（因式分解法）（2 个
知识点 4 种题型 2 个易错考点中考 2 种考法）
【目录】
倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1：因式分解法（重难点）
知识点2：灵活运用合适的方法解一元二次方程（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1：利用因式分解法解一元二次方程
（1）利用提公因式法
（2）利用平方差公式
（3）利用完全平方公式
（4）十字相乘法因式分解
题型2：选择合适的方法解一元二次方程
题型3：一题多解——解一元二次方程
题型4：由两方程的公共根求方程中字母的值
【方法三】 差异对比法
易错点1：在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致丢根。
易错点2：用因式分解法解一元二次方程时，忽略整体取值范围导致出错
【方法四】 仿真实战法
考法1：用因式分解法解一元二次方程
考法2：解一元二次方程与三角形综合
【方法五】 成果评定法
【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法
知识点1：因式分解法（重难点）
（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤
①将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次式的积；
③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
（2）常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点诠释：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0，另一边可以分解成两个一次因
式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为 0，那么这两个因式中至少有一个等
于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为 0；②方程两边不能同时除以
含有未知数的代数式.
知识点2：灵活运用合适的方法解一元二次方程（难点）
例1.用适当的方法解下列方程：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．【方法二】实例探索法
题型1：利用因式分解法解一元二次方程
（1） 利用提公因式法
例2.方程： 的较小的根是（ ）
A． B． C． D．
例3.解关于 的方程（因式分解方法）：
（1） ； （2） ．
（2）利用平方差公式
例4.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．
例5.解关于 的一元二次方程： ．
（3）利用完全平方公式
例6.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；（4） 十字相乘法因式分解
例7.用合适的方法解下列关于 的方程：
（1） ； （2） ；
题型2：选择合适的方法解一元二次方程
例8.解关于 的方程（合适的方法 ）：
（1） ； （2） ．
例9.解关于 的方程（合适的方法）：
（1） ； （2） ．
题型3：一题多解——解一元二次方程
例10.（2022秋•昆都仑区期末）解方程：x2+2x＝3．（用两种方法解方程）题型4：由两方程的公共根求方程中字母的值
例11.方程 的解相同，求 的值．
例12.已知方程 有共同的根是 ，求a的值．
【方法三】差异对比法
易错点1：在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致丢根。
例13.解关于 的方程：
（1） ； （2）
（3） ．
易错点2：用因式分解法解一元二次方程时，忽略整体取值范围导致出错
(x2 y2)(x2 y2 2)3 x2 y2
例14.如果 ，请你求出 的值．【方法四】 仿真实战法
考法1：用因式分解法解一元二次方程
1．（2022•临沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（ ）
A．x ＝6，x ＝4 B．x ＝6，x ＝﹣4
1 2 1 2
C．x ＝﹣6，x ＝4 D．x ＝﹣6，x ＝﹣4
1 2 1 2
2．（2022•包头）若x ，x 是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则x •x 2的值为（ ）
1 2 1 2
A．3或﹣9 B．﹣3或9 C．3或﹣6 D．﹣3或6
3．（2022•天津）方程x2+4x+3＝0的两个根为（ ）
A．x ＝1，x ＝3 B．x ＝﹣1，x ＝3
1 2 1 2
C．x ＝1，x ＝﹣3 D．x ＝﹣1，x ＝﹣3
1 2 1 2
4．（2022•梧州）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是 ．
5．（2022•云南）方程2x2+1＝3x的解为 ．
6．（2022•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
7．（2022•贵阳）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“＜”或“＞”填空：a b，ab 0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法；它们分别是配方法、公式法和因式分解法
请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x﹣1＝0；②x2﹣3x＝0；③x2﹣4x＝4；④x2﹣4＝0．考法2：解一元二次方程与三角形综合
8．（2021•雅安）若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（
）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
9．（2021•黔西南州）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的根，则该三角形
的周长为 ．
10．（2021•广安）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形
的周长为 ．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023春·广东揭阳·九年级校考阶段练习）方程 的两个根为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川广元·统考一模）已知关于 的方程 的一个解与方程 的解相同，则方程
的另一个解是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江杭州·统考一模）方程 的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
二、填空题
4．（2023·陕西咸阳·二模）一元二次方程 的根是__________．
5．（2023·四川成都·统考二模）一个三角形的两边长分别为和，第三边的长为一元二次方程
的一个根，则这个三角形的周长为____．
6．（2023春·湖北武汉·九年级华中科技大学附属中学校考阶段练习）“换元”是将代数式化繁为简的一种方法，试用这种方法解方程 ，它的解是___________
7．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）解方程： ，利用整体思想和换元法
可设 ，则原方程可化为：______.
8．（2022秋·四川眉山·九年级校考阶段练习）若实数x、y满足 ，则
_____．
9．（2023·浙江宁波·校考一模）已知 ，求 的值为______．
10．（2023·全国·九年级专题练习）若 ，则 ______．
11．（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考一模）写出一个以 为未知数，以 和4为根的一元二次
方程________．
12．（2022秋·黑龙江·九年级统考期中）方程 ，则 的值是______．
13．（2023·山东济南·统考一模）菱形的两条对角线长分别为方程 的两个根，则该菱形的周
长为______．
三、解答题
14．（2023春·北京海淀·九年级人大附中校考开学考试）解方程：
(1) ； (2) ．
15．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：
(1) ．（直接开平方法） (2) （配方法）(3) （因式分解法） (4) （公式法）
16．（2023·浙江湖州·统考一模）解方程： ．
17．（2023秋·山东临沂·九年级统考期末）解方程：
(1) ； (2) ．
18．（2023·青海·统考一模）提出问题
为解方程 ，我们可以将 视为一个整体，然后可设 ，则
，于是原方程可转化为 ，解此方程，得 ， ．
当 时， ， ，∴ ；
当 时， ， ，∴ ．
∴原方程的解为 ， ， ， ．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题（1）运用上述换元法解方程 ．
延伸拓展
（2）已知实数m，n满足 ，求 的值．
19．（2023·上海崇明·统考二模）在疫情防控常态化的背景下，某学校为了定期做好专用教室的消毒工作，
计划购买甲、乙两种类型的消毒剂，预计购进乙种类型消毒剂的数量y（瓶）与甲种类型消毒剂的数量x
（瓶）之间的函数关系如图所示．
(1)求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）；
(2)该学校用2100元选购了甲种类型的消毒剂，用2400元选购了乙种类型的消毒剂，甲种消毒剂的单价比
乙种消毒剂的单价贵30元，求选购的甲、乙消毒剂的数量．
20．（2022秋·江苏苏州·九年级星海实验中学校考阶段练习）我们给出定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两个实数根为 ， （ ），分别以 ， 为横坐标和纵坐标得到点M（
， ），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
(1)若方程为 ，该方程的衍生点M为 ．
(2)若关于x的一元二次方程 的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与
坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
(3)是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程 的衍生点M始终在直线y＝kx+2
（k+3）的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由．
21．（2022秋·湖南郴州·九年级统考阶段练习）根据要求解答下列问题
(1)①方程 的解为
②方程 的解为
③方程 的解为
(2)根据以上方程特征及解的特征猜想：方程 的解为 ，并用配方法解方程进行验证；
(3)根据以上探究得出一般结论：关于 的方程 的解为 ．
22．（2022秋·湖南郴州·九年级统考期中）阅读下面的材料，回答问题：解方程 ，这是一个
一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设 ，那么 ，于是原方程可变为（1），解得 ， ，当 时， ， ；当 时， ， ；
原方程有四个根： ， ， ， ．在由原方程得到方程（1）的过程中，利用换元法
达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
(1)试用上述方法解方程： ，得原方程的解为 ___________．
(2)解方程 ．
23．（2023·广东梅州·统考一模）若关于x，y的二元一次方程 ，若满足 ， ．
(1)求参数a的取值范围；
(2)若y为一个直角三角形的一条直角边长，x为该直角三角形的斜边长，另一条直角边长为方程
的一个根，试求该直角三角形的周长．
24．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
