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专题 04 一元二次方程的应用（八大类型）
【题型1 一元二次方程应用-变化率】
【题型2 一元二次方程应用-传染问题】
【题型3 一元二次方程应用-分支问题】
【题型4 一元二次方程应用-比赛问题及迁移运用】
【题型5 一元二次方程应用-销售问题】
【题型6 一元二次方程应用-每每问题】
【题型7 一元二次方程应用-几何面积问题】
【题型8 一元二次方程应用-几何动态问题】
【题型1 一元二次方程应用-变化率】
1．（2023春•鄞州区期中）某商品经过连续两次降价，价格由 100元降为64元．
已知两次降价的百分率都是x，则x满足的方程是（ ）
A．64（1﹣2x）＝100 B．100（1﹣x）2＝64
C．64（1﹣x）2＝100 D．100（1﹣2x）＝64
【答案】B
【解答】解：根据题意，得100（1﹣x）2＝64，
故选：B．
2．（2023•东莞市校级一模）某旅游景点8月份共接待游客25万人次，10月份
共接待游客64万人次，设游客每月的平均增长率为x，则下列方程正确的是
（ ）
A．25（1+x）2＝64 B．25（1+x2）＝64
C．64（1﹣x）2＝25 D．64（1﹣x2）＝25
【答案】A
【解答】解：设游客每月的平均增长率为x，
依题意，得：25（1+x）2＝64．故选：A．
3.（2021·松北期末）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件
196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为 x，那么x满足的方程是（
）
A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196
C．50+50（1+x）+50（1+x2）=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）
=196
【答案】C
【解答】一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平
均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量：八、九月份的
产量分别为50（1+x）、50（1+x）2，从而根据题意得出方程：
50+50（1+x）+50（1+x2）=196．
故答案为：C．
4．（2023•沭阳县模拟）某商品原价每件 75元，两次降价后每件48元，则平
均每次的降价百分率是 ．
【答案】20%．
【解答】解：设平均每次的降价百分率是x，
依题意得：75（1﹣x）2＝48，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝1.8（不符合题意，舍去），
1 2
∴平均每次的降价百分率为20%．
故答案为：20%．
5.（2022秋•确山县期中）2022年是中国共产党建党101周年，全国各地积极开
展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，某市“红二方面军长
征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年 8月份该基地接待参
观人数10万人，10月份接待参观人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计11月份的参观人数能否突破13.5万人？
【解答】解：（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x，
依题意得：10（1+x）2＝12.1，
解得：x ＝0.1＝10%，x ＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
1 2答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%．
（2）12.1×（1+10%）＝13.31（万人）．
13.31＜13.5，
∴11月份的参观人数不能突破13.5万人．
答：11月份的参观人数不能突破13.5万人．
6.（2022春•沂源县校级月考）受益于国家支持新能源汽车发展等多重利好因素，
我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高．据统计，2016年利润为2亿元，
2018年利润为2.88亿元．
（1）求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率．
（2）若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业 2019年的利润
能否超过3.4亿元？
【答案】（1） 20%（2）能超过3.4亿元
【解答】解：（1）设该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率为x，
依题意得：2（1+x）2＝2.88，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率为20%．
（2）2.88×（1+20%）＝3.456（亿元），
∵3.456亿元＞3.4亿元，
∴若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业 2019年的利润能
超过3.4亿元．
【题型2 一元二次方程应用-分支问题】
7．（2022秋•青川县期末）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种
植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、
枝干和小分枝的总数是 31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解答】解：根据题意，主干是1，设长出的枝干有x枝，
∴1+x+x2＝31，即x2+x﹣30＝0，解方程得，x ＝5，x ＝﹣6（舍去），
1 2
∴这种植物每个枝干长出的小分枝个数5．
故选：B．8．（2022秋•澄海区期末）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，
发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分
支．若主干、支干和小分支的总数是91，求这种植物每个支干长出的小分支
个数是多少？
【答案】9．
【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
根据题意，可得1+x+x2＝91，
整理得 x2+x﹣90＝0，
解得x ＝9，x ＝﹣10（不合题意，舍去），
1 2
答：这种植物每个支干长出的小分支个数是9．
【题型3 一元二次方程应用-传染问题】
9．（2022春•南谯区校级期中）新冠肺炎病毒是一种传染性极强的急性呼吸道
传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“新冠肺炎”疫
情初期，有1人感染了“新冠肺炎病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮
传染后共有196人感染了“新冠肺炎病毒”，则每轮传染中平均一个人传染
了（ ）
A．12人 B．13人 C．14人 D．15人
【答案】B
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
根据题意，得x+1+（x+1）x＝196，
解得：x＝13或x＝﹣15（舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了13个人．
故选：B．
10．（2023•兴庆区校级一模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有 81个人
患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染
x个人，可到方程为（ ）
A．1+2x＝81 B．1+x2＝81 C．1+x+x2＝81 D．（1+x）2＝81
【答案】D
【解答】解：x+1+（x+1）x＝81，
整理得（1+x）2＝81．故选：D．
11．（2022秋•沈丘县月考）若有 2个人患了流感，经过两轮传染后共有 50人
患了流感（这2个人在第二轮传染中仍有传染性），则每轮传染中平均一个
人传染 人．
【答案】4．
【解答】2解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，
依题意得2+2x+x（2+2x）＝50，
∴x＝4或x＝﹣6（不合题意，舍去）．
所以，每轮传染中平均一个人传染了4个人，
故答案为：4．
12．（2023•城关区一模）有一人患了流感，经过两轮传染后共有 169人患了流
感，每轮传染中平均一个人传染了 人．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设平均一人传染了x人，
x+1+（x+1）x＝169
x＝12或x＝﹣14（舍去）．
平均一人传染12人．
故答案为：12．
13.（2022秋•天河区校级期末）截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中国已经
得到有效控制，但在全球却持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨
大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，
经过两轮传染后共有196人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几
个人？
【解答】解：设每轮传染中平均每个人传染了 x个人，则第一轮中有 x人被
传染，第二轮中有x（1+x）人被感染，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝196，
整理得：（1+x）2＝196，
解得：x ＝13，x ＝﹣15（不符合题意，舍去）．
1 2
答：每轮传染中平均每个人传染了13个人
14．（2022秋•甘井子区校级期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感．
（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？
【答案】（1）11人；（2）1728人．
【解答】解：（1）设平均一人传染了x人，
x+1+（x+1）x＝144，
x ＝11或x ＝﹣13（舍去）．
1 2
答：平均一人传染11人．
（2）经过三轮传染后患上流感的人数为：144+11×144＝1728（人），
答：经过三轮传染后患上流感的人数为1728人．
【题型4 一元二次方程应用-比赛问题及迁移运用】
15．（2023•东莞市二模）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加
了单循环比赛，单循环比赛共进行了 45场，共有多少支队伍参加比赛？（
）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解答】解：设共有 x 支队人伍参加比赛，
根据题意，可得 ，
解得 x＝10 或 x＝﹣9 （舍），
∴共有10支队伍参加比寒，
故选：D．
16.（2021秋•虎林市校级期末）2021年虎林市教育局组织开展了全市中学生篮
球联赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行一场比赛），共进行了 66场
比赛，则参加比赛的队伍数量是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【解答】解：设参加比赛的队伍有x支，
依题意得： x（x﹣1）＝66，整理得：x2﹣x﹣132＝0，
解得：x ＝12，x ＝﹣11（不合题意，舍去）．
1 2
故选：C．
17.（2022•黑龙江模拟）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进
行了28场，则该校八年级有（ ）个班级．
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【解答】解：设该校八年级有x个班级，
依题意得： x（x﹣1）＝28，
整理得：x2﹣x﹣56＝0，
解得：x ＝8，x ＝﹣7（不合题意，舍去）．
1 2
故选：A．
18．（2023•惠东县一模）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加
了单循环比赛，单循环比赛共进行了 45 场，则本次比赛共有参赛队伍
（ ）
A．8支 B．9支 C．10支 D．11支
【答案】C
【解答】解：设共有x支队伍参加比赛，
根据题意，可得 ，
解得x＝10或x＝﹣9（舍），
∴共有10支队伍参加比赛．
故选：C．
19．（2022秋•于洪区期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一
次手．有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【解答】解：设参加会议有x人，依题意得，
x（x﹣1）＝66，整理，得x2﹣x﹣132＝0
解得x ＝12，x ＝﹣11，（舍去）
1 2
则参加这次会议的有12人．
故选：C．
20．（2022秋•南平期中）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其
他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，那么全组有（ ）名同学．
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】C
【解答】解：设全组有x名同学，则每名同学所赠的标本为：（x﹣1）件，
那么x名同学共赠：x（x﹣1）件，
则x（x﹣1）＝182，
整理得：x2﹣x﹣182＝0，
解得x ＝﹣13（不合题意舍去），x ＝14．
1 2
故全组共有14名同学．
故选：C．
21．（2022秋•和平区期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一
次手，经统计所有人一共握了10次手，则这次会议到会的人数是 人．
【答案】5．
【解答】解：设这次会议到会的人数是x人，
根据题意得： x（x﹣1）＝10，
整理得：x2﹣x﹣20＝0，
解得：x ＝5，x ＝﹣4（不符合题意，舍去），
1 2
∴这次会议到会的人数是5人．
故答案为：5．
22．（2022秋•荔湾区校级期末）卡塔尔足球世界杯小组赛，每两队之间进行
一场比赛，小组赛共进行了6场比赛，则该小组有 支球队．
【答案】4．
【解答】解：设该小组有x支球队，
根据题意得： x（x﹣1）＝6，整理得：x2﹣x﹣12＝0，
解得：x ＝4，x ＝﹣3（不符合题意，舍去），
1 2
∴该小组有4支球队．
故答案为：4．
23．（2023春•安徽月考）网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转
发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后
邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请 x个互不相同的好友转发，
已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为 人．
【答案】12．
【解答】解：依题意，得：1+x+x2＝157，
解得：x ＝12，x ＝﹣13（不合题意，舍去）．
1 2
故答案为：12．
24．（2022秋•蔚县校级期末）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送
贺卡72张，共有 人．
【答案】9．
【解答】解：设该小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，
依题意得：x（x﹣1）＝72，
整理得：x2﹣x﹣72＝0，
解得：x ＝9，x ＝﹣8（不符合题意，舍去），
1 2
∴该小组共有9人．
故答案为：9．
25．（2022秋•白云区期末）一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间
都赛两场），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
【答案】共有10支队参加比赛．
【解答】解：设有x队参加比赛．
依题意，得x（x﹣1）＝90，
（x﹣10）（x+9）＝0，
解得x ＝10，x ＝﹣9（不合题意，舍去）．
1 2
答：共有10支队参加比赛．
【题型5 一元二次方程应用-销售问题】26．（2023春•盐都区月考）某商店分别花 20000元和30000元先后两次以
相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多500千克．
（1）该商品的进价是多少？
（2）已知该商品每天的销售量 y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函
数关系式为：y＝﹣10x+500，若想销售该商品每天获利2000元，该商店需将
商品的售价定为多少？
【答案】（1）该商品的进价是20元；
（2）该商店需将商品的售价定为30元或40元．
【解答】解：（1）设该商品的进价是m元，
依题意得：500m＝30000﹣20000，
解得：m＝20．
答：该商品的进价是20元．
（2）依题意得：（x﹣20）（﹣10x+500）＝2000，
整理得：x2﹣70x+1200＝0，
解得：x ＝30，x ＝40．
1 2
答：该商店需将商品的售价定为30元或40元．
27．（2023•中山市一模）某超市以每千克 40元的价格购进菠萝蜜，计划以每
千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠
萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数
关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克
应降价多少元？
【答案】（1）y＝20x+60（0＜x＜20）；（2）这种干果每千克应降价12元．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（2，100），（5，160）代入y＝kx+b得： ，
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝20x+60（0＜x＜20）．
故答案为：y＝20x+60（0＜x＜20）．
（2）根据题意得：（60﹣x﹣40）（20x+60）＝2400，
整理得：x2﹣17x+60＝0，
解得：x ＝5，x ＝12，
1 2
又∵要让顾客获得更大实惠，
∴x＝12．
答：这种干果每千克应降价12元．
28．（2022秋•九龙坡区期末）某图书店在 2022年国庆节期间举行促销活动，
某课外阅读书进货价为每本8元，标价为每本15元．
（1）该图书店举行了国庆大回馈活动，连续两次降价，每次降价的百分率
相同，最后以每本9.6元的价格售出，求图书店每次降价的百分率；
（2）在九月底该书店老板去进货该书500本，按照（1）两次降价后的价格
在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了 a%，进货量比
九月底增加3a%，以标价的八折全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，
求a%的值．
【答案】（1）20%；
（2） ．
【解答】解：（1）设图书店每次降价的百分率为x，
由题意得：15（1﹣x）2＝9.6，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝1.8（不符合题意舍去），
1 2
答：图书店每次降价的百分率为20%；
（2）国庆节的总利润为：500×（9.6﹣8）＝800（元），
国庆节后的进货量为：500（1+3a%）本，进货价为：8×（1+a%）售价为：15×0.8＝12（元），
由题意得：500（1+3a%）[12﹣8（1+a%）]＝800+1200，
解得：a%＝ 或a%＝0（不符合题意舍去），
∴a%＝ ，
答：a%的值为 ．
29．（2022秋•平遥县期末）某商店通过网络在一源头厂家进一种季节性小家
电，由于疫情影响以及市场竞争，该厂家不得不逐年下调出厂价；
（1）2019年这个小家电出厂价是每台62.5元，到2021年同期该品牌小家电
出厂价下调为40元，若每年下调幅度相同，请你计算该小家电出厂价平均每
年下调的百分率；
（2）若明年商场计划按每台40元购一批该品牌小家电，经市场预测，销售
定价为50元时，每月可售出500台，销售定价每增加1元，销售量将减少10
台．因受库存的影响，每月进货台数不得超过 300台；商家若希望月获利
8750元，则应进货多少台？销售定价多少元？
【答案】（1）20%；
（2）该商品每台的销售定价为75元，应进货250台．
【解答】解：（1）设该小家电出厂价平均每年下调的百分率为x，
根据题意得：62.5（1﹣x）2＝40，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝1.8（不符合题意，舍去）．
1 2
答：该小家电出厂价平均每年下调的百分率为20%；
（2）设该商品每台的销售定价为y元，则每台的销售利润为（y﹣40）元，
每月可售出500﹣10（y﹣50）＝（1000﹣10y）台，
根据题意得：（y﹣40）（1000﹣10y）＝8750，
解得：y ＝65，y ＝75，
1 2
当y＝65时，1000﹣10y＝1000﹣10×65＝350＞300，不符合题意，舍去；
当y＝75时，1000﹣10y＝1000﹣10×75＝250＜300，符合题意．
答：该商品每台的销售定价为75元，应进货250台．
30．（2023•桂林一模）小王计划经营某种时尚产品的专卖店，已知该产品的进货价为70元/件，售价不能低于80元/件，专卖店每月有800元的固定成本开
支，根据市场调研，产品的销售量 y（件）随着产品的售价x（元/件）的变
化而变化，销售量y与售价x之间的部分对应关系如表：
售价x 80 82 84 86 …
（元/件）
销售量y 500 490 480 470 …
（件）
（1）求销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；
（2）小王预计每月盈利8200元，为尽可能让利于顾客，则该产品的售价每
件应定为多少元？
【答案】（1）y＝﹣5x+900；
（2）90元．
【解答】解：（1）由销售量 y 与售价 x 之间的部分对应关系可设 y＝kx+b
（k≠0，k，b为常数），
将x＝80，y＝500和x＝82，y＝490代入，
得 ，
解得 ，
∴销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为y＝﹣5x+900；
（2）根据题意，得（x﹣70）（﹣5x+900）﹣800＝8200，
解得x ＝160，x ＝90，
1 2
∵售价不能低于80元/件，且尽可能让利于顾客，
∴x＝90，
答：该产品的售价每件应定为90元．
31．（2022秋•通川区期末）为了满足社区居民强身健体的需要，政府准备采
购若干套健身器材免费提供给社区，经过考察了解，飞跃公司有 A，B两种
型号的健身器材可供选择，已知飞跃公司2020年每套A型健身器材的售价为
2.5万元，2020年每套B型健身器材的售价为 2万元，2022年每套A型健身
器材售价为1.6万元，每套A型，B型健身器材的年平均下降率相同．
（1）求2020年到2022年每套A型健身器材年平均下降率；（2）2022年政府经过招标，决定年内采购并安装飞跃公司A，B两种型号的
健身器材共80套，政府采购专项经费总计不超过 115.2万元，并且采购A型
器材费用不能少于B型器材的费用，请求出所需经费最少的采购方案．
【答案】（1）每套A型健身器材年平均下降率为20%；
（2）总费用最少为180万元．
【解答】解：（1）设每套A型健身器材年平均下降率为x，
根据题意得：2.5（1﹣x）2＝1.6，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝1.8（舍去）．
1 2
答：每套A型健身器材年平均下降率为20%；
（2）2×（1﹣20%）2＝1.28（万元）．
设购买B型健身器材m套，则购买A型健身器材（80﹣m）套，
根据题意得：1.6（80﹣m）+1.28m≤115.2，
解得：m≥40．
∴B型健身器材最少可购买40套，此时A型需要40套．
则：40×2.5+40×2＝180（万元）．
32．（2023•抚州一模）某超市经销一种商品，每千克成本为 30元，经试销发
现，该种商品的每天销售量 y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函
数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：
销售单价x 40 45 55 60
（元/千克）
销售量y（千 80 70 50 40
克）
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销
售该商品每天获得的利润为800元，求每天的销售量应为多少千克？
【答案】（1）y＝﹣2x+160；
（2）80千克．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将（40，80），（45，70）代入y＝kx+b得： ，解得： ，
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+160．
（2）依题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＝800，
整理得：x2﹣110x+2800＝0，
解得：x ＝40，x ＝70．
1 2
又∵商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，
∴x＝40，
∴﹣2x+160＝﹣2×40+160＝80．
答：每天的销售量应为80千克．
33．（2022春•莱芜区期末）某农户生产经营一种农产品，已知这种农产品的
成本价为每千克20元，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与
销售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该农户想要每天获得150元的利润，又要让利消费者，销售价应定为每
千克多少元？
【答案】（1）y＝﹣2x+80；
（2）25元．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（20，40），（30，20）代入y＝kx+b得： ，
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80．
（2）依题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，
整理得：x2﹣60x+875＝0，解得：x ＝25，x ＝35．
1 2
又∵要让利消费者，
∴x＝25．
答：销售价应定为每千克25元．
【题型6 一元二次方程应用-每每问题】
34．（2023春•沙坪坝区校级月考）将进货价格为 38元的商品按单价45元售出
时，能卖出300个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设
这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为2300元，则下列关系式正确的是
（ ）
A．（x﹣38）（300﹣5x）＝2300 B．（x+7）（300+5x）＝2300
C．（x﹣7）（300﹣5x）＝2300 D．（x+7）（300﹣5x）＝2300
【答案】D
【解答】解：根据题意可得：（45+x﹣38）（300﹣5x）＝2300，
即：（x+7）（300﹣5x）＝2300．
故选：D．
35.（2021秋•纳溪区期末）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的价格是 30
元/件，根据市场调查：在一段时间内，当销售价格是 40元/件时，销售量是
600件，当销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售价格为 x元/件（x＞40），请你分别用含x
的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得的利润w元．
（2）在第（1）间的条件下，若商场获得了10000元的销售利润，求该玩具
的销售价格应定为多少元/件．
【解答】解：（1）设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），
则y＝600﹣10（x﹣40）＝1000﹣10x，
∴w＝（x﹣30）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1300x﹣30000；
（2）依题意得：﹣10x2+1300x﹣30000＝10000，
解得：x ＝50，x ＝80，
1 2
答：该玩具的销售价格应定为50元/件或80元/件
36.（2022秋•东明县期末）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北
京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．（1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大
生产量，该工厂平均每月生产量增加20%，则该工厂在四月份能生产多少个
“冰墩墩”？
（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个
降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每
天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
【解答】解：（1）500×（1+20%）2＝500×1.44＝720（个）．
答：该工厂在四月份能生产720个“冰墩墩”．
（2）设每个“冰墩墩”降价x元，则每个盈利（40﹣x）元，平均每天可售
出20+ ×10＝（20+5x）个，
依题意得：（40﹣x）（20+5x）＝1440，
整理得：x2﹣36x+128＝0，
解得：x ＝4，x ＝32（不符合题意，舍去）
1 2
答：每个“冰墩墩”应降价4元．
37．（2022秋•龙岗区期末）“双十一”期间，某网店直接从工厂购进A，B两
款保温杯，进货价和销售价如表：（注：利润＝销售价﹣进货价）
A款保温杯 B款保温杯
进货价（元/个） 35 28
销售价（元/个） 50 40
（1）若该网店用1540元购进A，B两款保温杯共50个，求两款保温杯分别
购进的个数．
（2）“双十一”后，该网店打算把B款保温杯降价销售，如果按照原价销
售，平均每天可售出4个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2
个，则将B款保温杯的销售价定为每个多少元时，才能使B款保温杯平均每
天的销售利润为96元？【答案】（1）购进A款保温杯20个，B款保温杯30个；
（2）将B款保温杯的销售价定为每个34元或36元时，才能使B款保温杯平
均每天的销售利润为96元．
【解答】解：（1）设购进A款保温杯x个，B款保温杯y个，
依题意得： ，解得 ，
答：购进A款保温杯20个，B款保温杯30个；
（2）设B款保温杯的销售价定为a元，则每个的销售利润为（a﹣28）元，
∵经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，
∴平均每天可售出 个，
依题意得：（a﹣28）（84﹣2a）＝96，即a2﹣70a+1224＝0，
∴（a﹣34）（a﹣36）＝0，解得a ＝34，a ＝36，
1 2
答：将B款保温杯的销售价定为每个34元或36元时，才能使B款保温杯平
均每天的销售利润为96元．
38．（2023春•长沙期中）春节是中国的传统节日，每年元旦节后是购物的高
峰期，2023年元月某水果商从农户手中购进 A、B两种红富士苹果，其中A
种红富士苹果进货价为28元/件，销售价为42元/件，其中B种红富士苹果进
货价为22元/件，销售价为34元/件．（注：利润＝销售价﹣进货价）
（1）水果店第一次用720元购进A、B两种红富士苹果共30件，求两种红富
士苹果分别购进的件数；
（2）第一次购进的红富士苹果售完后，该水果店计划再次购进 A、B两种红
富士苹果共80件（进货价和销售价都不变），且进货总费用不高于2000元．
应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）春节临近结束时，水果店发现B种红富士苹果还有大量剩余，决定对B
种红富士苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发
现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为
每件多少元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元？
【答案】（1）A中苹果购进10件，B中苹果购进20件．
（2）购进A种苹果40件，B中苹果40件时，获得最大销售利润为1040元．（3）将销售价定为每件27元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润
为90元．
【解答】解：（1）设A，B两种苹果分别购进x件和y件，
由题意得： ，
解得 ，
答：A中苹果购进10件，B中苹果购进20件．
（2）设购进A种苹果m件，则购进B种苹果（80﹣m）件，
由题意得：28m+22（80﹣m）≤2000，
∴m≤40，
设利润为w元，则w＝（42﹣28）m+（34﹣22）（80﹣m）＝2m+960，
∵2＞0，
∴w随m的增大额增大，
∴当m＝40时，w ＝2×40+960＝1040．
最大值
故购进A种苹果40件，B中苹果40件时，获得最大销售利润为1040元．
（3）设 B 种苹果降价 a 元销售，则每天多销售 2a 件，每天利润为（12﹣
a），
由题意得：（4+2a）（12﹣a）＝90，
解得，a＝3或a＝7，
∵为了尽快减少库存，
∴a＝7，
34﹣7＝27，
答：将销售价定为每件27元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为
90元．
39．（2023春•北仑区期中）某超市于今年年初以每件 25元的进价购进一批商
品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．
销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、
三这两个月的月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，
该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利 4250
元？
【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为25%；
（2）当商品降价5元时，商品获利4250元．
【解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
256（1+x）2＝400，
解得：x ＝ ，x ＝﹣ （不合题意舍去）．
1 2
答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；
（2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：
（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250，
解得：m ＝5，m ＝﹣70（不合题意舍去）．
1 2
答：当商品降价5元时，商品获利4250元．
【题型7 一元二次方程应用-几何面积问题】
40．（2023春•温州期中）如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑
同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为
100平方米，设小路的宽为x米，则下面所列方程正确的是（ ）
A．32×20﹣32x﹣20x＝100 B．32x+20x﹣x2＝100
C．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100 D．（32﹣x）（20﹣x）＝100
【答案】B
【解答】解：设道路的宽x米，
则32x+20x＝100+x2．
32x+20x﹣x2＝100．故选：B．
41．（2022春•凭祥市期中）如图，在长为 30m，宽为15m的长方形地面上修
筑同样宽的道路（图中阴影部分），其余部分铺设草坪，要使草坪的面积为
406m2，则小路的宽度应为多少（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．4
【答案】A
【解答】解：将道路进行平移，剩余的草坪为一个小长方形，
设小路宽为x m，
根据题意，得（30−x）（15−x）＝406．
整理得（x﹣1）（x﹣44）＝0．
解得x ＝1，x ＝44（不合题意，舍去）．
1 2
则小路宽为1m，
故选：A．
42.（2023•两江新区一模）如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长
60米，宽40米）场地，被3条宽度相等的绿化带分为总面积为 1750平方米
的活动场所，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（ ）
A．（60﹣x）（40﹣x）＝1750 B．（60﹣2x）（40﹣x）＝1750
C．（60﹣2x）（40﹣x）＝2400 D．（60﹣x）（40﹣2x）＝1750
【答案】B
【解答】解：∵长方形场地的长为60米，宽为40米，且绿化带的宽度为x
米，∴被分成六块的活动场所可合成长为（60﹣2x）米，宽为（40﹣x）米的长方
形．
根据题意得：（60﹣2x）（40﹣x）＝1750．
故选：B．
43．（2023春•涡阳县期中）如图，长方形铁皮的长为 10cm，宽为8cm，现在
它的四个角上剪去边长为 xcm的正方形，做成底面积为 24cm2的无盖的长方
体盒子，则x的值为（ ）
A．2 B．7 C．2或7 D．3或6
【答案】A
【解答】解：∵长方形铁皮的长为10cm，宽为8cm，且在它的四个角上剪去
边长为xcm的正方形，
∴做成无盖的长方体盒子的底面是长为（10﹣2x）cm，宽为（8﹣2x）cm的
长方形．
根据题意得：（10﹣2x）（8﹣2x）＝24，
整理得：x2﹣9x+14＝0，
解得：x ＝2，x ＝7（不符合题意，舍去），
1 2
∴x的值为2．
故选：A．
44．（2023春•永嘉县校级期中）如图，在高 3m，宽4m的长方形墙面上有一
块长方形装饰板（图中阴影部分），装饰板的上面和左右两边都留有宽度为
x（m）的空白墙面．若长方形装饰板的面积为 4m2，则以下方程正确的是（
）A．（3﹣x）（4﹣x）＝4 B．（3﹣x）（4﹣2x）＝4
C．（3﹣2x）（4﹣x）＝4 D．（3﹣2x）（4﹣2x）＝4
【答案】B
【解答】解：根据题意，得（4﹣2x）（3﹣x）＝4，
故选：B．
45．（2023•碑林区校级模拟）如图，把一块长 AB为40cm的长方形硬纸板的
四角剪去四个边长为5cm的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无
盖长方体纸盒．若纸盒的体积是1500cm3，则长方形硬纸板的宽为多少？
【答案】长方形硬纸板的宽为20cm．
【解答】解：设长方形硬纸板的宽为xcm，根据题意，得（40﹣10）×（x﹣
10）×5＝1500，
解得：x＝20；
答：长方形硬纸板的宽为20cm．
46．（2022秋•城固县期末）如图，现有一块长11cm，宽7cm的长方形硬纸板，
在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分（图中
阴影部分）做成一个底面积为 21cm2的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正
方形的边长．【答案】剪去的小正方形的边长为2cm．
【解答】解：设剪去的小正方形的边长为xcm，
由题意得，
（11﹣2x）（7﹣2x）＝21，
解得x＝2（不合题意的值舍去），
∴剪去的小正方形的边长为2cm．
47．（2023•政和县模拟）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某
校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）
另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，
并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长 28
米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．
（1）矩形ABCD的另一边BC长为 （ 30 ﹣ 3 x ） 米（用含x的代数式表
示）；
（2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说
明理由．
【答案】（1）（30﹣3x）；
（2）矩形ABCD的面积不能为80m2，理由见详解．
【解答】解：（1）∵修建所用木栏总长28米，且两处各留1米宽的门（门
不用木栏），
∴BC＝2+28﹣3x＝（30﹣3x）米，
故答案为：（30﹣3x）；（2）不能，理由如下：
由题意得：x（30﹣3x）＝80，
整理得：3x2﹣30x+80＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝900﹣4×3×80＝﹣60＜0，
∴原方程无解，
∴矩形ABCD的面积不能为80m2．
48．（2022 秋•从化区期末）某农场要建一个矩形动物场，场地的一边靠墙
（墙AB长度不限），另外三边用木栏围成，木栏总长 20米，设动物场CD
边的长为xm，矩形面积为ym2．
（1）矩形面积y＝ ﹣ 2 x 2 +2 0 x （用含x的代数式表示）；
（2）当矩形动物场面积为48m2时，求CD边的长．
（3）能否围成面积为60m2矩形动物场？说明理由．
【答案】（1）﹣2x2+20x；
（2）4m或6m；
（3）不能，理由见解析．
【解答】解：（1）根据题意，y＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，
故答案为：﹣2x2+20x；
（2）根据题意，得﹣2x2+20x＝48，
解得x ＝4，x ＝6，
1 2
∵墙AB长度不限，
∴CD边的长为4m或6m；
（3）不能，理由如下：
根据题意，得﹣2x2+20x＝60，
整理，得x2﹣10x+30＝0，
∵Δ＝100﹣4×1×30＝﹣20＜0，
∴方程没有实数根，
∴不能围成面积为60m2矩形动物场．【题型8 一元二次方程应用-几何动态问题】
49．（2022秋•舞钢市期中）如图，矩形ABCD中，AB＝21cm，BC＝8cm，动
点E从A出发，以3cm/s的速度沿AB向B运动，动点F从C出发，以2cm/s
的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的
长为10cm时点E的运动时间是（ ）
A．3s B． s C．3s或 s D．2.5s
【答案】C
【解答】解：过点E作EM⊥CD于点M，如图所示．
当运动时间为ts时，AE＝3tcm，CF＝2tcm，EM＝8cm，
∴MF＝|AB﹣AE﹣CF|＝|21﹣5t|cm．
根据题意得：82+（21﹣5t）2＝102，
整理得：5t2﹣42t+81＝0，
解得：t ＝3，t ＝ ，
1 2
∴EF的长为10cm时点E的运动时间是3s或 s．
故选：C．
50.（2022•晋中期中）如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝
6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点 P
的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之
停止运动，当四边形APQC的面积为9cm2时，则点P运动的时间是（ ）A．3s B．3s或5s C．4s D．5s
【答案】A
【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使四边形APQC的面积为9cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝（24﹣9），
解得t ＝3，t ＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
1 2
∴动点P，Q运动3秒时，能使四边形APQC的面积为9cm2．
故选：A．
51.（2022•方城县期末）如图，已知等边三角形 ABC的边长为6cm，点P从点
A出发，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B
出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，
两点均停止运动．运动时间记为ts，请解决下列问题：若点P在边AC上，
当t为何值时，△APQ为直角三角形？
【答案】1.2s或3s
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形
∴AB＝BC＝CA＝6，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
当点P在边AC上时，由题意知，AP＝2t，AQ＝6﹣t，
当∠APQ＝90°时，AP＝ AQ，即2t＝ （6﹣t），解得t＝1.2，
当∠AQP＝90°时，AQ＝ AP，即6﹣t＝ ×2t，解得t＝3，
所以，点P在边AC上，当t为1.2s或3s时，△APQ为直角三角形；
52．（2022 秋•江门期末）如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动、同时点Q从点B
开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点
也随之停止运动．
（1）△PQB的面积能否等于9cm2？请说明理由．
（2）几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2？请写出过程．
【答案】（1）△PQB的面积不能等于9cm2，理由见解析；
（2）1s或4秒后，四边形APQC的面积等于16cm2．
【解答】解：（1）△PQB的面积不能等于9cm2，
理由如下：
∵5÷1＝5s，8÷2＝4s，
∴运动时间t的取值范围为：0≤t≤4，
根据题意可得：AP＝tcm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm，
假设△PQB的面积等于9cm2，
则 ，
整理得：t2﹣5t+9＝0，
∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×9＝﹣11＜0，
∴所列方程没有实数根，
∴△PQB的面积不能等于9cm2；
（2）由（1）得：AP＝tcm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm，运动时间t的取
值范围为：0≤t≤4，
∵四边形APQC的面积等于16cm2，
∴ ，
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得t ＝1，t ＝4，
1 2∴t＝1或4时，四边形APQC的面积等于16cm2．
答：1s或4秒后，四边形APQC的面积等于16cm2．
53．（2021秋•城关区月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝
7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始
沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到
点C时，P，Q两点同时停止运动．求：
（1）几秒后，PQ的长度等于2 cm？
（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．
【答案】（1）3秒；
（2）△PBQ的面积不能等于7cm2，理由见解答．
【解答】解：当运动时间为 ts时，AP＝tcm，BP＝AB﹣AP＝（5﹣t）cm，
BQ＝2tcm．
（1）依题意得：BP2+BQ2＝PA2，
即（5﹣t）2+（2t）2＝（2 ）2，
整理得：t2﹣2t﹣3＝0，
解得：t ＝3，t ＝﹣1（不符合题意，舍去）．
1 2
当t＝3时，BQ＝2t＝2×3＝6＜7，符合题意．
答：3秒后，PQ的长度等于2 cm．
（2）△PBQ的面积不能等于7cm2，理由如下：
依题意得： BP•BQ＝7，
即 ×（5﹣t）×2t＝7，整理得：t2﹣5t+7＝0，
∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×7＝﹣3＜0，
∴该方程没有实数根，
即△PBQ的面积不能等于7cm2．
54．（2023春•蚌埠月考）△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P
从点A开始沿边 AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点 Q从点B
开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同
时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ＝ 2 tcm ，PB＝ ＝（ 5 ﹣ t ） cm （用含 t 的代数式表
示）；
（2）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2tcm，（5﹣t）cm；
（2）存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2，t＝1．
【解答】解：（1）由题意，得：BQ＝2t（cm），PB＝（5﹣t）cm．
故答案为：2tcm，（5﹣t）cm．
（2）存在，理由如下：
由题意得： ×2t×（5﹣t）＝4，
解得：t ＝1，t ＝4（不符合题意，舍去），
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∴存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2，t＝1．
