文档内容
14.3.1 提公因式法 教学设计
一、教学目标：
1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.
2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.
二、教学重、难点：
重点：用提公因式法分解因式.
难点：如何确定多项式中的公因式以及提取公因式注意事项.
三、教学过程：
问题引入
比一比，看谁算得快
(1)已知：a=46，b=54，x=6，求ax2+bx2的值；=3600
(2)已知：a=101，b=99，求a2-b2的值. =400
你能说说算得快的原因吗？
解：(1)ax2+bx2=x2(a+b)=36×(46+54)=3600
(2)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=200×2=400
我们知道，利用整式的乘法运算，有时可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式.
反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式.
知识精讲
探究：请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
(1) x2+x=__________；(2) x2-1=__________.
因式分解
我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因
式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即
典例解析
例1.下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）A． B．
am+bm=m(a+b) a2+2a+4=(a+2) 2
C． D．
a2+a+1=a(a+1)+1 (a+1)(a-1)=a2-1
【分析】解：A．由左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
B．a2+4a+4=（a+2）2，原式等式两边不相等，即从等式的左边到右边的变形不属于因式
分解，故本选项不符合题意；
C．从等式的左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现
形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
【针对练习】下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A．
x2-2x+1=x(x-2)+1
B．12x4 y4=3x3y⋅4x y2
C．
(x+2)(x-2)=x2-4
D．
x2-6x+9=(x-3) 2
思考：观察下列多项式有何共同特点？
ab+ac； 3x2+x； mb2+nb+b.
多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. 如：pa+pb+pc的公因式
是p.
说出下列各多项式的公因式：
(1) ma+mb；_____ (2) 4kx-8ky；_____
(3) 5y3+20y2；_____ (4) a2b-2ab2+ab. _____
正确找出多项式的公因式的步骤：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母：字母取多项式各项中都有的相同的字母.
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.例2.(1)多项式15a3b3+5a2b-20a2b3中各项的公因式是（ ）
A．a3b3 B．a2b C．5a2b D．5a3b3
【分析】解：在多项式15a3b3+5a2b-20a2b3中，各系数的最大公因式为5，相同字母的最低
次幂为a2b，则各项的公因式是5a2b．故选：C．
(2)式子 ， ， 中的公因式是（ ）
15a3b3 (a-b) 5a2b(b-a) -120a3b3(a2-b2)
A． B． C． D．
5a2b(b-a) 5a2b2(b-a) 5ab(b-a) 120a3b3(b2-a2)
【分析】解：因为 5a2b(b−a)＝−5a2b(a−b)，−120a3b3(a2−b2)＝−120a3b3(a＋b)(a−b)，所以式子
15a3b3(a−b)，5a2b(b−a)，−120a3b3(a2−b2)中的公因式是5a2b(b−a)．故选：A．
【针对练习】1．4a2b3与2ab4c的公因式为（ ）
A．ab B．2ab C．2ab3 D．2abc
2．多项式 的公因式是（ ）
2a(x+ y) 3-6a2 (x+ y)
A． B． C． D．
2a2 (x+ y) 2 6a(x+ y) 2a(x+ y) -2a
3．多项式2xmyn-1﹣4xm-1yn（m，n均为大于1的整数）各项的公因式是（ ）
A．4xm-1yn-1 B．2xm-1yn-1 C．2xmyn D．4xmyn
提公因式法
ma+mb+mc=m(a+b+c)
公因式 提公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个
因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
例3.把8a3b2 + 12ab3c分解因式.
分析：8与12的最大公约数是___；相同字母有___和___；a的最低指数___，b的最低指数___；公因式是_____.
解：8a3b2+12ab3c
=4ab2·2a2+4ab2·3bc
=4ab2(2a2+3bc)
如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式？2a2b+3b2c
如何检查因式分解是否正确？
可用整式乘法来检验因式分解是否正确.
例4.把下列名式分解因式.
(1) 2a(b+c)-3(b+c) (2) 3x2-6xy+x
解：(1) 2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3)
(2) 3x2-6xy+x=x(3x-6y+1) (注：1不能漏掉)
【点睛】提公因式法步骤（分两步）
第一步：找出公因式；
第二步：提取公因式，将多项式化为两个因式的乘积.公因式既可以是一个单项式的形式，
也可以是一个多项式的形式.可用整式乘法来检验因式分解是否正确.
【针对练习】把下列各式分解因式：
(1) ax+ay (2) 3mx-6my (3) 8m2n+2mn (4) 12xyz-9x2y2
(5) 2a(y-z)-3b(z-y) (6) p(a2+b2)-q(a2+b2)
解：(1) ax+ay=a(x+y)
(2) 3mx-6my=3m(x-2y)
(3) 8m2n+2mn=2mn(4m+1)
(4) 12xyz-9x2y2=3xy(4z-3xy)
(5) 2a(y-z)-3b(z-y)=2a(y-z)+3b(y-z)=(y-z)(2a+3b)
(6) p(a2+b2)-q(a2+b2)=(a2+b2)(p-q)
例5.计算：
(1)39×37－13×91； (2)29×20.21＋72×20.21＋13×20.21－20.21×14.
解：(1)原式＝3×13×37－13×91
＝13×(3×37－91)
＝13×20
＝260；(2)原式＝20.21×(29＋72＋13－14)
＝2021.
【点睛】在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
例6.已知m2+m-1=0，那么代数式m3+2m2-2001的值是（ ）
A．2000 B．－2000 C．2001 D．－2001
【分析】解：∵m2+m-1=0，
∴m2+m=1，
∴m3+2m2-2001
=m3+m2+m2-2001
=m(m2+m)+m2-2001
=m+m2-2001
=1-2001
=-2000，
故选：B．
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1．下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
12xyz-9x2y2=3xyz(4-3xy) 3a2y-3ay+6 y=3 y(a2-a+2)
C． D．
-x2+xy-xz=-x(x+ y-z) 3b2+5ab+b=b(3a+5b)
2．多项式4ab2+16a2b2﹣12a3b2c的公因式是（ ）
A．4ab2c B．ab2 C．4ab2 D．4a3b2c
3.已知多项式3x2+mx+n分解因式的结果为(3x+2)(x-1)，则m,n的值分别为（ ）
A. m=1, n=-2 B. m=-1, n=-2 C. m=2,n=-2 D. m=-2，n=-2
4.把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一个因式是（a－b），则另一个因式是（
）
A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－55．计算32×2021+42×2021+72×2021的结果为（ ）
A．2021 B．20210 C．202100 D．2021000
6．相邻边长为a，b的矩形，若它的周长为20，面积为24，则a2b+ab2的值为（
）
A．480 B．240 C．120 D．100
7．一个两位数，将它的十位数字与个位数字对换，这两个两位数的和一定被_____整除．
8．已知方程3x- y=5，则代数式-6x+2y的值是_______．
9．已知ab=-7,a+b=2，则多项式a2b+ab2+2021的值为________．
10．若x2+x-2=0，则x3+2x2-x+2016等于______.
11．因式分解：
(1)x2+xy ; (2)﹣4b2+2ab; (3)3ax－12bx+3x; (4)6ab3－2a2b2+4a3b.
12．因式分解：
(1) ; (2) (2x+1)(3x-2)－ .
4a(x- y)-2b(y-x) (2x+1) 2
13．先因式分解，再计算求值：
，其中 ．
(x-1) 2 (x+2)+(x-1)(x+2) 2-x(1-x)(x+2) x=1
14．已知6x-3 y-1=0,xy=2，求2x4 y3-x3y4的值．
15．阅读理解，并解答下面的问题：
拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或
相互抵消为零．反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，
即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．
例：分解因式：x2＋4x＋3
解：原式＝x2＋x＋3x＋3把4x分成x和3x，
＝（x2＋x）＋（3x＋3）将原式分成两组
＝x（x＋1）＋3（x＋1）对每一组分别提取公因式
＝（x＋3）（x＋1）继续提公因式
请类比上面的示例，分解因式：x2＋5x＋6
16．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)=(1+x)3
(1)上述分解因式的方法是____________，共应用了______次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+···+ x(x+1)2004，则需应用上述方法______次，结果是_______.
(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+···+ x(x+1)n(n为正整数).
【参考答案】
1. B
2. C
3. B
4. A
5. C
6. B
7. 11
8. -10
9. 2017
10. 2018
11.（1）解：原式=x（x+ y）
（2）解：原式=﹣2b（2b－a）
（3）解：原式=3x（a－4b+1）
（4）解：原式=2ab（3b3－ab+2a2）
12.(1)解：4a(x- y)-2b(y-x)
=4a(x- y)+2b(x- y)
=2(x- y)(2a+b)．
（2）解：（2x+1）（3x-2）－
(2x+1) 2
=（2x+1）（3x-2-2x-1）
=（2x+1）（x-3）
13.解：
(x-1) 2 (x+2)+(x-1)(x+2) 2-x(1-x)(x+2)
=(x-1) 2 (x+2)+(x-1)(x+2) 2+x(x-1)(x+2)
=(x-1)(x+2)(x-1+x+2+x)=(x-1)(x+2)(3x+1)
当x=1时，
原式=(1-1)×(1+2)×(3×1+1)=0．
14.解：∵6x−3y−1＝0，xy＝2，
1
∴2x−y＝ ，
3
1
∴当2x−y＝ ，xy＝2时，
3
原式＝（xy）3•（2x−y）
1
＝23×
3
8
＝ ．
3
15.解：原式=x2＋2x＋3x＋6
=(x2+2x)+(3x+6)
=x(x+2)+3(x+2)
=(x+2)(x+3)．
16.（1）提公因式法，2；（2）2004，(x+1)2005；（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）
2···+x（x+1）n（n为正整数）的结果是：（x+1）n+1．
四、教学反思：
