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专题 11 因式分解的其他方法
题型一 分组分解法——4项
1． 问题提出 分解因式：
（1） ；
（2） ．
问题探究 某数学探究学习小组对以上因式分解题目进行了如下探究．
探究1：分解因式：（1） ．
解： ．
探究2：分解因式：（2） ．
解： ．
学以致用 尝试运用分组分解法分解因式．
（1） ；
（2） ．
拓展提升 尝试运用以上思路分解因式： ．
【解答】解：学以致用（1）．
（2）
．
拓展提升：
．
2．观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：
（分成两组）
（直接提公因式）
．
乙：
（分成两组）
（直接运用公式）
（再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：（1） ．
（2） ．
【解答】解：（1）原式 ；
（2）原式 ．
3．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无
法分解，如 ，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取
公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．
过程为： ．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式 ；
（2） 三边 ， ， 满足 ，判断 的形状．
【解答】解：（1）
；
（2）
，
，
或 ，
的形状是等腰三角形．4．分解因式： ．
【解答】解：原式 ．
5．因式分解： ．
【解答】解：原式
．
6．因式分解： ．
【解答】解：原式 ．
题型二 分组分解法——5项
7．阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无
法分解，如： ，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因
式，前后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过
程如下：
．像这种将一个
多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．利用分组分解法解决下面的问题：
（1）分解因式： ；
（2） 的三边 ， ， 满足 ，判断 的形状．
【解答】解：（1），
（2） ，
，
，
，
，
或 ，
三角形任意两边之和大于第三边，
，
是等腰三角形．
8．阅读下列文字与例题将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：（1）
（2）
试用上述方法分解因式 ．
【解答】解：．
故答案是： ．
9．已知 ，把多项式 因式分解．
【解答】解： ，
，
，
， ，
， ，
当 ， 时
原式
．
题型三 十字相乘法
10．我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式 ，
即 是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．
如：（1） ；
（2） ．
请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式：
（1） ；（2） ．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
11．分解因式： ．
【解答】解：
．
故答案为： ．
12．因式分解： ．
【解答】解：原式 ，
故答案为：
13．分解因式： ．
【解答】解： ．
故答案为： ．14．我们知道：多项式 可以写成 的形式，这就是将多项式 因式分解．当一个
多项式（如 不能写成两数和（或差）的平方的形式时，我们通常采用下面的方法：
请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式 ；
（2）原式 ．
题型四 换元法
15．用换元法分解因式： ．
【解答】解：设 ，则有 ，
原式
．
16．因式分解： ．
【解答】解：
．
17．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分
解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的
方法称为“换元法”．
例：用换元法分解因式 ．
解：设
原式
（1）请你用换元法对多项式 进行因式分解；
（2）凭你的数感，大胆尝试解方程： ．
【解答】解：（1）设 ，
原式
；
（2）设 ．则 ．
解得 或 ．
当 时， ，即 ．
解得 ．
当 时， ，即 ．解得 ， ．
综上所述，原方程的解为 ， ， ．
18．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下
面是某同学用换元法对多项式 进行因式分解的过程．
解：设 ，
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 （填代号）．
．提取公因式
．平方差公式
．两数和的完全平方公式
．两数差的完全平方公式
（2）请你模仿以上方法，分解因式： ．
【解答】解：（1） ，
第二步到第三步运用了因式分解的“两数和的完全平方公式”，
故答案为： ；
（2）设 ，．
19．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下
面是某同学用换元法对多项式 进行因式分解的过程．
解：设
原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 （填代号）．
．提取公因式 ．平方差公式 ．两数和的完全平方公式 ．两数差的完全平方公式
（2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的
最后结果为 ．
（3）请你模仿以上方法对多项式 进行因式分解．
【解答】解：（1）运用了 ，两数和的完全平方公式；
（2） 还可以分解，分解不彻底；
；
（3）设 ．．
故答案为： ； ．
20．阅读下列材料
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分
解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，使于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方
法称为“换元法”
下面是小涵同学用换元法对多项式 进行因式分解的过程．解：设
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ．
．提取公因式法 ．平方差公式法 ．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ．
（3）请你用换元法对多项式 进行因式分解
（4）当 时，多项式 存在最 值（填“大”或“小” ．请你求出这个
最值
【解答】解：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法；
（2） ，设 ，
原式
；
（3）设 ，
原式
；
（4）
，
故当 时，多项式 存在最小值，最小值为 ．故答案为： ； ；1，小．
题型五 待定系数法
21．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知：二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值．
解：设另一个因式为 ，得
，
则
解得： ，
另一个因式为 ， 的值为 ．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值．
【解答】解：设另一个因式为 ，得
则
，
解得： ，
故另一个因式为 ， 的值为65．
22．分解因式： ．
【解答】解：设原式 ，所以有 ，解得 ．
原式 ．
故答案为 ．
23．阅读下列解答过程，然后回答问题．已知多项式 有一个因式 ，求 的值．
解：设另一个因式为 ，
则 ，
， ， ， ， ， ；
依照上面的解法，解答问题：若 有一个因式是 ，求 的值．
【解答】解：设多项式 另一个因式为 ，
多项式 有一个因式 ，
则 ，
， ， ，
， ，
．
题型六 分组分解法+十字相乘法——6项
24．因式分解：
【解答】解：25．分解因式： ．
【解答】解：
26．分解因式： ．
【解答】解：
．
27．分解因式： ．
【解答】解：
．
